Факторизації обертових симетричних матриць над кільцем многочленів з інволюцією Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.64 Доц. М.1. Кучма, канд. фiз.-мат. наук -

НУ "ЛbeiecbKa полiтехнiка"

ФАКТОРИЗАЦП ОБЕРТОВИХ СИМЕТРИЧНИХ МАТРИЦЬ НАД К1ЛЬЦЕМ МНОГОЧЛЕН1В З 1НВОЛЮЩСЮ

З використанням понять нескiнченних елементарних дiльникiв, зворотного та узагальнено зворотного матричних многочленiв встановлено необхiднi i достатнi умови iснування факторизацiй обертових симетричних матриць над кшьцем многоч-ленiв з iнволюцieю.

Ключов1 слова: нескшченш елементарнi дiльники, зворотний i узагальнено зворотний матричнi многочлени.

Assist. prof. M.I. Kuchma -NU "L'vivs'ka Politekhnika"

Factorizations of invertible symmetric matrices over rings of polynomials

with involution

Considering the notions of infinite elementary divisors, inverted and generalized inverted matrix polynomials, we establish the necessary and sufficient conditions of existence of factorizations of invertible symmetric matrices over rings of polynomials with involution.

Keywords: infinite elementary divisors, inverted and generalized inverted matrix polynomials.

Задача про факторизаци симетричних матриць над кшьцем многочле-тв дослщжувалась у працях [1, 2]. Вщомо, що алгебричш задач! з постановками такого типу виникають в теори диференщальних р1внянь, у нелшшнш теори регулювання, в оптимальному управлшш та диференщальних ^рах i таким чином, мають певне прикладне значення. Зокрема, у [1, 2] розглядалось питання про факторизацш обертових симетричних матриць над кшьцем мно-гочлешв C[x]. Ц факторизаци матриць здшснювались за допомогою алгоритму видшення д1агонал1 й усунення нуля на д1агонал1. У цш робот пропонуемо шший шдхщ до задач1 про факторизацш обертових симетричних матриць, що дае можливють отримувати факторизаци таких матриць з вщповщних факторизацш зворотних i узагальнено зворотних симетричних матриць. Легко бачи-ти, що обертов1 над C[x] матриц е сингулярними, визначник яких е одиницею кшьця C[x]. У роботах [3, 4] з використанням понять нескшченних елементарних дшьниюв i зворотного матричного многочлена отримано умови юнування факторизаци сингулярних матричних многочлешв.

Нехай K = C[x] - кшьце многочлешв з шволющею V, визначеною у робот [1] i перенесеною на кшьце матриць Mn(K) таким чином:

A(x)V = |\ciij(x)||V = 11Qji(x)V .

Матрицю A(x) називатимемо симетричною, якщо A(x) = A(x)V. Факториза-щею симетрично! матрицi A(x) з юльця GLn(K) називають ii зображення у вигляд

A(x) = B(x)CB(x)V, (1)

де: B(x) - обертова над K матриця; C = CV - деяка неособлива дiагональна

m

матриця. Нагадаемо, що матриця A(x) = ^ Aixm-1, де Ai е Mn(C), називаються

i=0

сингулярною (регулярною), якщо А(х) - неособлива многочленна матриця, в якiй Д = 0(ёе1 Д ф 0). Матрицю А(x) називатимемо зворотною до матриц

~ m _

Д(х), якщо Д(х) = ^ Агхг. Легко бачити, що А(х) зворотна до обертово! Д(х) е

г=0

регулярною матрицею, характеристичний многочлен яко! ёе! А(х) = хтп . Позначимо через Бд(х) форму Смгга матриц А(х):

Бд (х) = Дх)А(х)<2(х), (2)

де Р(х), @(х) - деяк обертов1 над К матрищ.

У робот [4] дослщжувалось питання про видшення спещальних дшь-ниюв 1з сингулярного матричного многочленна. Вщомо, що необхщною 1 достатньою умовою для того, щоб А(х) = В(х)С(х), де В(х) - сингулярна многочленна матриця степеня г з формою См1та Ф(х) = diag (щ(х),...,щп(х)) 1 системою нескшченних елементарних дшьниюв х'1, х'2,..., х1п, 0 < 11 <... < 1п,

п п

^ 1г = гп - ^ deg щ(х), до того ж deg А(х) = deg В(х) + deg С(х), е умова:

г=1 г=1

ю

det М ю ,, ,,(Ф) ф 0, (3)

V(Ф)Р(х) Е,Ех,...,ЕхГ-1||

ю

де: Ф(х) = diag (х'Щх),...,х1пфп(х)); Р(х) - довшьна обертова матриця 1з ств-

ю ю

вщношення (2), V(Ф) - ядро визначально! матрищ Ж(Ф), введено! в [5].

Умова (3) е необхщною умовою факторизаци (1), але не достатньою. Наступний результат встановлюе необхщт 1 достатш умови факторизаци обертово! над К симетрично! матрищ А(х), в якш В(х) е ОЬп(К), deg В(х) = т / 2 .

