CC BY
28
У^К 535.42 Вестник СПбГУ. Сер. 4, 2004, вып^4
А. В. Кытманов, Ю. А. Толмачев, М. В. Фроленкова
ОБ ОСОБЕННОСТЯХ ПРОЦЕССА ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВОЛНЫ В ДЕЛЬТА-ГОЛОГРАФИИ
Введение. Авторами [1-6] был предложен метод записи нестационарных волн, названный ими ¿-голографией. Его особенностью в сравнении с традиционной голографией является применение ультракоротких импульсов или иных ¿-коррелированных, т.е. сугубо немонохроматических, сигналов. Подобно голографии вообще, метод предназначен для записи и воспроизведения пространственной структуры фронта волны, но, в отличие от обычных методов, дополнительно позволяет зарегистрировать изменение во времени амплитуды сложного немонохроматического волнового процесса. Как нам представляется, использование этой особенности в атомной и молекулярной физике может иметь далеко идущие последствия. Нетрудно получить ¿-голограмму поглощающей (например, молекулярной) среды [7-9] и использовать затем ее для генерации сигнала, специфичного только для данного типа молекул. С точки зрения статистической радиофизики, такой сигнал является «согласованным» и при воздействии на молекулярную систему должен обладать максимальным эффектом.
Восстановление сигнальной волны - в последнем случае поглощенной молекулами на стадии записи - при освещении опорной волной голограммы происходит вследствие ее дифракции на компонентах голограммы и последующей интерференции элементарных дифрагированных волн. Вместе с тем исследования последних лет [10-18] показали, что сам процесс дифракции приводит к изменению структуры сложного сигнала во времени - эффект, который не учитывается при традиционном анализе процесса восстановления волны в монохроматической или квазимонохроматической голографии. Вопрос о пространственно-временной (особенно, временной) структуре восстановленной волны является принципиальным не только в связи с указанной выше проблемой восстановления поля молекул, но и в связи с тем, что одним из перспективных направлений применения ¿-голографии видится объемная запись цифровой информации [19]. Она может позволить увеличить плотность записи и восстанавливать одновременно пакеты ультракоротких импульсов. С целью изучения трансформации сигнала в процессе восстановления в данной работе исследуется формирование изображения точки -важнейшего объекта для голографии, восстановленного при помощи кодовой ¿-голограммы.
Пространственно-временная структура сигнала дифракции импульса на тонком кольце. Предположим, что нестационарное поле интерференции образовано при сложении единственной ¿-образной во времени сферической волны с последовательностью пакета плоских ¿-волн, отвечающих некоторому коду, как это описано в работах [4, 5]. С целью упрощения задачи рассмотрим случай, когда плоские волны пакета параллельны друг другу. Будем рассматривать их совокупность, как сложную опорную волну. Сферическая волна в этом случае является предметной. Очевидно, что внутри опорного пакета интерференция плоских волн отсутствует, тогда можно рассматривать взаимодействие каждого из плоских компонентов пакета с предметной волной независимо от остальных., Будем предполагать, как обычно в голографии, что процесс регистрации голограммы линеен по экспозиции. Переход от такого элементарного случая к полной ¿-голограмме осуществляется простым суммированием образующихся интерференционных картин по компонентам опорной волны.
Рассмотрим случай тонкой плоской голограммы. Как было показано в [5], поверхности, где складываются амплитуды каждой из плоских волн пакета и сферической, представляют собой систему софокусных параболоидов вращения, их фокус находится в источнике предметной волны (рис. 1). В качестве оси 0г системы координат возьмем нормаль к опорной волне, проходящую через фокус параболоидов. Для того чтобы записать ¿-голограмму, тонкая регистрирующая среда, имеющая бесконечно высокую разрешающую способность, должна быть
© А. В. Кытманов, Ю. А. Толмачев, М. В. Фроленкова, 2004
Рис. 1. Формирование кодовой ¿-голограммы.
