Гладкий нелокальный модельный потенциал простых металлов. Формфактор Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.2

ГЛАДКИЙ НЕЛОКАЛЬНЫЙ МОДЕЛЬНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ ПРОСТЫХ МЕТАЛЛОВ. ФОРМФАКТОР

О. В. Крисько, В. М. Силонов, Т. В. Скоробогатова, Д. П. Бокарев

(.кафедра физики твердого тела) E-mail: sols333@phys.msu.ru

В полной нелокальной теории получено выражение формфактора простого металла для гладкого нелокального модельного потенциала.

В работе [1] было предложено семейство гладких нелокальных модельных потенциалов простых металлов (ГНМП), формфактор которых отличается от аналогичных отсутствием нефизических осцил-ляций. В работе [2] была описана методика расчета параметров ГНМП, при определении которых использовались спектроскопические данные значений термов свободных ионов [3]. Необходимость получения выражения формфактора ГНМП связана с его широким использованием при расчетах различных характеристик металлов [4-12].

Целью настоящей работы является получение выражения формфактора ГНМП простых металлов в полной нелокальной теории.

ГНМП иона 1-7(г,е) записывается в виде [1]

(1)

1=0

где

V,(r,e) =

Z

'ßK(r, Ят) =

£

1=0

1

Me)

Z

'дк (r, R„

(l+(r//?mpl)

К '

Ям — параметр,характеризующий радиус модельной сферы; К и М — целочисленные степени; ■вк(г,Ят) — функция, сглаживающая ступенчатый характер модельного потенциала; е — энергия рассеивающегося электрона в поле свободного иона; / — орбитальное квантовое число; X — валентность иона; г — расстояние от центра иона; Д/(е) — параметр, характеризующий глубину потенциальной ямы ГНМП для каждого / при г, близких к нулю. Из (1) видно, что /?,„)-> О при г —} ос и дк(г, /?,„)—> 1 при г —} 0. Так как потенциал при г > Ra должен равняться кулоновскому потенциалу иона, то необходимо выполнение условия /?,„)« О при г «/?,„. На рис. 1 приведены зависимости дк{г,Ят) от х = г/кт при К=\А и 12. Видно, что условие ■дк(г,Я т) — 0 при г — Rm не выполняется при К= 1, выполняется приблизительно при К = 4 и выполняется с высокой степенью

2.0 х

Рис. 1. Зависимость ён(г,Ят) от х = при К = 1 (сплошная кривая), 4 (штриховая) и 12 (пунктир)

точности (сотые доли процента) при К= 12. По аналогии с теорией модельных потенциалов типа Хейне-Абаренкова [4] будем считать, что параметр Ям характеризует модельную сферу. Но в случае гладкого потенциала, как видно из рис. 1 и выражения (1), четко выраженной границы модельной сферы не существует. Значение Ям неявно связано с параметром К. Эта связь обусловлена требованием близости модельного потенциала к кулоновскому при г>Яа. Исходя из этого требования, мы должны выбирать такие К и Ям . чтобы выполнялось условие близости ГНМП к кулоновскому потенциалу при г > Яа, т.е. дк(г,/?,„)« О при г к, Яа и /?,„) —> 0 при г —> ос. Как видно из рис. 1

и выражения (1), при К= 12 и Ям ~ Яа отклонение значений ГНМП от кулоновского составляет порядка сотых долей процента, а с ростом г это отклонение быстро уменьшается. При /С =12, видимо, следует выбирать Ям близким к радиусу атомной сферы. В этом случае можно считать, что «модельная сфера>> совпадает с атомной. Подобный выбор параметров приближает ГНМП к ячеистому потенциалу, в котором «модельной сферой>> можно считать ячейку Зейтца [13]. Для магния параметры потенциала при К= 12 и Ям = 3.35 ат. ед., рассчитанные по методике [2], приведены в таблице. Используя эти данные, сравним ГНМП иона с оптимизированным потенциалом (ОМП) [8-10].

На рис. 2 приведены значения потенциала иона магния в кристалле для двух значений / в моделях ГНМП и ОМП, а также значения кулоновского по-

Значения параметров ГНМП потенциала Mg Aq, А\, Ао, -¿¡¡г, -¿¡¡г, -¿¡г и значения Rm, fi, используемые в работе (ат. ед.)

