CC BY
12ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ КОНТУРЕ
Бирюк Николай Данилович,
доктор физико-математических наук, профессор физического факультета, Воронежский государственный университет
Кривцов Алексей Юрьевич, старший инженер, АО «Концерн «Созвездие» Хорпяков Олег Станиславович, кандидат технических наук, доцент факультета информационных систем, Международный институт компьютерных технологий
Процессы в линейном параметрическом контуре несоизмеримо сложнее для анализа, чем процессы в обычном колебательном контуре. Ниже предложен принцип качественного анализа этих процессов, в методическом плане используется сравнение параметрического контура с известным частным случаем - обычным колебательным контуром. Приведена краткая история проблемы. Актуальность задачи в настоящее время возросла многократно.
Ключевые слова: линейный контур с изменяющимися во времени параметрами, вынужденные колебания, свободные колебания, стационарный режим, устойчивость процессов, функции Хилла.
PHYSICAL PROCESSES IN TIME VARYING CIRCUIT
Birjuk N. D.,
doctor of physical and mathematical sciences, Voronezh State University Krivtsov A. Yu., engineer, JSC «Sozvezdie «Concern» Horpyakov O. S.
candidate of technical sciences, docent, International institute of computer technology
Processes in linear time varying circuit are incommensurately more complicated for analysis than processes in usually oscillating circuit. Below it is offered the principle of qualitative analysis this processes, in methodical plan it is used comparison of time varying circuit with well-known particular case - usual oscillating circuit. It is given the short history of problem. At present tense an actuality of problem is increased many times.
Key words: a linear circuit with time varying parameters, forced oscillations, free oscillations, a stationary regime, stability of processes, function of Hill.
Введение.
В связи с электронизацией современного общества повышается актуальность разработки методов анализа нелинейных радиоцепей. В этом вопросе существует значительный разрыв между практическими потребностями и теоретическими возможностями. Современная теория нелинейных радиоцепей фрагментарна и мало приспособлена к решению практических задач. Во многих случаях первым шагом анализа является анализ нелинейных систем в линейном приближении. Самым трудным случаем этого направления является анализ линейных систем с переменными параметрами. Методологической основой такого подхода является принцип линейного включения. Он сформулирован давно [1], но по неизвестным причинам не нашел должного применения в радиоэлектронике. Он утверждает, что любое решение произвольного нелинейного уравнения может быть точно воспроизведено в специально подобранном линейном уравнении. Этот принцип не получил должного распространения в радиоэлектронике. Он аналогичен принципу суперпозиции, но радикально превосходит его по общности, так как охватывает все множество нелинейных систем. Из этого принципа следует, что для теории нелинейных систем имеет важное значение анализ линейных систем самого общего характера. Здесь возникают свои трудности, но меньшие, чем в случае нелинейных систем. Проблема анализа параметрических радиоцепей имеет свою историю и достаточно мощный поток публикаций. Дать полный об-
зор развития этой тематике в данном случае не представляется возможным, поэтому ограничимся отдельными фрагментами, частично проясняющими ситуацию.
Первой из известных нам публикаций этого направления является статья Л. А. Варшавского [2], посвященная анализу вынужденных колебаний в цепи с периодическими параметрами. Задача решалась методом комплексных амплитуд и привелась к бесконечной системе алгебраических уравнений.
Большое внимание радиоцепям с периодическими параметрами уделялось в советской школе нелинейных колебаний, возглавляемой академиками Л. И. Мандельштамом и Н. Д. Папалекси. В частности, решались задачи параметрического возбуждения и резонанса. Оригинальная идея резонанса параметрического контура была предложена в обобщающей статье Л. И. Мандельштама [3] и несколько позже была развита его учеником Г. С. Гореликом [4].
Параллельно задачу более общего характера решали академики А. А. Андронов и М. А. Леонтович [5].
Американские ученые интенсивно работали в этом направлении. Обзор этих работ до 1950 года приведен в статье Беннета [6]. Характеристика методов анализа содержится в статье Пайпса [7]. Долгое время разрабатывал методы анализа параметрических цепей Лотфи Заде [8]. Позже было много публикаций по параметрическим цепям в американских журналах, посвященных как общим подходам, так и частным задачам.
Развитию методов анализа вынужденных колебаний параметрических цепей посвящены обстоятельные статьи польских авторов: М. Нежвецкого [9], Й. Кудревича [10], К. Грабовского [11].
