Фокусировка скалярной волны в импульсном приближении Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИКА

УДК 535.42

М. К. Лебедев, Ю. А. Толмачев, М. В. Фроленкова, А. В. Кытманов

ФОКУСИРОВКА СКАЛЯРНОЙ ВОЛНЫ В ИМПУЛЬСНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

Введение. Исследование процесса дифракции плоской волны, имеющей дельтаобразную зависимость амплитуды от времени [1-4] показало, что развитый импульсный метод перспективен при расчете дифракции волн с практически произвольным по форме волновым фронтом. Данная работа посвящена применению этого метода для расчета распределения амплитуды поля вблизи фокуса скалярной сферической волны, в приближении Кирхгофа решена задача дифракции такой волны на отверстии. Наряду с аналитическим решением осуществлено моделирование распространения волны методом Монте-Карло.

При исследовании взаимодействия сферической волны с отверстием в поглощающем экране за основу возьмем соотношение для точечного отверстия, полученное в работах [2, 3]. При освещении такого отверстия дельтаобразной во времени плоской волной будем предполагать, что локальная форма фронта падающей волны не сказывается на виде распределения амплитуд за отверстием.

Общее решение. Пусть экран находится в плоскости (х,у), направление нормали к фронту волны в данной точке примем за ось 0г. Тогда в точке наблюдения Р с координатами (г,?/>) в сферической системе, начало которой совмещено с точечным отверстием, для волны /(£,г) = <5(£ — z/c) имеем

Но(г,ф,г) = - г/с) + Л [1 + 20/г]Мг - г/с), (1)

г3 сг

где 20 = ГСОБф и - г/с) = - г/с).

Будем рассматривать дифракцию на круглом отверстии радиуса а (рис. 1, а) возмущения вида

где х - текущий радиус волны. При £ < Я/с эта волна сходится в точку фокуса Р. В качестве замкнутой поверхности интегрирования 5 при вычислении интеграла Кирхгофа [5] возьмем сферу радиуса Н, совпадающую с фронтом волны в момент времени Ь — 0. Проведем через центры сферы и отверстия ось (Ь, и обозначим через г расстояние от текущей точки интегрирования до точки наблюдения Р. Как видно из рис. 1, а,

© М. К. Лебедев, Ю. А. Толмачев, М. В. Фроленкова, А. В. Кытманов, 2005

Рис. 1. Системы координат. а - исходный расчет; б- расчет поля вне оси симметрии системы, ЕВКС - круглое отверстие в сфере; в - сечение сферы плоскостью: проходящей через точку наблюдения и центр сферы, точки А, К соответствуют рис. 1 б.

г2 =R2 + (R- С)2 - 2R(R - С) cos Ь,

здесь С - расстояние от Р до ближайшей к ней точки поверхности S по нормали к фронту волны, а в - угол с вершиной в точке фокуса F между направлением на точку наблюдения и направлением на текущую точку интегрирования. Воспользуемся интегралом Кирхгофа, позволяющим найти поле внутри некоторой области с помощью интегрирования по поверхности этой области. «Запаздывающие» величины, входящие в интеграл Кирхгофа, имеют вид [V] = MblZsb [^] = |Wj _ щ-тщ __ s^t-r/c^ Пе

реходя к координатам (г, <р), где </? - угол поворота вокруг прямой, проходящей через точку наблюдения Р и точку фокуса F, и, как это было сделано в работах [3, 4, 11],

2тг

вводя функцию Ф(г) = / T(r,ip)ckp, в которой Т - амплитудное пропускание экрана,

о

получаем

У{Р'*) = (а+ШК(Е-0+0ф'(Ct) [в (* “ С/С) ' ® (* - (2Л ~ 0 /С>1 +

Первое слагаемое в этом выражении описывает краевую волну, сомножитель, содержащий разность функций Хевисайда, устанавливает временные границы, в которых сигнал краевой волны в заданной точке наблюдения Р может быть отличен от нуля.

Второе слагаемое по физическому смыслу есть пропущенная отверстием часть исходной волны, сходящейся к фокусу. Величина Ф (С) определяется одним-единственным значением пропускания экрана - в точке поверхности 5, ближайшей к точке наблюдения. Если пропускание в ней равно 1, то Ф (£) = 2тт; если 0, то Ф (О = 0. Как видно из рис. 1, а, Ф (С) = 27т, когда точка наблюдения находится внутри конуса с вершиной в опирающегося на края отверстия. Это означает, что она лежит в пределах зоны, освещенной исходной сходящейся 5-волной. Импульсный отклик в освещенной зоне складывается из суммы исходной волны и краевой.