а — опорный пакет 5-волн (последовательность Баркера В4), сплошными линиями обозначены «положительные» (5-волны, штриховыми - отрицательные; б - набор параболоидов, формирующихся в регистрирующей объемной среде, плоская фоточувствительная среда, нормальная к оси симметрии, показана черной линией, она пересекает все параболоиды, следы пересечения - система концентрических колец. Следует учесть, что на рисунке показано положение волн до возникновения интерференции, система параболоидов образуется позже; в - сферическая ¿-волна, точкой обозначен источник.
помещена так, чтобы пересечь всю систему параболоидов. Установим ее параллельно плоскостям опорной волны, плоскость (х,у) совместим с плоскостью голограммы. Сечение каждого параболоида плоской средой представляет собой окружность, диаметр которой зависит от взаимного расположения вершины параболоида и плоскости сечения. Диаметр несет информацию о положении источника сферической волны относительно точки нулевой разности хода двух волн (в общем случае - о взаимном положении источников плоской и сферической волн). Кодовая голограмма точечного источника, полученная в результате интерференции системы плоских волн и одной сферической, будет соответственно выглядеть как совокупность бесконечно тонких концентрических колец. При описанном размещении регистрирующей среды количество их будет равно количеству плоских волн пакета.
Как уже отмечалось, в силу линейности задачи можно выделить одно из колец голограммы и изучить процесс восстановления волны для него, причем полное результирующее поле находится простым суммированием по всей системе колец. На стадии восстановления осветим голограмму плоской ¿-волной и исследуем поле за голограммой. Чтобы свести задачу дифракции плоской ¿-волны на бесконечно тонком кольце к изученным ранее случаям, рассмотрим кольцо конечной ширины, образованное окружностями радиусов ах < аг- Воспользуемся данными работ [13, 14] и принципом Бабине. Тогда поле за пластинкой будет иметь вид расходящихся тороидальных краевых волн и прошедшей без рассеяния ¿-образной во времени кольцевой волны, распространяющейся в объеме, ограниченном цилиндрическими поверхностями радиуса ах и аг. Следуя [14, 20, 21], для импульсного отклика V в точке Р с координатами (хо, го), находящейся в области тени (в приближении геометрической оптики), а дЛя тонкого кольца - это подавляющая часть пространства за экраном, имеем
2тг
[1 + ^1
а{сН2 + а| -Жр - 2р)
(сЧ2 - г>)х/-{-сЧ*+г1т.1П){-сЧ*+г*тЛХ)
X [6(п тах - а) - е<п ЫП - <*)].+ ± [1 + -<*(сУ +а!-«§-«§)
(Л2 - «8)лМ-Ля + г^Х-А» + г! тах)
х [в(г2 тах ~ С«) - ©(г2 тт - С£)] , (1)
Рис. 2. Отклик бесконечно тонкого кольца вне оси, вне оси симметрии (а) и на ней (б).
Двойными стрелками обозначена ¿-функция Дирака, двунаправленной двойной стрелкой - ее производная.
где т\ щах, п тт, Г2тах,Г2тш ~ максимальные и минимальные расстояния от точки наблюдения до соответствующих краев кольца, а © - ступенчатая функция Хевисайда, с - скорость света, Ь - время. Комбинация функций Хевисайда ограничивает пространственно-временную область, в которой импульсный отклик отличен от нуля.
Перейдем в (1) к пределу при а?, —¿и -»0 и обозначим аг = а. Считая, что угол дифракции мал и отличен от нуля (<р << 1, <р = ж°/го ф 0), разложим соотношение (1) В ряд Тейлора и пренебрежем слагаемыми третьего и более высоких порядков малости. Введем переменную времени т, отсчитанную от середины интервала существования отклика (1). Положив Т = ег, получим импульсный отклик /г бесконечно тонкого кольца в виде
«„ Ф О, ,0, т> = £, | (£) [в (Г + М - в (Т - „)] -
Качественно эта функция показана на рис. 2. Из соотношения (2) следует, что структура дифрагированной волны никогда и нигде в полупространстве за экраном не совпадает со структурой падающей. (Интересно отметить, что, как было показано в [11] и подтверждено прямыми расчетами с помощью традиционных методов решения задач дифракции [17], поле в пространстве перед экраном имеет такую же структуру, если принять нулевые граничные условия на его поверхности. Подобный вывод следует и из результатов фундаментальной работы [22].)
