Задача об устойчивости по Ляпунову колебательного контура с периодически изменяющейся емкостью и бесконтактной нагрузкой Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 621.3.015.4

ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЛЯПУНОВУ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО КОНТУРА С ПЕРИОДИЧЕСКИ ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ ЕМКОСТЬЮ И БЕСКОНТАКТНОЙ НАГРУЗКОЙ.

Бирюк Николай. Данилович

доктор физико-математических наук, профессор, профессор физического факультета Воронежского государственного университета,

Россия, г. Воронеж Кривцов Алексей Юрьевич соискатель Воронежского государственного университета,

Россия, г. Воронеж Олег Станиславович Хорпяков кандидат технических наук, доцент кафедры «Систем связи» Международного

института компьютерных технологий Россия, г. Воронеж

Рассмотрен колебательный контур с периодически изменяющейся во времени емкостью и диссипативными потерями конденсатора. Активная нагрузка связана с контуром через взаимную индуктивность. Известно, что такой контур может быть неустойчив по Ляпунову, то есть его свободный процесс может возрастать, в линейном приближении до бесконечности. С помощью второго метода Ляпунова получены условия, гарантирующие невозможность такого возрастания.

Ключевые слова: параметрический контур, второй метод Ляпунова, критерий устойчивости.

THE PROBLEM OF LYAPUNOV STABILITY OF THE OSCILLATION CIRCUIT A PERIODICALLY VARYING LOAD CAPACITY AND NON-CONTACT.

N. D. Birjuk, A. Yu. Krivtsov

Considered an oscillating circuit with a periodically time-varying capacity and dissipa-tive losses of the capacitor. The active load is connected to the circuit via the mutual inductance. It is known that such a loop can be unstable in the Lyapunov sense, that is, its free process can be increased in a linear approximation to infinity. With the second method of Lyapunov obtain conditions that guarantee the impossibility of such an increase.

Keywords: parametric circuit, the second Lyapunov method, stability criterion.

Колебательные контуры с бесконтактной нагрузкой часто применяются в радиотехнике. Периодически изменяющаяся во времени реактивность контура позволяет компенсировать тепловые потери, что применительно к обычному контуру равнозначно увеличению добротности. Однако в таком случае существует опасность самовозбуждения. Если в обычном контуре свободный процесс экспоненциально затухает, то в параметрическом контуре он может возрастать, в линейном приближении, до бесконечности. Задачи исключения такого возрастания оказывается весьма сложной, опирающейся на теорию устойчивости Ляпунова. Наиболее удобным для практики оказался второй метод Ляпунова, позволяющий получать критерии (достаточные условия) устойчивости. При этом всегда возникают трудности, связанные с построением функции Ляпунова, поскольку рекомендаций к такому построению второй метод Ляпунова не дает.

Рассмотрим свободный процесс в контуре с периодическими изменяющимися емкостью C(t) и проводимостью G(t), учитывающей тепловые потери в конденсаторе (рис.1).

Рис.1. Схема параметрического контура с бесконтактной нагрузкой Ян.

На основании первого и второго законов Кирхгофа составляем математическую модель контура в виде системы трех однородных дифференциальных уравнений первого порядка -

dq _ Сг

d Ф,

1 Ф,

Ф

с (г) 1 - к2 Ц 1 - к2 4ць2

1

Сг

С Ф,

С (г) к

q

к я

Ф +

я

1 - к2 Ц 1 1 - к2 ДЦ

Ф

2 5

я,

Сг

1 - к2 ./ЦЦ

Ф-

^Ян

1 - к2 Ц

Ф

(1)

где q - заряд конденсатора; Фи Ф2 - потокосцепления индуктивностей Ьи и Ьг. к = м

Здесь ^ 1 2 - коэффициент связи нагрузки с контуром, М - взаимная индуктивность. Считается, что емкость С(1) и проводимость 0(1) изменяются во времени независимо от протекающих потоков. В таком случае полученная дифференциальная система является линейной. Нужно указать условия, исключающие возрастание свободного процесса до бесконечности.

Согласно второму методу Ляпунова, для этого нужно построить две функции: явно зависящую от времени функцию Ляпунова У(^,Ф1,Ф2), причем У^,0,0,0)=0, и независящую от времени функцию Ш^,ФиФ2), причем Ж(0,0,0). При этом требуется найти

полную производную функции Ляпунова

СУ_

с

д¥ дУ dq дУ Сф дУ СФ2

■ +

- +

дг дq Л дф Л дФ2 Л

где

вместо

dq

Сг

С Ф

Сг

Сг подставляются выражения (1).

СУ

Контур устойчив при выполнении условий

У > Ж > 0

Сг СУ

< 0

< 0

Контур асимптотически устойчив в случае У >Ж > 0, Сг , при этом свободный процесс в контуре при безграничном возрастании времени стремится к нулю. Основная трудность метода заключается в выборе функции Ляпунова У^^,ФиФ2). Если эта функция известна, то имеется однозначная методика получения результата.

Выберем функцию Ляпунова в виде мгновенной энергии, записанной в реактив-ностях контура -

У (г, q, Ф„ Ф2) =

q2 Ф2 Ф2 —— + —L + —2

2С (г) 2Ц 1Ь2

. (2)

<

Имея в своем распоряжении эту функцию можно построить и функцию а2 ф2 Ф2

ж (а, ф, ф) =

2С 2! 2!

