Задача Ляпунова применительно к параметрическому контуру с периодическими параметрами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.3.015.4

ЗАДАЧА ЛЯПУНОВА ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ПАРАМЕТРИЧЕСКОМУ КОНТУРУ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПАРАМЕТРАМИ

Н.Д. Бирюк, А.Ю. Кривцов

Обычно применяемые в радиофизике и электронике методы анализа устойчивости электро- и радиоцепей (Рауса-Гурвица, Михайлова, Найквиста) не охватывают цепи с явно зависящими от времени параметрами (параметрические цепи). В таких случаях целесообразно применять теорию устойчивости Ляпунова, которая по каким-то причинам не получила должного распространения в радиотехнических дисциплинах. Среди параметрических радиоцепей на практике получил наибольшее распространение параметрический контур, проблема устойчивости которого является сложной теоретической задачей. Её математической основой могут быть относительно малоизвестные работы Ляпунова, посвященные специальной задаче устойчивости усеченного линейного дифференциального уравнения второго порядка с периодическим коэффициентом.

Ниже предлагается на этой основе метод анализа частного, но характерного случая параметрического контура. Метод может быть обобщен на более сложные параметрические цепи. Обычно подобные задачи связаны с громоздкими преобразованиями. В настоящее время они могут быть преодолены с помощью компьютеров. Анализ устойчивости реальных физических объектов позволяет привлечь физический смысл и тем самым преодолеть некоторые трудности при соответствующем анализе абстрактных математических уравнений

Ключевые слова: параметрический контур с периодическими параметрами, устойчивость по Ляпунову, константа Ляпунова, приведение задачи об устойчивости контура к задаче Ляпунова

Введение

В настоящее время имеет место электронизация общества: электроникой насыщаются хозяйственные предприятия, культурные учреждения, спортивные комплексы, частные квартиры. Используемые электронные системы имеют тенденцию к усложнению, при этом удельный вес нелинейных устройств связан с большими трудностями, но во многих случаях достаточно рассмотреть линейные приближения. При анализе нелинейного колебательного контура в линейном приближении задача может быть приведена либо к анализу контура с постоянными параметрами, либо к анализу линейного контура с переменными параметрами. Первый случай достаточно разработан, второй оказывается намного сложнее. Главное отличие параметрического контура от обычного заключается в том, что параметрический контур с положительными элементами может быть неустойчив по Ляпунову, т. е. его свободный процесс может быть не затухающим, как в обычном контуре, а беспредельно возрастающим. Анализ устойчивости параметрического контура может быть приведен к относительно малоизвестной задаче Ляпунова, специально посвященной анализу устойчивости усеченного линейного однородного

Бирюк Николай Данилович - ВГУ, д-р физ.-мат. наук, профессор, e-mail: lidia@vmail.ru

Кривцов Алексей Юрьевич - АО «Концерн «Созвездие», инженер; ВГУ, аспирант, e-mail: ukrorg@rambler.ru

дифференциального уравнения с

периодическим коэффициентом. Ниже рассмотрена техническая задача устойчивости параметрического контура с использованием упомянутой математической задачи Ляпунова.

Математическая модель параметрического контура

Многие задачи радиоэлектроники связаны с анализом свободных колебаний параметрического контура, схема которого представлена на рис. 1.

C(t)

R(t)

G(t)

L(t)

Рис. 1. Схема анализируемого параметрического контура

Математических моделей такого контура может быть сколько угодно в зависимости от того, какие две функции выбраны в качестве определяющих. Практика показывает, что в качестве таковых желательно выбирать заряд конденсатора q(t) и потокосцепление индуктивности Ф^). Тогда система уравнений параметрического контура оказывается максимально приближенной к аналогичной системе обычного контура.