У расширяющейся тороидальной волны (2) существует единственная точка самопересечения поверхности. Она находится на оси 0г и пробегает со временем всю положительную полуось от нуля до бесконечности. Таким образом, информация о положении точечного источника при дифракции на единственном кольце оказалась потерянной, запись голограммы с одиночной опорной волной не является инъективной процедурой, разным положениям источника может соответствовать одна и та же голограмма (одно и то же кольцо).
Отклик кольца на оси симметрии при го »а описывается простым соотношением
/»(0, зд, 0 я —6' (го - у/(<*)2 ~ а2) ■ (3)
207Г \ /
Рис. 3. Код Варкера В7.
а - последовательность импульсов; б - автокорреляционная функция последовательности.
Таким образом, если точечный источник предметной ¿-волны в процессе записи находился на достаточно большом расстоянии от голограммы, то импульсный отклик кольца будет представлять собой приближенно производную ¿-функции, взятую с весом, пропорциональным радиусу кольца. Действие оператора ¿' на обычные функции сводится к их дифференцированию, следовательно, и структура восстановленного сигнала во времени будет представлять собой первую производную падающего на экран сигнала. В его спектре при этом происходят значительные изменения: у всех компонентов спектра исходного сигнала появляется весовой множитель, величина которого пропорциональна частоте. (Отметим, что для узкополосных сигналов, в частности в монохроматической голографии, этот эффект не играет заметной роли.)
Восстановление положения источника с помощью кодовой ¿-голограммы. Рассмотрим теперь интерференцию волн, которые образовались при дифракции на кодовой ¿-голограмме опорного кодового пакета, использованного на стадии записи.
Пусть регистрация голограммы осуществлялась с помощью 7 эквидистантных плоских волн, амплитуды которых соответствуют коду Варкера (рис. 3, а). Известной особенностью этого кода является малая амплитуда боковых максимумов автокорреляционной функции, по модулю все они не превосходят единицы (рис. 3, б). Положительной и отрицательной ¿-функции соответствует изменение фазы всех спектральных составляющих обычных импульсов на 7г. Реализация положительного и отрицательного пропускания голограммы может достигаться различными методами. Можно применить вариацию амплитуды пропускания в большую и меньшую сторону относительно некоторого среднего уровня (равного, допустим, по амплитуде). Скачок фазы реализуется достаточно просто при использовании эффекта полного внутреннего отражения от прозрачной поверхности с локально нанесенным металлическим зеркалом и без него. Отражение от металла сопровождается потерей полволны для всех спектральных компонентов, а отражение от стекла - нет.
Пусть голограмма сделана так, что радиус первого кольца ¿-голограммы мало отличается от седьмого, а амплитуды пропускания колец по модулю равны друг другу. Тогда, в соответствии с (3), на оси Ог амплитуды всех дифрагированных импульсов по модулю будут тоже практически одинаковыми. Освещение голограммы кодовой последовательностью приводит, вследствие дифракции, к возникновению за экраном 7 серий тороидальных волн (2), (3) разного знака, каждая из которых состоит из 7 импульсов. Интерферируя в пространстве, они создают псевдослучайное поле интерференции.
Рис. 4- Форма сигналов (амплитуды импульсов нормированы). а - на поверхности сферы; б - первая производная сигнала; в - в центре (сдвинут по оси ординат для удобства). -1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Исследование процесса восстановления предметной волны подразумевает анализ поля перед экраном-голограммой. В этой области пространства должна наблюдаться расходящаяся сферическая волна, тогда можно говорить о восстановлении мнимого изображения источника сигнала. Однако все приведенные соотношения основываются на теории Кирхгофа, которая описывает поле за экраном, строго говоря, они неприменимы для пространства перед ним.
