Функции Хилла в теории параметрических радиоцепей Текст научной статьи по специальности «Математика»

Н.Д. Бирюк,

доктор физико-математических наук, доцент, Воронежский государственн ый университет

Т.Н. Короткова,

кандидат физико-математических наук, доцент

О.С. Хорпяков,

кандидат технических наук, Международный институт компьютерных технологий

ФУНКЦИИ ХИЛЛА В ТЕОРИИ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ

РАДИОЦЕПЕЙ

HILL FUNCTIONS IN THE THEORY OF PARAMETRIC RADIO

CIRCUITS

Проведен анализ свободных и вынужденных колебаний параметрического контура на основе аналогии процессов в обычном и параметрическом контурах с использованием функций Хилла вместо гармонических функций времени. Рассмотрена модель контура с изменяющейся во времени емкостью.

An analysis is made of the free and forced oscillations of the parametric contour based on the analogy ofprocesses in the ordinary and parametric circuits using the Hill functions instead of the harmonic functions of time. A model of a circuit with a time varying capacity is considered.

В радиотехнических системах приема и передачи сигналов в трактах усиления и преобразования сигналов (модуляции, детектирования, преобразования частоты и др.) во многих случаях применяют параметрические цепи — цепи, параметры элементов которых зависят от времени. Математический аппарат теории параметрических радиоцепей на основе линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами достаточно хорошо разработан, но для случаев медленно изменяющихся реактив-ностей и для небольших коэффициентов модуляции. Применение же в радиотехнике новых материалов и радиокомпонентов (ферромагнетиков, сегнетоэлектриков, полупроводниковых диодов) привело к повышению частот изменения реактивностей и их коэффициентов модуляции. При этом реактивные сопротивления элементов цепей изменяются

по непрерывно дифференцируемым законам, причем эти законы зачастую заранее неизвестны, что ставит перед учеными новые задачи в области расчета параметрических цепей.

Задача анализа параметрического колебательного контура по-прежнему является актуальной с точки зрения расчета и проектирования современных радиотехнических устройств, в частности усилителей высокой частоты с малым уровнем шумов. В настоящей работе проведен анализ собственных и вынужденных колебаний контура на основе аналогии процессов в обычном и параметрическом контурах с использованием функций Хилла вместо гармонических функций времени.

Как известно, для анализа и расчета радиотехнических цепей широко применяется метод комплексных амплитуд. Метод комплексных амплитуд — метод неэквивалентных преобразований, и в общепринятой форме возникают трудности его применения к параметрическим радиоцепям. Будем использовать вариант метода, разработанный профессором Ю. Т. Величко [1]. Рассмотрим основные положения этого варианта, проиллюстрируем их на примере двух абстрактных гармонических функций:

а1 — апл сов(« + р), а2 = ат2 + <р2).

Исходные функции называются оригиналами. Им соответствуют изображения а, сг2, которые находятся по правилу:

ал — атгсов^ + р) ^ щ — атХгЯа^< — ^г1«1, ] — 4—1.

Аналогично: а,2 ^ а2 = ат2г

1«

Здесь атХ — атХг3 , ¿гт2 — а^г1 <2 — комплексные амплитуды. Стрелка с острием к оригиналу означает соответствие. Наряду с обычными изображениями выводятся комплексно сопряженные изображения:

ах — ат 1 г — ат 1 г , а2 — ат 1 г

*

Здесь а1 — ат1в , а2 — ат2г 3<Рг — комплексно сопряженные амплитуды. Соответствие между оригиналом и изображением обладает важными свойства-

ми:

а) умножение на постоянный множитель к оригинала влечет за собой умножение на тот же множитель изображения:

кщ ^ ка;

б) изображение суммы оригиналов равно сумме соответствующих изображений:

а^ + ^ ^ а + а2;

в) производной и интегралу по времени оригиналов соответствует умножение и деление на 1« изображений:

dat . Л г , а

—- ^ 1«а, I а<--.

dt 1

Однако произведению оригиналов не соответствует произведение изображений:

аи ■ a2t * а1 ■ а2.