Первый и второй законы Кирхгофа приводят к следующей системе дифференциальных уравнений:

dq G 1 ^

— =--q--ф

dt С С d Ф 1

-= — q--Ф

dt С Ь

Это - линейная однородная система двух дифференциальных уравнений первого порядка с переменными коэффициентами. Считается, что все параметры контура положительны и изменяются во времени по любым непрерывным функциям СG(t), Я(, L(t). В данном случае функции являются периодическими с одним и тем же периодом. Наша задача связана с громоздкими преобразованиями, для этого полученная дифференциальная система с переменными коэффициентами разных размерностей неудобна. Ее целесообразно нормировать. С этой целью введем масштабные постоянные делители времени М, заряда qм и магнитного потока Фм и перейдем к безразмерным

t q Ф

переменным Т = - "

> х1 ="

, х2 ="

М 1 qм 2 фм

В

новых переменных дифференциальная система примет вид

dx1 dт

dт

tмG

С

L

х,

t

гС Х1 L Х2

м

где г = ■

Ф

м

- нормирующее сопротивление.

м

Подбирая произвольно г и М систему можно привести к максимально удобному виду. Представим ее в менее громоздком виде

dx1 dт

а11 Х1 а12 Х2

(1)

dт

где

tмG

t г t

а12 = Ъ*-, а = Х-М~. 12 Ь 21 гС

tмR

11 С ' 12 Ь 21 гС' 22 Ь Это непрерывные периодические

положительные функции с одним и тем же периодом Т. Подбором масштабного делителя М этот период можно сделать определенным, например, Т = 2л .

Систему (1) можно преобразовать в одно дифференциальное уравнение второго

порядка. Таких уравнений два, относительно х1 и х2:

(> Хл (х,

-1 + а1—1

(т (Т

+ Ь1 х1 = 0,

(2 х

+а

2 ■ - 2 + Ь2х2 = 0.

Здесь

22 (т (Т

а1 = а11 + а22 -~Т 1П (т

Ь,= -1

а

а22 +■

а12а21

а

( , а, + — 1п — (т а,

12 /

а = а,, + --1п а,,

2 11 22 21

(т

Ь2 = ^

а22

/

а11 +

а12а21 + ( 1п а22

(т ап

22 * 21 ;

Эти два уравнения равнозначны по свойству устойчивости, т. е. если одно из них устойчиво или неустойчиво по Ляпунову, то и другое будет таким же. Поэтому ограничимся рассмотрением первого из них.

Это уравнение неустойчиво по Ляпунову, если среди его решений найдутся такие, у которых модули при некоторых достаточно больших значениях аргумента т могут превышать любое наперед заданное положительное число. Если таких решений нет, то уравнение устойчиво по Ляпунову. Если, кроме этого, все решения стремятся к нулю при безграничном возрастании аргумента т, то уравнение асимптотически устойчиво по Ляпунову. Эти понятия можно отнести не только к дифференциальным уравнениям, но и непосредственно к контуру. Контур неустойчив, если его свободный процесс при некоторых начальных значениях может быть безгранично возрастающим. Если этого нет, то контур устойчив. Если, кроме этого, свободный процесс с течением времени стремится к нулю, то контур асимптотически устойчив. Например, обычный колебательный контур с омическими потерями асимптотически устойчив, т. к. любой свободный процесс в нем - экспоненциально убывающий. Такой же контур без омических потерь - устойчив (не асимптотически). Обычный контур с положительными параметрами не может быть неустойчивым. Параметрический контур такого же типа может быть, как устойчивым, так и неустойчивым. В радиоэлектронике очень важно иметь гарантию, что контур либо устойчив (в усилителях), либо неустойчив (в

а21 х1 а22 х2

автогенераторах). Анализ устойчивости параметрического контура является весьма сложной задачей.

В теории дифференциальных уравнений [1] рекомендуется уравнения типа (1) приводить к нормальному (каноническому) виду, т. е. устранять первую производную.