Предположим теперь, что имеется однородно пропускающее прозрачное круглое отверстие, т.е. Т = 1 в пределах отверстия и Т = 0 на остальной поверхности экрана. Внутреннее пространство сферы разделим надвое плоскостью, проходящей через центр сферы нормально к оси Ог. Пусть точка наблюдения Р расположена в ближайшей к отверстию половине области пространства внутри Б и находится в освещенной зоне, как показано на рис. 1, о. В такой точке первое и второе слагаемые в (2) отличны от нуля, а третье обращается в нуль. В другой полусфере, напротив, в нуль обращается множитель при втором слагаемом и отлично от нуля третье. Следовательно, оно описывает прошедшую через фокус расходящуюся (5-волну. Как видно из (2), знак возмущения в этой волне противоположен знаку волны, падающей на отверстие. Такое изменение знака совпадает с данными [5] и соответствует скачку на п фазы монохроматической волны при прохождении ее через фокальную точку [б].

Особо остановимся на случае свободного пространства. Для замкнутой сферической волны Ф (сЬ) = 2-7Г и Ф' (с£) = 0 при всех с£ 6 [С, 2Я — С]) т- е- отличны от нуля только второе и третье слагаемые в (2). Две волны - сходящаяся и расходящаяся - существуют в разное время: первая - до прихода в центр сферы, а вторая - после его прохода. Знаки сигнала в них противоположны.

Можно провести аналогию между свойствами полученного решения и рассмотренным в работал [1-4] случаем дифракции плоской волны на круглой диафрагме. «Вырезанный» отверстием участок падающей сходящейся сферической волны распространяется внутри конуса с вершиной в опирающегося на края отверстия. Этот конус есть граница между освещенной областью пространства и областью тени. В случае плоской волны он соответствует цилиндру, опирающемуся на границы круглой апертуры и делящему пространство на область, освещенную в приближении геометрической оптики, и область тени. Дифрагированная (краевая) волна для сферического варианта задачи имеет более сложную пространственно-временную структуру, чем для плоского, но знак ее тоже меняется на границе свет/тень. Рассчитанная форма распределения амплитуд в данной волне для нескольких моментов времени показана на рис. 2. Как и в случае плоской волны, длительность сигнала, соответствующего краевой волне, ограничена временем распространения волны от наиболее удаленного и наиболее близкого к точке наблюдения края отверстия.

Поле круглого отверстия на оси симметрии. Поле краевой волны на оси симметрии системы имеет особенность, хорошо видную на рис. 2: область, в которой оно отлично от нуля, на оси стягивается в точку, движущуюся со скоростью больше с [1, 7]. Перед фокусом эта точка догоняет, а после него - опережает фронт исходной волны. Прямое вычисление

Рис. 2. Развитие во времени краевой волны при возбуждении круглого отверстия сходящейся сферической 5-волной.

Нейтрально-серый фон соответствует нулевым значениям амплитуды, более темным показаны отрицательные значения, светлым - положительные. Различные моменты положения краевой волны на оси симметрии: а - перед фокусом, б - в фокусе, в - после фокуса.

где I - расстояние от точки наблюдения до края отверстия. Вновь имеем аналогию со случаем дифракции плоской волны [1-4]: сигнал состоит из двух 5-функций разного знака, которые соответствуют прошедшей и краевой волне. Если точка наблюдения Р находится на оси Ог по отношению к поверхности экрана ближе, чем фокус, то первой в нее приходит падающая сходящаяся сферическая волна (положительный <5-импульс), следом - отрицательный <5-импульс краевой волны. В области правой полусферы (за точкой фокуса) полный импульсный отклик вновь имеет вид последовательности во времени положительной и отрицательной 5-функции. Вместе с тем расстояние от края отверстия до точки наблюдения,'■лежащей на оси Ог, становится меньше, чем прямое вдоль оси. Следовательно, первый импульс соответствует краевой волне, а второй - проходящей. Это означает, что как проходящая, так и краевая волна меняет знак, миновав центр кривизны.

Рассмотрим точку фокуса волны. Переходя к пределу при £ —> /2 в (3), имеем

т. е. форма сигнала в фокусе пропорциональна первой производной сигнала падающей волны по времени. В теории дифракции сложных плоских волн такая особенность для больших расстояний от отверстия известна [8]. К тому же качественному заключению мы придем, взяв как исходные результаты импульсного анализа [1-4] и вспомнив, что фокусу линзы соответствует изображение бесконечно удаленной точки.

