УДК 539.2
ГЛАДКИЙ НЕЛОКАЛЬНЫЙ МОДЕЛЬНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ ПРОСТЫХ МЕТАЛЛОВ. ФОРМФАКТОР
О. В. Крисько, В. М. Силонов, Т. В. Скоробогатова, Д. П. Бокарев
(.кафедра физики твердого тела) E-mail: sols333@phys.msu.ru
В полной нелокальной теории получено выражение формфактора простого металла для гладкого нелокального модельного потенциала.
В работе [1] было предложено семейство гладких нелокальных модельных потенциалов простых металлов (ГНМП), формфактор которых отличается от аналогичных отсутствием нефизических осцил-ляций. В работе [2] была описана методика расчета параметров ГНМП, при определении которых использовались спектроскопические данные значений термов свободных ионов [3]. Необходимость получения выражения формфактора ГНМП связана с его широким использованием при расчетах различных характеристик металлов [4-12].
Целью настоящей работы является получение выражения формфактора ГНМП простых металлов в полной нелокальной теории.
ГНМП иона 1-7(г,е) записывается в виде [1]
(1)
1=0
где
V,(r,e) =
Z
'ßK(r, Ят) =
£
1=0
1
Me)
Z
'дк (r, R„
(l+(r//?mpl)
К '
Ям — параметр,характеризующий радиус модельной сферы; К и М — целочисленные степени; ■вк(г,Ят) — функция, сглаживающая ступенчатый характер модельного потенциала; е — энергия рассеивающегося электрона в поле свободного иона; / — орбитальное квантовое число; X — валентность иона; г — расстояние от центра иона; Д/(е) — параметр, характеризующий глубину потенциальной ямы ГНМП для каждого / при г, близких к нулю. Из (1) видно, что /?,„)-> О при г —} ос и дк(г, /?,„)—> 1 при г —} 0. Так как потенциал при г > Ra должен равняться кулоновскому потенциалу иона, то необходимо выполнение условия /?,„)« О при г «/?,„. На рис. 1 приведены зависимости дк{г,Ят) от х = г/кт при К=\А и 12. Видно, что условие ■дк(г,Я т) — 0 при г — Rm не выполняется при К= 1, выполняется приблизительно при К = 4 и выполняется с высокой степенью
2.0 х
Рис. 1. Зависимость ён(г,Ят) от х = при К = 1 (сплошная кривая), 4 (штриховая) и 12 (пунктир)
точности (сотые доли процента) при К= 12. По аналогии с теорией модельных потенциалов типа Хейне-Абаренкова [4] будем считать, что параметр Ям характеризует модельную сферу. Но в случае гладкого потенциала, как видно из рис. 1 и выражения (1), четко выраженной границы модельной сферы не существует. Значение Ям неявно связано с параметром К. Эта связь обусловлена требованием близости модельного потенциала к кулоновскому при г>Яа. Исходя из этого требования, мы должны выбирать такие К и Ям . чтобы выполнялось условие близости ГНМП к кулоновскому потенциалу при г > Яа, т.е. дк(г,/?,„)« О при г к, Яа и /?,„) —> 0 при г —> ос. Как видно из рис. 1
и выражения (1), при К= 12 и Ям ~ Яа отклонение значений ГНМП от кулоновского составляет порядка сотых долей процента, а с ростом г это отклонение быстро уменьшается. При /С =12, видимо, следует выбирать Ям близким к радиусу атомной сферы. В этом случае можно считать, что «модельная сфера>> совпадает с атомной. Подобный выбор параметров приближает ГНМП к ячеистому потенциалу, в котором «модельной сферой>> можно считать ячейку Зейтца [13]. Для магния параметры потенциала при К= 12 и Ям = 3.35 ат. ед., рассчитанные по методике [2], приведены в таблице. Используя эти данные, сравним ГНМП иона с оптимизированным потенциалом (ОМП) [8-10].
На рис. 2 приведены значения потенциала иона магния в кристалле для двух значений / в моделях ГНМП и ОМП, а также значения кулоновского по-
Значения параметров ГНМП потенциала Mg Aq, А\, Ао, -¿¡¡г, -¿¡¡г, -¿¡г и значения Rm, fi, используемые в работе (ат. ед.)
