Модельные псевдопотенциалы ионов простых металлов в конденсированном состоянии Текст научной статьи по специальности «Физика»

108

МОДЕЛЬНЫЕ ПСЕВДОПОТЕНЦИАЛЫ ИОНОВ ПРОСТЫХ МЕТАЛЛОВ В КОНДЕНСИРОВАННОМ СОСТОЯНИИ

1Крисько О.В., 2Силонов В.М., 3Скоробогатова Т.В.

владимирский государственный университет, факультет физики и прикладной математики, http://www.vlsu.ru 600000, г. Владимир, Россия

^Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова, физический факультет, http://wwwmsu.ru 119991 Москва, Россия

3Московский государственный технический университет гражданской авиации, факультет авиационных систем и комплексов, http://www.mstuca.ru 125993 Москва, Россия

Поступила в редакцию 10.4.2012

Предложен новый метод вычисления кристаллических параметров гладкого нелокального модельного потенциала (ГНМП) простых металлов. Энергия Ферми электронов в кристалле отсчитывалась от энергии разделенных электронов и ионов. Параметр, описывающий взаимодействие псевдопотенциала иона с псевдоволновой функцией кристалла был введен в теоретическое выражение для энергии Ферми электронов проводимости. Значения параметров ГНМП получали исходя из требования максимальной близости теоретических значений зависимостей энергий связи в кристаллическом состоянии от объема (во втором порядке относительно объема) к зависимостям, известным из эксперимента. Значения кристаллических параметров ГНМП одиннадцати простых металлов были получены с помощью линейной экстраполяции значений параметров ГНМП свободных ионов к энергии Ферми электронов проводимости. При вычислении кристаллических параметров ГНМП использовались зависящие от энергии параметры ГНМП свободных ионов [9]. Вычислены некоторые физические свойства одиннадцати простых металлов - энергия связи, равновесный объем, объемные модули упругости. Сравнение с расчетами в других моделях и данными эксперимента показало удовлетворительное согласие экспериментальных и теоретических данных. Предлагаемый ГНМП простых металлов может использоваться при моделировании физических свойств металлов и сплавов в зависимости от изменения атомного объема в кристалле.

Ключевые слова: модельные псевдопотенциалы, гладкие нелокальные модельные потенциалы, физические свойства простых металлов

УДК 539.1:536.4 PACS 61.00.00; 61.10_______

Содержание

1. Введение (108)

2. Энергия Ферми почти свободных электронов металла в кристаллическом состоянии (109)

3. Энергия связи (111)

4. Зависимость энергии связи от атомного объема (115)

5. Методика получения параметров гнмп для простых металлов (117)

6. Формфактор гнмп неэкранированного иона металла (119)

7. Интегралы формфактора неэкранированного гнмп (120)

8. Экранированный формфактор гнмп простых металлов (121)

9. Сравнение с расчетами в других моделях и данными эксперимента (122)

10. Заключение (123)

Литература (123)

1. ВВЕДЕНИЕ

Физические и химические свойства веществ, находящихся в конденсированном состоянии в значительной степени определяются свойствами отдельных атомов и ионов. Для металлов и сплавов существенным является взаимодействие валентных электронов с ионами. Это взаимодействие несколько отличается от взаимодействия валентных электронов и ионов в свободном атоме. Изучение этого взаимодействия, а так же характеризующих это взаимодействие параметров позволяет построить достаточно строгую теорию межчастичного взаимодействия в металлах и сплавах в конденсированном состоянии. Это было показано в классических работах по теории псевдопотенциалов [1, 2]. Один из подходов, который вызвал во второй половине прошлого столетия небывалый интерес, был метод модельных псевдопотенциалов, параметры которых определялись из известных значений термов

2 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

модельные псевдопотенциалы 109 ионов простых металов

свободных ионов, полученных экспериментально из спектроскопических данных [3, 4]. Анималу и Шоу [5-8] обобщили метод модельного потенциала Хейне-Абаренкова, и применили его для расчета физических свойств металлов. Однако зависимости этих псевдопотенциалов от межатомного расстояния имели особенности, что приводило к нефизическим осцилляциям их формфакторов. В [9] был предложен гладкий нелокальный модельный потенциал простых металлов (ГНМП), параметры которого получали из известных спектроскопических данных. Этот потенциал не имеет особенностей в прямом пространстве и, как следствие, характеризуется отсутствием нефизических осцилляций его формфактора. В [10] была предложена методика получения параметров подобного потенциала для случая изолированных ионов. Там же было показано, что для простых металлов параметры ГНМП A (E) линейно зависят от энергии валентного электрона E .

В настоящей работе предложен алгоритм расчета параметров ГНМП простых металлов в конденсированном состоянии в зависимости от объема, приходящегося на атом. Расчет параметров ГНМП At проводился с использованием всего одного подгоночного параметра. При этом учитывалась связь подгоночного параметра с равновесным объемом, энергией связи и объемным модулем упругости. Для ГНМП предложена методика расчета экранирующего потенциала. Проведено сравнение формфакторов простых металлов в моделях ГНМП, Шоу [8] и Вандербильдта [11]. Выявлено заметное различие в поведении формфакторов модельных потенциалов ГНМП и Шоу в области векторов рассеяния с q ^ 2Kp, проявляющееся в плавном уменьшении значений формфакторов ГНМП с ростом модуля вектора рассеяния q. Проведен расчет энергий связи, равновесных объемов, объемных модулей сжатия одиннадцати простых металлов.

2. ЭНЕРГИЯ ФЕРМИ ПОЧТИ СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ МЕТАЛЛА В КРИСТАЛЛИЧЕСКОМ СОСТОЯНИИ

При расчетах параметров Ае(ЕрГ)

кристаллического псевдопотенциала иона необходимо знать E — энергию электрона на уровне Ферми в кристалле относительно энергии системы разделенных ионов и электронов (т.е. энергию Ферми в абсолютной шкале). Свойство линейной зависимости A. (E) иона от энергии валентного электрона дает возможность получить значения кристаллических параметров A€(EJ ГНМП, если известны хотя бы два значения Ae(E) иона при заданных значениях энергии. Зная значения этих энергий и соответствующих им параметров A (E), мы

можем экстраполировать значения A (E) к энергии Ферми металла, то есть к Epr.

Для отдельного иона в металле, уравнение Шредингера в операторной форме для псевдоволновой функции может быть записано в виде [1, 3]

v2+(r+z). +(v+z)

2m v ',on v Jn

yps = eyps,

(1)

где V— оператор псевдопотенциала иона, X — нелокальный массовый оператор, связанный с учетом обмена и корреляции электронов, (V + Е) — оператор потенциала

иона с учетом обменно-корреляционного взаимодействия электронов остова с валентным электроном, (V + Е) — оператор потенциала всей остальной части системы, то есть других ионов и электронов проводимости, включая корреляцию и обменное взаимодействие. Если в (1) перенести (V + X)rest в правую часть уравнения, то получаем выражение, аналогичное уравнению, которое решалось при вычислении параметров A(E) для изолированного иона [5, 9, 10]

h

—v2 +(v+z)

2m

V = =ls~(v+^L, •

Уравнение Шредингера (2) для

(2)

кристалла

отличается от уравнения (1) для отдельного иона, тем, что Wps — волновая функция валентного электрона в кристалле, а энергия электрона равна не значению энергии терма свободного иона, а равна энергии электрона на уровне Ферми в кристалле в абсолютной шкале:

Е,„ =£Г-Д' |((V+Л„„ ЦЦ (3)

Энергию E можно рассматривать как параметр при определении A€(E J, если предположить, что

внутри атомной ячейки |((V + Z)reri)|vps^ —

является независящей от r константой. Практически |((V + Z)rej()|vp^ в случае ГНМП сложным

образом зависит от г. В [5] |((V + Т.)геР )|фр^

была заменена на ее средневзвешенное значение внутри сферы с модельным радиусом При этом предполагалось, что такая замена не повлияет на точность определяемых значений A (E ) на уровне Ферми, поскольку сами A слабо зависят от энергии

[3, 4].

В [5] было предложено вычислять значения E в простейшем приближении. Была рассмотрена модель свободного электронного газа в кристалле в нулевом приближении по псевдопотенциалу (пустая решетка). Энергия электронов с учетом эффектов обмена и корреляций записывалась в виде

Ек = 1 к2-Т(к), (4)

где E(k) — добавочное слагаемое в энергию

квазиэлектрона, обусловленное обменом и

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 2

110 Крисько О.В., Силонов В.М., Скоробогатова Т.В.

ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

корреляцией в газе свободных электронов. Тогда энергия Ферми электрона, отсчитанная от дна зоны проводимости, имеет вид

EF 0 2 + EXC ,

(5)

где р = —T(kp) — вклад в энергию электрона на уровне Ферми за счет обмена и корреляции, kp — радиус сферы Ферми.

Для вычисления полной энергии системы электронов относительно уровня разделенных электронов и ионов следует просуммировать (4) по всем занятым состояниям. В результате, в расчете на один электрон получим среднюю кинетическую энергию электронов плюс энергию обмена и корреляции газа электронов за минусом электростатической энергии самодействия электронного газа (энергии однородной отрицательно заряженной сферы), которая учитывается дважды при суммировании одноэлектронных состояний в (4). В итоге

E = 6 у-(О + Ек

■ (Ry),

(6)

где

1.2Z

R„

(Ry),

—энергия самодействия однородной отрицательно заряженной сферы с радиусом R EXC —

энергия обмена и корреляции электронов в зоне проводимости. Поэтому отсчитанная от состояния разделенных электронов и ионов в нулевом приближении по потенциалу абсолютная энергия фермиевских электронов в расчете на один электрон проводимости в кристалле имеет вид [5]

EF,cr = EF 0 - (| Eion | + | Esb | + (Ek)) , (7)

где | E | - абсолютное значение энергии ионизации, приходящейся на один электрон, | E | - абсолютное значение энергии связи в кристалле. Энергия обмена и корреляции Ехс рассчитывалась с использованием известного выражения

EXC = Ex + EC = 0,916 + [-0,115 + 0,031/nr ]

XC X C rs L sJ, (8)

-1

где rs = Z 3Ra, EX, EC - энергии обмена и корреляции соответственно.

