CC BY
12
УДК 519.853 Проф. К.1. Янгурський, канд. техн. наук;
доц. 1.В. Атаманова, канд. техн. наук - НУ "Львiвська полiтехнiка"
ФОРМАЛ1ЗАЦ1Я ЗАДАЧ1 ОПТИМАЛЬНОГО ТЕПЛОФ1ЗИЧНОГО СИНТЕЗУ КОНСТРУКТИВНИХ Р1ШЕНЬ
ТЕХН1ЧНИХ СИСТЕМ
Сформульована задача рацiонального розмщення джерел тепловидiлення i3 за-даними геометричними та енергетичними характеристиками. Запропонований алгоритм оптимального теплофiзичного синтезу конструктивних рiшень технiчних систем.
Prof. K.I. Yangyrskuy, doc. I.V. Atamanova-NU "Lvivs'kaPolitekhnika"
Formalization of a problem of the optimal thermalphysic synthesis of the design decisions for engineering
A problem of rational location of heat sources with both geometric and power characteristics determined is stated. An algorithm of optimal thermalphysic synthesis of engineering system design solutions is proposed.
Важливою складовою процесу теплоф1зичного проектування техшч-них систем е задача рацюнального розмщення в об'ем1 конструкци джерел тепла з визначеними геометричними та енергетичними характеристиками. Розв'язання тако! задач! зводиться до синтезу оптимального вар1анту розта-шування елеменлв тепловидшення (конструктивного ршення), за якого роз-подш температурного поля вщповщав би наперед заданим вимогам.
Формашзовано задача оптимального синтезу конструктивних ршень у процес теплоф1зичного проектування формулюеться таким чином.
В област визначено! геометрично! форми необхщно розташувати за-дане число р1знотипних джерел теплового поля J (i=1, n) таким чином, щоб штегральш або диференщальш характеристики температурного поля задо-вольняли необхщним умовам та обмеженням.
Для виршення задач1 оптимального розмщення джерел тепловидь лення можна видшити таю основш етапи:
• формал1зац1я задачу
• синтез допустимих розмщень;
• анал1з допустимих розмщень i пошук локального екстремуму (або близького
до нього);
• перебiр локальних екстремумiв;
• видшення рекордного значення функцй цiлi i вiдповiдного вектора розмь
щення.
Для математично! формал1зац1! загально! оптим1зац1йно! задач1 приймаемо, що стацюнарне теплове поле, яке створюють джерела тепла в област визначено! геометрично! форми RT, описуеться краевою задачею вигляду [1]:
V2T (x, y, z) +Q = 0; DjT (x, y, z) = j = , (1)
де: V2T - оператор Лапласа; T(x, y, z) - функщя, що характеризуе просторо-вий розподш температурного поля; Dj - оператори, як характеризують по-чатков1 i граничш умови; Q - питома об'емна потужшсть теплових джерел; Gj
- задаш функцi! умов, j = 1, m.
Розв'язок задачi (1) можна записати у виглядг
T(x, y, z) = W(J)-F(x, y, z), (2)
де: W(J)= {c(J), co2(J), ..., cn (J)} - вектор коефщенлв, який враховуе енер-гетичнi, геометричнi характеристики джерел тепловидшення; F(x, y, z)= ={f1(x, y, z), f2(x, y, z), ..., fn (x, y, z)} - функщя, вiд яко! залежить просторовий розподiл теплового поля; J = {xu yi, zi} - вектор, який характеризуе розташу-
вання джерел тепла у структур^ (i =1, n).
Функщя обмежень на локальш значення температурного поля в облас-тi набувае вигляду:
g (T) = Т31- { (x, y, z, J)RjneRT } > 0, i = Vp, (3)
де: RTi - локальна область температурного поля; T3i - необхщне значення температурного поля в i-m област^ i = 1, p.
