CC BY
8
ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА УДК 539.2
ФОНОННЫЕ СПЕКТРЫ МАГНИЯ В МЕТОДЕ ГЛАДКОГО НЕЛОКАЛЬНОГО МОДЕЛЬНОГО ПОТЕНЦИАЛА
О. В. Крисько, В. М. Силонов, Т. В. Скоробогатова, Д. П. Бокарев
(.кафедра физики твердого тела) E-mail: sols333@phys.msu.ru
В полной нелокальной теории получено выражение характеристической функции простого металла для гладкого нелокального модельного потенциала. Расчеты фо-нонных спектров магния, проведенные с использованием полученных выражений характеристической функции, удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными.
В работе [ 1 ] был предложен гладкий нелокальный модельный потенциал простых металлов (ГНМП), формфактор которых отличается от аналогичных отсутствием нефизических оецилляций. В работе [2] была описана методика расчета его параметров, при определении которых использовались спектроскопические данные значений термов свободных ионов. В работе [3] получено выражение его формфактора. Настоящая работа посвящена получению выражения характеристической функции при использовании ГНМП.
В полной нелокальной теории характеристическая функция чистого металла, нормированная на единицу, имеет вид [4, 5]
F\Aq) =
YlM
e(q)
vt M) + Vl2(q) + V!M
(1)
УМУ1М
где К;е(<?) — потенциал электрон-электронного взаимодействия; — потенциал электрон-электронного взаимодействия с учетом обмена и корреляции; У0Т\(4) — потенциал ортодырки в приближении Дагенса [4], И0С1(д) локальная часть потенциала с учетом ортогонализационной дырки:
цжм = ви7) + К,п(<7); (2)
V.M = ^
zP
-щ^, z.e[[ — эффективный заряд иона с учетом размытости (неточечности) ортодырки [4];
Z2( = (Z + Zdpl)2-Z|pl, zd. наших обозначениях равен
kf .
4жRl
заряд ортодырки и в
7 И
-^dpl о
7Г
п
D2/+h
1=0
ШМЕ))
dE Е=Ер
xDt{k,k)k2 )dk\ (3)
v:M = vMd-fm,
f(q) = \ П-ехр f—0.535
f(q) — обменно-корреляционная функция в приближении Шоу [5]. В выражении (1)
Vioc2(q)=B(q) + Vn(q) + Vort(q),
(4)
где У[\(д), — потенциалы экранирующего
функционала от соответственно первой и второй степеней нелокальной части псевдопотенциала [6]:
VfM = VL(q)xnF(k,k + q-E)], Vl2{q) = VUq)xnF2{k,k + q\E)]
(5)
Экранирующий функционал П[...] для простых металлов [6] представляет собой сумму в к-пространстве по к в области < Щ, которую можно преобразовать в интеграл вида
U[F(k,k';E)]=2j2
k<kF
2F(k.k':El;)
k2 2tt
■k>2
k<kf
2F(k.k':El;)
k2 - k'2
dk, (6)
где Е^ = 2 в ат. ед.
Аналитические выражения для В(д) и к + + д;Еь) приведены в Приложении. При численных расчетах интегралов (6) возникают проблемы, связанные с особенностью подынтегральной функции при = \к'\. Представим интеграл (6) в виде суммы двух интегралов по различным областям интегрирования таким образом, чтобы особенности подынтегральной функции оказывались на краях интервалов интегрирования. В этом случае численное интегрирование не представляет сложности при
использовании метода особых точек Гаусса. Численные расчеты производились в полярной системе координат в двух областях интегрирования (пределы интегрирования и интегралы от нелокальной части потенциала приведены ниже):
Щ/ЧА, к'-Е)] = ПЛ [/ЧЛ, к'-Е)] +Пд Н*, к'\ £)], (7)
где
7Г
йк
2/?(&, к'\Ек)
к2 - к'2
(11, (8)
= д2 + & - 2дЫ, ЯЬ(соБе) = 1, Р\ (сое 0) = соб(0), Р2{соб 0) = 0.5(3 СО52(0) - 1),
СОБ (в) =
к,2 + к2-д2 2 кк>
ка =
1ь={к2 + д2-к2
2 кд
0 при
Щ — ц при ц <
при к ^ ц — при к> ц —
Пв[Р(к,к'-Е)] =
ь,
йк
7Г2
г1(
Здесь
к2-к'2 при к — д.
