CC BY
7
linear connection form two non-intersecting classes of the projective connections. Compositional equipment of the distribution is made, which consists in the setting of Cartan's planes and normals of the 2-nd kind. It is proved, that the compositional equipment induces the center-linear connection. The latter is characterised by means of normal of 2-nd kind parallel displacement, when it moves in hyperplane drawing on this normal and the Cartan's plane. Induced linear subconnection is interpreted by projection of neighbouring normals of 2-nd kind onto each other out of center - normal of 1-st king, generated by the Cartan's plane.
УДК 514.76
f-СТРУКТУРЫ МНОГООБРАЗИЯ 4(Н)
С.Н. Ю р ь е в а
(Калининградский государственный университет)
Продолжается исследование гиперполосных распределений (Н-распределе-ний) аффинного пространства [1]. Введена f-структура на многообразии 4(Н), ассоциированном с Н-распределением.
Схема использования индексов:
I,J,K= 1,n ; аЪ= 1,n - 1; А,В,С^= 1,2n - 1.
1. Оснащающее Н-распределение данного -распределения можно рассматривать как расслоенное многообразие 4(Н), базой которого является аффинное пространство Ап, а слоями - элементы Н-расслоения, причем dim4(H)= =n+(n-1)=2n-1.
Структурные формы этого многообразия можно получить следующим образом. Образующим элементом слоя Н(А), где А - центр ^-распределения, является точка О = А + I аай. При этом структурные формы ДНа точки Х имеют следующее строение:
def
ДНа = dHa + Hb юa . (1)
Внешним дифференцированием равенств (1) находим:
D^№)= ДНч ю a +юKЛHb h ск ю a. (2)
^едовательно, формы ДНа имеют расслоенную структуру по отношению к базовым формам raK[2]. Система форм {ДЩю^ вполне интегрируема и образует систему структурных форм многообразия 4(H).
2. Многообразие 4(H) примем за базу нового расслоенного многообразия Т(4), где Т(4)- касательное расслоение к 4(Н). Учитывая уравнения (1) и (2), находим, что структурные формы 0А многообразия 4(Н), где
тс1е def
0J = ю п, еп+а = диа, (3)
удовлетворяют уравнениям Б0А=0вЛ0А. Здесь
0К =®к, еП+а = о, еп++аь =®а, епк+а = ньньк<• (4)
Дифференцируя внешним образом (4), получаем структурные уравнения вида:
эе а = ее леА + ес ле ^.
Введем в текущем слое расслоения Т(^) репер { §д } , где
5аА = лАад (л| =еА/ ем = о). (5)
Из равенств (4) и (5) следует:
5а и =л ке к + ае п + а , 5е п+ а = Я^ п + ь • (6)
Следовательно, векторы ап+а вместе с центром А слоя расслоения Т(^) определяют (п-1)-мерное инвариантное подпространство Шп-1 в текущем слое Та(^).
3. Для того, чтобы в слое Та(^) определить п-мерное дополнительное инвариантное подпространство Шп, необходимо и достаточно задать на базе ^(Н) поле объекта Ап+а:
1Гп+^ т-^п+Ь/ла Гп+^К ап+а гп+а К
I +Г I еЬ _ Г I 01 + 01 =Г 1К ю • (7)
Действительно, будем полагать, что объект Ап+а присоединен к группе преоб-
п
разований репера { Ад } в слоях Та(^), тогда
= е п + Ап + аЕ п + а, Е п+а = е п + а • (8)
Из условия инвариантности плоскости Шп в силу (4), (6), (8) получаем
5Еп = лпе, + (5Ап+а + Ап+ьёпп++ьа - Ап+аеп + еп+а)еп+а, откуда следуют дифференциальные уравнения (7). Охват объекта { Ап+а } осуществляем по формулам
У п+а = ньнЬп уа, (9)
где у а - инвариантная нормаль Н-распределения. Поле квазитензора (9) определяет в слоях касательного расслоения Т(^) инвариантные подпространства
Wn = [а, е п].
4. Зададим на многообразии ^(Н) поле геометрического объекта { ^ }:
dfвa - fсAеВ + fвC0A = fвAсес • (10)
Компоненты fА этого объекта определим следующими формулами:
'К = -Рак у п+а, fJn+a = Га + ГК у п+ь у К+а,
(11)
а / п > Ч _ 1 п ^ 1 Ь
Г п _ _рп * п+ а _ рК.,п +
'п + Ь = ГЬ, 'п+ Ь = ГЬ у К > . а
где ГК = НК Нп.
Следуя В.И.Близникасу [3], поле тензора {'А }, компоненты которого в произвольной точке многообразия ^(Н) определяются формулами (11), назовем у-лифтом тензорного поля Г* в расслоении Т(^).
Компоненты 'А (11) удовлетворяют уравнениям
fff + fa = 0.
Ранг матрицы f2 равен 2n-1. Следовательно, структура, определенная на многообразии 4(Н), является f-структурой ранга 2n-1. В результате справедлива
Теорема. С каждой ^-структурой, заданной тензором из пучка { PjK(a)}, ассоциируется на многообразии 4(Н) f-структура ранга 2n-1.
Библиографический список
1. Юрьева С.Н. Введение аффинных связностей на гиперполосном распределении аффинного пространства // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1997. №28. С.98-104.
2. Остиану Н.М., Рыжков В.В., Швейкин Л.И. Очерк научных исследований Германа Федоровича Лаптева // Тр. геом. семин. / ВИНИТИ. М., 1973. Т.4. С.7-70.
3. Близникас В.И. Дифференциальная геометрия неголономной гиперповерхности риманова пространства // Литов. мат. сб. 1971. Т.11. №1. С.63-74.
S.N. J u r e v a f-STRUCTURES OF MANIFOLD 4(H)
We proceed with investigation of the hyperstrip distributions (H-distributions) of the affine space. f-structure on the manifold 4(H), associated with H-distribution is introduced.
