CC BY
32
2006 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Сер. А Вып. 3
КРАТКИЕ НАУЧНЫЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 535.42
Ван Цзюэ, Л. В. Сидорова, Ю. А. Толмачев
О ВЛИЯНИИ ДИФРАКЦИИ ВОЛН НА ВРЕМЕННУЮ СТРУКТУРУ СИГНАЛА НА ВЫХОДЕ ИНТЕРФЕРОМЕТРА
При рассмотрении в серии предыдущих работ [1-3] распространения и дифракции плоских и сферических волн, имеющих 6 (¿)-образную структуру во времени, мы столкнулись с проблемой наложения таких волн в пространстве друг на друга, т. е. с интерференцией ультракоротких импульсов. Очевидно, что сама область переложения подобных волн не стационарна в пространстве - времени, а перемещается с некоторой скоростью, и особенности формирования наблюдаемой системы интерференционных полос (или отдельной полосы) обусловлены и параметрами регистрирующей среды, и пространственной структурой волн. Отдельно возникают вопросы, связанные с преобразованием самой временной структуры сигналов при формировании интерференционной картины в среде и при ее считывании. Они имеют прикладное значение для развития методов оптической записи и воспроизведения информации, а также для решения фундаментальных проблем преобразования сигналов в системах исследования и анализа волновых процессов. Поскольку авторы данной работы являются оптиками, то в ней будут использованы примеры и терминология, типичные для физической оптики, однако все сказанное в равной мере может относиться к любым иным системам анализа волновых процессов.
Начнем с одного известного, но основательно забытого вывода теории дифракции, относящегося к связи между формой сигнала, переносимого плоской волной /^(Ь — г/с), освещающей отверстие в поглощающем плоском экране, и структурой сигнала на очень большом удалении от экрана. Как было показано в [4] и независимо получено в [1] для отверстия круглой формы радиуса а, на оси Ог, проходящей через центр отверстия, верно асимптотически следующее простое соотношение:
где го - расстояние от экрана до точки наблюдения.
Пользуясь основными качественными свойствами фокусирующих систем и прямым расчетом, в работах [2, 5] было установлено, что совершенно аналогичная формула верна и для ¿-образного сигнала в точке заднего фокуса оптической системы
= . (2)
Здесь В - начальный радиус сферической ¿-волны, а - радиус отверстия в экране.
Фурье-спектрометр. В данной работе будут рассмотрены несколько следствий из соотношений (1) и (2), к которым приводит их применение при анализе принципов работы двух типичных устройств, использующихся при анализе спектров волновых процессов. Начнем с широко распространенного в практике исследования инфракрасного излучения фурье-спектрометра. Его основой является двухлучевой интерферометр типа интерферометра Май-
© Ван Цзюэ, Л. В. Сидорова, Ю. А. Толмачев, 2006 106
ь
ло
Рис. 1. Схема двухлучевого интерферометра.
кельсона (рис. 1) (для простоты мы рассматриваем схему деления фронта падающей волны по амплитуде). Поскольку основной целью работы является учет эффектов дифракции, необходимо в принципе принять во внимание конечность размеров всех оптических элементов. Однако с целью упрощения качественного анализа и формы конечных выводов примем, что все элементы интерферометра имеют очень большие (бесконечные) геометрические размеры и единственной действующей диафрагмой, являющейся причиной возникновения дифракционных эффектов, служит круглая диафрагма £>, установленная в непосредственной близости к выходному объективу.