При вычислении параметра Epr (3) необходимо также оценить вклад в Epr от (V + T)rest - энергии, обусловленной взаимодействием электрона проводимости с электронами, находящимися в той же самой ячейке, в которой находится рассматриваемый ион. Электроны и ионы в других ячейках дают фактически нулевой потенциал, так как ячейки являются электрически нейтральными. В случае однородной плотности электронов проводимости и нулевом вкладе других ячеек в [4] предполагалось, что на уровне Ферми

tyrest )| Ef MxC . (9)

V в данном приближении содержит только вклад от однородного электронного газа, заключенного в сфере радиуса Ra, и зависит от r

V =Z

rest r

3-

V Ra J

(Ry). (10)

В [4] зависящий от r потенциал V () заменялся на его средневзвешенное значение

f R ^ 2

3 - p

V a J

V =Z

R Л R (Ry), (11)

где p - параметр, характеризующий средневзвешенное значение V (r) внутри сферы радиусом R и было предложено выбирать его равным 3Л . Там же значение Eprr вычислялось с использованием выражения

EF,cr =SF -(V + 'E)rest =

= 4 у-(l Eon\ +1 Esb |)-EXC -(tyres) - tyee) ) • (Ry). (12)

Оценка различных слагаемых в это выражение показала, что вклад V (r) в Eprr в пять раз превышает вклад остальных слагаемых. Точность оценки средневзвешенного значения <V (r)> может заметно повлиять на значение E и на величину параметров A/Ep J.

В модели ГНМП отсутствует точно очерченная модельная сфера радиуса Rm . Поэтому невозможно использовать V (r) (11) для вычисления

параметров A (E J ГНМП. Отсутствие достаточно точной оценки E в модели ГНМП приводит к необходимости введения в определение <V (r)> подгоночного параметра - par

(Vres) = (14)

Значение параметра par можно выбирать не прямой подгонкой под экспериментальные значения какого-либо конкретного физического свойства металла, а с помощью процедуры, которая позволяет учесть зависимость энергии связи металла от объема. В модели ГНМП выражение энергии Epr можно записать в виде

4 k

Z

L2Z

EF,cr = 5 ^ (| E.on\ + |Eib|) EXC r Par r j • (15)

На рис. 1 приведена схематическая зависимость энергии валентной зоны от объема, приходящегося на атом в конденсированном состоянии для магния. Показано расщепление s и p состояний при изменении расстояния между ионами, то есть при изменении объема, приходящегося на атом. Энергии s и p состояний с уменьшением объема уменьшаются, вырождение уровней при увеличении взаимодействия между атомами снимается и образуются s и p зоны. Незаполненная 4p зона

2 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

модельные псевдопотенциалы 111 ионов простых металов

Рис. 1а. Схема «превращения» вырожденных S, P уровней энергии атомов металла в S и P зонах в зону проводимости приуменьшении значений П (пример для магния).

перекрывается с верхней заполненной зоной 4s. Они образуют зону проводимости металла. Внутри этой зоны располагается уровень Ферми электрона проводимости металла. На рисунке показаны изменения зоны проводимости и значений энергии Ферми в зависимости от значения Q для магния. Зависимость Epr от Q вычислялась по формулам (14, 15) с параметром par = 3.35. Из рис. 1 видно, что значительные изменения Epr в модели ГНМП наблюдаются в области 750 a.u. < Q < 160 a.u. Там же вертикальной штрихпунктирной линией показано равновесное значение Q при температуре близкой к температуре абсолютного нуля.

На рис. 2 приведен пример линейной экстраполяции параметра A(EJ) к кристаллической энергии Ферми для магния при Rm = 3.35 (a.u.).

Видно, что изменения параметров A(EЦ) кажутся незначительными. Однако в некоторых случаях роль этих изменений может стать существенной при расчете физических свойств металлов и сплавов. Из рис. 2 также видно, что наиболее значимая зависимость A(EЦ) от энергии наблюдается при I = 0. При I = 1 зависимость A(EJ менее значительна, а при I = 2 зависимость A(EJ от энергии практически отсутствует. Эти зависимости были рассчитаны по методике [9] .

Рис. 2. Пример экстраполяции при расчете параметров ГНМП Ag(EnJ в зависимости от \Епе \/Z2 для кристаллического

состояния. Кружки -1 = 0, квадраты -1 = 1, треугольники - I = 2.

3. ЭНЕРГИЯ СВЯЗИ

При образовании кристалла из разделенных ионов и электронов, валентные электроны должны быть захвачены ионами. На это уходит энергия ионизации валентных электронов, известная из спектроскопических данных. Эта энергия

— отрицательна. На следующем этапе атомы объединяются и образуют конденсированное состояние (кристаллическую, жидкую или аморфную фазы) за счет Е энергии связи (сублимации), которая для большинства элементов известна из эксперимента.

Рассмотрим расчет независящей от структуры части энергии связи металла в первом порядке теории возмущений по псевдопотенциалу. Основой расчетов является методика, описанная в [1, 2]. Она может быть вычислена в рамках модели системы положительно заряженных ионов и газа свободных валентных электронов (простые металлы). В энергию связи простого металла входят

- энергия электронного газа валентных электронов плюс электростатическая энергия взаимодействия положительно заряженных ионов и плюс энергия взаимодействия положительно заряженных ионов с электронным газом почти свободных электронов. Рассмотрим это приближение в модели ГНМП. Запишем энергию электронного газа в поле положительно заряженных ионов в первом порядке теории возмущений. В модели почти свободного электронного газа энергия валентного электрона в первом порядке по потенциалу имеет вид

Е (k) = v0 + - k2, (a.u.) (16)

где k - волновой вектор, k2/2 - кинетическая энергия валентного электрона в атомных единицах, vfJ- средний потенциал в системе, возникающий при внесении положительно заряженных ионов в газ свободных электронов с плотностью Z электронов на атом.

В модели ГНМП псевдопотенциал «голого» иона записывается в виде ' Z

(r) = -2 -(1 -в(r,Rm ))+£Л,в(r,Rm )P

_r I

где 9(r,R) - функция отсечения Ч r, Rm ) 1

щ

1 +

CR.

(17)

(18)

Полагая при I > 0 все значения параметров Ae(EPp) равными константе С, а саму константу

равной A2(EJ, и используя тождество 2р =1 , получим выражение для потенциала иона в виде суммы локальной и нелокальной частей

Vion ( r )= VL ( r )+ VNL ( r ) , (19)

где

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 2

112 Крисько О.В., Силонов В.М., Скоробогатова Т.В.

ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

V, (r) = - — -fC - — |$(r,R

(* )=о i

-21 C----\S(r,Rm)exp(iqr)

dr =

Vnl = S(A -CЖГ’Rm)' (20) =0i-2fC- —]&(r,Rm)

Тогда формфактор ГНМП можно представить как сумму локальной и нелокальной частей формфактора псевдопотенциала «голого» иона

sin

(*r)

4nr dr,

ion

где

(к,k + q) = vl (q) + vnl (к,k + q),

(21)

-2

vl (q)=—iLexp (-i (к+q)r)( vl (r)) exp (ikr )]dr m

=11 о J

Vs/ (r, Ra ) =

3Z

R

2—

r

i -1

3

fl?2

V Ra У

r < R„

r > R„

(Ry).

о v ' у *r (27)

где v1K(f) - кулоновский, а v1NK(r) - некулоновский вклады в локальную часть формфактора ГНМП.

Нелокальная часть ГНМП в прямом пространстве записывается следующим образом

Vnl (r) = -2Х(Л - C)S(r,Rm )P (Ry).

о 0

к,к + q) = (к + q|vNL (Г)|к)--

exp(-i(к + q)r)|-2Е(4 -CЩr,Rm)p}exp(ikr) dr-о 0 L l I=0 J _

Z - валентность иона с полностью заполненными электронными оболочками, P' - проекционный

оператор, r - межатомное расстояние, Rm - параметр, характеризующий радиус модельной сферы ГНМП (оба в атомных единицах).

К псевдопотенциалу «голого» иона (19) надо добавить v (г, RJ - потенциал электрона в поле однородного электронного газа в атомной ячейке, аппроксимируемой сферой атомного радиуса Ra. Этот потенциал положителен, так как соответствует энергии отталкивания одного валентного электрона отрицательно заряженной сферой с электронной плотностью Z/Q. Он записывается следующим образом

(28)

dr.

Ry (29)

. . (22) Тогда v0

электрона в первом приближении по ГНМП представляется в виде суммы <vin(r)> - среднего значения ГНМП голого иона и <ДгД)> - среднего значения потенциала однородного электронного газа в сфере радиуса Ra

v0 = (vion (r )) + [Vsf (r, Ra )} . (23)

Псевдопотенциал v.(r) запишем в виде суммы локальной и нелокальной частей

vion (r )= vL (r )+ vNL (r ) . (24)

В локальной части ГНМП можно выделить кулоновский и некулоновский вклады

vL (r)= vLK (r)+ vLNK (r) = -2rZ- 2{c - ~Z У ^(r, Rm ) R)- (25)

где v1K(r) - кулоновский вклад, а v1NK(r) - некулоновский. Фурье образ v(r) соответственно равен

vl (q ) = vlk (q)+vlnk (q) > (26)

v“(q ) = - 0f( Ry)■

Ее формфактор имеет вид

vn (к -к + q ) = (к + q| vn (r )|k) =

= "1 i exP (-i (к + q) r )|-2^( A - C )9(r,Rm ) pJ exp (ikr) i

Из (22, 26, 27) потенциальную часть энергии связи, отсчитанную от энергии состояния разделенных ионов и валентных электронов в первом порядке теории возмущений, запишем в виде

V0 - I Eion\ = (VLK) + (VLNk) + (VNL) + {Vsf ) , (30)

где | E | - модуль средней энергии ионизации Z валентных электронов (энергии на один электрон). В правой части выражения (30) опущены аргументы функций в угловых скобках, так как входящие в него потенциалы могут быть заданы в различных представлениях. Если потенциалы заданы в прямом пространстве, то угловые скобки в (30) означают усреднение по сфере радиусом R так как вне сферы радиуса Ra потенциал (19) практически компенсирует псевдопотенциал (22). В результате в прямом пространстве достаточно усреднения внутри сферы радиуса R-a. Если потенциалы заданы в обратном пространстве, то угловые скобки означают суммирование по занятым электронным состояниям свободного электронного газа. Средние значения потенциалов можно вычислять как в прямом, так и в обратном пространствах. Обозначим любое из слагаемых потенциальной части энергии связи в (30) как -F(k), если оно зависит от k, и как F(r) если оно зависит от г. При вычислении энергии в обратном пространстве необходимо просуммировать слагаемые в (30) по всем занятым состояниям, то есть по всем к < к-Известно, что в этом случае суммирование можно заменить интегрированием

F=—Е F (k)=П—*i (F (k))4П 2л -

£ k<kF on Zu 0

(31)

= — R. В прямом пространстве среднее значение потенциальной энергии вычисляется с помощью выражения

где

(F) = — i (F (r)) 4nr2dr.

