CC BY
13
УДК 535.4
Санкт-Петербургский государственный университет, Минобрнауки, Россия 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, ул. Ульяновская, д. 3
Развит метод исследования трансформации ультракороткого импульса сферической волны в окрестности фокуса. Показано, что импульсный отклик круглой апертуры содержит две составляющие: прошедшую, "вырезанную" отверстием из падающей волны, и тороидальную краевую. Выведены простые алгебраические соотношения, описывающие процесс распространения, и разработано соответствующее программное обеспечение. Приводится пример изменения формы импульса с гауссовой огибающей. Показано, что на оси системы образуются импульсы, распространяющиеся со скоростью V > с, один из которых обгоняет исходную волну.
Ключевые слова: дифракция ультракоротких импульсов, дельта-импульс, импульсный отклик.
Расширение диапазона применения сверхширокополосных сигналов, в частности, содержащих одно или несколько колебаний поля ультракоротких импульсов (УКИ), обусловливает насущную потребность исследования нестационарного поля сферической сходящейся волны вблизи фокуса. Для решения такой задачи мы использовали приближение скалярных ¿(¿)-образных волн, наиболее полно изложенное в [1]. Зная импульсный отклик - реакцию системы на ¿(¿)-сигнал, - нетрудно вычислить ее реакцию на сигнал произвольной формы с помощью операции свертки. Достоинством метода является простота, устойчивость процедуры вычислений и возможность наглядной интерпретации процесса дифракции волны.
Приведенное в [3] решение задачи о дифракции на круглом отверстии радиуса а в сферическом экране радиуса К сходящейся сферической волны Урз (Р, £) =
ет, что в любой точке пространства за экраном импульсный отклик содержит только
е-таП: frolen-maria@yandex.ru; yurii.tolmach@rambler.ru
текущий радиус волны) в приближении Кирхгофа [2] показыва
две компоненты: прошедшую сквозь отверстие часть исходной волны и краевую волну. Поле ¿(¿)-волны для произвольной точки Р части полупространства внутри экрана перед фокусом описывается соотношением:
т г , „ . cR (cos а — cos в ■ cos 7) Vsph(P,t) =----/ . 2 . 2 11 —*
к J sin а • sin в — (cos 7 — cos в ■ cos а)2
(ct — К + x)(R + x — ct) и содержит только две составляющие: прошедшую через отверстие часть исходной волны Vps(P,t) и краевую волну.
Проходящая составляющая полностью описывается приближением геометрической
оптики, т.е. в соотношении (1) Vps(P,t) = 0, если точка Р находится в области геоме-
R ( R — х\
трической тени, и Vps(P,t) = — S (t--— в освещенной области.
х \ с J
Краевая волна имеет более сложную структуру и ограничена в пространстве. Она
имеет в любой точке пространства за экраном переднюю и заднюю границы, которые
в (1) определяются функциями Хевисайда 0. Между этими границами амплитуда вол-
+ х2 _ c2t2
ны непрерывна и меняет знак. В выражении для краевой волны cos0 = -—-,
2Rx
величины ¡i и /2 есть расстояния от точки наблюдения до ближней и дальней границ отверстия соответственно, о - угол между направлениями из фокуса на центр отверстия и на точку наблюдения, х - расстояние до точки наблюдения, отсчитанное от фокуса, 7 - апертурный угол отверстия, at- текущее время, отсчитанное от момента прохода волны через экран. Знаки слагаемых в правом полупространстве изменяются на противоположные, что свидетельствует об изменении полярности как проходящей, так и краевой волн. Подчеркнем, что в отличие от решения задачи о дифракции монохроматической волны, формула (1) содержит только элементарные функции и ступенчатую функцию Хевисайда 0.
Импульсный отклик вблизи фокуса на оси симметрии системы имеет особенно простую форму - он состоит из двух ¿-импульсов разной полярности. Введя время t, отсчитанное от середины интервала между ними, отклик можно представить в виде:
(2)
Соотношение (2) показывает, в частности, что непосредственно в точке фокуса зависимость амплитуды поля от времени описывается первой производной от падающего
сигнала по времени:
Расчет с помощью свертки (1) с монохроматической волной А при условии а >> X приводит к ранее известным в оптике результатам [3]. Для точек Р на оси симметрии системы получено совпадение с известными соотношения в аналитическом виде, а для области вне оси симметрии - в пределах погрешности численного расчета.