*

Здесь удобно ввести специальное символическое умножение:

а+а ~

Отыскание для заданного оригинала изображения называется перемещением оригинала в комплексную плоскость. Обратный переход от изображения к оригиналу очень прост:

а = ат собО + ф) = Яе а = Яе атв]с+ф),

где оператор Re означает взятие действительной части комплексного числа или функции. Пусть задан последовательный колебательный контур (см. рисунок).

Последовательный колебательный контур

Сначала будем считать, что это обычный (стационарный) контур с постоянными параметрами и гармонической ЭДС:

е(1) = Е^ сОБ(О + ф£ ) .

В установившемся режиме ток так же будет гармонической функцией времени с той же частотой:

!(/) = 1т С+ ). (1)

На основании второго закона Кирхгофа можно записать уравнение контура:

Ж!

Ь--+ Яг +— [¡& = К соб(О + юр ).

Ж СJ т

Это же уравнение для изображений:

Ь — + Я! + - Г Ш = Ет в]М , Ет = Етвм

л г л ' т

(2)

Раскрывая по указанным правилам изображения тока, его производной и инте-

грала, а также сокращая на зависимый от времени множитель е , получим

Я + ](сЬ —^г) сС

/_ = Ет

Отсюда возникает понятие комплексного сопротивления 2 , позволяющее более компактно записать уравнение:

21т — Ет . (3)

Из этого уравнения находится комплексная амплитуда тока, по которой строится изображение тока:

I — I 1 — I eJ

т т

— — Т о!+< )

т

после чего находится оригинал тока:

г(г) — Яе/ — 1т cos(«t + рг), (4)

что является результатом решения задачи. Это методика анализа внутренних колебаний по методу комплексных амплитуд. Значительно реже она применяется для отыскания свободных колебаний, хотя и в этом случае метод является наиболее простым. Покажем это.

Уравнение свободных колебаний получается из (3) при £т— 0:

21 т — 0 или

К + 1(«Ь —-Ь)

«с

1т — 0 . (5)

Вид функции тока свободного процесса заранее известен:

^) — 1тг"Л сов(« + < ) . (6)

Его изображение находится стандартным способом:

I г— I г('~а+]"с^ — I г]("с+]а^ — I г]"я

т т т т '

где I — I г1р .

т т

Здесь возникло понятие комплексной частоты:

« — «+ ]а.

Действительная ее часть равна частоте свободных колебаний, а мнимая — коэффициенту затухания. Комплексная частота находится из уравнения (5), которое имеет ненулевое решение только в случае

2 — 0 или К + ]("1 — —) — 0.

«с

Это квадратное уравнение относительно ]« : Его решение:

. ч 1 К , ч 1 (1") +- («) + — — 0.

Я

]о =---+ ] .

2Ь

1 ( я л2

--1 — I или

ЬС I 2Ь )

с =

(ял2 + • я

ЬС { 2Ь ) + 7 2Ь '

Принимая во внимание общепринятые обозначения:

1 Я

2 1 я I 2 2

Ос, =-, а = —, с=Л02 -а ,

0 ЬС 2Ь с ^ 0

получим О = с+ 7 а .

Таким образом, получается выражение (6) в развернутом виде, где а и Ос выражены через параметры контура. Амплитуда ^ и начальная фаза (р{ вычисляются из начальных условий.

Рассмотрим вынужденные и свободные колебания в параметрическом контуре, считая, что параметры контура на рисунке L(t), R(t), C(t) являются периодическими функциями времени с одной и той же круговой частотой О и не зависят от протекающих токов (условие линейности). Тогда вместо (2) получим уравнение контура

Т Г > Л1

ь( 1; Л +

ЯГ г;+'

ОТ

1 г

1 + ГТ7]1= Ет С^Г С- + Уе ), (7)

м -)

2п

ц\ + т) = ц\), Я(г + т) = Я(г), С(г + т) = с(г), т = —.

Уравнение (7) в отличие от уравнения (2) при положительных параметрах может быть неустойчивым, т.е. свободный процесс в некоторых случаях может быть не экспоненциально затухающим, а экспоненциально возрастающим. Разделить эти две возможности — сложная задача, которая решается применением теории устойчивости Ляпунова [3]. Предположим, что параметрический контур, как и соответствующий стационарный контур, асимптотически устойчив по Ляпунову. Тогда вынужденные колебания по истечении некоторого времени определяют установившийся режим. Ток i(t) находится как и в обычном контуре, но не в виде гармонической функции времени, а в виде функции Хилла:

да да

г(/) = XЬ соб[(с = Ю> + срк ] ^ / = X V(°+Ш)/, 1к = 1ке7П (8)

к=-да к=-да

Задача заключается в отыскании комплексных амплитуд 1к. Поскольку их бесконечное число, то задача может быть решена только приближенно.