о

(32)

v

R

2 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

модельные псевдопотенциалы 113 ионов простых металов

При использовании выражения для энергии валентного электрона в ион-электронной системе в виде суммы потенциальной и кинетической энергий электрона (18) среднее значение энергии связи в первом порядке по ГНМП (18) можно получить, комбинируя расчеты слагаемых в (18, 30) в прямом и обратном пространствах. В нашем случае среднюю кинетическую энергию свободного электронного газа, приходящуюся на один валентный электрон, получаем суммированием по всем занятым состояниям (30)

2Q

I /1 УТТ- /-/ /г Li

■ (R)

E,

.. = - у *1 = 2

kin гу

Z k<kF 2

8П Z

k 2

f — 4nk 2dk = - Ef .. J 2 5 F (

(33)

Среднее значение v(r, RJ внутри равномерно заряженной сферы радиусом R с электронной плотностью Z/Q вычисляется в прямом пространстве

' sf ' Q { sf[ a’ Ra 5Ra (34)

При вычислении <v(r, Ra)> мы дважды учитывали взаимодействие электрона с самим собой. Поэтому из среднего значения энергии <v(r, Ra)> необходимо вычесть энергию самодействия электронов (то есть энергию взаимодействия электрона с самим собой)

(О = Vf ( r ) r 2 dr = V-2z (Ry ) ■

1.2Z

2 Q R,'" (35)

Среднее значение v^r) - энергии приходящийся на один валентный электрон, вычисляется в прямом пространстве

■(r)>=f](-Дr2dr=-R (Ry). (36)

Среднее значение vUK(t) - энергии приходящийся на один валентный электрон вычисляется в обратном пространстве и может быть выражено через формфактор локальной части ГНМП (26) минус Фурье образ кулоновского потенциала иона с зарядом +Z

'VLNK> = lim ((к + я\ VLNK (r ) I Ь)) =

q^Q

f

= lim

q^Q

/ ч 8nZ VL(q )+^-r

Qq

(Ry)

(37)

Формулы расчета v (k, k + q) в модели ГНМП приведены ниже. Вклад энергий обмена и корреляций рассчитывался с использованием (8).

В итоге в расчете на один валентный электрон выражение энергии связи в первом порядке теории возмущений записывается в виде

Esb,Q + Eion = Ekin + Eex,cr + {Vsf (r, Ra )-

- (Vee) + {VLK (r)} + {VLNK (r )} + (k | VNL (r ) | k) ■ (40)

Здесь Ела - теоретическое значение энергии связи без учета структуры металла, но с учетом объема, приходящегося на атом.

Следует рассмотреть отдельно сумму трех слагаемых 3-го, 4-го и 5-го в правой части равенства (40). Как вытекает из (34-36)

-Ы + (Vsf ( r, Ra )) + {VLK (r)} = -53Z - 1,2 Z = -1,8 Z (Ry )■ (41)

Энергия однородно заряженной сферы (34), минус энергия самодействия (35) в сумме с энергией кулоновской части (36) ГНМП дают энергию электростатического взаимодействия иона с зарядом Z c электронами проводимости в металле. Ее можно получить как сумму энергии взаимодействия точечного положительного заряда Z с электронами, равномерно распределенными в сфере радиуса R с плотностью Z/Q (отрицательная энергия) плюс энергия однородно зараженной сферы радиусом R Т.е.

Е„

Z V Z

1.8Z .

Z Л-(о)Ы)4nr ldr+<V2 = -ir(Ry)

R

(42)

часть

q ^ 4Qr у

Е - независящая от структуры электростатической энергии, приходящейся на один электрон [1, 7]. В итоге получаем выражение для независящей от структуры части энергии связи Е (40, 41)

Z

Еsb,Q =-Eon + Ehn + Eex,cr - + Vnloc ,

Ra

или

(VLNK ) = Q f -2 ( C - ^) ^ (r, Rm ) 4пГ 2 dr (Ry ) ■ (38)

Осталось получить выражение для нелокальной части ГНМП. Так как она содержит проекционный оператор, ее среднее значение можно рассчитать только в обратном пространстве. Среднее значение vNK(r) энергии, приходящейся на электрон и обусловленной нелокальной частью ГНМП, вычисляется в обратном пространстве через формфактор нелокальной части ГНМП при стремлении вектора рассеяния к нулю:

(vnl) = Zy(к\VNL (r)|к) =1 Пт(VNL (к,к + q)) (Ry).

(43)

где Vnloc = \ VLNK (r ))+(к I VNL (r ) I к) - вклад

некулоновской и нелокальной части ГНМП в энергию связи в первом порядке по псевдопотенциалу.

В энергию связи системы положительно заряженных ионов и почти свободных электронов для случая простых металлов кроме (43) входит часть, зависящая от структуры

Esb,teor = Esb,Q + Esb,str. (44)

Она представляет собой сумму двух членов

(45)

Е = e + e

^~Jsb,str ^~Jes,str ^~Jbs,str}

где E

зависящая от структуры часть

Z q^qV

(39)

электростатической энергии [1, 2]. Независящая от структуры часть электростатической энергии системы

(42) Es,o уже включена в Ефа-

Характеристическая функция F (q) характеризует

косвенное двухчастичное взаимодействие ионов друг с другом через газ почти свободных электронов. Наглядно это можно представить следующим

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 2

114 Крисько О.В., Силонов В.М., Скоробогатова Т.В.

ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

образом. Нулем отсчета будем считать энергию системы точечных положительных зарядов, окруженных отрицательным газом равномерно распределенных электронов с заданной плотностью. Внесенный в газ электронов положительный заряд вызывает возмущение, изменяя их закон дисперсии. При этом плотность электронов перестает быть однородной. Возмущение в газе свободных электронов в свою очередь приводит к изменению взаимодействия электронов с ионами. Именно поэтому такое взаимодействие называется косвенным. Оно характеризует взаимодействие вида ион —— газ свободных электронов —— ион и зависит от электронной структуры зоны проводимости. Существует связь между характеристической функцией и двухчастичным потенциалом косвенного взаимодействия ионов металла, которую можно выразить следующим образом [1, 2]:

Fbs (r )

2Q

(П

j Fbs (q) exP (w)dq =

2Q

r , s sin (qr) _

j Fbs (q)--— 4nq dq.

(2n)JJ„ “w qr (46)

Используя (46), можно рассчитать обусловленную косвенным взаимодействием и приходящуюся на один атом энергию зонной структуры кристалла [1, 2]

1 N

Ebs = 2N5Fbs (lГ'!)>

(47)

где г - радиус-вектор атомов в кристалле относительно произвольно выбранного атома, i - индекс координат атомов в кристалле, N - число атомов в кристалле. Множитель - одна вторая - появляется в (47), чтобы не учитывать дважды энергию взаимодействия двух атомов. В обратном пространстве

1 N ( ^

E' = 2N 5 ^(q) eXP (fqr')) (48)

Так как

1N

—5 exp (iqr )=S (G )s( q- G) -

N =1

и поменяв порядок суммирования в (48), получаем вклад в энергию связи за счет косвенного взаимодействия, записанный через характеристическую функцию металла 1 f^ „ /I „|\ I „ / „ч|2^

E

2l5Fb,(lGl)lS(G)l(49)

где G - вектор обратной решетки и |S(G)| - модуль структурного фактора. В случае ГНМП выражение характеристической функции приведено в [12].

Кроме зонного вклада в структурно-зависящую энергию кристалла необходимо учесть структурную часть электростатической энергии положительно заряженных точечных ионов в газе равномерно распределенных электронов Es. При расчете этой

энергии возникают сложности с вычислением решеточных сумм, которые сходятся условно, а не абсолютно [1]. Приведем выражения, по которым на практике можно рассчитывать электростатический вклад в структурную часть электростатической энергии. Полную электростатическую энергию металла в расчете на атом можно записать в виде

1 2Z2

Ees = Ees.str + Ees.Q = R) - (50)

где a - геометрический фактор, характеризующий структуру (a со знаком минус принято называть постоянной Маделунга). Постоянная Маделунга a для металла, вычисленная по методу Эвальда-Фукса, учитывает как зависящий от структуры вклад в электростатическую энергию E ^, так и независящий от структуры вклад E;hQ. Этот независящий от структуры вклад в энергию, то есть энергия единичного точечного иона, окруженного сферой компенсирующего заряда, учитывается в определении постоянной Маделунга. Структурнонезависящий вклад электростатической энергии (в расчете на один валентный электрон) равен (42)

18 (Ry).

Ees. Q

R

Полная электростатическая энергия металла рассчитывается с использованием выражения [1]

E„ =- Z1

exp

S (G)

4z + 25-

>(-Rrn

2n

pQ

(Ry)

. (51)

При практическом использовании (51) первое слагаемое в фигурных скобках вычисляется численным суммированием по векторам обратной решетки. Суммирование ограничено определенным Gmx -значением максимального модуля векторов обратной решетки. Параллельно варьируется значение параметра г]. Выражение (51) считается вычисленным с заданной точностью, если при изменении предела суммирования Gmx в 1.5 раза результирующее значение Es изменяется лишь в переделах заданной точности. Это означает, что найдено такое п, при котором вклад в энергию за счет суммирования в прямом пространстве в (51) пренебрежимо мал. При правильно выбранных значениях п и Gmx структурная часть электростатической энергии Es (50, 51) в расчете на один электрон записывается в виде

1 8п

esar = 2 Q

-- I

4Ц j

S G)

2п 1.8Z

П nQ Ra

(Ry).