Для формування функци тополопчних обмежень використовуеться поняття геометрично! вщсташ. Вiдстань мiж i-м та j-м елементами для двови-мiрного простору можна записати:
dij = [(x¿ - x,)2 + (yt - y,)2]0,5 або dij = /xi - x, / + /yt - yj /. (4)
Тодi множина функцiй топологiчних обмежень запишеться як:
• обмеження на ввдстань мiж джерелами тепловидшення
gk(d) = dij(Ii, Ij) - dTij >0; (щ; i, j = 1, n); (5)
• обмеження на вщстань м1ж джерелами тепловидшення i границею област розмщення
gt (d) = djih Rn/RT] - dj >0; (i = 1n; j = 1m); (6)
• обмеження на вщстань мiж джерелами тепловидiлення i забороненими зонами
g.i (d) = dij (Ii, Ip) - dTij > 0; (i = 1, n; p = 1, s), (7)
де: gk (d) - обмеження, яю забезпечують неперетинання теплових джерел, k = 1, ¡; gt (d) - обмеження, яю забезпечують знаходження джерел в област RT, t = 1,n; g.(d) - обмеження, якi запобiгають попаданню теплового джерела
у p-ту заборонену область, i = 1, у; dt- необхiднi (заданi) значення вщдалей.
Наступну групу обмежень становлять вирази, яю забезпечують необ-хiднi значення функщональних параметрiв температурозалежних елементiв i обмеження на вихщш характеристики:
gi (x) = xtí - xih > 0; (i = 1, n; h = 1, r); (8)
gk f) = fTk (x) - fki (x) >0; (k = 1^; h = TTr), (9)
де: xTi - необхщне значення i-го параметра, (i = 1, n); xih - поточне значення i-го параметра; fTk(x) - необхщне значення вихiдного параметра, (k = 1, m);
fki(x) - поточне значення вихiдного параметру; h = 1, r - число гтерацш пошу-ку рiшень.
274
Збiрник науково-техшчних праць
Змютовна постановка загально! задачi пошуку оптимального ршення визначае, що параметрами, як оптимiзуються, е елементи вектору J(x, у, z), якi характеризують розташування теплових джерел в областi RT i числове
значення температурного поля Т = [Г}, де I = 1, п .
Таким чином, узагальнена математична модель пошуку конструктивного ршення техтчно! системи математично формулюеться як:
де: RTd: [0(Т)>0; G(d)>0; (х)]>0| - область пошуку необхщного конструктивного рiшення; 2(Т, J) - критерiй оптимальностi; О(Г) = Пgi (Т) - множина обмежень на значення температури; G (<$) = gk (d)Пgt (d)Пgl (<$) - множина ге-ометричних обмежень; G[/(х)] = gi (x)Пgk (/) - множина функщональних обмежень; Т*=[Т*}, J* = {1*} - оптимальнi значення параметрiв.
Основна оптимiзацiйна (10) задача належить до задач оптимiзацil систем з розподшеними параметрами. Стан системи характеризуеться функщею Т (х, у, z). В якостi управлiння виступае функщя ^ (х, у, z), яка описуе розпо-дiл джерел тепловидшення в областi R. Область допустимих сташв системи визначаеться задачами (1), (2) i обмеженнями на функщю стану (3). Необхщ-но побудувати нерiвностi виду (3), i (5) - (9).
Синтез допустимих ршень розбиваеться на два етапи. На першому еташ здiйснюеться розмiщення джерел тепловидшення в област (5) - (7).
Якщо процедура пошуку вектора J, який задовольняе умовi (5) - (7), е однаковою для бшьшост задач розмiщення джерел тепла, то методика корек-ци вектора J як на етапi пошуку JeR, так i при визначенш локального екстре-муму залежить вщ конкретно! задачi.
Якщо необхiдно здшснити розмiщення заданого числа рiзнотипних джерел в обмеженш областi таким чином, щоб поле ^ (х, у, 2) не перевищува-
ло в точках Рк, (к = 1, р) наперед заданих значень Тзи то корекцiю вектора можна здшснити за вектором нев'язок мiж заданими значеннями температурного поля та отриманим в результат розмщення джерел. Якщо методика ко-рекци вектора не дозволяе знайти вектор JeR, то здiйснюеться нове розмь щення джерел тепла. Запропонований спошб пошуку вектора J дае змогу за-дати початкову точку оптимiзацiйного процесу у виглядi послiдовностi груп змшних.
