Дифракция плоского ультракороткого импульса на круглом отверстии. Наклонное падение Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 535.42 Вестник СПбГУ. Сер. 4, 2006, вып. 1

М. В. Фроленкова, Ю. А. Толмачев

ДИФРАКЦИЯ ПЛОСКОГО УЛЬТРАКОРОТКОГО ИМПУЛЬСА НА КРУГЛОМ ОТВЕРСТИИ. НАКЛОННОЕ ПАДЕНИЕ

Развиваемый нами импульсный подход к решению задач дифракции [1-3] применялся, как и в большинстве известных решений задач дифракции монохроматических волн, при предположении, что исходный световой импульс нормально падает на поглощающий экран. Решения, найденные для отверстий простой формы (круглая апертура, щель, полуплоскость, гауссова диафрагма), отличались простотой математической формы и возможностью ясной интерпретации отдельных составляющих. В данной работе приведен результат, полученный для круглого отверстия, на случай наклонного падения.

Пусть плоская ¿-образная во времени импульсная волна падает на круглое отверстие в бесконечном поглощающем экране под некоторым углом а (рис. 1, а). Начало координат свяжем с центром отверстия, экран располагается в плоскости OXY. Углом падения а будем считать угол между плоскостью ¿-импульса и плоскостью экрана 5. Во введенной таким образом системе координат исходную волну можно записать в виде

г(í) / .ч г / . -г cosa хsin a

------—у (1)

Так же, как в работах [1-3], будем решать задачу в рамках приближения Кирхгофа, согласно которому поле световой волны в точке наблюдения Р(хо,уо, го) можно интерпретировать как суперпозицию условных источников света, расположенных вокруг точки Р на замкнутой поверхности О. Пусть поверхность образована плоским экраном 5 и сферой столь большого радиуса, что интегрированием по ней можно пренебречь. Это дает следующую хорошо известную связь между значением поля в точке наблюдения Р и на поверхности экрана [4]:

s

dV

dt

dV

дп

dS.

Здесь г - расстояние от текущей точки интегрирования на поверхности 5 до точки наблюдения Р. Величины, заключенные в квадратные скобки, - это значения поля на поверхности 5, взятые в момент времени Ь — г /с. Производная д/дп вычисляется по нормали к плоскости экрана.

Воспользуемся граничными условиями Кирхгофа, согласно которым значения поля и его нормальной производной в плоскости экрана пропорциональны соответствующим величинам в падающей волне: V = Т(х,у)У^ и = Т(х, у)}, где функция Т(х,у) описывает амплитудное пропускание экрана. В рассматриваемом случае она равна единице в точках отверстия и нулю в тех точках, где есть экран. С учетом граничных условий получим для падающей волны (1) следующее представление интеграла Кирхгофа:

У{Р, 0 = ^ ИТ(х,у) {^6(г + х5Ьа-сЬ)-1 [созо 4- 3] + ~ ^ } Ыу. (2)

5

Перейдем в интеграле (2) от переменных (я, у) к переменным (г, х), в которых аргументы обобщенных функций выглядят наиболее просто. Для такого перехода область интегрирования (плоскость 5) разбиваем на две полуплоскости, в каждой из которых пара чисел (г, х)

© М. В. Фроленкова, Ю. А. Толмачев, 2006

о

, = а / tg а

X

,z

г / \г

(о / zo Vo

✓ \ Y

Р(0,0,z0)

Рис. 1. Геометрия задачи о наклонном падении плоского ¿-импульса на отверстие в бесконечном экране.

а - 5-импульс падает на круглое отверстие радиуса а, угол падения импульса а, штриховыми линиями показана граница свет-тень в приближении геометрической оптики; б -случай произвольного положения точки наблюдения Р и произвольной формы отверстия; две точки, обозначенные цифрами I я 2, определяются одной и той же парой чисел (г,х).

однозначно определяет положение точки. Границей между указанными полуплоскостями является прямая у — у0 (рис. 1,6). Интеграл (2) преобразуется к виду У(Р,1) = VI + У2, где вклады от обеих полуплоскостей и У? есть

+ оо +оо

Vi,2 (P,t) =j dx ! dri\\^{r, x) + resina - ct) - [cosa + — j Sr(r + xsina - cí)j

-oo Lr0

(3)

В (3) r = л/Zq + (x — xq)2 и Sr — функции Ai,2(r,x) связаны с соответствующими функциями пропускания экрана Ti^ix.y) соотношением

Al,2 (г, х)

h,2{X,y(r,Xjj л/r2 -zl~{x- XQ У

С учетом формул

(4)

/ ${х)5{х — a)dx = /(а)0(х — а), ¡/(х)6х(х - а^х = 5{х -

^ / I х=а

после несложных преобразований получим для поля дифрагированной волны в точке Р в момент времени I

V,,2(P,Í) = — / dx

+ оо /

cosa +

ct — xsin a

|a(cí — x sin a, x)S(yJ'zq + (x — reo)2 + resin a — ct) +

— ОС

+ Ar(ct — xsin a, x) — Ar(ct — xs'm a,x)Q(\JZq + (x — xo)2 + x sin a — ct) j>. (5) Определим в формулах (4) и (5) функцию Хевисайда ©(я):

9(х) =

0, если х < О,

1, если х > О.

