CC BY
54УДК 517.9
А. В. Синчуков
Исследование устойчивости решений системы двух линейных дифференциальных уравнений первого порядка с периодическими коэффициентами
В статье обобщен метод Ляпунова исследования устойчивости решения системы двух линейных дифференциальных уравнений первого порядка на случай системы с периодическими коэффициентами
Ключевые слова: устойчивость, константа Ляпунова, линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами.
А. V. Sinchukov
Research of Stability Solutions of the System of Two Linear Differential Equations of the First Order
with Periodic Factors
In the article is generalized Lyapunov's research method of stability of the solution of the system of two linear differential equations of the first order on a case of the system with periodic factors.
Keywords: stability, Lyapunov's constant, linear differential equations with periodic factors.
Цель настоящей заметки - распространение метода Ляпунова на систему двух линейных дифференциальных уравнений первого порядка с периодическими коэффициентами:
= a„ (t) X + ап (t) х2, d- = a21 (t) + a22 (t) X2;
(1)
где ау ) - вещественные, интегрируемые, кусочно-непрерывные, периодические с периодом Т > 0
функции вещественного переменного ^ . Систему (1) запишем в векторной форме:
^ = А (() х
где x =
(t ) 2 (t)
, ^ (t) =
dt
f aii (t) ai2 (t)Л a21 (t) a22 (t)
(2)
Известно [2], что система (1), коэффициенты а^ (/) которой ограничены с помощью ортогонального преобразования с периодическими коэффициентами, может быть приведена к виду, в котором элементы побочной диагонали матрицы коэффициентов являются знакопостоянными функциями.
Ввиду этого далее предполагаем функции а12 (/), а21 (/) знакопостоянными. Рассматривая интегралы
от элементов на главной диагонали матрицы коэффициентов по отрезку длины периода, введем обозначения:
1 1 J a11 (t)dt = a, J a22 (t)dt = ß .
Не нарушая общности рассуждений, предполагаем что а > в . Выполняя подстановку
© Синчуков А. В., 2011
Исследование устойчивости решений системы двух линейных дифференциальных уравнений первого порядка с периодическими коэффициентами
X = y exp
i
Jau (z)dz,
X2 =
У2 eXP Jl a22 (zdz
(3)
T
приведем систему (1) к виду:
l = a ) ^2,
dh dt
(4)
= b (t) y - ry2,
а - ß
где r = —т— — 0 , а через a (t) , b (t) обозначены знакопостоянные, периодические с периодом T
функции
I
a(t) = a12 (t)exp J(a22 (z)-a11 (z) + r)dz,
(5)
Ь (t) = a21 (t )eXP J(a11 (Z)- a22 (Z )- Г )dz-
Преобразованную систему (4) запишем в векторной форме
dL = B (t) y
dt w :
(6)
где y =
f У1 (t P V У2(t)y
в (t ) =
f 0 a (t)) b (t) -r
А. М. Ляпуновым разработан метод исследования ограниченности решения системы (1) по некоторым ее характеристикам, в частности - по константе Ляпунова ЛЛ, равной половине следа (суммы элементов главной диагонали) матрицы монодромии.
Обозначая через у!1 (I), у2^ ) решение системы (4), соответствующее нулевым начальным условиям у (0) = 0, у2 (0) = 0, а через у(2) ((), у22)(^) решение системы (4), соответствующее начальным условиям у1 (0) = 0, у2 (0) = 1, запишем матрицант системы (6):
г () Гу1"С) У1"(')1 ' [у2|)(() у22)(/)J.
В этом случае константа Ляпунова Л равна:
ЛЛ = 2Ч>Г (Т) = 1 (у(1)(Т) + у22)(Т)) . (7)
В [1] установлено, что собственные значения систем (1) и (4) связаны равенством
Я[х^ x2} = ^ {.У!, У2 }-
а
Т'
При этом характеристическое уравнение системы (4) имеет вид
(г (Т )-АЕ ) = 0.
Согласно формуле Лиувилля,
1
det Y (T ) = exp j spB (t )dt,
„/ ч в-а
и, кроме того, spв () = - г = —т— • Раскрывая определитель с учетом сделанных замечаний, приходим к характеристическому уравнению
Л2 - 2АЛ + ев-а = 0, (8)
корни которого есть
Л,2 = А*+>/А"2 - ев-а . (9)
ß-a
J = eесли A*2 > eß-a,
При этом если А"2 < ев а, то собственные числа комплексные и | собственные числа вещественные и наибольшее из них по модулю \Лнаиб = А* +л/А*2 — ев а . Собственное число системы (4), согласно [1], есть Л{у1,у2} = -—Ке1п\Лнаиб. Известно, что при
аа Л{у1, у2 }> т решение устойчиво, а при Л{у1, у2 }< т ~ неустойчиво. Следовательно, решение
системы (1) оказывается устойчивым при Ке1п |Л| б > —а , и неустойчивым при Ке1п\Л„аиб < —а .
Обозначим через X () матрицант системы (1) и заметим, что если
т
|spA(г)dt = а + в> 0,
0
то, в силу формулы Лиувилля, ёе! X (t)———. Таким образом, при а + в > 0 тривиальное решение (1) неустойчиво.
Предполагаем далее а + в < 0 . Тогда, в силу предположения о том, что а > в, имеем:
в<а<-в, (10)
откуда в < 0 (если в = 0, то и а = 0). Таким образом, в плоскости параметров а,в исследованию подлежит область
в<а<-в, в< 0. (11)
1. Если А*2 < ев-а, то имеем 1п\Лнаиб = ^(в-а), то есть при а +в < 0 тривиальное решение
системы (1) устойчиво (а при а + в > 0 - неустойчиво). Случай а + в = 0 требует особого рассмотрения.
2. Если А*2 > ев-а, то при условии Яе1п ( А*| + >/А*2 - ев-а )<-а тривиальное решение (1) устойчиво. При этом последнее неравенство удобнее записать в виде
л/А*2 - ев-а < е-а-\А'\. (12)
Для осуществления условия (12) необходимо, чтобы е~а -1А*| > 0 , то есть |А*| < е~а , что возможно только при а + в < 0 , то есть в силу (10), в < 0 . Возводя при этом (12) в квадрат и разрешая его относительно модуля константы Ляпунова, имеем:
А1< 2 (а+ ев).
Правая часть полученного неравенства не превосходит е~а . Таким образом, при условии
Исследование устойчивости решений системы двух линейных дифференциальных уравнений первого порядка с периодическими коэффициентами
Л*|< 2(а+вв), а + в < 0 (13)
тривиальное решение (1) устойчиво. Аналогичными рассуждениями получаем, что тривиальное решение (1) неустойчиво при условиях
в-а 1
в 2 , а + в> 0 или |Л*|> - (еа + вв), а + в< 0. (14)
Следовательно, вопрос об устойчивости решений системы (1) сводится к оценке границ константы Ляпунова и исследовании полученных условий.
Библиографический список
1. Ляпунов, А. М. Общая задача об устойчивости движения [Текст] / А. М. Ляпунов. - М. : Изд-во АН СССР, 1948.
2. Якубович, В. А., Старжинский, В. М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения [Текст] / В. А. Якубович, В. М. Старжинский. - М. : Наука, 1972.