Оскiльки значення функци цш 2 (Т, J) залежать не тшьки вiд мюцез-находження джерел (з рiзними геометричними та енергетичними характеристиками), а й вщ послщовност !х розмiщення, у процес пошуку ращонально-го значення функци цiлi необхiдно здiйснити перебiр послщовност розмь щення джерел. Рекордна перестановка вибираеться як центр кола визначено-го радiусу i на наступному етат формуються перестановки, якi перебувають в цьому колi. Радiус кола з кожним кроком поступово зменшуеться.
Застосування методу послщовно-одиничного розмiщення позбавляе вщ необхiдностi одночасно! перевiрки нерiвностей (5) - (7). Перевiряються
(10)
тiльки т обмеження, в якi входять параметри розмiщення джерел тепловидь лення, тобто, якщо черговим розмiщенням е Sj, то здшснюеться перевiрка ви-конання тiльки нерiвностей:
gij(Xi*, Xj, dij) > 0, (i = 1, j -1);
gij (Xi, dj) > 0;
gip (Xi, diP) > 0;
де: Xi*, - вектор параметрiв розмщеного джерела; Xj - вектор параметрiв джерела, яке розмiщуеться; dj, dj,, dip - найкоротшi допустимi вщдаль
На другому етапi, пiсля розмщення джерел з врахуванням обмежень
(5) - (7) для знайденого вектора J{xi, yi, zi}, i=1, n виршуеться задача визна-чення розподшу температурного поля F (x, y, z) i перевiрка умови на резуль-туюче температурне поле (3). Дана задача виршуеться на основi вибрано! моделi процесу теплообмiну.
1нколи виникае ситуацiя, коли обмеження, яю накладенi на поведiнку температурного поля, виконуються при будь-кому мiсцезнаходженнi джерел тепла i задовольняють вимогам (5) - (7). У цьому випадку задача зводиться до задачi розмщення з врахуванням тшьки обмежень (5) - (7), тобто розмь щення геометричних об,ектiв.
На основi узагальнено! оптимiзацiйноl моделi (10) були сформульова-нi та отриманi розв'язки часткових задач оптимального розподшу джерел теп-ловидшення, якi визначаються видом цшьово! функцп. Вид цiльових функцiй визначався вимогами, яю висуваються щодо температурного режиму техшч-но! системи.
При ршенш задачi забезпечення рiвномiрного розподшу джерел теп-ловидiлення як цшьову функцiю вибирали середне значення температур еле-ментiв:
n
Z T
р = T = (11)
n
де: T - середне значення температури елеменпв; Ti - температура поверхш елементу; n - юльюсть елементiв.
При рiшеннi задачi мiнiмiзацil максимальних локальних значень температурного поля як цшьову функцда вибирали середне квадратичне вщхи-лення температур Ti вщ середнього значення:
i
Z(( - T )2
р2 = -. (12)
n
У процес теплофiзичного проектування може вирiшуватись задача вибору оптимального розподшу витрат повiтря у системi з примусовою вен-тиляцiею. Необхщно знайти витрати теплоносiя у кожнш зонi, при якому су-марш витрати теплоносiя мiнiмальнi, а температури корпуЫв всiх елементiв
276
Збiрник науково-технiчних праць
не перевищують сво1х допустимих значень. Як цшьова функцiя вибиралася сума модулiв вiдхилень температур найбiльш "критичних" елемент1в вiд сво-!х допустимих значень:
N+1
(Р3 = Е Т(п)- Т1 (°п) • С1 (п)> (13)
п=1
де: Т (п) - температура ¿-го елементу у зош п; С - ваговий коефщент, який до-рiвнюе 1 при Т >Тдоп i дорiвнюе 0,2 при Т < Т1доп.
Запропонований алгоритм пошуку регулярного квазiоптимального роз-мiщення джерел тепловидшення, який базуеться на послщовно-одиничному розмiщеннi з подальшою оптимiзацiею методом адаптивного перебору локаль-них екстремумiв на множинi перестановок, дозволяе вирiшувати задачi оптимального теплофiзичного проектування технiчних систем рiзного призначення.
Лггература
1. Стоян Ю.Г., Путятин В.П. Размещение источников физических полей. - К., 1981.
2. Ляшенко И.И., Карагодова Е.А., Черников Н.В., Шор Н.З. Линейное и нелинейное программирование. - К., 1975.