(11. (9)
^ = 1к2 + д2-к2
ч
2 /г о
1 при к ^ -, <7 , ч
2к ПРИ ^ 2'
при к> к[ — ц,
{0 при <7 ^
Щ — ц при д>
Точность полученных результатов численного интегрирования следует контролировать с помощью предельных соотношений [6]
3 2Р(к[,к[\Ек1.)
Пт П<4[/7(£, Л'; £)] = Пт Л'; £)] = —-
»-О
*,2
Пт =
Згр2(к[,к[;Ек/
В полной нелокальной теории псевдопотенциалов формфактор экранированного иона простого металла при = ^ в наших обозначениях имеет вид [7]
I, Л, + £,) = , Л, + д; £,) + .(10)
Обычно для сравнения различных моделей псевдопотенциалов [7, 8] используют формфактор экра-
нированного иона при «рассеянии назад>>. При «рассеянии назад>> нелокальная часть формфактора потенциала рассчитывается как
Я < 2к[,
На рис. 1 и 2 приведены зависимости форм-фактора экранированного иона магния при «рассеянии назад>> и нормированной характеристической функции. Из рис. 1 видно, что значения формфактора ГНМП при ц <2Щ несколько выше значений формфактора, рассчитанного на основе оптимизированного модельного потенциала (ОМП) типа Хейне-Абаренкова [9]. При ц>2Щ формфактор ОМП имеет осциллирующий характер (меняет знак) и с ростом ц стремится к нулю. Формфактор ГНМП, в отличие от формфактора ОМП, плавно убывает при ц>2стремясь к нулю с ростом ц.
У[я), а.е.
0.05
-0.05 -
-0.10 -
-0.15 -
-0.20
Рис. 1. Зависимости формфактора ГНМП магния («рассеяние назад»), полученного из оптимизированного потенциала типа Хейне-Абаренко-ва [9], — сплошная кривая и с помощью ГНМП в настоящей работе с параметрами из табл. 1 — пунктирная кривая {х = ц!Щ )
Рис. 2. Зависимости нормированной характеристической функции магния, полученной из ОМП, — сплошная кривая [10] и с помощью ГНМП в настоящей работе с параметрами из табл. 1 — пунктирная кривая {х = ц!Щ )
Таблица 1
Параметры ГНМП потенциала Л^ (все в ат. ед.)
Ло(ЕР) с1А0(Е) йЕ А\{ЕР) йАх(Е) йЕ А2(ЕР) йА,(Е) йЕ Е-Е- Рщ п
^2.257 -1.316 — 1.454 ^0.729 3.091 •—0.174 3.35 156.8 1.623
Такое различие формфакторов, рассчитанных в двух моделях, объясняется негладким характером зависимости нелокальной части ОМП иона от г в прямом пространстве и как следствие появлением «нефизических осцилляций». Формфактор ГНМП плавно убывает и стремится к нулю при ц—>0, не изменяя знака, что объясняется гладким характером ГНМП иона в прямом пространстве. Из рис. 2 видно, что значения нормированной характеристической функции магния ОМП при ц/2Щ < 1.6 несколько выше ее значений, полученных с ГНМП в настоящей работе. При ц/2к[ > 1.6 ситуация меняется на противоположную. Это объясняется разницей в значениях формфакторов, полученных в различных моделях (рис. 1), которая в свою очередь обусловлена отсутствием нефизических осцилляций у формфактора ГНМП. Любопытно отметить, что в квазилокальном приближении характеристическая функция ОМП ведет себя аналогично характеристической функции ГНМП [10]. Возможно, успешное применение квазилокального приближения при расчете атомных свойств металлов объясняется нивелированием нефизических осцилляций формфактора «негладких>> псевдопотенциалов при получении характеристических функций, которые используются для расчета атомных свойств металлов.
Расчет закона дисперсии фононов в магнии в трех направлениях высокой симметрии был проведен с параметрами ГНМП, приведенными в табл. 1. Использовалось выражение (1) для характеристиче-
7
6 5 4
3 2
ской функции в рамках полной нелокальной теории ГНМП, подробное описание расчетов приведено в Приложении. Результаты теоретических расчетов приведены на рис. 3.
Динамическая матрица ГПУ магния, нормированная на плазменную частоту, рассчитывалась по формулам (7). Выбранная нами система координат и нормировка позволили построить действительную симметрическую нормированную динамическую матрицу /)(<?) размерности 6x6, собственные значения которой дают квадраты частот колебаний решетки, нормированные на плазменную частоту с учетом эффективного заряда иона:
1 ((3 +9),. ((3 + 9).