A0(Ef) d/h(F,ï dE E=E, Ax(Ef) dA](E} dE E=E, A2(EF) d/UF.i dE E=Ef Rm fi £ 0
-2.257 -1.316 — 1.454 -0.729 3.091 -0.174 3.35 156.8 1.623
U(r), ат. ед. 4
1 = 0
Рис. 2. Значения потенциала иона магния для двухорбитальных моментов в модели ГНМП (К = 12) (штриховая кривая) и ОМП (пунктир). Для сравнения приведен кулоновский потенциал (сплошная кривая)
тенциала. Видно, что при г > Ra (Ra~ 3.35 ат. ед.) различие между значениями потенциала для обоих значений / невелико. Существенные отличия наблюдаются при г ^ Ra как по величине, так и по характеру зависимости V{r). ОМП больше нуля и не изменяется при г < Я°мр, а при г ^ Я°мр ОМП равен кулоновскому потенциалу. К недостаткам ОМП можно отнести его нефизический излом при г = Я°мр, поскольку его производная имеет разрыв второго рода, что должно приводить к нефизическим осцилляциям формфактора ОМП в обратном пространстве. ГНМП в области г < Ra меняет знак и значительно отличается от ОМП при г < Я°мр, а в области г ^ Я°мр с ростом г приближается к кулоновскому потенциалу. ГНМП не имеет нефизических изломов и плавно переходит от псевдопотенциала остова к кулоновскому потенциалу вне атомной сферы.
В потенциале (1) можно выделить локальную, не зависящую от е и Я/, и нелокальную, зависящую от е и Я/, части. Для случая простого металла, как и в [6], положим все Л/ для />1 равными С = А2. Тогда (1) запишем в виде суммы локальной и нелокальной частей:
где
VKr) = Vjoc(r) + Vnonloc(r),
Vjnc(r) = -- + Rm) - C-ûK(r, Rm),
г г
Vnonioc(г) = - - С)'дк(г, Rm)P,.
1=о
(2)
(3)
В выражениях (3) Я/ — проекционный оператор.
Матричный элемент ГНМП неэкранированного иона также можно представить в виде суммы локальной и нелокальной частей:
(k + #k.(r, s)\k) = B(q) + F(k, k + q- £), (4)
где
An
т _ . . Sltlt Cjf") о 1
Ц,К(г)-Г dr.
qr
Разбивая Vjoc на сумму двух членов — одного, имеющего аналитический вид, и другого в виде интеграла, берущегося лишь численно, — запишем
Аж7
B{q) = ^[-BM+B2{q)l
iîq
B\(q) = \ + С В2 = х
тт R,t
2l2ll!Z sin(/)
(5)
(l +Р)К
dt,
где Х = дЯ,„, /д-'(^) многочлен порядка К — 2. Учитывая линейную зависимость Д/(£) от энергии:
А,{Е) = А,{ЕР)
dE
(Е — £/•)-
нелокальную часть формфактора ГНМП можно разбить на сумму двух функций — энергозависящей нелокальной части формфактора и энергонезависящей:
F(k, k + q-E) = F0(k, k + q) + F\{k,k + q; E), (6)
где
F0(k,k + q)
4тг Rfn ÎÏ
x
X
1=0
Fdk,k + q;Ek) =
2
£[2/+1]
1] [Ai(Ef) — C]Df(j(a, b)P[(cos ©), 4vr Rl
Q
x
X
1=0
ШМЕ))
dE Е=Ер
X
0
x (Ek - EF)DKii(a, b)P[(cos @),
угол между векторами k и k + q, P/(cos@)
полином Лежандра, Е& — энергия электрона с импульсом к, Ер — энергия электрона на уровне Ферми, Ь= \к + щ\Я.т, а = \к\Ят, Я=\Ь — а\, Б = Ь + а. При вычислении Ок^(а,Ь) приходим к следующим интегралам, которые берутся аналитически с помощью вычетов:
DK,i{a,b) =
J_
ab
о
Можно показать, что
ji(at)ji(bt) (1+i2)*
t dt.
(7)
DKfl(a,b) = ^-b(fK(R)-fK(S))
ж
ВКЛ{а,Ь) =
-1
DK,2(a,b) =
2(ab)2 СfHS) + abfH(S)) 3
2к(К — 1)!' (/!(/?) - abfim -
ж
2 {abf
2к(К — 1)!' (fl(R)-abti(R))
(/|(S) + a6/|(S))]
ж
2к(К — 1)!
■DKt0(a,b),
где $(Х), $(Х), §(Х) - многочлены
порядка К — 2, К—\, К, К + 1 соответственно, которые вычисляются по формулам
/да
хк-
-с'
(K-l+j)\
k-
2/ (К- 1)!