Теорема 1. Для симетрично! обертово! над К матрищ А(х) юнуе фак-торизащя (1), в якш В(х) обертова над К 1з системою нескшченних елементарних дшьниюв х'1, х'2,..., х1п, 0 < 11 <... < 1п, ^ 1г = тп, а С = Су - неособлива

г=1 2

дтгональна матриця, тод1 1 т1льки тод1, коли симетрична матриця

ю ^ ю ю ю

V(Ф)P(x)A(x)P(x)vV(Ф)v дшиться одночасно зл1ва на Ф(х) 1 справа на Ф(х)у

ю

при деяких допустимих значеннях параметр1в матрищ V(Ф), для яких викою

нуеться умова (3), де Ф(х) = diag (х'1,...,х'п), Р(х) - довшьна обертова матриця

юю

1з сшввщношення (2), V(Ф) - ядро визначально! матрищ Ж(Ф).

Доведення. Необхщшсть випливае 1з теореми 1 1 наслщку роботи [3]. Достатмсть. Зпдно з теоремами 1 робгг [3, 6] юнуе факторизащя регулярного матричного многочлена А(х) зворотного до А(х):

А(х) = В^В&У, (4)

3. Технологiя та устаткування деревообробних пiдприeмств

119

~ ш ю

де: В\(х) - уштальна матриця степеня — з формою Смга Ф(х), а О = Оу - неособлива матриця. Матриця О е ермiтово конгруентною при шволюци (а) /кон-груентною при iнволюцiях (в), (у) / до матриц енерци 1(О) = diag [Ек, Еп-к}, де к - кшьюсть додатних власних значень матрищ О, тобто О = Т1 (О)Ту, де Т е ОЬп(С).

Тодi iз спiввiдношення (4) отримаемо факторизащю

А(х) = ВВ (х)С\В (х)у, (5)

де В(х) = В\(х)Т - регулярна матриця степеня ш/2 з формою Смiта Ф(х),

С1 = I (О).

Розглянувши многочлен зворотний до А(х), з рiвностi (5), одержимо факторизащю (1), в якш матриця В(х) зворотна до В(х) е обертовою над К iз системою нескiнченних елементарних дiльникiв х'1, х'2,..., х1п, а вигляд мат-рицi С = ±С описано в твердженнi роботи [3]. Теорему доведено. З теореми 1 випливае наслщок.

На^док. Для симетрично! матрищ А(х) е ОЬп(К) юнуе факторизацiя (1), в якш В(х) е ОЬп(К), deg В(х) = -2deg А(х), тодi i тiльки тодi, коли юнуе

факторизацiя симетрично! матрицi А(х) зворотно! до А(х).

Важливою е задача про факторизащю (1) обертово! над К симетрич-

ш

но! матрищ А(х) степеня ш, в якш В(х) е ОЬп(К), deg В(х) > —. У таких фак-

торизацiях умова deg А(х) ф deg В(х) + deg В(х)у, тому введемо поняття уза-гальнено зворотного многочлена.

ш

Нехай / (х) = X ахш-1 - деякий многочлен, зокрема матричний. Узагаль-

i=0

нено зворотним до /(х) вiдносно г степеня називатимемо многочлен

ш

/(х) = X а1х1+г, де г е N .

г=0

= ( 1Л Якщо deg /(х) = ш , то очевидно, що /(х) = хг+ш/

V х

г е N.

Легко бачити, що, коли матричний многочлен А(х) обертовий над К, то А(х) - узагальнено зворотний до А(х) е регулярним матричним многочленом. Якщо А(х) симетрична матриця, то А(х) е симетричною, коли г - парне число. Надал^ вважатимемо, що г - парне число.

Зважаючи, що А(х) = ЕхгА(х), г е N, то легко переконатись у справед-ливост наступного твердження.

Твердження. Нехай форма Смгга Б а (х) матричного многочлена А(х) зворотного до А(х) мае вигляд (2). Тод форма Смiта Б а (х) матричного многочлена А(х) отримуеться при тих самих матрицях Р(х), 0(х) обертових над К,

тобто Б А (х) = Р(х)А(х)0(х).

Теорема 2. Для симетрично! матрицi А(х) е ОЬп(К) юнуе факторизацiя (1), в якш В(х) е GLn(K), С = Су - неособлива дiагональна матриця, тодi i тiльки тод^ коли iснуе недопустима факторизацiя [6] матричного многочлена

А(х) узагальнено зворотного до А(х) вiдносно г степеня, де г = deg В(х) + deg В(х)у - т , В(х) зворотний до В(х) многочлен.

Доведення. Необхiднiсть. Нехай для матрищ А(х) е GLn(K) iснуе фак-торизащя (1) i г = deg В(х) + deg В(х)у - deg А(х).