Один из авторов настоящей публикации в статье [12] попытался изучить свойства возникающих при анализе бесконечных систем уравнений в упрощенной до предела параметрической цепи. В этом частном случае удается решить бесконечные системы, но при усложнении радиоцепей такой результат не получается, приходится довольствоваться приближенными решениями. В монографии [13] кратко описаны некоторые современные задачи и предложены удобные для практического применения методики анализа.
Заметим, что абсолютное большинство публикаций посвящено линейным цепям с периодическими параметрами. Чаще всего они являются желательными и реализуются в реальных радиоустройствах. Но могут возникать на практике и нежелательные параметрические цепи, необязательно периодические. Например, если на нелинейный элемент подать два сигнала, большой и малый, то для малого сигнала этот элемент может быть линейным параметрическим. При этом могут возникнуть трудно устраняемые нежелательные эффекты.
Ниже проблемы анализа сфокусированы на параметрическом контуре со всеми изменяющимися во времени параметрами. Это - простая по структуре, но сложная для анализа параметрическая цепь, в которой проявляются проблемы анализа, характерные для параметрических цепей общего вида. В методическом плане прослеживаются общие свойства и отличия между параметрическим и обычным контуром.
Математическая модель параметрического контура.
На рис. 1 представлена схема обобщенного параметрического контура, объединяющего свойства последовательного и параллельного контуров. Можно сколько угодно предложить математических моделей контура в зависимости от того, какие две функции процесса выбраны в качестве определяющих. Практика показывает, что наиболее близкая к обычному контуру получается математическая модель, если в качестве определяющих функций выбрать заряд конденсатора q(t) и магнитное потокосцепление Ф(^. Будем считать, что параметры контура изменяются во времени по любым непрерывным функциям независимо от протекающих токов, оставаясь всегда положительными. Это - условие линейности контура.
Рис. 1. Схема обобщенного параметрического контура.
Первый и второй законы Кирхофа приводят к следующей дифференциальной системе:
dq G 1 _ . ..
— =--q--Ф + z (t)
dt С4 L fW
dФ 1 R^ ' -= — q--Ф + st
dt С L
Для контура с постоянными или периодическими параметрами удобным методом анализа является метод комплексных амплитуд. Это особый математический метод, метод неэквивалентных преобразований, предложенный в 1871 году американским инженером-электротехником Чарльзом Протеусом Штейнмецом. Он позволяет значительно упростить промежуточные преобразования. Метод в трактовке и терминологии профессора Ю. Т. Величко [14] специально приспособлен для практического применения. Покажем на примере его особенности.
Пусть э.д.с. является гармонической функцией времени £"(£) = EM cos (fflt+ф)
По Величко она названа оригиналом. Ей соответствует изображение , полученное по правилу
J(«K+<P)
е(г) = Е cosfait+ф) s- Е eJ
т ■ ' ш
jq> jot _ j
Еда = Е е]ср
Здесь т - комплексная амплитуда. Ори-
гинал и изображение связаны знаком соответствия (стрелка острием к оригиналу). Кроме изображения иногда используется комплексно сопряженное изображение
-] + сС= Е = *Ете-М
s = E e m
= E e m
- комплексно сопряженная ам-
где Ет = Е е ]с т
плитуда.
Предположим, что контур по рис. 1 является контуром с постоянными параметрами. В таком случае особую роль играют гармонические функции времени. Пусть задающий
ток / (7) и э.д.с. ё(7) гармонические функции с одинаковыми круговыми частотами (О . Тогда их изображения имеют вид
Ъ (7) = , ё = Ете->Ш.
В таком случае вынужденные колебания токов, напряжений, заряда, магнитного потока представляется в таком
же виде, например, q = 0е .
Теперь предположим, что в том же контуре параметры изменяются по периодическим функциям с одной и той
же круговой частотой О. В таком случае гармонические функции времени теряют особую роль и их место занимают функции более общего характера вида
s(t) = I Ея cos [(ш + кQ) t + фк ].