A0(Ef) d/h(F,ï dE E=E, Ax(Ef) dA](E} dE E=E, A2(EF) d/UF.i dE E=Ef Rm fi £ 0

-2.257 -1.316 — 1.454 -0.729 3.091 -0.174 3.35 156.8 1.623

U(r), ат. ед. 4

1 = 0

Рис. 2. Значения потенциала иона магния для двухорбитальных моментов в модели ГНМП (К = 12) (штриховая кривая) и ОМП (пунктир). Для сравнения приведен кулоновский потенциал (сплошная кривая)

тенциала. Видно, что при г > Ra (Ra~ 3.35 ат. ед.) различие между значениями потенциала для обоих значений / невелико. Существенные отличия наблюдаются при г ^ Ra как по величине, так и по характеру зависимости V{r). ОМП больше нуля и не изменяется при г < Я°мр, а при г ^ Я°мр ОМП равен кулоновскому потенциалу. К недостаткам ОМП можно отнести его нефизический излом при г = Я°мр, поскольку его производная имеет разрыв второго рода, что должно приводить к нефизическим осцилляциям формфактора ОМП в обратном пространстве. ГНМП в области г < Ra меняет знак и значительно отличается от ОМП при г < Я°мр, а в области г ^ Я°мр с ростом г приближается к кулоновскому потенциалу. ГНМП не имеет нефизических изломов и плавно переходит от псевдопотенциала остова к кулоновскому потенциалу вне атомной сферы.

В потенциале (1) можно выделить локальную, не зависящую от е и Я/, и нелокальную, зависящую от е и Я/, части. Для случая простого металла, как и в [6], положим все Л/ для />1 равными С = А2. Тогда (1) запишем в виде суммы локальной и нелокальной частей:

где

VKr) = Vjoc(r) + Vnonloc(r),

Vjnc(r) = -- + Rm) - C-ûK(r, Rm),

г г

Vnonioc(г) = - - С)'дк(г, Rm)P,.

1=о

(2)

(3)

В выражениях (3) Я/ — проекционный оператор.

Матричный элемент ГНМП неэкранированного иона также можно представить в виде суммы локальной и нелокальной частей:

(k + #k.(r, s)\k) = B(q) + F(k, k + q- £), (4)

где

An

т _ . . Sltlt Cjf") о 1

Ц,К(г)-Г dr.

qr

Разбивая Vjoc на сумму двух членов — одного, имеющего аналитический вид, и другого в виде интеграла, берущегося лишь численно, — запишем

Аж7

B{q) = ^[-BM+B2{q)l

iîq

B\(q) = \ + С В2 = х

тт R,t

2l2ll!Z sin(/)

(5)

(l +Р)К

dt,

где Х = дЯ,„, /д-'(^) многочлен порядка К — 2. Учитывая линейную зависимость Д/(£) от энергии:

А,{Е) = А,{ЕР)

dE

(Е — £/•)-

нелокальную часть формфактора ГНМП можно разбить на сумму двух функций — энергозависящей нелокальной части формфактора и энергонезависящей:

F(k, k + q-E) = F0(k, k + q) + F\{k,k + q; E), (6)

где

F0(k,k + q)

4тг Rfn ÎÏ

x

X

1=0

Fdk,k + q;Ek) =

2

£[2/+1]

1] [Ai(Ef) — C]Df(j(a, b)P[(cos ©), 4vr Rl

Q

x

X

1=0

ШМЕ))

dE Е=Ер

X

0

x (Ek - EF)DKii(a, b)P[(cos @),

угол между векторами k и k + q, P/(cos@)

полином Лежандра, Е& — энергия электрона с импульсом к, Ер — энергия электрона на уровне Ферми, Ь= \к + щ\Я.т, а = \к\Ят, Я=\Ь — а\, Б = Ь + а. При вычислении Ок^(а,Ь) приходим к следующим интегралам, которые берутся аналитически с помощью вычетов:

DK,i{a,b) =

J_

ab

о

Можно показать, что

ji(at)ji(bt) (1+i2)*

t dt.

(7)

DKfl(a,b) = ^-b(fK(R)-fK(S))

ж

ВКЛ{а,Ь) =

-1

DK,2(a,b) =

2(ab)2 СfHS) + abfH(S)) 3

2к(К — 1)!' (/!(/?) - abfim -

ж

2 {abf

2к(К — 1)!' (fl(R)-abti(R))

(/|(S) + a6/|(S))]

ж

2к(К — 1)!

■DKt0(a,b),

где $(Х), $(Х), §(Х) - многочлены

порядка К — 2, К—\, К, К + 1 соответственно, которые вычисляются по формулам

/да

хк-

-с'

(K-l+j)\

k-

2/ (К- 1)!