2Стах 2!1 2Ь2 (3)

Таким образом, первая часть основной теоремы второго метода Ляпунова выполнена -

V(г, а, ф, ф2 ) > ж (а, ф, ф) > о,

V (/,0,0,0) = Ж (0,0,0) = 0. (4)

Находим полную производную функции Ляпунова -д¥ дТСд д^Сф ЭТ СФ2 сИ дг да С дф сИ дф сИ '

дУ_ дг

с(0 2 <7

дТ _ Фх ЭТ _ ф2

В нашем случае " 2С' да С(/)' дФ к Эф? 12 Подставляя эти выражения в предыдущую формулу, а так же используя дифференциальную систему (1), получим

ОТ _ 1 С(0 Ж

ч

+-

Ф

Ь

2 С2 (г) С (г) 1

0(г)

С (г)а 1 - к2 Ь ' 1 - к2 4цГ2

1 ф,

1

Ф,

С(г)а" 1 - к2 ь Ф1 ' 1 - к2 к2 1

1 Я^ к Я ^

ф +—-V .— Ф-,

ф

ф 2

Ь

к Я„ _ 1 Я„ _

Н гФ,--- —^ ф„

1 - 1 1 - к2 Ь

2 У

С<0 + С(% 2

С2 (г)

а

1 - к2 С (г)Ь аФ +1 - к2 С (г)Л/ЬЬ аФ2 1 - к2 Ь

1 ^ 2

аФ -———Ф2 +

2 Г2 1

/

+

1 - к2 ..[Ц

Я Я,

л

Н

— +

2 V Ь1 Ь2 У

ФФ-

1 Я;

Н^ 2

1 - к2 Ь

Ф2.

Это - квадратичная формула относительно переменных д,Ф],Ф2. Как известно [2], любую квадратичную форму можно представить в компактном векторном виде -

^ = X МХ, Ст

(5)

X =

где Х - вектор столбец -

X т =

а

ф,

ф.

х т -

транспонированная по отношению к

нему вектор-строка

а

Фх

Фо

А -

симметрическая матрица

А =

0(т) + (:{тУ2 1 А:2 1 1 к 1

С 2(т) 21- к2 С(т)Ь 21- к2 С(т)у/ЬЬ2

1 к2 1 1 Я 1 к 1 Г Я Я„ 1 1 Н

21 - к2 С (т)Ь 1- к2 ¿2 21-к2^ \ Ь Ь2 J

1 к 1 1 к 1 Г Я ^ 1 1 Ян

21- к2 С(т)7ЬЬ 21-к2 ^ Ь ' ¿2 ] 1-к2

(6)

Требуется выполнение второй части теоремы Ляпунова: для устойчивости контура - неположительности (или по алгебраической терминологии - квазиотрицательной

СУ < 0;

определенности) квадратичной формы (5), т. е. Ст для асимптотической устойчивости - отрицательной определенности -

СУ < 0.

Ст (7)

Для практики асимптотическая устойчивость важнее. Необходимое и достаточное условия выполнения строгого неравенства (7) определяется по главным минорам матрицы (6). Нужно расположить миноры по возрастанию их порядков - Дз' Для выполнения условия (7) требуется чередование знаков миноров, начиная с минуса [2], т. е.

Д < 0, Д2 > 0, Д3 < 0'

(8)

В

Д2 = ёй

нашем

случае

С(т) + С(т) 1 к2 1

С 2(г) 21 - к2 С(г)Ц

1 к2 1 1 я

21 - к2 С (г)Ц 1 - к2 Ц2

Д3 = ёе1 Л.

тл Д < 0

Из условия 1 получается неравенство

2 (9)

Д > 0

имеем

Из условия

0(Т)+<М^±>0

2 1 - к2 4Я

(10)

тт Д < 0

Из условия 3 , соответственно,

Д =-

сю

2 4 11 - к2 ЦЯН

0(т) +

С(т)

2 + - 2

ЯНЦ1

яь

2

1

41-к2 ЯДЦ

> 0.

(11)

Выполнение всех трех последних неравенств гарантирует асимптотическую устойчивость контура. В конкретных случаях эти неравенства могут быть упрощены. Например, в радиоприемниках применяются связанные контуры с магнитной связью, у которых коэффициент к имеет порядок величины, обратной добротности, т. е.

к = 0,01 1 - к =1 слагаемыми с к можно пренебречь.

Тогда критерий асимптотической устойчивости контура приводится к двум неравенствам -

д

2 4 1ЦЯН

СКт) +

С(т)

_ ЯЬ-. ЯиЬ, 2 +-+

яь

ЯНЬ1

> 0.

2 Л

Достаточно часто применяется случай

= Ь2

(12)

, тогда

2

к1 4

Я„

СКт) +

С(т)

_ К Ктт

2 + — + Я„ Я

X]

> 0.

У)

Таким образом, получен критерий асимптотической устойчивости параметрического контура с бесконтактной нагрузкой и его частные случаи. В монографии [3] получены аналитические критерии для более сложных параметрических цепей, в том числе и с помощью других функций Ляпунова.

Литература

1. Ляпунов А. М. Собрание сочинений / А. М Ляпунов. - Т.2 - М.-Л.: изд. Академии наук СССР, 1956 - 472с.

2. Ильин В. А. Линейная алгебра / В. А. Ильин, Э. Г. Позняк - М.:Наука,1984.-

294с.

3. Бирюк Н. Д. Основы теории параметрических радиоцепей / Н. Д. Бирюк, В. В. Юргелас / Воронеж: Издательско-полиграфический центр ВГУ, 2012.-345с.