Следуя [6, 7], предположим, что на входе интерферометра действует плоская 6 (£)-волна, распространяющаяся вдоль оптической оси системы. Тогда диафрагма V будет освещаться двумя ¿(£)-импульсами, отраженными от зеркал Лг и Дг интерферометра и соответственно прошедшими и отраженными от светоделителя. Не теряя общности анализа, можно считать, что зеркала /¿1, Яг одинаковы и не меняют знака отраженного импульса, то же относится и к светоделителю ВБ. В этом случае импульсный отклик интерферометра в плоскости диафрагмы представляет собой последовательность двух плоских ¿-волн. Сигнал приемника установленного в плоскости диафрагмы и способного регистрировать амплитуду волны, будет иметь вид
Моменты прихода каждого из ¿-импульсов определяются расстоянием, которое проходят волны от светоделителя к зеркалу и назад - к диафрагме £>, т. е. разностью хода (во времени) между двумя пучками в плечах интерферометра. Чтобы найти реакцию системы на более сложный волновой процесс /(£), действующий на входе интерферометра, достаточно вычислить свертку
н{ь) = б (г - и) + б(г - г2).
(3)
h(t)®f(t) = f(t-t1) + f(t-t2) (4)
(операция свертки по времени указана знаком <8>).
В соотношении (3) удобно за начало отсчета времени выбрать середину интервала между двумя импульсами £о = (¿1 + £г)/2, тогда формула (3) приобретает вид
Л(0 = ¿(г - де/2) + б (г + At/2), (5)
где At = (<2 — ¿1). Пользуясь (5), вычислим отклик интерферометра на монохроматическое излучение. Для того чтобы найти (с точностью до постоянного множителя) амплитуду волны с частотой V, выполним фурье-преобразование формулы (5):
II(у) = ехр(г'7г^Д4) + ехр(—тиЫ) = 2 сое {-киА^ = 2 сое (
Л
Здесь AI - геометрическая разность хода между пучками. Переходя к принятым в спектроскопии волновым числам а — 1/Л, имеем
Я(сг) = 2 cos (ivaAl) .
Использование фотоприемника, регистрирующего энергию волны, а не ее амплитуду, приводит к необходимости вычислить квадрат Н(а), и тогда отклик интерферометра на монохроматическую волну с точностью до постоянного коэффициента приобретает вид
R(cг) = 1 + cos (2тгсгД0 .
Для случайного во времени сигнала, имеющего спектр мощности В(<т), получаем, что на выходе интерферометра результирующий поток пропорционален интегралу
оо
F (ДО = J В (а) (1 + cos (2тг а AI)) da. (6)
о
"Формула (6) точно совпадает с результатами классического анализа интерферометра Май-кельсона и лежит в основе работы фурье-спектрометров [8].
Вместе с тем, как было указано выше, в фокусе линзы сигнал дифференцируется, и амплитуда световой волны описывается первой производной ¿-функции по времени. Формально такое преобразование сигнала можно записать следующим образом:
Ä(t) = M0®
Отклик интерферометра на входной ¿-образный сигнал имеет теперь вид
h(t) = 6\t - At/2) + 6'(t + At/2).
Это соотношение означает, что при наличии на входе более сложного сигнала он также будет дифференцироваться по времени и описываться суммой производных сигнала по времени, сдвинутых на At друг относительно друга.
Воспользуемся свойствами преобразования Фурье: для того чтобы найти спектр производной сигнала на выходе интерферометра, достаточно умножить исходный спектр на (—i2irv). Соответственно для спектра мощности возникает множитель — 47т2 и2. Он входит теперь в основной интеграл, связывающий форму спектров выходного и входного сигналов. Вновь опуская постоянные множители, величина которых определяется при калибровке прибора, получаем
F(Al)
ОО
= J а2В{а){1 + cos (2тгаД0) Жт. (7)
г
Л, Л, £> I
Рис. Интерферометр Фабри-Перо.
Соотношение (7), внешне мало отличаясь от принятого в практике интерферометрии, приводит к изменению всего смысла интерпретации функции, полученной в результате измерений: вместо истинного спектра В (а) измерения дают величину <т2В (а).
Интерферометр Фабри-Перо. Как было видно из вышеизложенного, собственно преобразование спектра происходит в результате дифракции волны на выходной апертуре, снабженной концентрирующей излучение линзой. Такая схема выходной части характерна для всех спектральных и большинства интерференционных приборов.