= 2 Е {с+ч)2 + <н> -в
- ¿Е'^Г^оОС!) со5(2тг(е • г2)),
А+з,;(<7) = 2 Е-{а + ф2 !тС + ч\) х
х соз(27г(бг • гг)), АД?) = А+з,/+з(<7). А,/+з (Я) = А+з ,/(?)• (И)
Звездочка над знаком суммы означает, что слагаемое с в = 0 следует опустить, (? — векторы обратной решетки, г и / — индексы осей де-
А1
сг
1-ч
н
з"
Аз
1
ЭООоо
Рис. 3. Полученные в настоящей работе с ГНМП дисперсионные кривые для фононов в магнии (сплошные кривые). Точки — экспериментальные данные [11]. По оси у отложена частота в 1012 Гц, по оси х — проекции безразмерного волнового вектора фонона в направлениях высокой симметрии
картовой системы координат, координаты первого атома в ячейке равны нулю: Г\ = (0,0,0); г2 — радиус-вектор второго атома в ячейке ГПУ магния:
г2 = + ^а2 + ^аз^ , а\, й2, Аз — векторы трансляции в прямом пространстве: а\ = — \аех + ^аеу, а2 = аех, = сег. Тогда векторы трансляции в обратном пространстве Ь\ = ^ (ех + >
Ь2 = ^ ^ех — > Ь3 = ^ег, а векторы обратной
решетки й = НЬ\ + кЬ2 + /63, где И,к,1 — индексы векторов ГПУ решетки в обратном пространстве. В данной системе координат скалярные произведения векторов обратной решетки на векторы атомов в элементарной ячейке равны: (С-Г1) = 0,
(е-г2) = 1 (/ + §(/*-£)).
В (11) Ро(й) = , где Рея(д) — норми-
рованная на единицу электростатическая функция
Эвальда [7]: Рея(й) = ехр ■ Параметр 77 под-
бирался таким образом, чтобы сходился ряд суммирования по й в (11) при замене Ро(д) на Рея(д). Расчеты проводились при 77 = 2.8. Результаты расчетов приведены на рис. 3. Видно, что теоретически рассчитанные кривые дисперсии фононов в магнии достаточно хорошо согласуются с экспериментом. Некоторые несоответствия можно объяснить температурным влиянием на фононы, которое не учитывается при расчетах, а также приближенным характером учета обменно-корреляционных эффектов в электронном газе металла. В табл. 2 приведены значения частот фононов в точках высокой симметрии, рассчитанные в приближении ОМП [10] и ГНМП. Там же приведены экспериментальные данные по рассеянию нейтронов на колебаниях решетки магния [11]. Видно, что модель ГНМП дает результаты более близкие к эксперименту,
Таблица 2 Частоты фононов в магнии в Г-, М- и А-точжах
симметрии, рассчитанные в двух моделях (ОМП и ГНМП), и экспериментальные данные
Точки симметрии и (ОМП-модель), ТГц и (ГНМП-модель), ТГц и (эксперимент), ТГц [11]
г5+ 3.78 3.66 3.70
г3+ 8.10 7.79 7.30
м+ 7.63 7.34 6.88
Щ 7.28 7.06 6.58
М+ 3.73 3.65 3.70
5.66 5.56 5.45
м+ 4.26 4.06 4.15
Щ 6.52 6.32 6.12
А3 2.78 2.76 2.94
А, 5.73 5.58 5.20
чем модель ОМП. Полученные результаты говорят о перспективности использования предложенной модели ГНМП для анализа атомных свойств простых металлов.
Приложение
Формфактор ГНМП неэкранированного иона представляется в виде суммы локальной и нелокальной частей потенциала:
V'0" (к, к + д; Ек) = В(ч) + Е(к, к + д; Ек).
(П1)
Разбивая локальную часть потенциала В(ц) на сумму двух членов: одного, имеющего аналитический вид, и другого в виде интеграла, берущегося лишь численно, представляем ее в виде суммы
47Г2
где
Вх{ц) = \+С
ТТ/?
т-Х2[^(Х), в2 = х
21211Г
БШ I
(1 + *2)
12
(П2)
Л,
Л" = ЦКт,
'(X) — многочлен 10-го порядка, умноженный на (он будет определен ниже). С учетом выражения
А1(Е) = А1(ЕР)-
йА№
йЕ
(Ек-Ер)
нелокальную часть формфактора ГНМП Е(к, й + Ц',Ек) разбиваем на сумму двух частей — энергонезависящей и энергозависящей:
Е(к, к + ч; Ек) = Е0(к, к + ч)+Е{(к,к + ц. Ек), (ПЗ)
где
Е0(к,к + Ч) =
4ттЯ1 П
£[2/ + 1] [МЕР) - СЩ(к, к + Ч)Р1(соз 0);
1=0
4тг/?3 Л.