Можно пойти по иному пути, известному для тонких голограмм - пути восстановления действительного изображения, т.е. возбуждения сходящейся сферической волны. Эта операция требует изменения знака времени в функции, описывающей распространение такой волны.
В рассматриваемом случае для реализации процедуры обращения времени достаточно инвертировать во времени кодовую последовательность плоских ¿-волн. При восстановлении сигнала в точке, где находился при записи источник сферического ¿-импульса, разности хода волн от всех колец оказываются такими, что их амплитуды в некоторый момент времени складываются, образуя действительный фокус оптической системы, подобно действию зонной пластинки на монохроматическую волну [21]. В итоге в области фокуса наряду с флукту-ациями поля наблюдается единственная яркая вспышка, форма которой пропорциональна первой производной одной ¿-функции по времени, а при более сложной форме каждого из импульсов - первой производной этого импульса. Обратим внимание на то, что таким образом ¿-голограмма позволяет восстановить не только положение точечного источника, но и момент излучения (естественно, по отношению к опорной волне). -
Мы не приводим иллюстрации последовательного формирования соответствующего сигнала, поскольку данный процесс полностью идентичен процедуре вычисления функции автокорреляции кодовой последовательности производных ¿-функции.
Моделирование процесса восстановления. Необычность свойств ¿-голограммы заставила нас прибегнуть к компьютерному моделированию процесса восстановления волны. С целью упрощения качественного анализа форма каждого импульса последовательности была принята гауссовой. В соответствии со свойствами кода Баркера в пространстве за экраном наблюдается совокупность эквидистантных во времени (и соответственно в пространстве) расходящихся тороидальных волн, имеющих изначально одинаковую амплитуду, но разные знаки. Каждая из систем волн имеет своим источником одно из колец, и каждый падающий на голограмму импульс возбуждает 7 волн. Соответственно на достаточно большом расстоянии от плоскости (х, у) в пространстве распространяются 7x7 = 49 тороидальных волн.
В области вблизи первоначального положения точечного источника - области фокуса -
происходит одновременное сложение 7 волн одинаковой амплитуды. Форма сигнала в этой точке приведена на рис. 4, там же дана форма исходного импульса. Амплитудный контраст имеет величину 7:1, т.е. в интенсивности 49:1. Применение более длинных кодовых последовательностей, в том числе неэквидйстантных и переменных не только по знаку, но и по амплитуде, может обеспечить еще больший контраст центрального импульса по отношению к псевдослучайной подложке.
Заключение. Возвращаясь к сказанному в начале статьи, вновь подчеркнем, что при использовании ¿-образных сигналов образованный в фокусе центральный импульс является производной по времени от ¿-функции. Это означает, что в процессе дифракции и форма сигнала, и спектр излучения изменяются. Для узкополосных процессов такой эффект играет малую роль, но в случае сложных широкополосных сигналов им пренебрегать нельзя никогда. Полученные в данной работе соотношения' позволяют рассмотреть и отклик системы колец конечной ширины, в том числе имеющих сложную функцию пропускания в зависимости от радиуса.
Заметим, что приведенное доказательство того, что в процессе восстановления происходит -однократное дифференцирование сигнала во времени, позволяет сформулировать и задачу О точном восстановлении его формы. Очевидно, что для этого необходимо произвести однократное интегрирование сигнала по времени. Один из путей выполнения такой операции рассмотрен в работе [23].
Представленные материалы являются свидетельством того, что, имея в руках развитый аппарат преобразования обобщенных функций, можно: решать некоторые задачи дифракционной оптики путем достаточно простых вычислений и быстро получать верные, по крайней мере, качественно, результаты. Пример декодирования последовательности волн с помощью элементарного устройства показывает также нетривиальные возможности, которые открываются при использовании кодовых преобразований световых потоков со сложным спектральным составом.
Авторы благодарят акад. В. Б. Беляева за детальное обсуждение результатов работы. Работа выполнена при финансовой поддержке МНТЦ (проект № 1471) и программы «Интеграция».
Summary
Kytmanov А. V., Tolmachev Yu. A., Frolenkova М. V. On the peculiarities of the process of wave reconstruction in delta-holography.