К первому уравнению (1) применим замену переменной

-1 I* а( х1 = ^ 2 ,

тогда получим

(2 у

стт2

+ СУ =

(2)

где С = с (т) - непрерывная периодическая

функция с = Ь, -1 а2 -1 .

1 1 4 1 2 (т Аналогично, можно заменой переменной

и

а2(т

Х2 = У2е

Привести и второе уравнение (1) к виду (

■ + с2 У2 = 0

(3)

где с

1 2 1 (а2

= Ь2--а2---2

2 4 2 2 (т

Эта задача Ляпунова в настоящее время в естествознании применяется намного реже, чем его основной труд [2], а в радиоэлектронике даже основной труд в силу каких то случайных традиций используется незаслуженно редко.

Ляпунов предложил метод анализа устойчивости уравнения

(2 х ..

—+р(»х = 0, (4)

Л

где р(^ - непрерывная периодическая функция, ее период обозначим через Т, тогда р^+Т)=р^). Требуется определить, является ли это уравнение устойчивым или неустойчивым. Общий случай знакопеременной функции р(^ не рассматривался. Доказано, что если р(0<0, то уравнение (4) неустойчиво. Случай р(0>0 по Ляпунову является основным, ему посвящены статьи [3-8].

Метод Ляпунова начинается с отыскания фундаментальной системы решений уравнения (4). Она состоит из двух линейно независимых решений х() и х2(0. Очевидно, что существует бесконечное множество фундаментальных систем решений.

Предлагается выбрать особую фундаментальную систему решений с начальными условиями:

для х(): х1(0)=1, х1(0)=0; для х2^): х2(0)=0,

х2(0)=1.

Здесь точка сверху означает дифференцирование по t. Если такая фундаментальная система решений построена, то требуется найти характеристическую константу, позже названную константой Ляпунова

А = 2 [ -1 (Т ) + -2(Т )]. (5)

Доказано, что если |А| <1, то уравнение (4) устойчиво, если |А| >1, то неустойчиво.

Случай |А| = 1 является особым и не может

быть обнаружен приближенными методами. С точки зрения радиоэлектронных задач этот случай чрезвычайно редкий, поэтому здесь не рассматривается.

Характерный частный случай задачи Ляпунова

Дифференциальное уравнение типа (4) в современной литературе известно как уравнение Хилла. Рассмотрим максимально упрощенное уравнение Хилла

(2 х ..

—+р(0х=а (7)

л

где р (t) = М при I е[0,Т1]; р ^) = N при I е [Т[, Т ] . Здесь Т - период функции р(); М,

N Т1 - положительные константы, Т^<Т. На рис. 2 показан вид функции р0).

р(1)

м

N

от, т

Рис. 2. Кусочно-постоянная функцияр(т)

В данном случае константа Ляпунова может быть получена непосредственно. Для этого сначала находится фундаментальная система решений, в состав которой входит два решения х^) и х2^) с начальными условиями:

для х^): ^(0) = 1, .Х1(0) = 0; для Х2(0:

х2(0) = 0, Х2(0) = 1. Если эти решения найдены, то при t=T фиксируются значения Х[(Т) и Х2(Т) Затем находится константа Ляпунова

1г 1 (8)

А = ^ [ Х1(Т ) + х (Т )].

При | А |< 1 уравнение (8) устойчиво, при | А |> 1 - неустойчиво. Заметим, что для линейных уравнений понятия «устойчивость» и «ограниченность решений на полубесконечном интервале [0,<х>] для ¿>> совпадают.

Решение х^) находиться достаточно

просто: в интервале [0, Т1 ] это -

дифференциальное уравнение с постоянным коэффициентом. При начальных условиях

х1(0) = 1, хх1(0) = 0 решение однозначно. В конце интервала ( = Т значение этого

решения ^(Т^) и его производной Х^Т^)

являются начальными значениями для решения этого же уравнения в следующем

интервале Т1,Т]. Таким образом находится

решение в интервале времени [0,Т],

длина которого равна периоду.