Хотелось бы еще раз обратить внимание на то, что импульсный подход к исследованию процессов дифракции позволил установить разное происхождение двух совпадающих по амплитуде и качественному виду последовательности 5-импульсов на оси симметрии в окрестности фокуса: в первой полусфере (перед фокусом) первый импульс есть элемент падающей сферической волны, а второй - дифрагированной, она несколько отстает от первичной. Во второй полусфере (после фокуса) обе волны меняют знак, теперь импульс краевой волны опережает падающий. Внешне это выглядит как сохранение формы импульсного отклика. Два импульса на оси симметрии системы становятся различимыми по форме, если пропускание отверстия неоднородно, как, например, при дифракции на гауссовой диафрагме [9].

Поле вблизи фокуса. Соотношение (2) позволяет рассчитать поле в любой точке пространства внутри сферы, однако, подобно случаю плоской волны во фраунгоферовой области

импульсного отклика круглого отверстия на оси Ог дает

с 6(і-1/с), (3)

V'(Г, і) ос 6({і - Я/с),

(4)

пространства [4, 7], для ближней окрестности фокальной точки можно получить простое по форме аналитическое соотношение. Пусть точка наблюдения Р находится вне оси симметрии задачи. Повернем систему координат на некоторый угол а так, чтобы новая ось 0-г' проходила через центр сферы и точку наблюдения (см. рис. 1, б). Расчет поля осложняется тем, что при этом теряется простая симметрия системы относительно точки наблюдения. Отверстие в сфере на рис. 1, б обозначим ЕВКС. В отличие от рассмотренного выше случая, расстояния от точки наблюдения Р до ближней и дальней границ отверстия становятся различными по величине И соответственно равны Ь, 12, причем /1 < 1-2-

Значение функции Ф находим следующим образом: возьмем произвольную точку А на поверхности сферы и зафиксируем расстояние г от нее до точки Р. При повороте вектора РА вокруг новой оси Ог' на некоторый угол конец вектора движется по окружности, образованной пересечением образующей конуса со сферическим экраном. Если г > 1-2, то окружность все время лежит в области экрана, а для г < 1\ - в области отверстия. Следовательно,

{2тг,7* < и.

<г < 12, (5)

О,г > /з,

где угол </?1 определяется разностью направлений вектора РА из точки Р в точки пересечения окружности конического сечения с краем отверстия.

Перепишем формулу (5) в виде

Ф(г) = 2п©(/, - г) + 2*>, [0(7- - /,) - 0(г - 12)}, (6)

тогда Ф (г) = —2п5(11 - г) + 2ф\ [<$(г — 1\) — 5(г - /2)] + 2-^-[©(г - /1) — 0(г - /2)] •

Учитывая, что (р: = ж при г — Ь и <р\ = 0 при г = /2, получаем

Эр

Ч" (Г) -- J.

Из (2), (6) и (7) следует

Ф'(г) = 2^- [©(г - /0 - 0(г - 12)] • (7)

yrpt\- (Ct + 2R------С)(с* + С) &Pl_ rQ/rf _ / ) _ Qfct _ / \1 + №_С/с)

{ } 4ntR(R-0 Эг [UlCt h) UlCt (Я-О •

Введя для удобства вычислений переменную 9 - угол между осью Оz1 системы и направ-

R2 + (R — С)2 - г-2

лением на текущую точку сферы, находим cos 9 ~ -------- ---------. Углы 9 и 7 показаны на

2R(R — Q)

рис. 1, б, представляющем собой сечение сферы плоскостью EFK (рис. 1, б).- Имеем

( cos 7 — cos 9 cos а

ipi = arccos -----:------:— --

\ sm’asinfl

где 7 - апертурный угол отверстия. Тогда

d<pi cos a — cos 0 cos 7

sin2 a sin2 9 — (cos 7 — cos 9 cos a)2 C) $

Таким образом, значение поля прошедшей волны в точке Р есть

V[P't] = % -о - m [@{t ~ h/c) - &{t ~h/c)] ■ (8>

Здесь

_ (ct + 2R — Q(ct + £)_____________________cos a — cos 9 cos 7

4ntR(R Q ^js-n2 a д|д2 q _ ^cog ^ _ CQS q CQS a^2 R[R £) sin2 9

(9)

Окончательное выражение для f(t) не приводим ввиду его громоздкости. Получить его нетрудно, заменив в (9) переменную 9 на г и учтя, что г = ct.

