CC BY
23
УДК 532.783
ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ НЕСОРАЗМЕРНЫХ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ В ДЕКАГОНАЛЬНЫХ КВАЗИКРИСТАЛЛАХ
© 2004 г. И.Н. Мощенко, В.К. Яценко, А.Я. Айзенберг
The analysis of the «decagonal quasicrystal - noncommensurate state - superorder quasicrystal» transformations in AlNiCo and AlCuCo alloys is presented. For these transitions the phenomenological potential using only symmetry-caused terms without «lock in» ones is elaborated.
Для квазикристаллических сплавов на основе тройных систем Al-Cu-Co (ACC) и Al-Ni-Co (ANC) на равновесных фазовых диаграммах наблюдаются две декагональные фазы (высоко- и низкотемпературная), родственные им кристаллические аппрок-симанты, а также серия квазикристаллических сверхструктур, соответствующих малым волновым векторам (1/5, 1/6, 1/7, 1/8 и т.д.) [1-3]. Причем все эти сверхструктуры обнаружены в отдельных экспериментах при фиксированных температурах. Однако даже для кристаллов по экспериментам при фиксированных температурах нельзя отличить соразмерную сверхструктуру с нелифшицким волновым вектором от несоразмерного состояния. Последнее определяется именно по наличию температурной зависимости сверхструктурного вектора. Поэтому нельзя исключить возможность, что все эти экспериментально наблюдаемые структуры являются не различными соразмерными фазами, а соответствуют одному несоразмерному состоянию, но получены при разных внешних условиях. Для металлических сплавов, к которым относятся и рассматриваемые системы, более типичной является ситуация, когда при изменении внешних условий развивается всего одна неустойчивость, а не последовательная серия нестабильностей. Таким образом, экспериментальные данные можно трактовать как наличие в этих сплавах фазовых трансформаций типа «высокосимметричная ква-зикристаллическая фаза - несоразмерное состояния - низкосимметричная квазикристаллическая фаза».
В такой ситуации первостепенное значение приобретают феноменологические модели как соразмерных, так и несоразмерных структур и переходов между ними , которые позволят определить тип наблюдаемых фаз по имеющимся экспериментальным данным. Феноменологическая теория соразмерных сверхструктур для этих сплавов рассмотрена нами ранее [4, 5]. Целью настоящей работы является разработка феноменологической модели переходов типа «высокосимметричная ква-зикристаллическая фаза - несоразмерное состояние - низкосимметричная квазикристаллическая фаза» в тройных системах ACC и ANC.
Такие фазовые трансформации сильно напоминают переходы типа «высокосимметричное кристаллическое состояние - несоразмерная фаза -низкосиммметричное состояние», распространенные в кристаллических системах. Для описания переходов, происходящих в кристаллах, в рамках феноменологической термодинамики используют-
ся в настоящее время два подхода [6]: приближение сплошных сред с зависящей от пространственных координат амплитудой параметра порядка (ПП) и однородная теория фазовых переходов с ПП, преобразующимся по представлению с несоразмерным волновым вектором. В работе используется второй подход. В качестве высокосимметричной фазы выступает высокотемпературное де-кагональное состояние, в качестве соразмерной низкосимметричной - низкотемпературное дека-гональное состояние. Последнее имеет ту же точечную симметрию и тот же тип апериодического порядка, и обе эти фазы являются изосимметрий-ными. В качестве промежуточного несоразмерного состояния интерпретируется вышеупомянутая последовательность сверхструктур в предположении, что это одна фаза с температурно-зависимым волновым вектором. Причем последний изменяется в окрестности нуля.
Для феноменологического описания сверх-структурных фазовых переходов в квазикристаллах нами предложено использовать факторизацию модулей спектров сверхструктур по модулю спектра исходной фазы [4, 5]. Для соразмерных сверхструктур такая факторизация приводит к конечным группам, для несоразмерных - к непрерывным. В нашем случае факторгруппа модулей спектров изоморфна одной группе См для любой фиксированной несоразмерной структуры, т.е. можно считать, что для несоразмерного состояния во всем температурном диапазоне такая факторгруппа общая и изоморфна См. В соответствии с общим подходом теории Ландау предположим, что параметр порядка, описывающий несоразмерную фазу, преобразуется по одному физически неприводимому представлению этой группы. Все такие представления двумерны и характеризуются одним непрерывным параметром к, при этом мы имеем двумерный действительный ПП или одномерный комплексный (пк+=пе10, пк-=Пе-0). В высокосимметричной фазе, как обычно, ПП равен 0, в низкосимметричной получим правильные трансформационные свойства, если предположим, что к=0 (эта фаза изоморфна высокотемпературной и ПП преобразуется по полносимметричному представлению). В несоразмерном состоянии параметр к принимает текущее значение и сам определяется из условий минимальности свободной энергии. Физический смысл этого параметра - коэффициент мультипликации базисных векторов модуля спектра исходного состояния по сравнению с ба-
зисными векторами данной несоразмерной структуры.
Введенный таким образом ПП обладает теми же трансформационными свойствами, что и кристаллический ПП, описывающий образование одномерно-несоразмерной структуры с волновым вектором, лежащим в окрестности нуля. Свободная энергия несоизмеримой фазы в этом случае будет зависеть только от амплитуды комплексного ПП [6] и типичный неравновесный термодинамический потенциал имеет вид:
Fn = a(T, k)-n2 + Р-П4, (1)
где n - амплитуда ПП; a, в - феноменологические константы; a является функцией температуры T и k. Как обычно в теории Ландау, зависимость от температуры предполагается линейной. Зависимость a от параметра k определяется таким образом, чтобы потенциал (l) имел минимум по k в окрестности нуля [6, 7]:
a = A(T-Ti) + an k2/2 + an k4/4, (2)
где A - феноменологический коэффициент; Ti -некоторая температурная постоянная.