Точно так же находится и решение х2^) при других начальных значениях

Х2(0) = 0, Х2(0) = 1.

В данном случае эти решения следующие: xl(t) = cos(^fMt )(е[0,Г1] +

+X™ cos(VÑt + (pm)

x2(t) = ~M sin(>/Mt) +xm2)sin(VÑt+(p{2))

te[Tj,T ]>

te[0Ji]

(9)

+

Здесь

cp(X> = arctg

X(1) =■

íe[Ti,T ]•

sin(y¡MTi)

JM sin(^T +c(1))'

C(2) = arctg

-y¡MTi,

X (2) = i 5т(^) m 4M sin(4ÑTl +c(2))'

Значения этих решений в конце периода ^=Т):

Х,(Т) = Х^со^Т+Л, Х2(Т) = Х^ыфТ+^(2)).

Для вычисления константы Ляпунова требуется значение производной второго решения в конце периода:

Х2(Т) = л/^Хт2) со^л/ЛТ+^(2)).

Теперь константа Ляпунова легко находится

А =1 [ X1(Т) + X 2 (Т) ] =

X™ cos(4ÑT + С) +

+

s(4ÑT + c(2))

(10)

cos(

Если период Т заранее известен, то константа Ляпунова А зависит от трех параметров M, N и T1. Поэтому имеет место большое разнообразие результатов, которые можно сгруппировать в три варианта: A<1, A=1, A>1, характерных для устойчивости или неустойчивости уравнения (7). Рассмотренный частный случай имеет значение и для общего случая функции p(t).

Известен [9] случай решения уравнения (7), опирающийся на рассмотренную только что частную задачу. Именно, период Т разбивается на конечное число n равных или неравных подынтервалов. В пределах каждого подынтервала функция p(t) считается константой, равной любому значению этой функции в этом подынтервале. Поскольку начальные условия заданы, то можно найти решение в первом подынтервале. Значение этого решения в конце первого подынтервала задает начальные условия для второго подынтервала, что позволяет найти решение во втором подынтервале и т. д., таким образом решение доводится до конца периода t=T. Это - приближенный метод решения, доказано, что полученное таким способом решение сходится [9], можно численно оценить погрешность решения. Недостаток этого метода в его громоздкости. Однако, в настоящее время эта громоздкость преодолевается с помощью компьютерных вычислений. Например, можно период Т разбить на 1000 подынтервалов и получить практически точное решение, что было недостижимо во времена Ляпунова.

Развития данного метода Ляпунова в разных направлениях приведены, например, обстоятельной монографии [10]. Все они связаны с усложнением и громоздкими вычислениями. Параметрический контур представляет собой простое по структуре

i

звено параметрических цепей, которые применяются в радиоэлектронике и, кроме того, довольно часто возникают как нежелательные (паразитные) явления. Самые распространенные параметрические цепи рассмотрены и систематизированы в монографии [11], где приведены также соображения об их устойчивости. На наш взгляд, удобных в применении инженерных методов анализа устойчивости

параметрических радиоцепей пока не существует.

Анализ устойчивости абстрактного уравнения (4) целиком переносится на уравнения (2) и (3), связанные с параметрическим контуром. Тот факт, что в уравнении (4) используется обычное, а в (2) и (3) - нормированное время принципиального значения не имеет. Нормировка позволяет привести конкретную задачу к максимально удобному для анализа виду.

Заключение

Оценим соответствие между

устойчивостью уравнений (2) и (3) и устойчивостью параметрического контура. Равнозначности между уравнением (2) и параметрическим контуром в общем случае нет. Именно, если уравнение (2) устойчиво, то и параметрический контур устойчив. Если это уравнение неустойчиво, то это не всегда влечет за собой неустойчивость контура, поскольку тепловые потери в G(t) и R(t) стабилизируют контур. Если степень стабилизации достаточно большая, то контур может быть устойчив при неустойчивости уравнения (2). В частном случае G^) = 0 , Я ^) = 0 будет иметь место соответствие по устойчивости между уравнением (2) и параметрическим контуром.

