CC BY
22
УДК 535.4
ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УЛЬТРАКОРОТКОГО ИМПУЛЬСА
ЛИНЗОЙ ФРЕНЕЛЯ
Т. В. Стаценко1, Ю. А. Толмачев1, И. А. Шевкунов1
1 Санкт-Петербургский государственный университет [email protected], [email protected], [email protected]
PACS 42.79.Hp, 42.30.Sy, 42.30.Lr, 42.25.Fx
Импульсный метод анализа работы дифракционных систем применен для исследования преобразования линзой Френеля одиночного фемтосекундного импульса в импульсную последовательность. Разработаны основные элементы теоретического описания и проведена экспериментальная проверка, подтверждающая основные выводы теории.
Ключевые слова: линза Френеля, фемтосекундный импульс, дельта-волна, дифракция, кодовая последовательность, опознавание образов.
1. Введение
Применение чисто дифракционных оптических элементов позволяет решить одну из наиболее важных задач глубокого продвижения в область малых длин волн, в том числе ВУФ и мягкого рентгеновского диапазона. Этот, наиболее простой и надежный путь создания систем формирования монохроматических изображений с линейным разрешением нано-диапазона, уже давно используется в так называемой рентгеновской микроскопии [1-3]. Основным элементом здесь являются различные варианты зонной пластинки, амплитудные и фазовые, и линзы Френеля (или ее зеркального аналога). Вместе с тем, развитие микроэлементной базы оптоинформатики, в которых применяются короткие и ультракороткие световые импульсы, заставляет рассмотреть принципы действия таких устройств с новых позиций. Попытка такого анализа чисто теоретическими методами была сделана в работе [3]. В представленной работе, помимо теории, основанной на представлении о дельта-волнах, приводятся результаты эксперимента по преобразованию фемтосекундного импульса простейшей линзой Френеля.
Импульсный метод интерпретации работы зонной пластинки [4] показал две очень важные особенности ее взаимодействия с волной:
(1) возможное создание системы чередующихся пропускающих и поглощающих колец, согласованной с входным упорядоченным во времени сигналом, отличающимся от монохроматического, такая модификация структуры обеспечивает максимизацию освещенности в точке фокуса;
(2) интегральная дифракционная эффективность зонной пластинки невелика, яркость фокального пятна мала по сравнению с уровнем фоновой засветки.
Один из вариантов построения согласованной с сигналом зонной пластинки для целей опознавания сигнала в виде заданной последовательности ультракоротких импульсов был продемонстрирован в [5], причем отмечалось, что эффективность опознавания возрастает при увеличении сложности сигнала. Повышение дифракционной эффективности, т. е.
более полное использование энергии падающей волны возможно путем перехода от чисто-дифракционной зонной пластинки к линзе Френеля, или эквивалентному ей многокомпонентному зеркалу, преобразующему волну по тем же принципам, что и линза. Мы будем рассматривать в качестве упрощенной модели именно безаберрационную линзу, что позволит более наглядно показать преобразование волны и упростить анализ.
2. Теория
Приведем вначале качественно результаты теоретического анализа [6] и численного моделирования [7] процесса дифракции сходящейся 8- образной во времени сферической волны на круглом отверстии радиуса р. Такой прием позволяет найти «импульсный отклик» оптической системы и при ее линейности вычислить отклик на любой иной сигнал, осуществив свертку входного сигнала с импульсным откликом.
В момент рассеяния отверстие вырезает сегмент из сферы. Соответственно, за отверстием наблюдается «проходящая» волна в форме шарового сегмента, сходящего со скоростью с в точку фокуса Р внутри конуса с вершиной в Р и опирающегося на границу отверстия. Амплитуда этой волны постоянна на поверхности сегмента и возрастает обратно-пропорционально радиусу его кривизны. Вне конуса проходящая волна обращается в нуль.
Одновременно, в момент рассеяния возникает вторая, дифрагированная, #-волна, источником которой является край отверстия («краевая» волна). На достаточно большом расстоянии от края она имеет форму тора (мы рассматриваем в работе только половину этого тора, находящуюся за экраном), один из его радиусов постоянен и равен радиусу отверстия, а второй растет со скоростью с. Момент начала расширения тороидальной волны совпадает с моментом прохождения падающей волны через отверстие. Знак возмущения в краевой волне меняется на конической границе свет-тень: в освещенной (в приближении геометрической оптики) зоне он противоположен знаку падающей волны, в области тени -совпадает с ним.