Найдем предельное значение V(P, <) при а « 1. Такому случаю соответствует положение точки наблюдения Р вблизи оси симметрии системы. Заметим, что при а -» 0 выполняется ii ~ 1г, интервал изменения г становится очень мал, область интегрирования при вычислении функции Ф стягивается в узкое кольцо, и cos9 ~ cos'y, тогда — l\ — 4R{R — £)sinasin7.

С учетом этого после элементарного преобразования (9) получаем

_ с(с^ + 2Р - C)(ci + С)___________sing sin 7________________1

nR(R С) s-n2 asin2 Q _ (cos-y _ cos Q cos Q,)2 (^2 — I\)2l

Отметим, что при a -» 0 данное соотношение для f(t) приводит (8) к (3).

Численное моделирование распространения сферической волны. Приведем результаты моделирования пространственно-временной структуры сигнала, распространяющегося со скоростью с — 1 и имеющего на сфере радиуса R — 10 форму

вида f(t) = exp ^ cos2 (<Гз)- ^на приближенно соответствует модели ульт-

ракороткого импульса, использованной в [10], и измерениям, приведенным в обзоре [11]. Пространственная протяженность такого сигнала намного меньше радиуса сферы, и он может рассматриваться как состоятельная модель 5-импульса. Моделирование осуществлялось с помощью соотношения (1). Рассматривалась круглая апертура с относительным отверстием 0,2. На поверхности сферического сектора размещалось случайным образом N = 2500-10000 точечных источников (при N > 2000 форма полученного при расчетах сигнала вблизи центра сферы практически переставала зависеть от N). Рассматривалось распространение волны до центра и далее, при этом учитывалась интерференция волн от всех точечных источников.

Результаты расчета формы сигнала в центре сферы демонстрирует рис. 3. Сравнение кривых 2 и 3, соответствующих аналитическому расчету и результатам моделирования, полностью подтверждает правильность полученного для центра сферы соотношения (4). Сопоставление структуры импульсного отклика в точках, симметрично расположенных по времени относительно фокуса на оси 0г, также показало полное совпадение формы, как и следует из (3). Таким образом, моделирование также указывает на изменение знака сигналов прошедшей и краевой волн при прохождении через фокус.

Следующим шагом явилось моделирование ситуации, когда краевая волна отсутствует. Рассматривался процесс распространения замкнутой сферической волны. В данном расчете N — 2500 точечных источников размещалось случайным образом на всей поверхности сферы радиуса R = 10. Пространственная их плотность при этом оказывается существенно меньше предыдущего случая. Начальная форма импульса была

выбрана гауссовой: /(£) = ехр 4X0 позволило упростить качественную

интерпретацию результатов расчета. Скорость распространения вновь была выбрана равной единице. Рис. 4 демонстрирует' изменение во времени распределения поля в плоскости, проведенной через центр сферы. Хорошо видно формирование сходящейся сферической волны и превращение ее в расходящуюся после прохождения фокуса. Знак сигнала при этом меняется на противоположный исходному. Амплитуда волны, как и следовало ожидать, нарастает Обратно пропорционально времени распространения до центра (рис. 5). При совпадении медианы гауссовой функции с центром наблюдается особенность амплитуды полят хорошо видная на рис. 4, 5. В этот момент поле волны

Рис. 3. Форма импульса при дифракции на отверстии (амплитуды сигналов нормированы).

1 - на поверхности сферы; 2 - первая производная сигнала §{; 3 - сигнал в центре сферы (кривая сдвинута по оси ординат для удобства сравнения).

обращается в нуль во всем пространстве сферы. Данное обстоятельство с очевидностью указывает на проблемы, которые могут возникнуть, если при изучении вопросов, связанных с законом сохранения энергии, пренебречь слагаемым, которое определяется производной амплитуды по времени [12].

Дифракция монохроматической волны. Сопоставим полученный вывод с данными теории дифракции монохроматической сферической волны [6]. Упростим выражение (3) для отклика круглого отверстия на дельтаобразную сферическую волну в непосредственной окрестности точки фокуса на оси симметрии системы. Введем линейную координату х, измеряя расстояния от точки Г, и заменим переменную времени £ на г, отсчитывая время от середины £о интервала между моментами последовательного появления двух (5-функций и £о = (^1 + Ы/2. Тогда т = £ - £0, и вместо (3) получаем

У {Х'Т) х \ КТ + | I) - Чт “ I ^ 2 )

(10)

£2 - *1 £2 - к

----Г“<Т<+~2~'

где, как и раньше, 7 - апертурный угол, отсчитанный от оси 0г до края отверстия. Вычислив фурье-образ (10) и опустив фазовый множитель, описывающий задержку

Рис. 4■ Результаты моделирования развития во времени поля импульсной волны внутри сферы.