Ех(к,к + ц]Ек) = —1^2» ^[2/■
1=0
П
\diME))
йЕ
х(Ек-ЕрЩ(к,к + Ч)Щсоьв),
0 — угол между векторами £ и к + ц, Ер — энергия электрона на уровне Ферми, отсчитанная от дна зоны проводимости металла [2]. Вводя обозначения Ь = \к + ц\ • Ят, а = \к\ ■ Ят, Я = Ь - а, 5 = Ь + а, приходим к следующим интегралам, которые берутся аналитически:
А (к,к + ч) = -
¡¡(МЩЫ)
(1 + *2)
12
Г2 Л.
(П4)
Здесь ji(x) — сферические функции Бесселя /-го порядка
7Г
А)(М + ?) = — (/°(Л) -/°(S))-212ll!>
Dx(k,k + q)
2 (abf
х \(fl(S) + abf(S))^(fl(R) + abf(R))' Ж
21211!'
3_
2(ab)3
2/C\ I „Afl/CW (f2(D\ „Afl/
D2(k,k + q) = -3 x
х (/ (5) + аЬ!1 (5)) - (/2(Я) - ай/1 (Л)) КЩТТТ +
I 1 ¿1£-11!
+ Д)(М + <2').
где ¡^{(Х),[°(Х),[{(Х),[2(Х) — многочлены соответственно порядка 10, 11, 12, 13, умноженные на , которые можно вычислить по формулам
I (х> = ~о]~сп~—~е .
/=0 10
2/ 11 (11 — 1)!
У ' ri +
1=0 12
2i (10 — 1)!
fl(X) = £
1=о
2i 11 (12 — 1)!
/=о
2i 11 (13 — 1)!
В явном виде / '(X), f°(X), f{(X), f2(X) вычисляются по формулам
f°(X) = {хп + 66х10 + 2145х9 + 45045х8 + 675675х7 + + 7567560х6 + 64324260х5 + 413513100х4 + + 1964187225х3 + 6547290750х2 + 13749310575х +
+13749310575), fx(X) = е-х(х12 + 78хп + ЗООЗх10 + 75075х9 +
+ 1351350х8 + 18378360х7 + 192972780х6 +
+ 1571349780х5 + 9820936125х4 + 45831035250х3 + + 151242416325х2 + 316234143225х + 316234143225), f2(X) = е~х(х13 + 91х12 + 4095хп + 120120хш + + 2552550х9 + 4135131Ох8 + 523783260х7 + + 5237832600х6 + 41247931725х5 + 252070693875х4 + + 1159525191825х3 + 3794809718700х2 +
+ 7905853580625х + 7905853580625).
Подставив (П2) в (2), (4), (ПЗ) в (5) и интегрируя в соответствии с (7)—(9), мы получаем значения формфактора экранированного иона (10) и характеристическую функцию ГНМП (1).
Литература
1. Крисько О.В., Салонов В.М., Скоробогатова Т.В., Бокарев В.П. 11 Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2006. № 1. с. 76 (Moscow University Phys. Bull. 2006. N 1. P. 100).
2. Крисько О.В., Салонов В.М., Скоробогатова Т.В., Бокарев В.П. 11 Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон.
2006. № 5. С. 53 (Moscow University Phys. Bull. 2006. N 5. P. 56).
3. Крисько О.В., Силонов В.М., Скоробогатова Т.В., Бокарев В.П. 11 Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон.
2007. № 2. С. 30.
4. Dagens L. // J. Phys. F: Metal Phys. 1977. 7. P. 1167.
5. Show R.W. Jr. 11 J. Phys. C. 1970. 3. P. 1140.
6. Силонов B.M. Введение в микроскопическую теорию твердых растворов. М., 2005.
7. Хейне В., Коэн М., Уэйр Д. Теория псевдопотенциала. М„ 1973.
8. Харрисон У. Псевдопотенциалы в теории металлов. М„ 1968.
9. Shaw R.W. 11 Phys. Rev. 1968. 174, N 3. P. 769.
10. Shaw R.W., Pynn R. 11 J. Phys. C. Ser. 2. 1969. 2. P. 2071.
11. Pynn R., Squires G.L. Neutron Inelastic Scattering. 1. Vienna, 1968.
Поступила в редакцию 10.10.06