Розглянувши А(х) узагальнено зворотний до А(х) вiдносно г степеня, iз рiвностi (1), отримаемо факторизацiю регулярного матричного многочлена А (х).

Доведемо, що отримана факторизацiя матрищ А (х) не може бути допустимою. Припустимо, що юнуе допустима факторизащя для А(х):

А(х) = В (х)^В(х)у i (х) = Ф1(х)/ Ф1(х)у, deg Ф1(х) = Пт±г), де мае форму Смгга Ф1(х). Оскiльки Ба(х) = ЕхгБ а(х), то з останнiх сшввщно-

/ N У

шень можна видiлити лiвий i правий множники Ех2 i

Ех 2

V

, вщповщно:

ВВ1(х) = Ех2 В(х), Ф1(х) = Ех 2Ф(х). Звiдси випливае, що юнуе допустима факто-

~ т

ризащя матрицi А(х), в якш матриця В(х) степеня — з формою Смга Ф(х).

т

Отримали протирiччя, оскшьки deg В(х) = deg В(х) > —.

Достатн^ть. Нехай юнуе факторизацiя матричного многочлена А(х) узагальнено зворотного до А(х) вiдносно г степеня, тобто

А (х) = В(х)сВ(х)У, (6)

причому deg А (х) = deg В (х) + deg В (х)у.

Розглянувши матричний многочлен зворотний до А(х) , iз рiвностi (6), отримаемо факторизащю обертово! над К матрицi А(х), до того ж

deg А(х) < deg В(х) + deg В(х)у.

г

3. Технолопя та устаткування деревообробних шдприемств

121

Остання нерiвнiсть мае мiсце, оскiльки матричнi коефщенти А(х) при хг-1,..., х0 е нульовими. Теорему доведено.

Лггература

1. Любачевский Б.Д. Факторизация симметрических матриц с элементами из кольца с инволюцией. I// Сиб. мат. журн. - 1973. - 14, № 2. - С. 337-356.

2. Якубович В.А. Факторизация симметрических матричных многочленов// Докл. АН СССР. - 1970. - 194, № 3. - С. 532-535.

3. Зелкко В.Р., Кучма М.1. Факторизаци сингулярних симетричних матриць над юль-цем многочлешв з шволющею// Мат. методи та ф1з.-мех. поля. - 2000. - 43, № 2. - С. 23-27.

4. Кучма М.1. Про спещальш дшьники сингулярних матричних многочлешв// Мат. сту-дп. - 1997. - 8, № 2. - С. 153-156.

5. Казимирский П.С., Щедрик В.П. О решениях матричных многочленных односторонних уравнений// Докл. АН СССР. - 1989. - 304, № 2. - С. 271-274.

6. Зелкко В.Р., Кучма М.1. Факторизащя симетричних матриць над кшьцем многочлешв з шволющею// Мат. методи та ф1з.-мех. поля. - 1997. - 40, № 4. - С. 91-95.

УДК 630*363.3 Асист. В.Б. Матушевський - НЛТУ Украти, м. Львiв

ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬН1 ДОСЛ1ДЖЕННЯ ПРОЦЕСУ РОЗКОЛЮВАННЯ ДЕРЕВИНИ ДИСКОВИМИ РОБОЧИМИ

ОРГАНАМИ

Наведено результати експериментальних дослщжень, виконаних в лаборатор-них умовах, з розколювання деревини дисковими робочими органами.

Assist. V.B. Matusevskyy-NUFWTof Ukraine, L'viv

Experimental researches of process of cleaving of wood by disk working organs

Resulted results of the experimental researches, executed in laboratory terms, from cleaving of wood by disk working organs.

Розколювання деревини, як один i3 найбшьш простих i ефективних спо-соб1в дшення деревини вздовж волокон, здавна привертав увагу багатьох дос-лщниюв. Дослщження цього процесу присвятили сво! пращ таю видатш вчеш, як К.М. Ашкеназ^ А.Е. Золотарьов, С.1. Рахманов, Г.А. Вшьке, С.А. Воскресен-ський, М.В. Плаксш, Т.М. Шюря, О.Й. Сопотун, Б.Ф. Безсуднов, В.В. Ананко.

При вивченнi питання розколювання деревини значну увагу придшя-ли теоретичним дослщженням, на основi яких будували аналiтичнi залежнос-т та математичнi моделi, що певною мiрою описували процес розколювання. Для шдтвердження теоретичних дослiджень проводились експерименти. Ек-сперименти здiйснювали на взiрцях рiзних порiд деревини, рiзних форм та геометричних розмiрiв взiрцiв, рiзними кутами загострення робочих органiв. За отриманими результатами будували графжи, яю описувались емшрични-ми залежностями, що враховували вплив певних факторiв (геометричних роз-мiрiв взiрця, його вологост, кута загострення клина) на величину максимального зусилля розколювання, яю, вщповщно, порiвнювались iз результатами вщповщних теоретичних напрацювань.