Покажем ее решение в частном случае: Ь, К=соп81;,

С

С(/) =

1 + т соб(0/ + )

Следует отметить, что в общем случае принципиальных отличий не возникает, возрастает лишь громоздкость преобразований. В данном случае уравнение контура

г * • >

т di т 0 , т ю,

Ь — + Кг + — г1 +1 + — в]° 2 2

dt

V

1

— I гЛ — Ет сов(« + ре ) . Сп •>

и его аналог в комплексной плоскости

Т Лг

ь—+Кг + dt

г * т

л

тг1 +1 + тг]° 2 2

V

1 с

| г dt — Е„

л«*

(10)

где т — тг]Рс

т — тг

-<с Ет — Ее

~1Ра

По известному г находим производную и интеграл изображения тока:

ад ад

—1 ^ («+коуг («+к0)х, | /л——1 £

I

к_г]' ("+к0)х

к——ад

к——ад

а + кО

Если подставим эти выражения в (10), то после преобразований получим

к——ад

т

■

к—1

2 [« + (к — 1)0]С(

- +

К +1(« + к0)Ь — 1

1

(« + кО)С0

т

1 к — 1-

I

к+1

2 (« + (к + 1)О)С0

>г

1(«+к0)Х _

1®Х

— Ет г

Из этой суммы поочередно выбираем члены с одинаковыми экспоненциальными множителями и сокращаем на эти множители. Получаем бесконечную алгебраическую систему уравнений. Соответствующие уравнения имеют вид:

при к — 0 :

при к * 0 :

. т 1 —

т 1~

2 (« —0)С0

■ +

К + 1(«ь —

1

аСа

т

10 — 1 —

[к—1

2 [« + (к — 1)0]С(

■ + \К + 1

(а + к0) Ь —

1

(«+ к0)С0

2 (« + 0)С0

к1 ■

■ — Еп

I

к+1

2 (« + (к + 1)0)С0

— 0.

Здесь множители при комплексных амплитудах тока имеют размерности сопротивлений. Для компактности вводим обозначения:

. т

1

'к ,к—1

— —

2 [« + (к — 1)0]С0

2к к — К + 1

(а + к0)Ь — 1

1

(« + к0)С0

"к ,к+1

— —1

*

. т

11

2 [« + (к + 1)0]С0 '

Структура полученной бесконечной системы становится наглядной, если ее представить в векторном виде:

со

(11)

или в компактной форме:

Л = E.

(12)

Здесь матрица продолжаема до бесконечности в четырех направлениях: вверх, вниз, влево, вправо. Отсчет строк и столбцов начинается от элементов с нулевым индексом, клетки которых выделены жирными линиями.

Бесконечную систему уравнений можно приближенно решить методом редукции (усечения). Матрицу ограничивают 2к +1 строк и столбцов с крайними индексами - к, к, вектор-столбцы — c таким же количеством строк. При достаточно большом k должна получиться приемлемая погрешность вычислений. В результате получается ограниченное число приближенно определенных комплексных амплитуд 1_к, 1_к+и-..,/_!, /0, Д1к_х, 1к, по которым составляется изображение тока:

' = 1 !

ею+ю)^

I=—к

а по нему находится оригинал тока:

к

/(?) = ЯеI = Iсо8[(® + Ю^ + ,

I=-к

что и является результатом решения задачи о вынужденных колебаниях.

Подробности решения бесконечных алгебраических систем можно найти, например, в монографии [2].

В задаче о свободных колебаниях получается вместо (12) бесконечная система уравнений

2! = 0, (13)

где 0 — бесконечный нуль-вектор. Ненулевые решения такой системы могут существовать только при условии

det 2 = 0. (14)

Это уравнение имеет бесконечное множество корней ю+кО,к = 0,±1,±2,±..., где а — комплексная частота. Изображение формулы свободных колебаний следующее:

I!