Будем считать линзу Френеля состоящей из совокупности концентрических кольцевых плоско-выпуклых, примыкающих друг к другу тонких ахроматических линз. Все эти кольцевые линзы имеют один общий фокус Р (рис. 1). Предположим, что на линзу падает плоская волна, имеющая зависимость амплитуды от времени, приближенно описываемую функцией 8 (уЪ — г/с). Рассмотрим импульсный отклик описанной системы в точке Р, используя описанные выше данные по дифракции сходящейся сферической 8 (¿)-волны на круглой диафрагме и принцип Бабине [8].
Представим один кольцевой элемент линзы как комбинацию прозрачного кольца с радиусами р2 > рх в поглощающем экране и очень большой тонкой линзы с фокусным расстоянием f, размещенной соосно с кольцом (рис. 2). Это позволяет нам не учитывать дифракцию на линзе. Единственной функцией линзы является такое преобразование поля волны за экраном, которое ведет к фокусировке прошедшей волны. В соответствие с принципом Бабине решение для волны, выходящей из кольцевой диафрагмы, представляет собой разность решений для апертур с внешним и внутренним радиусами (рис. 2). В данном случае мы имеем две конические границы освещенной зоны и две тороидальные волны, привязанные к радиусам рх и р2. Спустя равный приближенно (р2 — Р\)/2с интервал времени, поверхности двух торов пересекаются, и на линии их пересечения внутри освещенной зоны формируется отрицательное по знаку кольцо. Оно перемещается в направлении к фокусу со скоростью больше скорости света с, постепенно догоняя прошедшую волну. Амплитуда его по мере распространения возрастает вплоть до амплитуды прошедшей волны в фокусе. Непосредственно в точке Р сумма прошедшей положительной 8 (¿)-волны
РИС. 1. Схема образования серии сдвинутых во времени импульсов после линзы Френеля
Г
Рис. 2. Образование производной ^-функции. Показана структура прошедшей и дифрагированных волн после одного из колец. Сплошными линиями дана положительная ^-волна, штриховой — отрицательная
и догоняющей ее отрицательной формируют импульс, представляющий собой производную 8 (¿)-функции. Для реального сигнала это означает, что кольцевая линза, так же как и круглое отверстие, преобразует в точке Р падающий сигнал в его первую производную по времени.
Напомним элементарную интерпретацию принципа работы линзы Френеля. Обычная плоско-выпуклая линза разбивается мысленно на кольца, и из всех колец, за исключением внешнего вынимается «излишнее» плоское кольцо. Если этого не сделать, то, с точки зрения импульсного анализа, волны от всех колец одновременно придут в фокус. Изъятие плоских колец приводит к возникновению между импульсными волнами, прошедшими через различные кольца линзы задержки во времени. Следовательно, импульсный отклик И (¿) линзы, состоящей из N элементов, будет состоять из совокупности N производных 8 (¿)-функции, каждая из которых будет иметь свою амплитуду (свой «вес»), который определяется геометрическими параметрами и пропусканием вещества кольца (рис. 3).
РИС. 3. Возможный вид отклика кодовой линзы Френеля. Двойными стрелками показаны производные ^-функции, длина стрелок отражает их амплитуды. Черным обозначена положительная часть производной, белым - отрицательная. Импульсы не эквидистантны
Изменяя эти параметры, мы можем варьировать расстояние между импульсами, таким образом генерируя произвольную кодовую последовательность.
N-1
В частном случае, можно сделать компоненты отклика эквидистантными. Если амплитуды импульсов одинаковы и могут иметь разные знаки, тогда импульсный отклик линзы Френеля в фокальной точке можно записать в форме:
Начало отсчета времени здесь смещено к первому импульсу (к = 0), соответствующему моменту прихода сигнала из центральной зоны, величина т — интервал между импульсами, как отмечалось, задается конструкцией системы колец, а множитель а>к принимает
(1)
(2)
значение +1 или —1, в зависимости от конструкции. Таким образом, линза Френеля, из проходящей плоской ö (t)-волны создает последовательность эквидистантных производных от ö (t)-импульсов.
Приведенные в [5] результаты численного эксперимента убедительно показали, что построенная по описанной схеме линза Френеля может выполнять роль не только генератора последовательности импульсов, но и «решать» обратную задачу - превращать серию импульсов в один с амплитудой пропорциональной сумме амплитуд всех импульсов серии, т. е. решать задачу опознавания (или декодирования) заданной последовательности.