Потенциал (l) описывает фазовый переход в несоразмерную фазу, но с фиксированным, независящим от температуры волновым вектором. Для того чтобы получить эту зависимость, в (l) добавляют слагаемые, учитывающие вторичные ПП ns, соответствующие другим ks [6, 7]. После минимизации по вторичным ПП и подстановки их равно -весных значений в свободную энергию, она снова приобретает вид (l), но с перенормированными коэффициентами. Фактически эта процедура приводит к температурной зависимости an в (2). Таким образом, несоразмерное состояние реально описывается ПП, преобразующимся не по дискретному представлению с фиксированным иррациональным k, а по непрерывному по k-представлению [6] (в теории зонных электронных состояний такое представление называется зонным). После такой перенормировки коэффициентов потенциал (l) описывает переход в несоразмерное состояние с температурно-зависимым волновым вектором, но не переход в соизмеримую фазу. Для того чтобы полностью описать экспериментально наблюдаемую последовательность переходов, в общепринятом подходе [6, 7] к свободной энергии добавляют еще одно слагаемое, так называемый запирающий (lock in) член. Его строят формально на основе того же ПП n, но используют инварианты не непрерывного зонного представления, а дискретного по k-представлению, соответствующему соразмерному сверхструктурному волновому вектору низкосимметричной фазы. Фактически это означает использование для описания перехода в соразмерную фазу ПП другой симметрийной природы и двух независимых термодинамических потенциалов. Проведенные нами исследования показали, что и этот переход можно описать на основе одного непрерывного зонного представления.
Вернемся к неравновесному термодинамическому потенциалу (1), не учитывающему вторич-
ных ПП и с неперенормированным коэффициентом. После подстановки (2) он приобретает вид:
Fn = (A(T-Ti) + a„ k2/2 + a^ k4/4)-^2 + РУ. (3)
Фактически он зависит от инвариантов зонного представления, построенных на n и k. Однако в нем учтены не все инварианты, и он не является типичным. В частности в (3) есть инвариант шес-
1 4 2 1 2 4 т г
той степени k , но не учтен инвариант k *n . Как показано в современной теории фазовых переходов, такой перекос по инвариантам ведет к нетипичной фазовой диаграмме. Таким образом, для рассматриваемых переходов, типичный неравновесный потенциал имеет вид:
Fт = (A(T-Ti) + a„-k2/2 +
+a12-k4/4)-n2 + (в + a21-k2/2)-n4. (4)
Минимизируя (4) по n и k, нетрудно получить уравнения состояния, описывающие равновесные значения ПП и волнового вектора:
2(A(T-Ti) + a„-k2/2 + a12-k4/4)-n +
+ 4(в + a21-k2/2)-n3 = 0;
(a11-k + a12-k3)-n2 + a21-k-n4 = 0.
Они имеют три симметрийно выделенных решения:
1.(n=0, k неопределенно) - высокосимметричная декагональная фаза.
2. (n^0, k^0) - несоразмерное состояние.
3. (n^0, k=0) - низкотемпературная декагональная фаза.
Устойчивость тех или иных решений определяется по матрице вторых производных. В частности, высокосимметричная фаза устойчива при T > (Ti + a112/(4a12A)). Фазовый переход из высокосимметричного состояния в несоразмерное происходит вторым родом при температуре T1 = Ti+a112/(4a12A). Низкотемпературная фаза устойчива при T<Tsr (Tsv= Ti + 2pa11/(Aa21)). Для нее параметр порядка определяется выражением П2 = - A(T-Ti)/(2P).
Несоразмерная фаза устойчива при T1<T<Tnr, где Tnr< Tsr. В ней ПП монотонно растет с понижением температуры, а k падает (получено методом численного анализа). Фазовый переход из несоразмерной фазы в низкосимметричную соразмерную происходит первым родом при T2, лежащей в интервале (Tnr - Tsr).
Таким образом, если феноменологические коэффициенты имеют следующие знаки (A>0; a11<0; a12>0; в>0; a21>0), то этот потенциал описывает всю последовательность наблюдаемых апериодических фаз в рассматриваемых сплавах и дает возможность вычислить температурное поведение ПП и сверхструктурного волнового вектора, а также аномалии обобщенных восприимчивостей при переходах.
Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 02-02-17871.
Литература
1. Grushko B., Wittmann R., Urban K. //J. Mater. Res. 1994. Vol. 9. № 11. P. 2899.
2. Frey F. et al. // Phil. Mag.A. 2000. Vol. 80. Р. 2375.
3. Frey F., Hradil K. // Phil. Mag.A. 1996. Vol. 74. Р. 45.
4. Мощенко И.Н. и др. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2003. № 10. С. 47.
5. Мощенко И.Н. и др. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2003. № 2. С. 9.
6. Толедано Ж.-К., Толедано П. Теория Ландау фазовых переходов. М., 1994.
7. Стрюков В.А., Леванюк А.П. Физические основы сегнетоэлектрических явлений в кристаллах, М., 1983.
ГНУ «Северо-Кавказский научный центр высшей школы»______________________________________22 марта 2004 г.