В качестве примера того, как удобен для решения задач с наклонным падением волн описанный метод, рассмотрим простейший случай: импульсная ¿-волна дифрагирует на круглом отверстии радиуса а, результирующее поле вычисляется на оси симметрии отверстия в точке Р(0,0, го) (см. рис. 1, а). Так как функции пропускания экрана в двух симметричных друг другу полуплоскостях равны, то Л] = Л2. Функция амплитудного пропускания в любой из полуплоскостей при этом имеет вид

Т(х,у(г,х)) = [9(х + а) — Э(х — а)] + а2 - г) - Э(^2 + х2 - г)) . (6)

Используя (6), вычислим Л (ct — х sin а, х) и Ar(ct — х sin а, я), подставим полученные выражения в интеграл (5) и проведем в нем интегрирование по частям. В итоге находим, что выражение для поля в точке Р(0,0,2о) состоит из двух слагаемых V(P,t) = Vpass + VSCat, описывающих прошедшую через отверстие и рассеянную его краем волну. Обозначив

9(х) =

ZQ

cosa +

ct — х sin a

1

\J(ct — x sin a)2 — Zq — x2

. zo sin a + x cos a

F(x) =

(ct, — zo eos a) y/(ct — x sin a)2 — z\ — x2 ' с помощью (4) вычисляем слагаемое Vscat

+a

г

V.

= + X sin a - с,) ¿x

с I cosay^ + — zo zq

2п ct- zocos а ' ^Д2 + a2

[в (\JZq + a2 + a sin a — ct^J — Q(y/ Zq + a2 — a sin a - cí)j

\Ja2 sin2 a — (ct — yjZq 4- a2)2

Заметим, что аргументы функций 9 допускают простую физическую интерпретацию, так как они соответствуют моментам прихода в точку наблюдения сигнала от крайних точек отверстия. 9кончательно для Vpass имеем

= ¿7г / ~ ^SÍn a + х2 ) ^ + Х2 +xsina~ ct>>dx-

(7)

Вычисление слагаемого Уразз. затруднено тем, что оно содержит множитель ¿(д/^о + х2 + хэша — с£). Чтобы упростить аргумент ¿-функции, сделаем замену у/+ х2 + хеша = р,

тогда х± = а °°5 а ■ График функции р(х) представлен на рис. 2. Возможны

два случая взаимного расположения точки экстремума этой функции х,тпп = —гоЬ£а и концов отрезка интегрирования (—а,а). При —zotga < —а (рис. 2, а) зависимость х+(р) однозначна в пределах промежутка интегрирования (—а, а). При —zotga > —а (рис. 2, 6) область интегрирования (—а, о) в (7) разбивается на два отрезка, в каждом из которых делается соответствующая замена переменной - х-(р) или х+(р). Заметим, что из элементарных геометрических построений (см. рис. 1, а) следует, что точка zotga = а является границей между светом и

а

б

х0

Рис. 2. Функция р(х).

а - случай — zot.gr* < —а (область геометрической тени); б - случай —zotgat > —а (область света).

тенью на оси OZ (в приближении геометрической оптики). Нами было доказано, что Vpass = О в области тени и Vpa-,., = c<5(,zocosa — ct) в освещенной области. Преобразования выражения Vpass не приводятся в силу их громоздкости.

Итак, амплитуда поля дифрагированной на круглом отверстии волны в точке наблюдения Р(0,0, zo} в момент времени t имеет вид

V(P,t) = c¿(z0cosa - ct) + VSCat (8)

в освещенной области и

V(P,t) = Veeat

в области тени, где

V - с ícosaVzo + q2 ~ ¡ 20 ^ х scai ~ 2тг ly ct — zo cosa j¿2 + a2 )

[0 í л/^q + a2 + a sin a — ct J — G( ^J + a2 — a sin a — ct)]

x-----=-.

Ja2 sin2 q - (ct — л/Zq -ka2)2

В предельном случае нормального падения (a —> 0) решете (8) преобразуется к виду, приведенному в работе [1]:

У(р,г) = сб(г0-а)-^

Решение (8) задачи о дифракции на круглой апертуре наклонно падающего импульса, как и в предыдущих работах [1, 3], допускает простую и наглядную интерпретацию: результирующее поле является суммой двух волн - прошедшей сквозь отверстие (Уразз) и рассеявшейся на нем (УлсаО-

Основным преимуществом импульсного подхода к решению задач дифракции является универсальность полученных результатов. В самом деле, чтобы описать взаимодействие падающего под углом импульса любого другого вида с оптической системой, надо только вычислить свертку импульсного отклика (8) с входным сигналом. Алгебраическая простота импульсного отклика позволяет надеяться, что расчет этой свертки будет быстро выполняться на современных персональных компьютерах.

1 +

Zo

Чу/4

+ a2

ct).

Summary

Frolenkova M. V., Tolmachev Yu. A. Diffraction of a plane ultrashort pulse from the circular aperture. The oblique wave diffraction.

Non-stationary diffraction from the circular aperture for the case of an oblique plane wave is studied. The field behind the screen is shown to be the sum of two components, the first being

a part of the incident wave while the second is the wave scattered by the aperture edge. The explicit form for both components is given.

Литература

1. Лебедев M. К., Толмачев Ю. А. // Оптика и спектроскопия. 2001. Т. 90, Л'« 3. С. 457-463. 2. Лебедев М. К., Толмачев Ю. А., Антипов А. Г., Разманова (Фроленкова) М. В. // Вести. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 2002. Вып. 1 (№ 4). С. 44-56. 3. Сулей-менов И. Э., Лебедев М. К., Толмачев Ю. А. // Оптика и спектроскопия. 2000. Т. 88, № 1. С. 104-109. 4. Борн М., Вольф Э. Основы оптики / Пер. с англ; Под ред. Г. П. Мотулевич. М., 1970.

Статья поступила в редакцию 27 сентября 2005 г.