Отметим, что формулы (1) и (2) следует рассматривать не столько как реальный физический отклик, сколько как удобный математический аппарат для дальнейшего перехода к исследованию преобразования осуществимых на практике сигналов.
Чтобы упростить дальнейший математический анализ, вспомним, что для оператора 5' (t) верно 5' (t) = 5' (t) ® ó (t), где символом ® обозначена операция свертки. Это позволяет нам перейти от суммы производных к сумме 6 (t)-функций и осуществить операцию свертки на последнем этапе. В дальнейшем в нашей работе будет рассматриваться серия импульсов одинакового знака (а^ = 1), которая была реализована в эксперименте:
N-1
h(t) = Y, S (t — kr). (3)
k=0
Эта функция представляет собой отрезок гребенки Дирака длительностью Т = (N — 1) т, который мы можем записать в форме произведения функции-прямоугольника на гребенку, сдвинув еще раз, для удобства, начало отсчета времени на точку, соответствующую положению центра прямоугольника:
h{t) = rect(^\ ¿ 6(t-kr). (4)
^ ' k=—<x
Приведенная форма записи резко упрощает анализ отклика линзы в точке F на монохроматическую волну. Вычисляя фурье-образ соотношения (4), немедленно получаем:
ГТ1 ^ ^ . / / \ ГТ1
~ . . _sm жи! sin ж (и — п/т) 1
Н(и) = Т-—О 6(и-п т) = Т --Д^-. (5)
жи! ' ' ж (и —п/т) 1
п=—ж п=—ж
sin жиТ
В пространстве частот имеется бесконечная последовательность функции--
жиТ
набор «порядков дифракции» с интервалом между ними по частоте равным 1/т. Чтобы учесть имеющуюся в реальности последовательность производных ^-функций, достаточно умножить (5) на частоту.
В реальном эксперименте нами использовался фемтосекундный лазер, излучающий импульс конечной длительности V (t), обладающий спектром конечной эффективной ширины. Учесть это обстоятельство можно либо введя дополнительную свертку с V (t) в соотношение (4), либо умножив спектр (5) на спектр функции V (t). Последний прием оказывается более простым и использовался нами при сравнении результатов измерений с расчетом.
3. Эксперимент
Геометрия проведенного опыта показана на рис. 4. Пучок излучения лазера FemtoSource Synergy, генерирующего импульсы длительностью приблизительно 30 фс с центральной
длиной волны 805 нм направлялось на поворотное зеркало. Точка падения пучка на зеркало находилась на расстоянии 1,5 м от линзы, и ее изображение проецировалось на вход световода, передающего излучение на спектрометр фирмы Ocean, позволявший исследовать спектр мощности в диапазоне 250-900 нм с разрешением АЛ = 2 нм в области Л = 633 нм.
РИС. 4. Схема эксперимента: 1 — лазерный пучок, 2 — поворотное зеркало, 3 — подвижная диафрагма, 4 — линза Френеля, 5 — вход световода, передающего излучение в спектрометр
Такая схема опыта давала возможность зафиксировать положение всех основных элементов и изменять длину пути преломленных линзой лучей простым перемещением диафрагмы, помещенной перед линзой. Исследовалось преобразование спектра линзами Френеля с постоянным шагом Ар = р2 — р1 = 0, 5 мм, фокусным расстоянием 175 мм (производства КНР) и Ар = 0, 2 мм, фокусное расстояние 110 мм (производства Японии). В непосредственной близости от линзы устанавливались прямоугольные диафрагмы из тугоплавкой фольги толщиной 20 мкм, изготовленные с точностью не хуже 5 мкм предприятием Мультитех. В зависимости от выбранной ширины, диафрагмы ограничивали исследуемый участок линзы 2-5 кольцами, длинная сторона 2,02 мм диафрагмы ориентировалась по касательной к окружности колец. Перемещение диафрагмы вдоль радиуса не приводило к смещению точки фокуса пучка и позволяло изучать эффекты, связанные только с изменением интервала между отдельными сигналами, прошедшими через линзу.
Постоянство величины Ар в исследованных линзах не дало нам возможности количественно изучить зависимость структуры спектра от числа действующих колец линзы, так как расстояние А^ между отдельными $-импульсами в (1) при увеличении р монотонно растет, асимптотически приближаясь к Ар/с.