Non-stationary diffraction is studied for the code sequence of ¿-shaped in time pulses from ¿-hologram of a point source. Behind the hologram, the single focal point is formed surrounded by pseudo random background field. This single pulse is formed of the sequence of pulses in the focal point, that pulse amplitude being талу times more than the background. Signal form in the focus is proportional to time first derivative of the initial pulses form. The example of computer simulation of the reconstruction process is given.
Литература
1. Толмачев Ю. A. // Оптика и спектроскопия. 1994. Т. 76, № 6. С. 999-1004. 2. Lebe-dev М. К., Tolmachev Yu. А. // Intern, conf. of physics students. 1994. Conf. Proceedings. St. Petersburg, 1994. P. 140-143. 3. Лебедев M. К., Толмачев Ю. A. // Проблемы фундаментальной физики: Тез. докл. науч. конференции. Саратов, 1996. С. 63. 4. Лебедев М. К., Толмачев Ю. А. // Оптика и спектроскопия. 1997. Т. 82, № 4. С. 679-682. 5. Лебедев М. К., Толмачев Ю. А. // Оптика и спектроскопия. 1997. Т. 83, № 5. С. 824-831. 6. Lebedev М. К., Tolmachev Yu. А. // Proc. SPIE. 1998. Vol. 3403-31. P. 223-232. 7. Lebedev M. K., Tolmachev Yu. A. // Proc. 31st EGAS. 1999. Marseille 6-9th July. P. 124-125. 8. Лебедев M. K., Толмачев Ю. A. // Лазеры для медицины, биологии и экологии: Тез. докл. СПб., 2000.
С. 27-28. 9. Лебедев М. К., Толмачев Ю. А. // Фундаментальные проблемы физики: Труды Второй междунар. конференции. Саратов, 2000. С. 123. 10. Оганесян Д. Л. // Оптика и спектроскопия. 1996. Т. 80, № 6. С. 974-978. 11. Сулейменов И. Э., Лебедев М. К., Толмачев Ю. А. // Оптика и спектроскопия. 2000. Т. 88, № 1. С. 104-109. 12, Михайлов В. М., Головинский П. А.Ц Журн. экспер. и теор. физики. 2000. Т. 117, вып. 2. С. 275-285. 13. Lebedev М. К., Tolmachev Yu. А. // Proc. SPIE. 2000. N 4071. Р. 184-190. 14. Лебедев М. К., Толмачев Ю. А. // Оптика и спектроскопия. 2001. Т. 90, № 3. С. 457-463. 15. Бердышев А. В., Фролов М. В., Исайкин А. В., Ярыгин А. П. // Радиотехника. 2001. № 6. Радиосистемы, вып. 52. С. 83-86. 16. Horvath Z. L., Bor Zs. // Phys. Rev. Е. 2001. Vol. 63. P. 026601-1-026601-11. 17. Лебедев M. К., Толмачев Ю. А., Антпипов А. Г., Разманова М. В. // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 2002. Вып. 1 (№ 4). С. 44-56. 18. Лебедев М. К., Толмачев Ю. А. // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 2003. Вып. 3 (№ 20). С. 15-22. 19. Glezer Е. N., Milosavljevic М., Huang L. et all. // Optics Letters. 1996. Vol. 21, N 24. P. 2023-2025! 20. Фроленкова M. В., Толмачев Ю. A. // Proc. LOYS-2003. St. Petersburg, Russia, 2003. C. 7-8. 21. Разманова (Фроленкова) M. В., Толмачев Ю. А. // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 2003. Вып. 1 (№ 4). С. 22-29. 22. Steinmeyer G. И J. of Optics A: Pure and Apply Optics. 2003. Vol. 5. P. R1-R15. 23. Лебедев M. K., Сидорук А. В., Толмачев Ю. A. // Сб. трудов Междунар. опт. конгресса «Оптика-XXI век». Конференция «Фундаментальные проблемы оптики». СПб., 2000. С. 18-19.
Статья поступила в редакцию 25 апреля 2004 г.