/=—<ю

(ю+Юу

по нему находится оригинал:

да

i(t) = £eos[(®c + lQ)t + щ ]. (15)

l=—да

Здесь а может быть как положительным, так и отрицательным. В первом случае контур асимптотически устойчив по Ляпунову, во втором — неустойчив по Ляпунову. Здесь основная задача найти комплексную частоту а =ас + j а , по которой

находятся ас и а . Эта задача также решается методом редукции, но требует отдельного рассмотрения. Предложенный здесь метод анализа устойчивости на основе метода комплексных амплитуд относится к неляпуновским методам анализа устойчивости, поскольку метод комплексных амплитуд не относится к классической математике.

Заметим, что в [4] был рассмотрен ряд задач анализа параметрических радиоцепей, но здесь не были выделены функции Хилла и не прослежена аналогия между процессами в параметрическом и обычном контуре.

ЛИТЕРАТУРА

1. Величко Ю. Т. Теоретически основы радиотехшчних мереж. — Львiв : Видав-ництво Львiвского ушверситету, 1966. — 340 с.

2. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. — М. —Л. : Госфизматиздат, 1962. — 708 с.

3. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. — М. : Наука, 1967. — 472 с.

4. Бирюк Н. Д., Юргелас В. В. Основы теории параметрических радиоцепей. — Воронеж : Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета, 2012. — 345 с.

REFERENCES

1. Velichko Yu. T. Teoreticheski osnovyi radiotehnichnih merezh. — LvIv : Vidav-nitstvo Lvlvskogo universitetu, 1966. — 340 s.

2. Kantorovich L. V., Kryilov V. I. Priblizhennyie metodyi vyisshego analiza. — M. —L. : Gosfizmatizdat, 1962. — 708 s.

3. Demidovich B. P. Lektsii po matematicheskoy teorii ustoychivosti. — M. : Nauka, 1967. — 472 s.

4. Biryuk N. D., Yurgelas V. V. Osnovyi teorii parametricheskih radiotsepey. — Voronezh : Izdatelsko-poligraficheskiy tsentr Voronezhskogo gosudarstvennogo universiteta, 2012. — 345 s.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ

Бирюк Николай Данилович. Профессор кафедры экспериментальной физики. Доктор физико -математических наук, доцент.

Воронежский государственный университет.

E-mail: lidia@vmail.ru

Россия, 394036, г. Воронеж, Университетская площадь, 1. Тел. (473) 253-17-02.

Короткова Татьяна Николаевна. Доцент кафедры физики. Кандидат физико-математических наук, доцент.

Воронежский институт МВД России. E-mail: tn_korotkova@mail.ru.

Россия, 394065, г. Воронеж, проспект Патриотов, 53. Тел. (473) 200-52-71.

Хорпяков Олег Станиславович. Заведующий кафедрой информационной безопасности и систем связи. Кандидат технических наук, доцент.

Международный институт компьютерных технологий. E-mail: al17183@yandex.ru.

Россия, 394026, г. Воронеж, ул. Солнечная, 29 б. Тел. (473) 239-29-67.

Biryuk Nikolay Danilovich. Professor of the chair of Experimental Physics. Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Assistant Professor. Voronezh State University. E-mail: lidia@vmail.ru.

Work address: Russia, 394026, Voronezh, University Square, 1. Tel. (473) 253-17-02.

Korotkova Tatiana Nikolaevna. Assistant Professor of the chair of Physics. Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Assistant Professor.

Voronezh Institute of the Ministry of the Interior of Russia. E-mail: tn_korotkova@mail.ru.

Work address: Russia, 394065, Voronezh, Prospect Patriotov, 53. Tel. (473) 200-52-71.

Horpyakov Oleg Stanislavovich. Head of the chair of Information Security and Communication Systems. Candidate of Technical Sciences, Assistant Professor. International Institute of Computer Technologies. E-mail: al17183@yandex.ru.

Work address: Russia, 394026, Voronezh, Solnechnaya Str., 29 b. Tel. (473) 239-29-67.

Ключевые слова: параметрические радиоцепи; параметрический колебательный контур; свободные и вынужденные колебания контура; функции Хилла.

Key words: parametric radio circuits; parametric oscillatory circuit; free and forced contour oscillations; functions of Hill.

УДК Д21.3.015.4