/=о

(8)

Здесь С!к_х — число сочетаний из /i — 1 по /. В частности, для /\ — 12

Д21 (X) = е^х(х10 + 550х9 + 1485х8 + 25740х7 + + 315315х6 + 2837835418918900х4 + 91891800х3 + + 310134825х2 + 654729075х + 654729075),

/,°2(Х) = е~х(хи + 66х10 + 2145х9 + 45045х8 + + 675675х7 + 7567560х6 + 64324260х5 + + 413513100х4 + 1964187225х3 + 6547290750х2 + + 13749310575х+ 13749310575),

fl2(X) = е^х(х12 + 78Х11 + ЗООЗх10 + 75075х9 +

+ 1351350х8 + 18378360х7 + 192972780х6 + + 1571349780х5 + 9820936125х4 + 45831035250х3 + + 151242416325х2+316234143225х+316234143225),

f?2(X) = e^x (х13 + 91х12 + 4095хп + 120120хш + + 2552550х9 + 4135131Ох8 + 523783260х7 + +5237832600х6+41247931725х5+252070693875х4 + + 1159525191825х3 + 3794809718700х2 +

+ 7905853580625х + 7905853580625)

Таким образом, как видно из этих выражений, в отличие от формфакторов типа Хейне-Абаренко-ва, матричные элементы ГНМП с ростом вектора рассеяния убывают по экспоненциальному закону и не содержат нефизических оецилляций (не содержат тригонометрических функций, зависящих от вектора рассеяния).

Самосогласованный потенциал металла можно представить в виде суммы потенциалов ионов и экранирующего потенциала, созданного электронной плотностью psc почти свободных электронов:

Кг = Vi + VeePsc (9)

Vee — потенциал электрон-электронного взаимодействия; Vi — потенциал ионов кристалла, равный сумме потенциалов неэкранированных ионов.

Если учесть «размытость» заряда ортогонали-зационной дырки, то экранирующую электронную плотность можно представить в виде суммы [11]

Psc = Pps + Port, (10)

pps- псевдоплотность, построенная из псевдоволновых функций; port — плотность заряда ортогона-лизационных дырок. Если ограничиться линейными по потенциалу членами, то псевдоплотность можно выразить через экранирующий функционал [11] от потенциала экранированного иона

PpM=SW(ilV(k,k + q,E)), (11)

где S(q) — структурный фактор.

Экранирующий функционал для простых металлов [11, 12, 14] представляет собой сумму в k — пространстве по k в области < kf, которую можно представить в виде интеграла:

U[F(k,k';E)]=2j2

k<kF

2F(k.k':E)

k2

2tt (2vr)3

•k>2

k<kf

2F(k.k':El;)

k2 - k'2

dk. (12)

В случае если числитель подынтегральной функции в (12) зависит только от д и не зависит от к, то

1-е(<7)

ЩО/о?)] = /(<?)-

Vee(q)

(13)

где Уее(ч) — потенциал электрон-электронного взаимодействия с учетом обмена и корреляции, е{я) — диэлектрическая проницаемость с учетом обмена и корреляции.

Как следует из (9)—(13), экранированный форм-фактор потенциала иона можно представить в виде

У (к, к + ц, Ек) = У|0П(Л, к + Ек) + Уогх{ч) +

+ Уее(я)П №(к,к + д,Е)}, (14)

Уол{ч) — потенциал ортодырки в приближении Дагенса [11]. Разобьем потенциал неэкранирован-ного иона на сумму локальной и нелокальной частей потенциала аналогично (6). Для простоты записи опустим аргументы, тогда (14) можно переписать в виде

V = КпоШос + Мое + Уот{ + УееЩПУ]. (15) Воспользуемся соотношениями (13), (14), тогда

ЩПУ] = ЩОДоШос + Мое + Коп)] + (1 - е)П[Ша

(16)

С помощью (16) выразим экранирующий функционал от потенциала экранированного иона через экранирующий функционал от потенциала неэкра-нированного иона и подставим его в (15). В результате получим выражение для потенциала экранированного иона в полной нелокальной теории. В итоге получим

У(к,к + щ, Ек) = ^(Л, * + ц, Ек) +

В(с?) + УоЛч) + к + д, Е)]

+ ■

е{ч)

, (17)

где

/(?) = ! П-ехр (-0.535

(18)

¡(ц) — обменно-корреляционная функция в приближении Шоу [10],

УоЛч) = Уее(ч)£^\ПоЛч),

(19)

7 °

== —о 7Г

4тгД| П

¿[2/ + 1]

1=0

\diME))

йЕ Е=ЕР_

Ык, (20)

ПогЛя) ~ формфактор плотности заряда ортогона-лизационной дырки [12].