В качестве второго примера рассмотрим анализ спектра сигнала (в частности - короткого импульса) с помощью интерферометра Фабри-Перо (рис. 2). Выходная часть его содержит линзу и фотоприемник, регистрирующий (во всех известных авторам случаях) мощность излучения. Характерное время реакции фотоприемников для видимой области спектра даже в случае применения современных скоростных методов - не менее нескольких десятков пикосе-кунд [9]. Это значение превосходит период колебаний волны на несколько порядков величины, что позволяет говорить с высокой точностью об усреднении мощности сигнала по большому промежутку времени.
Следуя [10], запишем импульсный отклик идеального интерферометра с бесконечными идеально плоскими параллельными друг другу зеркалами в виде
I
оо
= (8)
*;= О
Здесь Я — В1В2 - произведение амплитудных коэффициентов отражения зеркал; Д£ = (2<1 сой г)/с - интервал между соседними импульсами; й - расстояние между зеркалами; г -угол наклона нормали к падающей волне относительно нормали к поверхностям зеркал. Выполнив преобразование Фурье соотношения (8) и переходя к мощности излучения, получим известную формулу Эйри.
В отличие от двухлучевого интерферометра, система двух параллельных зеркал преобразует одну входную плоскую ¿-волну в бесконечную последовательность плоских ¿-волн с экспоненциально убывающей амплитудой.
Отметим еще одно существенное различие в импульсных откликах интерферометров Май-кельсона и Фабри-Перо: достаточно в первом немного наклонить относительно нормали к оптической оси одно из зеркал, как при малых разностях хода излучения, распространяющегося в двух плечах, появляются возможность пересечения ¿-волн и их интерференция. Свойства самой интерференционной картины и аппаратная функция системы при этом не меняются.
Второй интерферометр не обладает такой возможностью: наклон любого из зеркал приводит к принципиальному изменению работы прибора, так как число интерферирующих пучков становится конечным. Соответственно меняется и форма аппаратной функции - в ней появляются побочные максимумы малой амплитуды. В то же время при любом конечном расстоянии между параллельными зеркалами выходящие ¿-волны остаются также параллельными исходной и не пересекаются друг с другом. Интерференция волн при правильной настройке прибора оказывается возможной только в двух случаях: во-первых, когда протяженность входного сиг-
нала (точнее, пространственная длина ядра его автокорреляционной функции) превосходит удвоенное расстояние между зеркалами и, во-вторых, когда фотоприемник обладает собственной инерционностью, причем характерное время его реакции выше, чем время двойного прохода волной толщины интерферометра (время одного «обхода» излучением пространства между зеркалами). Выходящие плоские волны дифрагируют на диафрагме D и концентрируются в фокусе линзы. Вследствие этого в фокусе наблюдается (вновь с точностью до постоянного множителя) сигнал
оо
hFp(t) = ^Rk5'{t- к At). fc=о
Рассмотрим задачу анализа с помощью интерферометра Фабри-Перо спектра одиночного ультракороткого импульса, соответствующего, например, условиям работы [9]. Интерферометр намного толще, чем длина волны исследуемого излучения; тогда в общем случае необходимо воспользоваться соотношениями, полученными в работе [11], но можно применить метод медленной огибающей и представить входной сигнал следующим образом:
/(t) = a(t) cos(2tti/í),
считая функцию a(t) вещественной.
С учетом дифракции сигнал в фокусе линзы приобретает вид
оо оо
r(t) = f (t)®hFp (t) = Y^ Rka'(t-kAt) eos (2тrv{t - kAt))-2nu Rka{t-kAt) sin (2тxu{t - к At)). k=0 k=0
. В приближении медленной огибающей можно пренебречь первым слагаемым:
оо
г (t) « —2ixv Rka(t - к At) sin (2тп/(* - к At)). k=0
Таким образом, и в данном случае амплитудный отклик всего прибора приобретает множитель i/, или V2 при измерении мощности сигнала.