к=-ю
В некоторых публикациях они названы функциями Хил-
ла. Пусть задающий ток i (t) и э.д.с. s(t) являются функциями Хилла с одной и той же круговой частотой б) . Тогда их изображения имеют вид
i( =
14
j (ш+к Q )t
£ =
IE к
j (ш+к Q )t
к=-ю к=-ю
В таком случае вынужденные колебания токов, напряжений, заряда, магнитного потокосцепления имеют такой же вид, например
] (с+ к
q =I QkeJ
к=-ю
В контуре с постоянными положительными параметрами вынужденные колебания определяют установившийся (стационарный) процесс, чего нельзя сказать о контуре с периодическими параметрами. Чтобы вынужденные колебания определяли установившийся процесс в контуре с периодическими параметрами требуется дополнительное условие, он должен быть асимптотически устойчив. Это условие для контура с постоянными параметрами и тепловыми потерями всегда выполняется, а для параметрического контура нужно решать весьма сложную задачу о его устойчивости. В общем случае приходиться применять теорию устойчивости Ляпунова, хотя существуют и неляпуновские методы анализа устойчивости.
Рассмотрим свободные колебания в контуре в предположении / (V) = 0, 8(1) = 0. Эти колебания могут существовать за счет начальных условий, т. е. начальных зарядов конденсатора или начальных токов индуктивности. В случае контура с постоянными параметрами свободные функции процесса имеют вид затухающих гармонических функций с одинаковыми коэффициентами затухания а и
одинаковыми круговыми частотами Сс , например,
q(t) = 0в-ш + Ф), а = 21 С +1 1,
■sfc
ш„=\/ш02 -а2, 0О =
1
4lc
- собственная частота
контура, 0c - частота свободных колебаний. Найдем изображение заряда
q = Qe
at— n„j(0c+ J'a)t _
Qe
j0Ct
где С = (0с + ]а - комплексная частота свободных колебаний, действительная часть С - частота свободных
колебаний, мнимая часть а . - коэффициент затухания в
случае а > 0 . Если а < 0, то получится не экспоненциально затухающая, а экспоненциально возрастающая гармоническая функция, что характерно для неустойчивого по Ляпунову контура. Таким образом экспоненциально возрастающую или экспоненциально затухающую гармоническую функцию можно считать обычной гармонической функцией, но с комплексной частотой, действительная и мнимая части которой имеют вполне определенный физический смысл.
Рассмотрим свободный процесс в контуре с периодическими параметрами. Здесь существует аналогия с контуром с постоянными параметрами. Именно, функции процесса представляются экспоненциально затухающими или экспоненциально возрастающими функциями Хилла. Например, изображение свободных колебаний заряда имеет вид
л - ] (С + к
q = X с ■
к
где (0с = Сс + ]а - комплексная чистота свободных
колебаний, Сс - обычная частота свободных колебаний, а - коэффициент экспоненциального затухания при
а> 0 или экспоненциального возрастания при а< 0 . Иными словами, признаком устойчивости контура является неравенство а> 0 , признаком неустойчивости - неравенство а< 0 . В случае контура с положительными периодическими параметрами может быть реализовано и то, и другое условие. Требуется специальное исследование устойчивости параметрического контура. Если он устойчив, то вынужденные колебания определяют установившийся режим, если неустойчив, то это не так, в таком случае вынужденные колебания «потонут» в беспредельно возрастающем свободном процессе.
Если параметры контура изменяются во времени по непериодическим функциям, то метод комплексных амплитуд теряет свое значение. В этом случае функции изменения параметров и решения можно представить в виде сумм степенных рядов времени. Задача приводиться к бесконечным системам алгебраических уравнений другого вида, чем в случае периодических параметров. При этом вычислительная сторона задачи упрощаются, но физическая наглядность теряется.
Резонанс параметрического контура.
Резонанс обычного колебательного контура достаточно подробно исследован как со стороны теории, так и со стороны практики. Можно констатировать, что обычный контур интересен для радиоэлектроники из-за явления резонанса. Теория резонанса параметрического контура несравненно сложнее обычного, поэтому перенести методы исследования резонанса обычного контура на параметрический контур не получается.
Мандельштам предложил свой подход [2] к исследованию резонанса параметрического контура. По Мандельштаму при резонансе в любой момент времени приходящая в контур энергия полностью расходуется за счет тепловых потерь. Горелик Г. С. [3] применил эту идею при анализе параметрического контура более частного характера, чем в данном случае. Работа интересная но, к сожалению, не
ничиваются одним источником энергии. И здесь возникает задача, как убрать один из источников энергии, не разрушая условий резонанса. Ограничимся общими рекомендациями.