/=о
(8)
Здесь С!к_х — число сочетаний из /i — 1 по /. В частности, для /\ — 12
Д21 (X) = е^х(х10 + 550х9 + 1485х8 + 25740х7 + + 315315х6 + 2837835418918900х4 + 91891800х3 + + 310134825х2 + 654729075х + 654729075),
/,°2(Х) = е~х(хи + 66х10 + 2145х9 + 45045х8 + + 675675х7 + 7567560х6 + 64324260х5 + + 413513100х4 + 1964187225х3 + 6547290750х2 + + 13749310575х+ 13749310575),
fl2(X) = е^х(х12 + 78Х11 + ЗООЗх10 + 75075х9 +
+ 1351350х8 + 18378360х7 + 192972780х6 + + 1571349780х5 + 9820936125х4 + 45831035250х3 + + 151242416325х2+316234143225х+316234143225),
f?2(X) = e^x (х13 + 91х12 + 4095хп + 120120хш + + 2552550х9 + 4135131Ох8 + 523783260х7 + +5237832600х6+41247931725х5+252070693875х4 + + 1159525191825х3 + 3794809718700х2 +
+ 7905853580625х + 7905853580625)
Таким образом, как видно из этих выражений, в отличие от формфакторов типа Хейне-Абаренко-ва, матричные элементы ГНМП с ростом вектора рассеяния убывают по экспоненциальному закону и не содержат нефизических оецилляций (не содержат тригонометрических функций, зависящих от вектора рассеяния).
Самосогласованный потенциал металла можно представить в виде суммы потенциалов ионов и экранирующего потенциала, созданного электронной плотностью psc почти свободных электронов:
Кг = Vi + VeePsc (9)
Vee — потенциал электрон-электронного взаимодействия; Vi — потенциал ионов кристалла, равный сумме потенциалов неэкранированных ионов.
Если учесть «размытость» заряда ортогонали-зационной дырки, то экранирующую электронную плотность можно представить в виде суммы [11]
Psc = Pps + Port, (10)
pps- псевдоплотность, построенная из псевдоволновых функций; port — плотность заряда ортогона-лизационных дырок. Если ограничиться линейными по потенциалу членами, то псевдоплотность можно выразить через экранирующий функционал [11] от потенциала экранированного иона
PpM=SW(ilV(k,k + q,E)), (11)
где S(q) — структурный фактор.
Экранирующий функционал для простых металлов [11, 12, 14] представляет собой сумму в k — пространстве по k в области < kf, которую можно представить в виде интеграла:
U[F(k,k';E)]=2j2
k<kF
2F(k.k':E)
k2
2tt (2vr)3
•k>2
k<kf
2F(k.k':El;)
k2 - k'2
dk. (12)
В случае если числитель подынтегральной функции в (12) зависит только от д и не зависит от к, то
1-е(<7)
ЩО/о?)] = /(<?)-
Vee(q)
(13)
где Уее(ч) — потенциал электрон-электронного взаимодействия с учетом обмена и корреляции, е{я) — диэлектрическая проницаемость с учетом обмена и корреляции.
Как следует из (9)—(13), экранированный форм-фактор потенциала иона можно представить в виде
У (к, к + ц, Ек) = У|0П(Л, к + Ек) + Уогх{ч) +
+ Уее(я)П №(к,к + д,Е)}, (14)
Уол{ч) — потенциал ортодырки в приближении Дагенса [11]. Разобьем потенциал неэкранирован-ного иона на сумму локальной и нелокальной частей потенциала аналогично (6). Для простоты записи опустим аргументы, тогда (14) можно переписать в виде
V = КпоШос + Мое + Уот{ + УееЩПУ]. (15) Воспользуемся соотношениями (13), (14), тогда
ЩПУ] = ЩОДоШос + Мое + Коп)] + (1 - е)П[Ша
(16)
С помощью (16) выразим экранирующий функционал от потенциала экранированного иона через экранирующий функционал от потенциала неэкра-нированного иона и подставим его в (15). В результате получим выражение для потенциала экранированного иона в полной нелокальной теории. В итоге получим
У(к,к + щ, Ек) = ^(Л, * + ц, Ек) +
В(с?) + УоЛч) + к + д, Е)]
+ ■
е{ч)
, (17)
где
/(?) = ! П-ехр (-0.535
(18)
¡(ц) — обменно-корреляционная функция в приближении Шоу [10],
УоЛч) = Уее(ч)£^\ПоЛч),
(19)
7 °
== —о 7Г
4тгД| П
¿[2/ + 1]
1=0
\diME))
йЕ Е=ЕР_
Ык, (20)
ПогЛя) ~ формфактор плотности заряда ортогона-лизационной дырки [12].