Обычно интерферометр Фабри-Перо применяется как прибор высокой разрешающей силы для исследования очень узкополосных сигналов. Величина v2 в этом случае меняется очень мало на интервале частот, где спектр рассматриваемого сигнала не равен нулю, и играет роль нового нормировочного множителя, что несущественно при измерениях относительных величин. Учет же этого сомножителя в явной форме при изучении широкополосных сигналов, как, например, в работе [12], совершенно необходим.
Заключение. Очевидно, что в практике оптических измерений неизбежное преобразование сигнала и его спектра осуществляется как при исследовании неизвестного излучения, так и при калибровке прибора по эталонному источнику. В этом случае деление одного спектра на другой приводит к сокращению пропорциональных частоте сомножителей, и систематическая ошибка измерения спектрального распределения мощности излучения пропадает. Тот же эффект наблюдается и при измерении спектров поглощения. Подобная функциональная ошибка играет незначительную роль и при изучении источников в узком спектральном интервале (или квазимонохроматических источников), так как соответствующие сомножители остаются практически постоянными. Вместе с тем обращение к задачам восстановления формы зависимости входного сигнала от времени на основании любых, в том числе интерференционных, измерений должно учитывать описанный эффект.
Summary
Wang Jue, SidoTova L. V., Tolmachev Yu. A. On the effect of wave diffraction on time structure of the output signal of interferometer.
The effect of diffraction on the output of two-beam and multi-beam interferometers is studied for the spectrally broad-band signal. Independently on, diffraction of waves results in the differentiation of an incoming signal at the interferometer exit and change of its spectrum irrespective of the dimensions of the optical system. Corresponding correction of the basic formula of Fourier spectroscopy is introduced.
Литература
1. Лебедев M. К., Толмачев Ю. А. // Оптика и спектроскопия. 2001. Т. 90, № 3. С. 457-463. 2. Лебедев М. К., Толмачев Ю. А. // Лазерные исследования в Санкт-Петербургском государственном университете. Вып. 3 / Под ред. В. Б. Смирнова, А. А. Петрова. СПб., 2004. С. 81-153. 3. Лебедев М. К., Толмачев Ю. А., Антипов А. Г., Разманова М. В. // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 2002. Вып. 4 (№ 28). С. 44-56. 4. Гудмен Дж. Введение в фурье-оптику / Пер. с англ.; Под ред. Г. И. Косоурова. М., 1970. 5. Лебедев М. К., Толмачев Ю. А., Фроленкова М. В., Кытманов А. В. // Квантовая электроника. 2005. Т. 35, № 5. С. 479-483. 6. Мерц Л. Интегральные преобразования в оптике / Пер. с англ. П. Ф. Паршина; Под ред. Г. В. Старицкого. М., 1969. 7. Толмачев Ю. А. Новые спектральные приборы. Принципы работы. Л., 1976. 8. Белл Р. Дж. Введение в фурье-спектроскопию / Пер. с англ.; Под ред. Г. Н. Жижина. М., 1975. 9. Беспалов В. Г., Ефимов Ю. Н., Стаселъко Д. И. // Атомная спектроскопия. 1997. Т. 82, № 5. С. 734-738. 10. Конн Ж. // ИК-спектроскопия высокого разрешения / Пер. с франц. и англ.; Под ред. Г. Н. Жижина. М., 1972. С. 201-305.
11. Жиглинский А. Г., Кучинский В. В. Реальный интерферометр Фабри-Перо. Л., 1983.
12. Ефимов Ю. Н. Временная и спектральная структура вынужденного комбинационного рассеяния света в переходном и нестационарном режимах: Канд. дис. СПб., 2003.
Статья поступила в редакцию 5 марта 2006 г.