(52)

Для простых металлов параметр п выбирался равным 0.7, а Gmx= 12(2п/а), где а - постоянная решетки. Проверкой правильности расчетов на практике может служить вычисление постоянной

exp

2 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

модельные псевдопотенциалы 115 ионов простых металов

Таблица 1

Значения параметров A(EF) ГНМП в зависимости от Q для Li, Al и Ba (все значения приведены в атомных единицах)

Li Al Ba

Q 4EFr) aaef ) 1' Far' A?EFr) Q AE A(Ef ) Д F cr A?EFr) Q AE A(Ef ) Д F cr A?EFr)

130 -0.609 0.858 1.895 100 -2.526 -1.236 3.406 390 -1.886 -7.57 4.945

135 -0.613 0.860 1.887 105 -2.539 -1.242 3.414 400 -1.904 -7.583 4.940

140 -0.616 0.862 1.880 110 -2.551 -1.248 3.421 410 -1.922 -7.595 4.935

145 -0.619 0.863 1.874 115 -2.562 -1.254 3.428 420 -1.939 -7.607 4.930

150 -0.622 0.865 1.867 120 -2.573 -1.259 3.435 430 -1.955 -7.619 4.925

155 -0.624 0.866 1.861 125 -2.583 -1.264 3.441 440 -1.971 -7.631 4.921

Маделунга для некоторых типичных для металлов структур. Из (51, 52) можно получить

(

а = -R

4п „

"О- £

exp

G2

4ц

G2

S (G)

Л

п

цО

в v

В результате энергия связи простого металла в расчете на один электрон во втором порядке теории возмущения по псевдопотенциалу имеет вид

Esb,teor К\ + Ekin + Eex,cr 1,8 r ^ Vnloc + Ees,str + Ebs,str 5 (53)

где | Etm | экспериментально известная энергия

ионизации на один валентный электрон, Ekn - средняя кинетическая энергия валентного электрона (33), Е - энергия обмена и корреляции электронного газа (39), -T8(Z/R) - независящая от структуры средняя электростатическая энергия системы положительно заряженных ионов и электронного газа в расчете на один валентный электрон, v hk -вклад некулоновской и нелокальной части ГНМП в энергию связи в первом порядке по потенциалу (38,

39, 43).

4. ЗАВИСИМОСТЬ ЭНЕРГИИ СВЯЗИ ОТ АТОМНОГО ОБЪЕМА

Оценим вклады различных слагаемых (53) для некоторых металлов в модели ГНМП в зависимости от величины объема приходящегося на один атом. Ниже приведены таблицы различных вкладов (в модели ГНМП) в энергию связи решетки в ридбергах в зависимости от объема, приходящегося на один атом для Ei, AI и Ba . Там же приведены

экспериментальные значения энергии связи при температурах близких к температуре абсолютного нуля [19]. Расчеты проводились с параметрами модели для Ei - par =5, для Al - par =3.6, для Ba - par = 4.7. Значения кристаллических параметров Ae(EpJ в зависимости от величины атомных объемов Q приведены в таблице 1.

Видно, что параметры Ае(Е^) изменяются достаточно слабо с изменением атомного объема. Этим объясняется успешное использование простых локальных модельных потенциалов при расчете некоторых физических свойств простых металлов и сплавов, зависящих от изменения атомного объема. Однако не всегда можно пренебречь изменением параметров модельного потенциала при изменении атомного объема, а следовательно, и изменением плотности электронов проводимости. Модель ГНМП обладает свойством «трансферабельности», то есть в ней учитываются изменения в параметрах модельного потенциала при изменении электронного окружения ионов. Можно выяснить, используя ГНМП, при вычислении каких свойств металлов и сплавов важно учитывать свойство «трансферабельности». Для этого необходимо получить характеристики физических свойств в двух приближениях. Первое - провести расчеты при фиксированных значениях параметров ГНМП и второе -учесть зависимость параметров от изменения плотности валентных электронов. Сравнивая два приближения, можно будет выяснить степень

Таблица2а

значения различных вкладов в энергию связи Li в модели гНМП в зависимости от атомного объема (объем дан в атомных единицах, энергия в ридбергах на один валентный электрон)

Q Esb,exD Esb,teor EJ Esb,d Esb,str Ekin Ees,d Eex.cr Encul

130 -0.1332 0.3960 -0.1187 -0.0145 0.2238 -0.5728 -0.3710 0.2053

135 -0.1334 0.3960 -0.1196 -0.0137 0.2182 -0.5656 -0.3670 0.1987

140 -0.1334 0.3960 -0.1203 -0.0130 0.2130 -0.5588 -0.3631 0.1926

145 -0.121 -0.1332 0.3960 -0.1208 -0.0124 0.2081 -0.5523 -0.3594 0.1868

150 -0.1329 0.3960 -0.1212 -0.0118 0.2034 -0.5461 -0.3559 0.1814

155 -0.1326 0.3960 -0.1214 -0.0112 0.1990 -0.5402 -0.3526 0.1764

160 -0.1321 0.3960 -0.1214 -0.0106 0.1948 -0.5345 -0.3493 0.1715

РЭНсиТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 2

116 Крисько О.В., Силонов В.М., Скоробогатова Т.В.

ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

Таблица2б

Значения различных вкладов в энергию связи Al в модели ГНМП в зависимости от атомного объема (объем дан в атомных единицах, энергия в ридбергах на один валентный электрон)

Q E h sh exn Esh teor IE 1 EshO Eh , sb str E„ kin E ex cr E , ncul

100 -0.0897 1.3050 -0.0589 -0.0309 0.5544 -1.8754 -0.5524 0.5094

105 -0.0911 1.3050 -0.0613 -0.0298 0.5367 -1.8451 -0.5445 0.4866

110 -0.082 -0.0917 1.3050 -0.0627 -0.0291 0.5203 -1.8167 -0.5370 0.4658

115 -0.0919 1.3050 -0.0632 -0.0287 0.5051 -1.7900 -0.5300 0.4467

120 -0.0917 1.3050 -0.0631 -0.0286 0.4910 -1.7648 -0.5234 0.4292

125 -0.0911 1.3050 -0.0624 -0.0288 0.4778 -1.7410 -0.5172 0.4130

То же для Ba

Таблица2в

Q E h sh exn Esh teor IE I I inn Esh 0 E , sb str E.. kin Ees 0 E ex cr E , ncul

390 -0.1248 0.5590 -0.0210 -0.1038 0.1708 -0.7943 -0.3299 0.3734

400 -0.1250 0.5590 -0.0237 -0.1012 0.1679 -0.7876 -0.3275 0.3645

410 -0.068 -0.1250 0.5590 -0.0262 -0.0987 0.1652 -0.7812 -0.3252 0.3560

420 -0.1249 0.5590 -0.0285 -0.0964 0.1625 -0.7749 -0.3230 0.3479

430 -0.1247 0.5590 -0.0305 -0.0942 0.1600 -0.7689 -0.3208 0.3401

440 -0.1244 0.5590 -0.0324 -0.0920 0.1576 -0.7630 -0.3187 0.3327

450 -0.1241 0.5590 -0.0340 -0.0900 0.1552 -0.7573 -0.3166 0.3256

460 -0.1236 0.5590 -0.0356 -0.0881 0.1530 -0.7518 -0.3146 0.3188

влияния «трансферабельности» на вычисление тех или иных физических характеристик металлов. Используя (53), запишем энергию связи в виде

E = E + E

sb, teor sb, Q sb, str

где

E

E

E

sb, Q es,Q sb, str

= \E \ + E + E

1 ion 1 kin t

= -1.8(Z/RJ,

= E + E ,

es,str bs,str

es,Q ncul,

и рассмотрим влияние различных вкладов на значения энергии связи.

В таблицах 2а-в и на рис. 3 приведены значения различных вкладов в энергию связи Li, Al и Вй в зависимости от объема, приходящегося на один атом. Из значений, приведенных в таблицах 2а-в, видно,

что отрицательный вклад в энергию связи вносят электростатическая энергия E (42), обменнокорреляционная энергия E (39) и структурная часть энергии связи E (45). Положительный вклад дают 2

Рис.3. Зависимости рассчитанных значений вкладов EsbQ и Ebbitr (модель ГНМП) в энергии связи E кристаллических решеток

в зависимости от значений атомных объемов для Li, Al и Вй на основе данных, приведенных в таблицах 2а-в.

кинетическая энергия электронов проводимости E (32) и некулоновская часть вклада первого порядка ГНМП в энергию связи E (43). Для лития основной вклад в энергию связи вносит структурно-независящая часть энергии E , вклад структурно-зависящей части на порядок меньше. Из рис. 3 и таблицы 2а видно, что для лития с ростом объема E уменьшается, а E - увеличивается.

Конкуренция этих двух процессов приводит к параболической зависимости энергии связи от объема в области равновесного объема при абсолютном нуле. Минимум параболы дает равновесное теоретическое значение объема металла лития при абсолютном нуле и заданном параметре par. Из таблиц 2а-в и рис.3 видно, что зависимость энергии связи металлов от Q имеет минимум, который соответствует равновесному объему, приходящемуся на атом, при абсолютном нуле. Из данных, приведенных в таблицах 2а-в и рис. 3 видно, что слагаемые энергии связи, отвечающие за объемно и структурно зависящие вклады в энергию в зависимости от Q, имеют конкурирующий характер. Вблизи объема, соответствующего равновесному объему Li, наблюдается минимум в зависимости E от Q, который близок к равновесному объему Li. При этом EsbQ убывает, а Esbtr возрастает, в зависимости от роста Q. Следует отметить, что для лития вклад структурно-зависящей энергии E на порядок меньше структурно-независящей энергии E . У алюминия тенденция зависимости E , „ и E , от Q по сравнению с литием сохраняется. Уменьшение E в сочетании с ростом E при росте Q приводит к минимуму энергии связи вблизи экспериментально

2 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНсиТ

ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

модельные псевдопотенциалы 117 ионов простых металов

известного равновесного значения Q для алюминия. В отличие от лития вклад структурно-зависящей части энергии E, в энергию связи алюминия

•L sb,str -L

увеличивается и имеет тот же порядок, что и вклад структурно-независящей части энергии E а- Для бария ситуация меняется значительно. Во-первых, теоретическое значение энергии связи, которое соответствует минимуму энергии связи в зависимости от объема, приходящегося на один атом, значительно отличается от экспериментальных значений. Во-вторых, вклад E в энергию связи в несколько раз выше вклада E в отличие от энергий в алюминии и литии. Аналогичное соотношение E , и E , „ по

sb, str sb, U

нашим расчетам наблюдается для кальция и стронция, что скорее всего объясняются близостью Дзоны к зоне проводимости в щелочноземельных металлах. Фактор близости Дзоны к зоне проводимости может быть учтен в рамках резонансного модельного псевдопотенциала, предложенного Дадженсом [14]. Учет резонансных эффектов позволил получить более точные значения энергии связи для кальция по сравнению с нерезонансным модельным потенциалом, что говорит о перспективности резонансной модели в теории псевдопотенциалов. Как показано в [15-17], последовательный учет s-d гибридизации в благородных и переходных металлах позволяет применять модельные псевдопотенциалы для анализа свойств не только простых металлов и сплавов.