Радиус сферы R = 10, эффективная пространственная длина импульса в направлении распространения равна 0,3. Показано распределение амплитуд в плоскости, проходящей через центр сферы для моментов, указанных на оси t. Импульс

/(і) = ехр (о^з)2) стартует с поверхности сферы в момент t = 0 со скоростью

с = 1, и центр его достигает центра сферы в момент t — 10.

Рис. 5. Зависимость амплитуды импульса от его положения внутри сферы.

По оси ординат отложено произведение амплитуды на радиус, по оси абсцисс - текущий радиус. Флуктуации вызваны применением случайного изменения координат излучающих точек на поверхности, что позволяет оценить точность расчета амплитуды импульса. Количество излучающих точек в данном расчете увеличено до 180 000.

волны относительно исходного ее положения, имеем

А (ж, Л) = 47гі

sin2 і

sin (2тг| sin2 %) 2тг| sin2 \

(11)

Соотношение (11) точно совпадает с известным распределением амплитуд вблизи фокуса монохроматической сферической волны [6].

Заключение. Рассмотренная в данной работе модель сигнала в виде дельтаобразной сферической волны является идеальным математическим образом, удобным для исследования распространения волн в линейном приближении. При переходе к реальным сигналам необходимо найти импульсный отклик, проведя интегрирование соотношения (1) по площади отверстия, а на заключительном этапе вычислить свертку отклика с реальным входным сигналом. Простота полученных в работах [1-4, 7, 9 и др.] конечных соотношений и прозрачность их физической интерпретации показывают, что в применении к фемтосекундным сигналам (а также любым другим предельно коротким) развитый подход более предпочтителен, чем традиционный, связанный с разложением волновых процессов в спектр Фурье и анализом дифракции монохроматических волн.

Необходимо заметить также, что точка фокуса однородной по амплитуде сферической волны, ограниченной отверстием, является «дифференцирующим элементом». Производную сигнала по времени можно, естественно, зарегистрировать только с помощью приемника, измеряющего амплитуду сигнала. Реакция интегрирующего прием-ника, установленного в фокусе волны, должна быть при этом пропорциональна форме исходного сигнала.

Работа выполнена при поддержке МНТЦ (проект №1471) и программы «Интеграция».

Авторы выражают признательность академику В. Б. Беляеву за детальное обсуждение результатов работы.

Summary

Lebedev М. К., Tolmachev Yu. A., Frolenkova М. V., Kytmanov А. V. Transformation of the femtosecond pulse time structure in the focal point.

Using the pulse method of analysis, diffraction of the convergent spherical wave was studied. Simple analytical solution for the wave diffraction from circular aperture was found for the symmetry axis as well as for neighborhood space. The signal in the focal point is shown to be the first derivative of the initial one independently of the size of aperture.

Литература

1. Сулейменов И. Э., Лебедев М. К., Толмачев Ю. А. // Оптика и спектроскопия. 2000. Т. 88, № 1. С. 104-109. 2. Lebedev М. К., Tolmachev Yu. А. // Proc. SPIE. 2000. N 4071, Р. 184-190. 3. Лебедев М. К., Толмачев Ю. А. // Оптика и спектроскопия. 2001. Т. 90, 3. С. 457-

463. 4. Лебедев М. КТолмачев Ю. А. // Физическая мысль России. 2002. Вып.1/02. С. 59-68. 5. Horvath Z. L., Bor Zs. // Phys. Rev. E. 2001. Vol. 63. P. 026601-1-026601-11. 6. Борн М., Вольф Э. Основы оптики / Пер. с англ.; Под ред. Г. П. Мотуле.вич. М., 1970. 7. Лебедев М. К., Толмачев Ю. А., Антипов А. Г., Разманова М. В. // Вести. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 2002. Вып. 4 (№ 28). С. 44-56. 8. Гудмен Дж. Введение в фурье-оптику/ Пер: с англ.; Под ред. Г. И. Косоурова. М., 1970. 9. Лебедев М. К., Толмачев Ю. А. // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 2003. Вып. 4 (№28). С. 15-22. 10. Romallosa К. М., Bantang J., Saloma С. // Phys. Rev. А. 2003. Vol. 68. P. 033812-5. 11. Steinmeyer G. // J. of Optics A: Pure and Apply Optics. 2003. Vol. 5. P. R1-R15. 12. Стретт Дж. В. (Лорд Рэлей). Теория звука / Пер. с англ. П. Н. Ушинского, С. А. Каменецкого. М., 1955. Т. 2.

Статья поступила в редакцию 15 мая 2004 г.