Дифференциальную систему (1) нужно преобразовать в одно дифференциальное уравнение второго порядка. Существует два варианта таких преобразований: относительно
заряда q(t) и относительно магнитного потокосцепления
Ф(?) . Желательно выполнить и то, и другое. Затем каждое уравнение расщепляется на два уравнения по описанному выше образцу. В правой части должны быть источники и потребители энергии, в левой - остальные слагаемые. Затем, как и ранее, левые и правые части приравниваются нулю. Левая часть - уравнение собственных колебаний, в одном
случае, заряда q (t), в другом - потокосцепления Ф(?). В правой части можно исключить один из источников энергии, какой именно, видно из уравнений. Для заряда проще
оставить s(t), для потокосцепления - if (t) . Если уравнения собственных колебаний решены, то нетрудно найти
функции s(t) или i (t) при резонансе. Выражения этих функций будут более сложными, чем в случае двух источников, что вполне естественно. Если один из источников убрать, то другой, чтобы не нарушить условий резонанса, должен работать в усложненном режиме. Заключение.
Выше рассмотрены общие положения анализа параметрического контура, более подробно описан резонанс. На будущее планируем при благоприятном стечении обстоятельств привести методику получения бесконечных систем уравнений, неизбежно возникающих при подробном анализе параметрического контура, и дать рекомендации по их приближенному решению.
Список литературы:
1. Былов Б. Ф. Теория показателей Ляпунова и ее применение к вопросу устойчивости / Б. Ф. Былов, Р. Э. Виноград, Д. М. Гробман, В. В. Немыцкий - М.: Наука, 1966.-582с.
2. Варшавский Л. А. Электрические цепи с периодически изменяющимися параметрами / Л. А. Варшавский // Известия Ленинградского политехнического института им. Калинина.-1928.-№31.
3. Мандельштам Л. И. Вопросы электрических колебательных систем и радиофизики / Л. И. Мандельштам.- Полное собрание трудов.-Изд АНСССР.-Т.3.-с.53-88.
4. Горелик Г. С. Резонансные явления в линейных системах с периодически меняющимися параметрами / Г. С. Горелик // Журнал технической физики-1934.-Т.4.-Вып.10.-с.1783-1817;1935-Т.5.-Вып.2.-с.196-215;1935.-Т.5.-Вып.3.-с.490-517.
5. Андронов А. А. О колебаниях системы с периодически меняющимися параметрами / А. А. Андронов, М. А. Леонто-вич.-Собрание трудов А. А. Андронова.-Изд. А.Н. СССР,1956.-с.19-31.
6. Bennet W. R. General review of linear varying parameter and nonlinear circuit analysis / W. R. Bennet // Proc. IRE.-1950.-march.-259-263.
7. Pipes L. A. Four methods of analysis of time variable circuits / L. A. Pipes // IRE Trans. Circuit theory.-1955.-march.-p.4-12.
8. Zadeh L. A. Time-Varying networks / L. A. Zadeh // Proc. IRE.-1961.-№10.-p.1488-1503.
9. Niedzwiecki M. Wyznaczanie przebiegow ustalonych w sieci parametrychnej sawierajacej element zmienne okresowo / M. Niedzwiecki// Arch. elektotechn.(Polska). - 1963. - №4 - s.713-725.
10. Kudrewicz J O pewnej methodize obliczania ukladow parametrycznych / J. Kudrewicz// Arch. elektehn.(Polska).1963. -T.XII.Z.1.
11. Grabowski K. Uwagi o malosygnalowej analizie liniowej siec electrychnej s reaktancja okres owo zmienna w czasie / K. Grabowski// Arch. elektotechn.(Polska), - 1964 - 13 - №3. - s.541-553.
12. Бирюк Н. Д. Параметрические элементы / Н. Д. Бирюк// Известия вузов радиотехника. - 1968. - Т.11. - №3 - с.217-227.
13. Бирюк Н. Д. Основы теории параметрических радиоцепей / Н. Д. Бирюк, В. В. Юргелас. - Воронеж: Издательско-по-лиграфический центр ВГУ, 2012. - 345 с.
закончена и не получила дальнейшего развития. Здесь использована идея Мандельштама и на ее основе предложен метод, названный методом расщепления дифференциальных уравнений при резонансе. При этом периодичность изменения параметров не требуется, но и не исключается.
Представим дифференциальную систему (1) в специальном виде -
ёа 1 ^ G . , ч
— + — Ф =--а + г (7)
ЛЬ С4
ёФ 1 R . . ' --q =--Ф + sit)
а с Ь
С права собраны слагаемые, связанные с приходящей в контур и рассеиваемой за счет тепловых потерь энергией. По Мандельштаму при резонансе общая энергия в любой момент времени равна нулю. Если это так, то дифференциальная система расщепляется на две:
dq 1 ^ _*+_ф = 0 dt L
ёФ 1 а
--q = 0
dt C
G
(t)=cq
s(t) = R Ф
L (2)
Первая система представляет собой дифференциальную систему собственных колебаний. Ее нужно решить и получить функции а = а(7) , Ф = Ф(7) . Они определяют процессы в контуре при резонансе.