5. МЕТОДИКА ПОЛУЧЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ГНМП ДЛЯ ПРОСТЫХ МЕТАЛЛОВ

В модели ГНМП была поставлена задача построить метод получения таких кристаллических параметров ГНМП, которые возможно использовать для оценки электронных и атомных физических свойств простых металлов и их сплавов. Одна из задач при построении ГНМП заключалась в учете изменения кристаллических параметров ГНМП при изменении Q в конденсированном состоянии. Если есть возможность учета этих изменений, то появляется возможность исследования поведения металла при различных давлениях, температурах, в твердых растворах и в различных конденсированных состояниях. Например, при вычислении удельного электросопротивления, сопротивления жидкого металла или остаточного электросопротивления разбавленных растворов обычно использовались параметры МП, полученные для металла в твердом состоянии при фиксированном объеме, соответствующем температуре абсолютного нуля. При этом очевидно, что при изменении плотности электронов в атомной ячейке металла, параметры модельного псевдопотенциала, который определяет

взаимодействие иона с валентными электронами, должны изменяться.

В [5] модельный радиус подбирался таким образом, чтобы экспериментальное значение энергии связи совпадало с теоретическими. Это была неявная подгонка параметров к эксперименту. Были и другие способы подгонки различных модельных псевдопотенциалов [1, 2, 8].

Метод расчета кристаллических параметров ГНМП основан на необходимости учета зависимости параметров ГНМП от объема Q. В случае учета этого фактора возможно применение ГНМП к анализу физических свойств металлов и сплавов в различных конденсированных состояниях, то есть при учете изменения плотности электронов. Это возможно реализовать при выборе неизвестного кристаллического параметра par таким образом, чтобы рассчитанная из экспериментальных данных зависимость энергии связи от объема была максимально близка к зависимости, полученной в теоретической модели ГНМП.

Зависимость энергии связи от объема можно выразить через объемный модуль упругости, разложив энергию связи в ряд Тейлора по объему вблизи равновесного объема Qg (до второго порядка по объему), приходящегося на атом в металле. В результате получается параболическая зависимость Esb(Q) от Q

Esb (Q) = Esb (Qo ) +

d2Esb (Q) 2d Q2

(Q-Qo )2-

(54)

Объемный модуль упругости B, который известен из экспериментов, можно выразить через вторую производную энергии связи [18]

B = Q

d2Esb (Q)

d Q2 (55)

В этом случае зависимость энергии связи от Q можно выразить через E (Q^, B и Q - равновесный объем, приходящийся на атом, которые известны из эксперимента

D

Ел (Q) = Ел (Qo)+ — (Q-Qo )2. (56)

В результате можно представить зависимость производной энергии связи по объему, приходящемуся на атом в металле, как линейную функцию объема Q через экспериментально известные значения B и Qg

Е ’

sb,exp

(Q) =

dE.

sb,exp

(Q) Bex

0,exp

dQ

Q

'0,exp

E

-(Q-Qo exp ).

(57)

С другой стороны, E'sb(Qg) можно выразить теоретически во втором порядке теории возмущения по псевдопотенциалу ГНМП, который зависит от кристаллического параметра par

E'b„or (Q;par )-■

^bteor (Q;Par ) = B (Q

d Q

r; pgr)

(Q-Qo ,teor ),

(58)

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 2

118 Крисько О.В., Силонов В.М., Скоробогатова Т.В.

ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

где

Esb,teor (Q;par) = -|Eio„\ + Еш (Q) -Eexpr (Q) + (UlNK (г;Q)} +

+ {k\UNl (г;0.;par)| к) + Ees,str (Q) + Ebs,str (Q РаГ) • (

В (59) используя (37а-б) можно представить среднюю энергию некулоновской локальной части ГНМП в виде функции, зависящей от атомного объема

(UlNK (г,Q) = ( Vink) , а с другой стороны используя (38) представить первый порядок нелокальной части ГНМП как функцию, зависящую от атомного объема и от параметра par (k| UNL (г; Q; par )| к} = (k| vNL (г )| к) • Параметр par влияет на значение Epr, отсчитанной от «энергии вакуума», которое, в свою очередь, определяет значения параметров A€(E J ГНМП для кристаллического состояния.

Существует определенный произвол в выборе параметра par. Можно сказать, что он является подгоночным параметром теории. Возникает вопрос, под какие физические свойства металла его подгонять. В данной работе предлагается подгонять его под значения E'b(Q0), поскольку нашей целью является построение такого потенциала, который можно было бы использовать для исследования тех физических свойств металлов, где значительную роль играет изменение объема, приходящегося на атом. Речь идет о фазовых переходах, жидких и аморфных состояниях, о сплавах. Для получения значений параметров par, которые в свою очередь определяют E и кристаллические параметры ГНМП, вычисляем вблизи экспериментально известного равновесного объема значения E^ (Q,par) в зависимости от Q для различных значений par, численно минимизируя функционал вида

Q0 +dQ

ф(par)= { [E'sb,exv (Q) - E'sb,teor (Q; par)JdQ

Qo-dQ \ /

В результате минимизации (60) были получены кристаллические значения Afl(EFJ, A?(EJ, A2(EJ параметров ГНМП одиннадцати простых металлов. Эти значения приведены в таблицах 3 и 4.

Таблица 3

Значения D0, Z, Rm одиннадцати простых металлов, которые использовались для получения кристаллических параметров

par и Ef/IZ2 ГНМП

(Rm и О даны в атомных единицах, а EFrlZ2 в ридбергах)

Эл-т Qo Z R par EFr/Z2

Li 144.9 1 4.0 4.72 -1.099

Na 254.4 1 3.93 3.05 -0.5307

K 481.4 1 4.9 3.13 -0.4686

Rb 587.9 1 5.2 2.83 -0.3889

Cs 743.5 1 5.6 3.25 -0.4397

Be 54.4 2 2.35 5.72 -0.9925

Mg 156.8 2 3.35 2.94 -0.3229

Ca 293.8 2 4.1 4.66 -0.4773

Sr 380.2 2 4.5 4.32 -0.4041

Ba 424.1 2 4.7 4.67 -0.4216

Al 111.3 3 3.0 3.55 -0.3189

Таблица 4

Значения кристаллических параметров ГНМП A(EFc) и dA((E)/dE одиннадцати простых металлов

(Aq(Efc), A^fJ, a2efj все в атомных единицах)

Эл-т (Aq(EF,3 A,(EfJ A(EfJ dA0(E)/dE dA,(E)/dE dA2(E)/dE

Li -0.657 0.883 1.790 -0,889 0,452 -1,962

Na -1.284 -0.926 4.077 -1,550 -1,555 -7,131

K -0.905 -1.678 3.808 -2,834 -4,724 -0,962

Rb -1.038 -1.941 3.729 -3,329 -6,576 -1,994

Cs -0.867 -1.872 1.356 -4.375 -10.246 4.471

Be -1.264 2.806 4.730 -2,187 0,482 -1,292

Mg -2.28 -1.467 3.087 -1,316 -0,729 -0,174

Ca -1.98 -3.322 4.493 -2.212 -1.718 2.679

Sr -1.786 -4.549 4.564 -2.729 -1.869 0.205

Ba -1.972 -7.631 4.921 -4.137 -2.971 -1.204

Al -2.585 -1.265 3.442 -1,227 -0,614 0,751

Значения кристаллических параметров ГНМП, приведенные в таблицах 3 и 4, могут использоваться для расчета электронных и атомных свойств простых металлов и их сплавов.

Сравнение теоретических и экспериментальных значений физических свойств позволяют оценить рамки применения тех приближений, которые применялись при расчете параметров ГНМП и при получении выражений, описывающих физические свойства металлов. Результаты расчетов энергий связи, равновесных объема и объемных модулей упругости одиннадцати простых металлов приведены в таблице 5. Там же приведены их экспериментальные значения [13].

На рис. 4 приведена графическая интерпретация приведенных в таблице 5 значений для десяти простых одно и двухвалентных металлов. Из таблицы 5 и рис. 4 видно, что рассчитанные значения параметров ГНМП позволяют получать близкие к экспериментальным рассчитанные значения равновесного объема и объемного модуля упругости. Хорошее совпадение теории с экспериментом наблюдается и при расчетах

Таблица 5

Экспериментальные и рассчитанные в модели ГНМП значения энергий связи, равновесных объемов и объемных модулей упругости 11 простых металлов

Эксперимент Теория

Эл-т Esb Ry Q, a.u. B, н/м2 Esb Ry Q, a.u. B, н/м2

Li -0.121 144.9 1.16E+10 -0.1334 138 1.19E+10

Na -0.083 254.5 6.80E+09 -0.0907 252 7.18E+09

K -0.069 481.4 3.20E+09 -0.0817 471 3.12E+09

Rb -0.063 587.9 3.10E+09 -0.0682 603 3.25E+09

Cs -0.061 743.5 2.00E+09 -0.0711 732 2.06E+09

Be -0.122 54.4 1.00E+11 -0.1463 60 1.49E+11

Mg -0.056 156.8 3.54E+10 -0.0605 150 3.54E+10

Ca -0.067 293.8 1.52E+10 -0.0998 278 2.02E+10

Sr -0.062 380.2 1.16E+10 -0.0926 365 1.24E+10

Ba -0.062 380.2 1.16E+10 -0.1250 406 1.17E+10

Al -0.082 111.3 7.22E+10 -0.0919 115 9.40E+10

2 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

модельные псевдопотенциалы 119 ионов простых металов

Рис. 4. Экспериментальные и рассчитанные значения энергий связи (4.1а, 4.2а), равновесных объемов (4.1б, 4.2б) и объемных модулей упругости (4.1в, 4.2в) одновалентных Li, Na, K, Rb, Cs и двухвалентных Be, Mg, Ca, Sr, Ba. Кружки — эксперимент, треугольники — расчет.