При численных расчетах подобных интегралов типа (12) возникают проблемы, связанные с особенностью подынтегральной функции при \к\ = \к'\. Эта трудность преодолевается, если представить этот

кГ

Рис. 3. Области интегрирования при вычислении экранирующего функционала от нелокальной части потенциала. При ¿7 < 2Щ область А — область перекрытия окружностей справа от прямой МЫ (более темная область). Область В — более светлая область справа от прямой МЫ. При ц > область А отсутствует, область В — область, ограниченная окружностью радиуса Щ

интеграл в виде суммы двух интегралов по различным областям интегрирования таким образом, чтобы особенности подынтегральной функции оказывались на краях интервалов интегрирования. В этом случае численное интегрирование не представляет сложности при использовании метода особых точек Гаусса. Численные расчеты производились в полярной системе координат в двух областях интегрирования (рис. 3). Выражение для расчета интеграла от нелокальной части потенциала представим в виде суммы по областям А и В:

П[ Р(к,к'-,Е)] = иА[Р(к,к'-Е)]+ив[Р(к,к'-Е)}.

(21)

Первое слагаемое в (21) имеет вид

ЯА[РК(к,к'-Е)} =

и,

Г2

7Г

'1 к йк

ка

¡а

V - к* ' [ '

где

Ь = {к? + д2

Л2

2кд

при & ^ — д, при к > Щ — q,

(\

при к^-,

Я и Я

2к ПРИ 2'

ка

0 при

Щ — д при

Второе слагаемое в (21) записывается следующим образом:

П в\РК(к,к!-Е)\ =

П

7Г

йк

ка -1

2

к2 - к'2

сН, (23)

V{q), ат. ед. 0.051

-0.05-

-0.1-

-0.15-

-0.2 J

Рис. 4. Зависимости экранированного матричного элемента ГНМП (рассеяние назад, пунктир) и ОМП (сплошная линия)

где t = cos(ф) (рис. 4), k'2 = q2 + k2 — 2qkt, P0( cos9)=l, P,(cose) = cos(0), P2(cose) =

= 0.5(3 cos2(0) - 1), cos(0) = ,

0 при q ^ kf.

k„ =

kf — q при q < kf.

h = w

■ q2 — k2

2k q

при k ^ q — k¡\ при k>q — k¡.

Точность интегрирования можно контролировать с помощью предельных соотношений [14]

Ит Пл[/7с(А,А';£)] =-Z.jp,, ({—^о

lim Пß[F/{(k, k'\Е)] =

q^t-0

3ZFK(kf,kf;Ek[

Ц

Обычно при сравнении различных моделей псевдопотенциалов [4, 7, 8] используют матричные элементы потенциала экранированного иона при «рассеянии назад». В этом случае при расчете нелокальной части потенциала учитывалось, что

q <

q — к)\ q ^ 2Щ.

\k¡ +q\

На рис. 4 приведена зависимость ГНМП экранированного иона магния при «рассеянии назад». Видно, что значения матричного элемента ГНМП при q < 2kf несколько выше значений матричного элемента ОМП [8, 9]. При q > 2kf формфактор ОМП имеет осциллирующий характер (меняет знак) и с ростом q стремится к нулю. Подобные осцилляции формфактора ОМП связаны с его негладким характером. Формфактор ГНМП, в отличие от формфактора ОМП, плавно убывает при q > 2k[, стремясь к нулю с ростом q.

Литература

1. Крисько О.В., Силонов В.М., Скоробогатова Т,В., Бокарев Д.П. 11 Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2006. № 1. С. 76 (Moscow University Phys. Bull. 2006. N 1. P. 100).

2. Крисько О.В., Силонов В.М., Скоробогатова Т,В., Бокарев Д.П. 11 Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2006. №5. С. 53 (Moscow University Phys. Bull. 2006. N 5. P. 56).

3. Moore C.E. Atomic energy levels. National bureau of standarts. V. 1-111. Washington, D.C., 1949.

4. Харрисон У. Псевдопотенциалы в теории металлов.. М„ 1968.

5. Heine V., Abarenkov /. // Phil. Mag. 1964. 9. P. 451.

6. Animalu A.O.E., Heine V. // Phil. Mag. 1965. 12, N 20. P. 1249.

7. Хейне В., Коэн AI, Уэйр Д. Теория псевдопотенциала. М„ 1973.

8. Shaw R.W., Harrison W.A. 11 Phys. Rev. 1967. 163. P. 604.

9. Shaw RAW. 11 Phys. Rev. 1968. 174, N 3. P. 769.

10. Shaw R.W., Punn R. // J. Phys. C. 1969. 2, N 2. P. 2071.

11. Dagens L. // J. Phys. F: Metal Phys. 1976. 6, N 10. P. 1801.

12. Dagens L. 11 Phys. Stat. Sol. (b). 1977. 84. P. 311.

13. Займам Дж. Вычисление блоховских функций. М., 1973.

14. Силонов В.М. Введение в микроскопическую теорию твердых растворов. М., 2005.

Поступила в редакцию 03.03.06