Математическая модель параметрического контура и ее преобразования Текст научной статьи по специальности «Математика»

v. , — v. v.

-^ = — a-v—P

Apt At Ap

Для спрямления результатов замеров депрессии Ap в координатах

г = Zí±iZZl х = _ApM -Apj

' AP'A и ' AP' , где ' Ai (4)

уравнение (3) преобразуем к виду:

Г = -а-X,-р

, . (5)

Из системы (2)-(3) определяем v = — Api У At и v2 = i1 — aAtК — pAtAPi.

v,+i = (l -aAt)vt -pAtAp, (6)

ApM =Щ +ApI (7)

Предложенная модель использовалась для определения переходных процессов в газированной жидкости с помощью аналогов уравнений механических и электрических колебаний.

Литература

1. Мирзаджанзаде А.Х., Аметов И.М. Прогнозирование промысловой эффективности методов теплового воздействия на нефтяные пласты. М.: Недра, 1983, 205 с.

2. Эфендиева А.Т. Экономико-математическое моделирование в нефтеотдаче пластов. Труды международной научной конференции «Классические и современные проблемы механики», Баку, 2014, стр.295-299.

3. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М.: УРСС, 2000.

Бирюк Николай. Данилович

доктор физико-математических наук, профессор, профессор физического факультета Воронежского государственного университета, 394036, Россия,

г. Воронеж, Университетская площадь, 1 e-mail: lidia@vmail.ru Кривцов Алексей Юрьевич соискатель Воронежского государственного университета, 394036, Россия, г. Воронеж, Университетская площадь, 1

e-mail:ukrorg@rambler. ru

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО КОНТУРА И ЕЕ

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.

Принцип линейного включения утверждает, что любой процесс в нелинейной системе может быть точно реализован в специально подобранной линейной системе. Таким образом, в нелинейных и линейных системах наблюдается взаимопроникающее подобие. Это подчеркивает значение линейных систем общего вида, так как их анализировать легче. В данном случае рассматривается параметрический контур общего вида. В отличие от обычного контура он может быть неустойчив. Задача об устойчивости очень сложна, однако, в математической литературе рассмотрено много частных случаев, рассеянных в периодических изданиях. Чтобы ими воспользоваться, необходимо иметь подходящую математическую модель параметрического контура и ее различные варианты.

Ключевые слова: параметрический контур, векторные и скалярные дифференциальные уравнения, критерий устойчивости.

Mathematical model of time varying circuit and its transformation.

N. D. Birjuk, A. Yu. Krivtsov

The principle of linear connection maintains that arbitrary process in nonlinear system may be exactly realize in specially selecting linear system. Thus it is observed mutually penetrating similarity linear and nonlinear systems. It underlines significance linear systems of general aspect as it is easier analyses linear systems. In present case time varying circuit of general aspect is considered. In contrast usual circuit time varying circuit may be unstable. The problem of stability is vary complicated however many particular cases are considered and dispersed in mathematic publications. It is necessary to have proper mathematic model of time varying circuit and its different variants that avail oneself of such publications.

Key words: time varying circuit, vector and scalar differential equations, a criterion of stability.

Принцип линейного включения [1, с.159] был сформулирован в математике около 50-ти лет тому назад. Однако, по каким-то причинам (вероятно, по недосмотру) он не стал достоянием естествознания. В радиофизике большое значение имеют колебательные системы, без которых невозможна радиосвязь. Простейшим представителем таких систем является колебательный контур. Обычный контур хорошо изучен, чего нельзя сказать о параметрическом (линейном с переменными параметрами), а тем более о нелинейном контуре. Здесь рассматривается параметрический контур общего вида, предполагается, что его параметры положительны и изменяются во времени по любым непрерывным периодическим функциями с одним и тем же периодом. Считается, что параметры контура изменяются независимо от протекающих в них токов. Тогда контур является линейным. Известно, что в таком контуре, свободный процесс может возрастать до бесконечности. Задача о недопущении возрастания оказывается очень сложной, опирающейся на теорию устойчивости Ляпунова [2,3]. Для того, чтобы воспользоваться имеющимися достижениями в этом направлении, необходимо иметь подходящую математическую модель контура и ее разновидности.