энергии связи для одновалентных металлов (таблица 5, рис. 4.1а). Для двухвалентных металлов (таблица 5, рис.4.2а) теоретические и экспериментальные значения отличаются значительно. Отличие теоретических значений энергии связи от экспериментальных можно объяснить тем, что в данной модели ГНМП мы не учитываем «резонансный» характер зависимости параметра A2(E) от энергии. Учет «резонансного» характера зависимости A (E) от энергии может оказаться существенным при расчете свойств щелочноземельных, благородных и переходных элементов [14-17].

6. ФОРМФАКТОР ГНМП НЕЭКРАНИРОВАННОГО ИОНА МЕТАЛЛА

Формфакторы ГНМП вследствие их k-нелокальности зависят не только от модуля вектора рассеяния q, но и от модулей векторов | k+q |, k и от ^ - угла между ними. Рассмотрим

вычисления фурье-образа нелокального потенциала. Нелокальность возникает при использовании проекционных операторов P

v.on (k ,k+q)=-^\\_exP(i(k+q)r)vion (r)exp(ikr)~\dr(Ry), (61)

где

vion (r) = -2£ — (1 -6(r,Rm)) + Ate(r,Rm)

P (Ry),

(62)

r - расстояние от центра потенциала, Rm - параметр, характеризующий радиус модельной сферы (г и

R берутся в атомных единицах), Z - валентность иона с полностью заполненными электронными оболочками, i9(r,RJ - функция отсечения,

аналогичная функциям, применяемым в теории псевдопотенциалов [10]. В случае ГНМП функция отсечения имеет вид [9, 11]

»(r,Rm )=( 1

' 1 + 1 r

Am ) j (63)

где K и M — натуральные числа. В (62) Р€ -проекционный оператор, который выбирает из ряда разложения плоской волны по сферическим гармоникам только компоненту с орбитальным квантовым числом I [2],

4ПlJt (kr ) Z YL (°k >9k ) Ylm (6k >Vk ) (64)

m ' '

плоской волны exp(ikr). Здесь Ym - сферические функции, 0 - полярные углы вектора k. Суммируя

в (64) по m в полярной системе координат, запишем разложение exp(kr) по орбитальным квантовым числам (разложение экспоненты от мнимого скалярного произведения двух векторов в ряд через полиномы Лежандра и сферические функции Бесселя) [2], в виде

exp (Шг) = Z il (21 +1) Ji (kr)p (cos 6irr). (65)

Здесь 6k r угол между векторами k и г, Pi(x) -полиномы Лежандра, j (k, г) - сферические функции Бесселя, которые связаны с тригонометрическими функциями соотношениями:

/ ч 3 J2 (x) ,4 / ч cos (x) sin (x)

J-3 (x) = - j-: (x), j-2 (x) = xg ^ '

j-1 (x) = y-L, jo (x) = —кд j (x) = I - j- (x) -

x x l x j

j2 ( x) = l - jo ( x)), jl-1 ( x)+ jl+1 ( x) = ^ jl ( x). (66)

Поскольку функция v.(r) сферически

симметрична и зависит лишь от модуля вектора г, свойство ортогональности сферических функций приводит к тому, что только -я компонента плоской волны exp(-i(k+q)r) комбинируется с l-й компонентой плоской волны exp (-ikr) из (65). В результате, используя формулу сложения сферических функций, можно получить формфактор псевдопотенциала иона [2] в виде:

(k+q| von (r )|k) =

рЛ] jt (|k+q\r) ve (r)PJt (kr)r1dr (2l+l)Pe (cos (6kMq)), (67)

где

vion (r) = Z Ve (r)Pe,...6k,k+q - угол между векторами k и k+ q.

Здесь и далее параметры ГНМП A считаются линейно зависящими от энергии

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 2

120 Кртсько O.R, Силонов В.М., ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

Скоробогатова Т.в. -----------—--------------------------

, ч dA (E) . ч

А = Л (EF,cr ) + ~ddE~ (Ek - Ef0 ) ’ (68)

где Е = $12 - энергия свободного электрона в зоне проводимости, Ерд - энергия Ферми свободного электрона в зоне проводимости. Параметры dA€(E)/ dE,A ЕрГ) ГНМП для одиннадцати простых металлов приведены в таблице 4. Если предположить, что при I^ 2 константа C = А2(Е^Г) и воспользоваться

тождеством Кр =1, то получим выражение для

1=0

потенциала в виде суммы локальной и нелокальной частей

Vion (С )= VL (С )+ VNL (С ) -

где

:(С) = - С-( C - f )H( CR ) ,

t = — ,a = kRm,b = \к + q|Rm

HС-Rm M(t)=-

Qq Z

где

Интеграл в (76.в) аналитически в элементарных функциях не берется. Численно он рассчитывается достаточно быстро и с хорошей точностью методом Филона. В итоге локальная часть формфактора ГНМП имеет вид

vl (q)

4 nZ

" Qq2

-1 --

CRm

-j-)/ ( qRm ) + X\ H(t ) sin( xt ) dt

(77а)

Z 2K (K -

Учитывая (74, 75), нелокальная часть формфактора записывается в виде 4nR3 2

(q,k) = -OfK(21 +1)(A - C)P (cos(еш))}H(t)B (ab.t')dt

Q

LZ(2l + 1)( A, - C)P (cos(eit+q ))D, (a,b),

(77б)

(69) где

(70)

(71)

vnl (с) = К(А, (E)-C)9(r,Rm)P

l =0

Формфактор (69) можно записать в виде суммы локальной (зависящей только от вектора рассеяния q) и нелокальной (зависящей от вектора рассеяния q и вектора к ) частей. Локальная часть формфактора имеет вид

4п

v l (q) = (к+q Ivl (С) Iк) = —J v l (c) exp (-iqr)dr , (72)

а нелокальная записывается следующим образом

VNL ( q,k ) =

= J —nK( Al - C ) ( 21 + 1) Jl ( |k + q\ r )H( r,Rm ) Pl(COS ( вкк+q )) J\ ( kr ) Г 2&. (73)

Изменив порядок суммирования и интегрирования, проведем замену переменных в (74):

Di (a,b) = JH(t)В, (a,b,t)dt,...,Bi (a,b,t) = j, (at) J, (bt)6.

0

Формфактор неэкранированного псевдопотенциала иона (62) представляет собой сумму локальной (77а) и нелокальной (77б) частей неэкранированного формфактора ГНМП.

(к+q | von (С) |k)=von (q, к)=vl (q)+vnl (q>k).

(78)

(74)

(1 +12M) (75)

Учитывая эту замену переменных, из (72) получим

vl (q) = Cd (q)+hoc 2 (q)+^ (q), (76)

где

( ) 4n Z 4nZ

7-(«) = ^Qj7eXP0qr>dr -Q2, (76.а)

lloc.2 (q) = -Q7CRmjH(t)(Xt)! j0 (Xt) dt (76.6)

I, ,(q) = 4 У xH(t)sin(xt)dt.

loc,3W Qq2 0 W У ’ (76.в)

Здесь x = qRm . Интеграл в (76.б) можно записать в терминах интегралов для нелокальной части

4c,2 (q) = ^^4-1 (q),

7. ИНТЕГРАЛЫ ФОРМФАКТОРА НЕЭКРАНИРОВАННОГО ГНМП

Интегралы, входящие в (77б), берутся аналитически методом вычетов в элементарных функциях. Интегрирование приводит к выражениям, не содержащим тригонометрические функции. Прежде чем интегрировать в (77б), преобразуем подынтегральные функции B (a,b,t) = ji(at)ji(ht)^, входящие в выражение (77б), к удобному для интегрирования виду. Можно показать, что

В0 (a,b,t) = 21 ((St) j-1 (St)-(Rt) j-1 (Rt)), (79)

B, (a,b,t ) = —R- [S2 j_2 (St)-R2 j_2 (Rt)+ ab (Sj (St) + Rtj_, (Rt))], ,on.

2(ab) (80)

[ -3 3 [ S j-3 (St)-R j-3 (Rt) + ab(S2 j 2 (S() + R2 j2 ())]+]

B2 (a.ba) = J 2(ab)3 t 1 ^ L

|.+B0 (a,b,t) j (81)

Здесь ^ = ^ + a, R = b - a, j (X) - сферические функции Бесселя с отрицательным индексом (m -натуральное число). Пусть

IК (x) = |!^--l?)dt = п

Л (x),

0 (1 +12 )К 2n+1 n!----- (82)

нижний индекс в I-1 соответствует индексу

сферической функции Бесселя, стоящей под интегралом, верхний индекс К соответствует степени знаменателя подинтегральной функции. Интегрируя в (82), получаем

(76.г)

/К (x)=exp (-x )К -j cn 1=0 2

! = exp (-x )K x

IК (q ) =

n

2K (k -1)

~JK (x)exP (-x).