Одной из наиболее распространенных моделей ультракороткого импульса является гармоническое колебание периода Т с гауссовой огибающей:
Используя ф(¿) в качестве входного сигнала и выполнив свертку (3) с импульсным откликом (1), достаточно затем рассмотреть вещественную часть результирующего отклика Ф(Р, для того, чтобы определить искомую амплитуду световой волны в точке наблюдения Р, при этом квадрат модуля Ф(Р, даст дополнительную информацию о том, как меняются во времени и в пространстве энергетические характеристики волны. Если огибающая гармонического колебания медленная (для нашего случая это означает т > (2...3)Т), модуль функции Ф(Р, I) практически совпадает с гауссовым сомножителем
Благодаря тому, что в (1) входят комбинации только элементарных функций, свертка ф{{) с импульсным откликом вычисляется быстро. На обычном РС построение одного распределения с использованием стандартных математических программ высокого уровня происходит за 5 минут. Нами были построены несколько серий изображений поля волны, позволяющих детально проследить развитие во времени как амплитуды Ф(-Р,£) поля, так и значения модуля |Ф(Р,
Возможность детального анализа развития поля во времени позволила изучить структуру точек ¿-образных особенностей краевой волны на оси симметрии рассматриваемой системы. Эти точки образуются самопересечением тороидальной краевой волны, расходящейся от края круглой диафрагмы, и движутся со скоростью, превосходящей скорость света. Одна из двух точек "догоняет" ¿-импульс падающей волны и при взаимодействии с ним формирует в фокусе производную по времени. Вторая рас положена вне области, которая может рассматриваться в представлениях Кирхгофа, но хорошо видна на серии полученных нами решений. Эта точка движется в сторону, про тивоположную направлению распространения падающей волны. Она аналогична одной
(3)
в (3).
из линий пересечения цилиндрических краевых ¿-волн, обнаруженных нами в работе [4] при решении задачи о дифракции плоской волны на щели. Таким образом,
- на основе импульсного метода разработан алгоритм, позволяющий оперативно вычислять в приближении Кирхгофа распределение амплитуды волнового поля сходящейся сферической волны в окрестности фокуса и адаптированный для исследования ультракоротких импульсов произвольной структуры;
- анализ полученных результатов позволяет определить для любой длительности импульса как положение экстремумов волнового поля (например, расстояние от центра волнового пакета до первого минимума), так и величину полной энергии, полученной при облучении;
- изучена динамика развития формы сферического сходящегося гауссова импульса при его дифракции на круглой диафрагме;
- продемонстрирован процесс преобразования исходного сигнала в свою первую производную по времени в точке фокуса;
- установлено существование в пространстве дифракции точечных компонентов 6(t)-волны, движущихся со скоростью больше скорости света в вакууме;
- продемонстрировано наличие двух таких точек, движущихся в противоположных направлениях.
ЛИТЕРАТУРА
[1] М. К. Лебедев, Ю. А. Толмачев, Лазерные исследования в Санкт-Петербургском государственном университете. Третий выпуск. Под ред. В.Б.Смирнова, А.А.Петрова (СПб., НИИ "Российский центр лазерной физики", 2004, с. 81-153).
[2] М. Борн, Э. Вольф, Основы оптики (М., Наука, 1970), 721 с.
[3] М. К. Лебедев, Ю. А. Толмачев, Оптика и Спектроскопия 90(3), 457 (2001).
[4] М. К. Лебедев, Ю. А. Толмачев, М. В. Фроленкова, А. В. Кытманов, Оптика и Спектроскопия 100(1), 129 (2006).
[5] И. Э. Сулейменов, М. К. Лебедев, Ю. А. Толмачев, Оптика и спектроскопия 88(1), 104 (2000).
По материалам 3 Всероссийской молодежной школы-семинара "Инновационные аспекты фундаментальных исследований по актуальным проблемам физики", Москва, ФИАН, октябрь 2009 г.
Поступила в редакцию 29 октября 2009 г.