Схема параметрического контура общего вида представлена на рис.1.

Рис.1. Параметрический контур общего вида.

Первый и второй законы Кирхгофа позволяют получить дифференциальную систему, описывающую свободный процесс в контуре -

Жа О 1 ^

— =--а--Ф

Ж С I

Ж Ф 1 Я '

-= — а--Ф

Ж С I

где q - заряд конденсатора, Ф - потокосцепление индуктивности.

Если мы желаем воспользоваться уже полученными математическими результатами, то эта модель оказывается неудобной, ее нужно представить в нормированном виде. Для этого введем постоянные масштабные делители времени tм,

заряда qм и магнитного потока Фм и перейдем к нормированным переменным времени t а

т = — х

, заряда ам и магнитного потокосцепления предыдущая дифференциальная система примет вид

г =Ф/ 2 /ф

м . В новых переменных

—хг —т ёхп

мО х _ КГ х

С 1 ь 2

_= ^м х ^ м Я х

ёт гС 1 Ь 2

(1)

г =

ф,

Здесь / ам - нормировочное сопротивление. Константы tм и г можно

выбирать произвольно и тем самым система может быть приведена к удобному для конкретных задач виду. Эта система уравнений может быть представлена в компактном векторном виде

— Х = А(т)Х

, (2)

ёт

Х =

где

V Х2

- вектор-столбец искомых величин.

А(т) =

а.

V а21

а

12

а

а11 =

tмО

С ''

а12

22/

ь '

а21

'м

гС

матрица

tмЯ ь '

системы

которой,

а22

В данном случае имеет большое значение след матрицы (сумма элементов главной

гО Я

$РА = аи + а22 = _К

С ь

диагонали) -

Линейное векторное уравнение (2) с периодическими коэффициентами анализировалось многими математиками, для него получен ряд критерием (достаточных условий) устойчивости, однако, в целом задача об устойчивости не решена. С большей полнотой проанализирован частный случай системы (2) - каноническую систему

уравнений [4]. Ее нормальная запись следующая: —

3 —У = Н (г )У, — (3)

3 =

где

0 _1

1 ^ 0

Н =

Ч

к

V' 21

О

к2

2

здесь Н12=к21.

^ = 3 Н,

т. е.

Дифференциальную систему (3) можно представить в виде (2) - —

А(т) = 3 Н(т) . Не трудно убедиться, что spА = 8Р3~ 1Н) = 0. (4)

Это необходимое и достаточное условие того, чтобы система уравнений (2) была канонической. От системы (2) можно перейти к канонической системе с помощью замены переменных

11 $рА—т

Х = Уе2о . Тогда из(2) получим

<

в

= Н (т)У, Ж (5)

где

1 _ и -и — л-М( — -0. I и —- —

"1 = а21 = , "12 = П21 = „ (а22 а\\) = „ т ^ , "22 = а12 = ^ • гС 2 2 V ¿С у С

Система (2) также оказывается канонической в частном случае 0(т) 0 — (т) 0

гт а,, = а99 = 0 яр А = ал, + а„ = 0

Тогда 1 1 22 , а следовательно г 1 1 22 .

Если полученная из (2) каноническая система устойчива, то исходная система тем

более устойчива. Если каноническая система неустойчива, то устойчивость исходной

системы (2) остается под вопросом, нужны дополнительные исследования.

Дифференциальную систему (1) можно преобразовать в одно дифференциальное

уравнение второго порядка. Таких дифференциальных уравнений может быть два,

относительно XI и Х2 соответственно -

Ж 2 ~ЖтГ

Ж 2

т

+

■+

/

V /

V

Ь

С

/

м

+

Жт ЬС

С

Ь

С^Х'-) /

+

м

1+о—+

V С у

1м Жт

у

Жт ЬС

1+о—+

Ь

X = 0,

х2 = 0.