, n! j 2j (n- j)!j! (83)

Здесь n = A - 1, Cj, - число сочетаний из n по

э n*

j. При получении аналитических выражений использовались рекуррентные соотношения для сферических функций Бесселя

v

NL

v

2 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

модельные псевдопотенциалы 121 ионов простых металов

Е- <x)-EJ- (x) = J-+' (x) (84)

При l = 0, 1, 2 интегралы из (77б)

jB0 (a,b,t)$(t)dt, jB1 (a,b,t)$(t)dt, jB2 (a,b,t)$(t)dt 0 0 0 с использованием соотношений (79-84) принимают аналитический вид:

D0 (a,b) = jB0 (a,b,t)$(t)dt =

0

= 2*+i {П _!), -1[ f-K (S)"XP(S)-f-K(R)exP(R)}

Di (a,b) = jBi (a,b,t)$(t)dt =

0

1 [[f-K (S)exp(S)_ f_K (R)exp(R)]+j

(85)

2^1 (К _1)! (abf j[ f_1 (S) exp (S)+ f_Ki (R) exp (R)] ab

D2 (a,b) = JB2 (a,b,t)#(t)dt =

0

П _1 f[fK (s)exp(S)_ f_3 (R)exp(R)]

П _1

f\_fK1 (S)exp(S)-f_f+2 (R)exp(R)] -

j=0 21 10 (10)!

fk ( Y ) = Н X11 1CJ (11 + j ) ! e-x f_1 (X■

-Y‘2-J r„ (12+j); Y

f‘"(X (12)!

f12 (X )=! XJc3(13+1)! --X

J^ 21 13 (13)!

e .

2K+ (K-1)! (ab)3 [[Д (S)exp(S) + fK (R)exp(R)]ab

Можно показать, что для многочленов fK (x) справедливы следующие рекуррентные

соотношения

f_K (x) = f-1+1 (x), f_3 (x) = f_K+2 (x),..., f-_i(x) = f-K+1. (86)

Тогда (85) c учетом (86) можно выразить через многочлены fK' (x) с нижним индексом, равным -1:

D' (a,b) = j Bl (a,b,t )9(t) dt =

0

= n 1 |[/_Г (S) exp (S) - fT (R) exp (R)] +j

2“(K-1)! (ab)2 [[f_K (S)exp(S) + fK (R)exp(R)] ab J (87)

D2 (a,b) = j B2 (a,b,t )9(t) dt =

+ D0(a,b). Port (q) = Z,

8. ЭКРАНИРОВАННЫЙ ФОРМФАКТОР ГНМП ПРОСТЫХ МЕТАЛЛОВ

Формфактор экранированного потенциала иона в кристалле представляется в виде суммы

(k+q Iv (r) Ik) = гои (q,k)+Лг (q), (91)

где формфактор неэкранированного ГНМП (96) имеет вид

vion (q,k ) = vl (q)+vnl (q,k), (92)

здесь v (q) - потенциал экранирующей электронной плотности с учетом потенциала экранированной ортогонализационной дырки [1, 2, 13]

цст (q) = {vee (q)П [vton (q,k)] + Vor, (q) / s(q)}, (93)

v (q) - потенциал ортодырки в приближении

Дадженса [14],

v„r, (q ) = Д (q )por, (q), (94)

p (q) - электронная плотность ортогонализационной дырки в обратном пространстве,

n (fd (п_ qR-)_ fd (n + qR-))

i _ Г* 2qR- ’ (95)

где

dpl

fd (x):

2 sin (x) 2 cos (x)

Zpil - заряд ортодырки. В наших обозначениях для ГНМП

-зпд н [2i+1] dAm_

О i=0 dE

D,(k\R-\k + qR- ) k1 \dk,

(96)

n[ F ( k ,k ’;E)] - экранирующий функционал [18] для простых металлов, представляющий собой сумму

в k-пространстве по k в области к < Д, которую можно преобразовать в интеграл вида

2 F ( k,k ';Ek )_

2“(К-1)! (ab)3 j[Z-K+1 (S)exp(S) + fK+ (R)exp(R)]abj +D0 (a,b). (88)

Вычислив по формуле (83) многочлены f_K (x) , можно получить выражение для неэкранированного формфактора иона.

Для случая К = 12 явные выражения для функций f_i ( X) имеют вид

Л'( X )=£ ^(10+J)!- •-X

П[ F (k ,k ’;E)] = 2 Н

j

к2 _ к'

2О

( 2п)3

2F (k-k ';Ek )dk,

к < kf

к2 _ к'

(97)

(89а)

(89б)

(90а)

(90б)

где k* = k + q, в атомных единицах Ek = k2/2. При численных расчетах интегралов (103) возникают проблемы, связанные с особенностью подинтегральной функции при | k | = | k'|.

При численном вычислении этих интегралов мы использовали метод Гаусса. Методика их вычисления приведена в [9]. В частном случае если [ F ( k ,k VE)^( q) - функции, зависящей лишь от вектора рассеяния q,

П[ф( q )] = 'ДЙ Ф( q ).

Vee (q) (98)

Здесь e(q) - диэлектрическая функция металла с учетом обмена и корреляции, уД) - фурье-образ потенциала электрон-электронного взаимодействия с учетом обмена и корреляции

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 2

122 Крисько О.В., Силонов В.М., Скоробогатова Т.В.

ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

Vee(q

4п

(1 - f(q))

Qq 2' a.u., (99)

fq) - обменно-корреляционная функция в

приближении Шоу [8]

f f f ^ 2 V

f(q) = 1 - exp -0535 q kr К f )

К К ))

Окончательно, используя (91-100), получаем формфактор экранированного ГНМП (91) в виде суммы нелокальной части неэкранированного формфактора ГНМП и локальной части экранированного формфактора ГНМП, в которой учитывается локальная часть неэкранированного формфактора ГНМП, экранирующий функционал от нелокальной части ГНМП и потенциал ортодырки:

v(к,k + q) = vNL (q,k)+

где

(101)

viscr( q) = vL(q)+vort (q)+vee (q)n\_vNL (q,k)]. (102)

vL(q) - локальная часть ГНМП (77а), v (q) - потенциал ортодырки (94, 95), vNL(q, k) - нелокальная часть формфактора ГНМП (77б).

Обычно для сравнения различных моделей псевдопотенциалов [2] используют формфактор экранированного иона при рассеянии «назад» или «вперед». При рассеянии «назад» нелокальная часть формфактора F (k, k+q; Ep) с k = kF (вектором рассеяния на уровне Ферми) рассчитывается для

J kF q < 2kF

[q - kF q > 2kf

При рассеянии «вперед»

\kF + q\ = |kf| + |q| •

Графическое представление соотношений между векторами k, k+q, q на уровне Ферми при рассеянии назад и вперед приведены на рис. 5.

Рассеяние «вперед» при Рассеяние «назад» при

Рассеяние «вперед» при

Рассеяние «назад» при

Рис. 5. Схематическое представление соотношения векторов k на уровне Ферми и вектора рассеяния q при рассеянии «вперед» и рассеянии «назад».

9. СРАВНЕНИЕ С РАСЧЕТАМИ В ДРУГИХ МОДЕЛЯХ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ

На рис. 6 приведены зависимости формфакторов алюминия, нормированных на единицу при q/kF = 0 и рассчитанных в трех моделях. Рассматривается рассеяние «назад» - рис. 6а и рассеяние «вперед» - рис. 6б. Из приведенных зависимостей видно, что все три модели (при рассеяние назад) дают близкие значения формфактора рассеяния при q < kF. При Ц « q« 2^(«:рассеяние назад») потенциал Вандербилта [11] дает значения, превышающие значения формфактора алюминия в моделях ГНМП и Шоу почти в два раза. В области 0« q«2kF при «рассеянии назад» формфакторы в моделях ГНМП и Шоу практически совпадают. В области q >- 2kF они более гладкие, чем в модели Шоу. Формфакторы ГНМП и потенциала Вандербилта с ростом q/ kF плавно стремятся к нулю без изменения знака. При «рассеянии вперед» формфактор, полученный в модели ГНМП, находится между значениями формфакторов, полученных в модели Шоу и в модели Вандербилта.

q/k F

Рис. 6а

Рис. 6. Зависимости нормированных на единицу формфакторов алюминия от q/kF при рассеянии «назад» (6а) и «вперед» (66). Пунктир — псевдопотенциал Шоу [8], сплошная линия - ГНМП, штрих-пунктир - ультрамягкий потенциал Вандербилта [17].

2 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

модельные псевдопотенциалы 123 ионов простых металов

Рис. 7. Зависимости формфакторов ГНМПмагния (рассеяние назад).

Сплошная линия - Шоу [8], пунктир — ГНМП (данная работа).

На рис. 7 приведены зависимости формфакторов экранированных псевдопотенциалов магния при «рассеянии назад». Видно, что значения формфактора ГНМП при q< 2kp практически совпадает со значениями формфактора, рассчитанного на основе оптимизированного модельного потенциала Шоу [8].

При q у 2кр формфактор Шоу имеет осциллирующий характер, в то время как формфактор ГНМП плавно убывает стремясь к нулю с ростом q. Такое различие формфакторов объясняется негладким характером нелокальной части псевдопотенциала Шоу в прямом пространстве и, как следствие, появлением «нефизических осцилляций». Формфактор ГНМП плавно убывает и стремится к нулю при q —— 0, не изменяя знака, что объясняется гладким характером ГНМП иона в прямом пространстве.

Как известно, существуют эксперименты, из которых могутбыть оценены значения формфакторов экранированных псевдопотенциалов на первых узлах обратной решетки [2]. Для оценки возможностей ГНМП нами было проведено сравнение значений формфактора ГНМП магния с экспериментами и формфактором псевдопотенциала в модели ОПМ. Результаты сравнений приведены на рис. 8.

Рис. 8. Результаты расчета зависимостей от х экранированных формфакторов магния (рассеяние назад) в двух моделях.

Сплошная кривая — Шоу [8], пунктирная — ГНМП. Также приведены значения экранированного формфактора магния, полученные подгонкой под эксперимент об оптических свойствах соединений с магнием и экспериментальных данных о поверхности Ферми и оптических свойств магния [2, табл.14,16]:^ — из оптических свойств MgSn, + — из оптических свойств MgSi, Х — из оптических свойств Mg, Д -при подгонке к поверхности Ферми Mg, о, ж — из оптических свойств MgO.