Очевидно, что при очень малых потерях, а именно этот случай наиболее интересен в радиоэлектронике, можно приближенно полагать, что при неустойчивости уравнения

Воронежский государственный университет АО «Концерн «Созвездие» (г. Воронеж)

(2) и параметрический контур будет неустойчив, поскольку стабилизирующее действие диссипации будет мало.

Литература

1. Зайцев, В. Ф. Справочник по линейным обыкновенным дифференциальным уравнениям [Текст] / В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин.- М.: Факториал, 1997. -304с.

2. Ляпунов, А. М. Общая задача об устойчивости движения [Текст] /А. М. Ляпунов.-Собрание сочинений. Т.2. - Изд. АНСССР: М.-Л., 1956. - С.7-263.

3. Ляпунов, А. М. Об одном вопросе, касающемся линейных дифференциальных уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами [Текст] / А. М. Ляпунов. - Собрание сочинений. Т.2 - Изд. АНСССР:М.-Л., 1956. - С. 332-386.

4. Ляпунов, А. М. Об одном ряде, встречающемся в теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами [Текст] / А. М. Ляпунов. - Собрание сочинений. Т.2 - Изд. АНСССР:М.-Л., 1956. - с. 387-391.

5. Ляпунов, А. М. Об одном линейном дифференциальном уравнений второго порядка [Текст] /А. М. Ляпунов. - Собрание сочинений. Т.2 - Изд. АНСССР:М.-Л., 1956. - С. 401-403.

6. Ляпунов, А. М. Об одном трансцендентном уравнении и линейных дифференциальных уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами [Текст] / А. М. Ляпунов. - Собрание сочинений. Т.2 -Изд. АНСССР:М.-Л., 1956. - С. 404-406.

7. Ляпунов, А. М. Об одном ряде, относящемся к теории линейных дифференциальных уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами [Текст] / А.М. Ляпунов. - Собрание сочинений. Т.2 - Изд. АНСССР:М.-Л., 1956. - С. 407-409.

8. Ляпунов, А. М. Об одном ряде, встречающемся в теории линейных дифференциальных уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами [Текст] / А.М. Ляпунов. - Собрание сочинений. Т.2 - Изд. АНСССР:М.-Л., 1956. - С. 410-472.

9. Демидович, Б. П. Лекции по математической теории устойчивости [Текст] / Б. П. Демидович. - М.: Наука, 1967. - 472с.

10. Якубович, В. А. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения [Текст] / В. А. Якубович, В. М. Старжинский. - М.: Наука, 1972.-718с.

11. Бирюк, Н. Д. Основы теории параметрических радиоцепей [Текст] / Н. Д. Бирюк, В. В. Юргелас. -Воронеж: Издательско-полиграфический центр ВГУ, 2012. - 345с.

LYAPUNOV'S PROBLEM CONFORMABLY TO TIME VARYING CIRCUIT WITH PERIODICAL PARAMETERS

N.D. Birjuk, Doctor of Physico-mathematical Sciences, Professor, Voronezh State University, Voronezh, Russian Federation, e-mail: lidia@vmail.ru

A.Yu. Krivtsov, engineer, JSC "Concern "Sozvezdie", graduate, Voronezh State University, Voronezh, Russian Federation, e-mail: ukrorg@rambler.ru

In general use methods of analysis of electrical and radio circuits stability (of Routh-Gurwits, Mikhaylov, Naykwist) do not include circuits with evidently dependent in on time parameters (time varying circuits). In that cases it is expediently to use Lyapunov's theory of stability, which for unknown reason did not proper dissemination in radio engineering. Time varying circuit the most uses in practice among other time varying circuits. Analysis its stability is complicated theoretical problem. Its mathematical basis are relatively little known Lyapunov's publications dedicated to special stability problem of truncated linear differential equation of the second order with periodical coefficients.