Типичные спектры исходного и прошедшего через диафрагму и линзу сигнала показаны на рис. 5, качественных различий между спектрами сигналов от двух использованных линз не наблюдалось. Приведенные данные хорошо показывают две ожидаемые в соответствии с (4) и (5) характеристики:
• распад исходного колоколообразного спектра на совокупность отдельных «линий»;
• усложнение спектра по мере увеличения р, связанное с увеличением интервала т между импульсами и соответствующим уменьшением расстояния между линиями.
Расчетный спектр, приведенный на рис. 5, г, хорошо согласуется с результатами опыта.
При сравнении результатов опыта с данными расчета по формуле (5), модифицированной для спектра мощности и учитывающей ограниченность спектра импульса, мы
_ _ , sin X в полной мере ощутили влияние больших побочных экстремумов функции -, хорошо
X
известное в фурье-спектроскопии.
Рис. 5. Результаты измерений и расчета для линзы КНР: а)— исходный спектр импульса и его аппроксимация (пунктир); б) — спектр при смещении диафрагмы на 9 мм от центра; в) — спектр при смещении диафрагмы на 35 мм от центра; г) — результаты расчета для случая в). По оси абсцисс даны частоты в единицах 1012 с-1
Модельный расчет1 зависимости формы спектра мощности от расстояния между центрами функций -—- в (5) показал возможность существования грубых ошибок ин-
X
терпретации наблюденных спектров. Контрольный опыт, проведенный с использованием диафрагмы в форме ромба, позволил уменьшить амплитуду побочных экстремумов (осуществить аподизацию), при этом структура спектра упрощалась.
1Авторы выражают признательность студентке 2-го курса физического факультета СПбГУ Е. Пермяковой за выполнение детальных модельных расчетов.
4. Заключение
Как было показано в [3], может быть сформирована линза (зеркало) Френеля, преобразующая единичный фемтосекундный импульс в кодовую последовательность эквидистантных импульсов равной амплитуды. Такая система может оперировать излучением c очень малой длиной волны, что позволяет, соответственно, уменьшить размеры пятна фокусировки, вплоть до величин порядка десятков нанометров. В отличие от зонной пластинки Соре-Френеля, линза Френеля позволяет полностью использовать энергию входного сигнала при генерации последовательности импульсов и/или ее декодировании. Очевидно также, что аналогичные преобразования могут быть выполнены планарными элементами микро и нано-оптики.
Использованный нами в теоретической части работы импульсный метод оказывается наглядным и удобным при расчете соответствующих оптических многоэлементных систем Его применение позволяет найти простые средства управления формой отдельных импульсов и их распределением во времени.
Литература
[1] Андервуд Дж. X., Аттвуд Д. Т. Возрождение рентгеновской оптики // УФН, 1987, 151(1), 105-117.
[2] Рентгеновская оптика и микроскопия. Мир, 1987. 463 с.
[3] Semenov S. N. , Statsenko T. V. , Tolmachev Yu. A. Pulse analysis method as applied to one of the problems of micro- and nanooptics // Bulletin of the Lebedev Physics Institute. 2009, 36 (12), 350-352.
[4] Разманова (Фроленкова) М. В., Толмачев Ю. А. Анализ взаимодействия зонной пластинки с плоской волной импульсным методом // Вестник СПбГУ, Сер. 4. Физика, химия. 2003, Вып. 1 (№4), 22-29.
[5] Толмачев Ю.А. Преобразование спектров сигналов при голографической записи и восстановлении информации фемтосекундными импульсами // В сб.: Всероссийский семинар «Юрий Николаевич Дени-сюк - основоположник отечественной голографии» Санкт-Петербург, 22-24 мая 2007 г. Изд. ФТИ им. А.Ф.Иоффе, СПбГУ ИТМО, НПК «ГОИ им. С.И.Вавилова», 209-215.
[6] Лебедев М. К., Толмачев Ю. А. Импульсный метод в решении задач дифракции и интерференции. I. Дифракция ультракороткого импульса // Лазерные исследования в Санкт-Петербургском государственном университете. Третий выпуск. СПб.: НИИ «Российский центр лазерной физики», 2004, 81-153.
[7] Frolenkova M.V.,Tolmachev Yu.A. Application of ¿(t)-wave approach for the analysis of ultra-short pulse field distribution formation in the vicinity of focal point // Proceedings of «The 9-th Russian-Chinese Symposium on Laser Physics and Laser Technologies. The Conference on Laser and Laser Technologies for Students and Young Investigators», Tomsk, Russia, October 26-31, 2008, 57-60.
[8] Борн М., Вольф Э. Основы оптики. Наука, 1970, 721 с.