Из сравнения приведенных на рис. 8 значений экранированного формфактора магния, рассчитанного в двух моделях, с экспериментом видно, что обе модели за редким исключением достаточно хорошо объясняют экспериментальные данные в области q/kp< 2. В области q/kp> 2 экспериментальные точки в основном лежат выше значений, рассчитанных в моделях Шоу [8] и ГНМП. Различия в результатах теоретического расчета и экспериментальных данных можно объяснить особенностями обработки эксперимента и k-нелокальностью потенциала (экранированный потенциал рассчитывался при «рассеянии назад»). Характерное отличие формфактора ГНМП от формфактора Шоу при значениях q/kp > 2 объясняется гладким характером ГНМП в прямом пространстве, что приводит к положительным значениям экранированного формфактора в области q/kp> 2. Такое поведение формфактора экранированного ГНМП согласуется с экспериментом в большей степени, чем в [8]. Использование формфактора ГНМП в [21] позволило существенно улучшить сходство рассчитанных температурных

зависимостей электросопротивления жидкого цезия с экспериментальными.

10. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Приведенные результаты позволяют сделать вывод о перспективности использования ГНМП для моделирования физических свойств простых металлов при различных значениях атомной плотности, а следовательно, при различных температурах, то есть моделировать свойства металлов в квазигармоническом приближении.

Полученные в работе выражения позволяют проводить расчеты на основе ГНМП формфакторов, характеристических функций, парных потенциалов и их производных. Этих данных достаточно для моделирования атомных свойств простых металлов.

Описанный подход можно также использовать для моделирования физических свойств сплавов.

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 2

124 Крисько О.В., Силонов В.М., Скоробогатова Т.В.

ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

ЛИТЕРАТУРА

1. Харрисон У. Псевдопотенциалы в теории металлов. М., Мир, 1968, 366 с.

2. Хейне В, Коэн М, Уэйр Д. Теория псевдопотенциала. М., Мир, 1973, 557c.

3. Heine V, Abarenkov I. A new method for the electronic structure of metals. Phil. Mag., 1964, 9:451.

4. Abarenkov IV, Heine V The model potential for positive ions. Phil. Mag., 1965, 12:529.

5. Animalu AOE, Heine V. The screened model potential for 25 elements. Phil. Mag., 1965, 12:1249.

6. Animalu АОЕ. The spin-orbit interaction in metals and semiconductors. Phil. Mag., 1966, 13:53.

7. Animalu AOE. The total electronic band structure energy for 29 elements. Proc.Roy.Soc., 1966, A294:376.

8. Show RW Jr. Optimum form of a modified Heine-Abarenkov model potential for the theory of simple metals. Phys. Rev, 1968, 174(3):769.

9. Крисько ОВ, Силонов ВМ, Скоробогатова ТВ, Бокарев ВП. Новый гладкий нелокальный модельный потенциал простых металлов. Вестник МГУ. Cер. Физика. Астрономия, 2006,1:76.

10. Крисько ОВ, Силонов ВМ, Скоробогатова ТВ. Модельные псевдопотенциалы изолированных ионов. Динамика сложных систем, 2010, 3:3.

11. Vanderbilt D. Soft self-consistent pseudopotentials in a generalized eigenvalue formalism. Phys. Rev. B, 1990, 41:7892.

12. Крисько ОВ, Силонов ВМ, Скоробогатова ТВ, Бокарев ВП. Фононные спектры магния в методе гладкого нелокального модельного потенциала. Вестник МГУ, сер. Физика. Астрономия, 2007, 6:43.

13. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. М., Наука, 1978, 791 с.

14. Dagens F. The resonant model potential form factor: general theory and application to copper, silver and calcium. J. Phys. F, 1976, 6(10):1801.

15. Силонов ВМ, Крисько ОВ, Кацнельсон АА. Расчет электросопротивления жидких Cu, Ag, Au и Ni методом резонансного модельного потенциала. Металлофизика, 1988, 10(2):12.

16. Силонов ВМ, Крисько ОВ, Кацнельсон АА. Расчет остаточного электросопротивления разбавленных сплавов на основе алюминия с примесями Cu, Ni, Co, Fe и Mo. Металлофизика, 1990, 12(3):7.

17. Силонов ВМ, Крисько ОВ, Кацнельсон АА. Расчет некоторых электронных и атомных свойств никеля методом резонансного модельного потенциала. Вестник МГУ, сер. Физика. Астрономия, 1990, 31(1):81.

18. Силонов ВМ. Введение в микроскопическую теорию твердых растворов. М., МГУ, 2005, 325 с.

19. Крисько ОВ, Силонов ВМ, Скоробогатова ТВ, Бокарев ВП. Гладкий нелокальный модельный потенциал простых металлов. Формфактор. Вестник МГУ, сер. Физика. Астрономия, 2007, 2:30.

20. Крисько ОВ, Силонов ВМ, Скоробогатова ТВ, Бокарев ВП. Гладкий нелокальный модельный потенциал простых металлов. Расчет кристаллических параметров. Вестник МГУ, сер. Физика. Астрономия, 2006, 5:53.

21. Крисько ОВ, Кузнецов ВМ, Силонов ВМ, Скоробогатова ТВ. Электросопротивление жидкого цезия. Вестник МГУ, сер. Физика. Астрономия, 2011, 2:67.

Крисько Олег Валентинович

к.ф.м.н., доцент

Владимирский государственный университет, 600000, г. Владимир, Горького, 87 +7 4922 47 9766, krisko1952@mail.ru

Силонов Валентин Михайлович

д.ф.-м.н., гл. научн. сотр., акад. РАЕН

МГУ им. М.В.Ломоносова, физический факультет,

кафедра физики твердого тела

/, Ленинские горы, 119991 Москва

+7 495 939 4308, silonov_v@mail.ru

Скоробогатова Татьяна Васильевна

к.ф.м.н., доцент

Московский государственный технический университет гражданской авиации,

+7 4922 53 5583, tankris@mail.ru

2 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ

PHYSICS OF CONDENSED STATE

125

MODEL PSEUDOPOTENTIALS OF IONS OF SIMPLE METALS IN THE CONDENSED CONDITION

Krisko O.V.

Vladimir State University, faculty of physics and applied mathematics,

600000, Vladimir, Russia krisko1952@mail.ru

Silonov V.M.

M.V Lomonosov State University, Physics department,

119991, Moscow, Russia silonov_v@mail.ru

Skorobogatova T.V

Moscow state technical university of civil aircraft, faculty of aviation systems and complexes,

125993, Moscow, Russia

tankris@mail.ru

The new method of calculation of crystal parameters of smooth nonlocal model potentials (SNMP) of simple metals has been proposed. Energy of Fermi’s electrons in a crystal was counted from energy of shared electrons and ions. The parameter describing interaction of pseudopotential of an ion with of pseudowave function of a crystal has been introduced into theoretical expression for Fermi’s energy of electrons of conductivity. Values of parameters were calculated according to the requirement of the maximum affinity between theoretical values of dependence of energy of connection in a crystal their volume (in the second order concerning volume) and the same dependence known from experiment. Values of crystal parameters of eleven simple metals have been received by means of linear extrapolation of SNMP values of parameters of free ions to conductivity electrons Fermi’s energy. In calculating crystal parameters SNMP known SNMP parameters of free ions [9]. In the paper, such as energy of communications connection, balance of volume, volumetric modules of elasticity some physical properties of eleven have been calculated. Comparison of experimental and theoretical values has shown the satisfactory agreement of experimental and theoretical data. The method (SNMP) of simple metals can be used for modeling physical properties of metals and alloys depending on changes of the volume of atoms in crystals.

Keywords: model pseudopotentials, smooth nonlocal model potentials, physical properties of simple metals .

УДК 539.1:536.4 PACS 61.00.00; 61.10

Bibliography - 21 references

RENSIT, 2012, 4(2):108-125______________________________

REFERENCES

1. Harrison W Psevdopotentsialy v teorii metallov [Pseudopotentials in the theory of metals]. Moscow, Mir Publ., 1968, 366 p.

2. Heine V, Cohen M, Weaire D. Teoriya psevdopotentsiala [Theory of pseudopotential]. Moscow, Mir Publ., 1973, 557 p.

3. Heine V, Abarenkov I. Phil. Mag., 1964, 9:451.

4. Abarenkov IV, Heine V Phil. Mag., 1965, 12:529.

5. Animalu AOE, Heine V. Phil. Mag., 1965, 12:1249.

6. Animalu АОЕ. Phil. Mag., 1966, 13:53.

7. Animalu AOE. Proc.RoySoc, 1966, A294:376.

8. Show RW Jr. Phys. Rev, 1968, 174(3):769.

9. Krisko OV, Silonov VM, Skorobogatova TV,

Bokarev VP. Vesnik MGU, ser. Figika. Astronomiya, 2006,1:76 (in Russ.).

10. Krisko OV, Silonov VM, Skorobogatova TV Dinamika sloghnykh sistem, 2010, 3:3.

11. Vanderbilt D. Phys. Rev. B, 1990, 41:7892.

12. Krisko OV, Silonov VM, Skorobogatova TV,

Bokarev VP. Vestnik MGU, ser. Figika. Astronomiya, 2007, 6:43 (in Russ.).

Received 16.05.2012

13. Kittel Ch. Vvedenie v figiku tverdogo tela [Introduction to solid-state physics]. Moscow, Nauka Publ., 1978, 791 p.

14. Dagens F. J. Phys. F, 1976, 6(10):1801.

15. Silonov VM, Krisko OV, Katsnelson АА. Metallofigika, 1988, 10(2):12 (in Russ.).

16. Silonov VM, Krisko OV, Katsnelson АА Metallofigika, 1990, 12(3):7 (in Russ.).

17. Silonov VM, Krisko OV, Katsnelson АА Vestnik MGU, ser. Figika. Astronomiya, 1990, 31(1):81 (in Russ.).

18. Silonov VM. Vvedenie v mikroskopicheskuyu teoriyu tverdykh rastvorov [Introduction in a microscopic theory of solid solutions]. Moscow, MGU Publ., 2005, 325 с.

19. Krisko OV, Silonov VM, Skorobogatova TV,

Bokarev VP. Vestnik MGU, ser. Figika. Astronomiya, 2007, 2:30 (in Russ.).

20. Krisko OV, Silonov VM, Skorobogatova TV,

Bokarev VP. Vestnik MGU, ser. Figika. Astronomiya, 2006, 5:53 (in Russ.).

21. Krisko OV, Kuznetsov VM, Silonov VM,

Skorobogatova TV Vestnik MGU, ser. Figika. Astronomiya, 2011, 2:67 (in Russ.).

РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 2