Уравнения второй системы (2) дают выражения для внешних возмущающих функций при резонансе. Они легко находятся при условии, что первая система дифференциальных уравнений (2) решена.
Таким образом, рассмотрено явление резонанса параметрического контура в предположении, что в контуре находятся два источника энергии: ё(7) и г (7) . Обычно огра-
14. Величко Ю. Т. Теоретичш основи радютехшчних мереж / Ю. Т. Величко. - Льв1в: Видавництво ЛДУ, 1966. - 340с.
METHOD FOR DETERMINING THE ANISOTROPY OF MAGNETIZATION OF ORES
Baydymat Urusova, Karachay-Cherkessia
State University U.D.Alieva, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Physics and Mathematics
Defining the anisotropy of the magnetization of ore mining - gabbro. It is revealed that the ore mining - gabbro, there are two textures, and one secondary. To solve these problems, we use the microarray analysis.
Keywords: magnetic crystallographic anisotropy, shape anisotropy, the spin-orbit interaction, magnetic-dipole interaction, the magnetization vector, mining ore, gabbro, hysteresis loop, magnetic grains, the increase of the magnetization tensor.
It is known that there are two main types of anisotropy -magnetic crystallographic anisotropy and shape anisotropy.
The appearance of the magnetic crystallographic anisotropy can be explained by two main reasons: 1) the spin - orbit interaction; 2) magnetic - dipole interaction.
In the first case of its energy will depend on the orientation of the magnetization vector relative to the crystallographic axes, since the orbital magnetic moment associated with the ion lattice. In - the second case, the atomic magnetic moments localized at the crystal lattice sites and are oriented in parallel, hence the total energy of the magnetic dipole moments of the interaction of these will depend on the orientation of the total angular momentum relative to the crystallographic axes. However, for rocks of great importance shape anisotropy which is related to the fact that the magnetization of the ferromagnetic body is not only an external magnetic field, but also in the field created by the body itself. Therefore, if the shape of the body non-isometric vector rock magnetization deviates from the direction of the geomagnetic field in the direction of the long axis of the body.
The anisotropy of magnetic properties due to the effect of the form in rocks can be manifested in two forms: the macroscopic and microscopic.
In the first case related to the shape anisotropy of the geological body, and in the second, oriented extension of ferromagnetic and ferrimagnetic grains enclosed in the rock. Only when an isotropic structure, the magnetization of the rocks are strictly
directed towards an external magnetic field. Anisotropy of the magnetic properties is observed in rocks with a pronounced texture and unilateral pressure experienced by the rock, as well as diffusion and processes of ordering of atoms in solids.
Thus, the aim of this work is to determine the anisotropy of the magnetization of ore mining - gabbro.
Samples of ore mining - gabbro were taken from the left bank of the river. Maruja, Zelenchuk district, Karachaevo - Cherkessia, borehole number 7/1022 and age v PR - PZ1.
It is known that the mechanism for orientation of particles in the ore mining determines genesis. This factor may be mechanical, physical and chemical effects. As a result, there ore mining and axial planar texture mineral. The ore mining - gabbro texture is a ferromagnetic mineral, so we can not measure the elements of the tensor of its magnetic anisotropy. Studies have shown that in the ore mining - gabbro, there are two textures, and one secondary, therefore, individually determine tensors impossible. Therefore, to solve this problem, we used microarray analysis.
Figure 1 shows the experimental results of the hysteresis loop measurements for mining ore - gabbro, in magnetic fields up to 10 kOe at room temperature. magnetization measurements were performed ballistic method [1].
Studies have shown that the hysteresis loop is much narrower than for ferromagnets. Apparently, this is due to various factors shaped demagnetization - N axes at the sample.
Figure 1. The hysteresis loop for mining ore - gabbro in magnetic fields up to 10 kOe at room temperature. Residual saturation magnetization - I determined by tg a Fig. 1).
tg a = 1 / N, (1) The angle of intersection of the demagnetization curve with
where a - the angle of the magnetization I of the axis (see this axis gives the I . For the anisotropy of the magnetization