При численных расчетах подобных интегралов типа (12) возникают проблемы, связанные с особенностью подынтегральной функции при \к\ = \к'\. Эта трудность преодолевается, если представить этот
кГ
Рис. 3. Области интегрирования при вычислении экранирующего функционала от нелокальной части потенциала. При ¿7 < 2Щ область А — область перекрытия окружностей справа от прямой МЫ (более темная область). Область В — более светлая область справа от прямой МЫ. При ц > область А отсутствует, область В — область, ограниченная окружностью радиуса Щ
интеграл в виде суммы двух интегралов по различным областям интегрирования таким образом, чтобы особенности подынтегральной функции оказывались на краях интервалов интегрирования. В этом случае численное интегрирование не представляет сложности при использовании метода особых точек Гаусса. Численные расчеты производились в полярной системе координат в двух областях интегрирования (рис. 3). Выражение для расчета интеграла от нелокальной части потенциала представим в виде суммы по областям А и В:
П[ Р(к,к'-,Е)] = иА[Р(к,к'-Е)]+ив[Р(к,к'-Е)}.
(21)
Первое слагаемое в (21) имеет вид
ЯА[РК(к,к'-Е)} =
и,
Г2
7Г
'1 к йк
ка
¡а
V - к* ' [ '
где
Ь = {к? + д2
Л2
2кд
при & ^ — д, при к > Щ — q,
(\
при к^-,
Я и Я
2к ПРИ 2'
ка
0 при
Щ — д при
Второе слагаемое в (21) записывается следующим образом:
П в\РК(к,к!-Е)\ =
П
7Г
йк
ка -1
2
к2 - к'2
сН, (23)
V{q), ат. ед. 0.051
-0.05-
-0.1-
-0.15-
-0.2 J
Рис. 4. Зависимости экранированного матричного элемента ГНМП (рассеяние назад, пунктир) и ОМП (сплошная линия)
где t = cos(ф) (рис. 4), k'2 = q2 + k2 — 2qkt, P0( cos9)=l, P,(cose) = cos(0), P2(cose) =
= 0.5(3 cos2(0) - 1), cos(0) = ,
0 при q ^ kf.
k„ =
kf — q при q < kf.
h = w
■ q2 — k2
2k q
при k ^ q — k¡\ при k>q — k¡.
Точность интегрирования можно контролировать с помощью предельных соотношений [14]
Ит Пл[/7с(А,А';£)] =-Z.jp,, ({—^о
lim Пß[F/{(k, k'\Е)] =
q^t-0
3ZFK(kf,kf;Ek[
Ц
Обычно при сравнении различных моделей псевдопотенциалов [4, 7, 8] используют матричные элементы потенциала экранированного иона при «рассеянии назад». В этом случае при расчете нелокальной части потенциала учитывалось, что
q <
q — к)\ q ^ 2Щ.
\k¡ +q\
На рис. 4 приведена зависимость ГНМП экранированного иона магния при «рассеянии назад». Видно, что значения матричного элемента ГНМП при q < 2kf несколько выше значений матричного элемента ОМП [8, 9]. При q > 2kf формфактор ОМП имеет осциллирующий характер (меняет знак) и с ростом q стремится к нулю. Подобные осцилляции формфактора ОМП связаны с его негладким характером. Формфактор ГНМП, в отличие от формфактора ОМП, плавно убывает при q > 2k[, стремясь к нулю с ростом q.
Литература
1. Крисько О.В., Силонов В.М., Скоробогатова Т,В., Бокарев Д.П. 11 Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2006. № 1. С. 76 (Moscow University Phys. Bull. 2006. N 1. P. 100).
2. Крисько О.В., Силонов В.М., Скоробогатова Т,В., Бокарев Д.П. 11 Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2006. №5. С. 53 (Moscow University Phys. Bull. 2006. N 5. P. 56).
3. Moore C.E. Atomic energy levels. National bureau of standarts. V. 1-111. Washington, D.C., 1949.
4. Харрисон У. Псевдопотенциалы в теории металлов.. М„ 1968.
5. Heine V., Abarenkov /. // Phil. Mag. 1964. 9. P. 451.
6. Animalu A.O.E., Heine V. // Phil. Mag. 1965. 12, N 20. P. 1249.
7. Хейне В., Коэн AI, Уэйр Д. Теория псевдопотенциала. М„ 1973.
8. Shaw R.W., Harrison W.A. 11 Phys. Rev. 1967. 163. P. 604.
9. Shaw RAW. 11 Phys. Rev. 1968. 174, N 3. P. 769.
10. Shaw R.W., Punn R. // J. Phys. C. 1969. 2, N 2. P. 2071.
11. Dagens L. // J. Phys. F: Metal Phys. 1976. 6, N 10. P. 1801.
12. Dagens L. 11 Phys. Stat. Sol. (b). 1977. 84. P. 311.
13. Займам Дж. Вычисление блоховских функций. М., 1973.
14. Силонов В.М. Введение в микроскопическую теорию твердых растворов. М., 2005.
Поступила в редакцию 03.03.06