у

Здесь точка сверху означает дифференцирование по нормированному времени. Это линейные дифференциальные уравнения второго порядка с периодическими коэффициентами типа

Ж2х ^Жх . ___ + Р(т) — + б(т) х = 0. ат ж (6)

Известно [4], что такое уравнение подстановкой

1Г

- ^ | Р (т) Жт

х = уе 0

преобразуется в уравнение Хилла

Ж2у , ч Л

—у + р (т) х = 0, Жт (7)

р(т) = а(т)--Р\т)-\р(т) где 4 2 .

В нашем случае применительно к XI и Х2 соответственно будем иметь

/

р1(т) = 1 ЬС

1+о—+(Ь0

С

1м Жт

Р2(т)

I

м

ЬС

1+о—+Ь± {—£"■

*м т Ь

1 4

1 4

( ■ л2

V

Ь

С

У

( ■ Л2

V

С

Ь

У

\_Ж_ 2 Жт

\_Ж_ 2 Жт

V

Ь

С

у

V

С

Ь

у

Устойчивости уравнения (6) посвящены многие математические труды, однако полного решения задачи об устойчивости этого уравнения пока нет. Значительно больше математических работ посвящено задаче устойчивости уравнения Хилла (7), однако и в этом случае полного решения этой задачи нет.

Значительно полнее исследован частный случай уравнения Хилла - уравнение Матье

2

d2y + (a - 2q cos 2r) y = 0

a, q - положительные константы. Составлена карта [5], где в системе координат

a0q построены области устойчивости и неустойчивости. Этой информации, однако, недостаточно для радиофизических задач, так как здесь уравнение Матье не получается изначально, а выводиться преобразованиями, поэтому фиксации факта устойчивости или неустойчивости недостаточно, нужно, кроме того, указать скорость роста или убывания решений. Этой информации в доступных математических руководствах нами не обнаружено.

Одним из авторов [5] получен весьма простой и легко проверяемый критерий устойчивости параметрического контура. Для обычного контура очень важным

ё

p = Vr

параметром является характеристическое сопротивление " C . Оказывается, что оно играет заметную роль и в параметрическом контуре, хотя и в другом качестве.

, ч ¡L(t)

=vor)=const

Доказано, что если \ ( ) , то параметрический контур (рис.1)

устойчив, как бы ни изменялись G(r) и R(r) , оставаясь положительными. Обычно принято аппроксимировать элементы контура формулами

P(t) = po [l + mp cos (Qt + ( )]

где вместо P подставляется C,L,G,R. Если окажется, что

L = L0 [l + m cos(Qr + ()]

ется c,l,g,r. Если окажеiся,

C = C [l + m cos (Qr + (p)\ и [ ], т. е. индуктивность и емкость изменяются во времени

= (LZ

р v c

синхронно, то " 0 и контур устойчив.

Литература

1. Былов Б. Ф. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости / Б. Ф. Былов, Р. Э. Гробман, В. В. Немыцкий. - М.:Наука, 1966.-582с.

2. Ляпунов А. М. Собрание сочинений / А. М Ляпунов. - Т.2 - М.-Л.: изд. Академии наук СССР, 1956 - 472с.

3. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости / Б. П. Демидович // М.: Изд. МГУ ЧеРо, 1998.-480с.

4. Якубович В. А. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения / В. А. Якубович, В. М. Старжинский //М.: Наука, 1972.-715с.

5. Мак-Лахлан Н. В. Теория и приложения функции Матье / Н. В. Мак-Лахлан. -М.: изд. иностранной литературы, 1953.-474с.

6. Бирюк Н. Д. Основы теории параметрических радиоцепей / Н. Д. Бирюк, В. В. Юргелас.-Воронеж: Издательско-полиграфический центр ВГУ, 2012.-345с.