Below it is proposed on this basis method of analysis of particular, but characteristical case of time varying circuit. The method may be generalized to more complicated time varying circuits. In general use similar problems are bround up with unwieldy transformers. In this time it may be accomplished with the help of computer. Stability analysis of the real physical objects allows to attract physical sense and to overcome some difficulties of analysis of abstract mathematical equations

Key words: time varying circuit with periodical parameters, stability about Lyapunov, Lyapunov's constant, reduction of time varying circuit stability problem to Lyapunov's problem

References

1. Zaytsev V. F., Polyanin A. D.Spravochnik po linejnym obyknovennym differencial'nym uravnenijam [Reference book about linear ordinary differential equations]. M.: Factorial, 1997. - 304 p.

2. Lyapunov A. M. Obshhaja zadacha ob ustojchivosti dvizhenija [General problem about stability of motion]. - Collected works.-T.2.-Edition of academy sciences of USSR.-M.-L,1956.-p.7-263.

3. Lyapunov A. M. Ob odnom voprose, kasajushhemsja linejnyh differencial'nyh uravnenij vtorogo porjadka s periodicheskimi kojefficientami [About one problem, concerning with linear differential equations of the second order with periodical coefficients]. - Collected works.-T.2.-Edition of ASUSSR.-M.-L,1956.-p.332-386.

4. Lyapunov A. M. Ob odnom rjade, vstrechajushhemsja v teorii linejnyh differencial'nyh uravnenij s periodicheskimi kojefficientami [About one a series being met with theory of linear differential equations with periodical coefficients]. - Collected works.-T.2.-Edition of ASUSSR.-M.-L,1956.-p.386-391.

5. Lyapunov A. M. Ob odnom linejnom differencial'nom uravnenij vtorogo porjadka About one differential equation of the second series. - Collected works.-T.2.-Edition of ASUSSR.-M.-L,1956.-p.401-403.

6. Lyapunov A. M. Ob odnom transcendentnom uravnenii i linejnyh differencial'nyh uravnenij vtorogo porjadka s periodicheskimi kojefficientami [About one transcendental equation of linear differential equations of the second series with periodical coefficients]. - Collected works.-T.2.-Edition of ASUSSR.-M.-L,1956.-p.404-406.

7. Lyapunov A. M. Ob odnom rjade, otnosjashhemsja k teorii linejnyh differencial'nyh uravnenij vtorogo porjadka s periodicheskimi kojefficientami About one series, concerning to theory of linear differential equations of the second order with periodical coefficients. - Collected works.-T.2.-Edition of ASUSSR.-M.-L,1956.-p.407-409.

8. Lyapunov A. M. Ob odnom rjade, vstrechajushhemsja v teorii linejnyh differencial'nyh uravnenij vtorogo porjadka s periodicheskimi kojefficientami [About one series, being met in theory of linear differential equations of the second order with periodical coefficients]. - Collected works.-T.2.-Edition of ASUSSR.-M.-L,1956.-p.410-472.

9. Demidovich B. P. Lekcii po matematicheskoj teorii ustojchivosti [Lectures on the mathematical theory of stability]. - M.: Izd. MGU CheRo, 1967.- 472 p.

10. Yakubovich V. A., Starzhinskiy V. M. Linejnye differencial'nye uravnenija s periodicheskimi kojefficientami i ih prilozhenija [Linear differential equations with periodic coefficients and their applications]. - M.: Nauka, 1972.-718 p.

11. Birjuk N. D., Yurgelas V. V. Osnovy teorii parametricheskih radiocepej [The basis of time varying radio circuit theory]. - Voronezh: Publishing and polygraphic centre of VSU, 2012.-345p.