Поля геометрических объектов, ассоциированных со скомпонованным гиперплоскостным -распределением аффинного пространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.76

Ю.И. Попов]

1 Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Россия yurij.popoff2015@yandex.ru doi: 10.5922/0321-4796-2020-51-12

Поля геометрических объектов, ассоциированных со скомпонованным гиперплоскостным Н (Лп_ 2, Ь1) -распределением аффинного пространства

В данной работе рассмотрены фокальные многообразия, ассоциированные с Н(Л,Ь) -распределением аффинного пространства. В нормальных и касательных расслоениях Ь-, Л-, Я-подрасслоений введены аффинные (внутренние) связности и нормальные центроаф-финные связности соответственно. Найдены тензоры кривизны полученных связностей.

Ключевые слова: расслоение, подрасслоение, фокальное многообразие расслоения, 2-форма кривизны, тензор кривизны, нормальная центроаффиная связность, внутренняя аффинная связность.

В работе используется следующая схема индексов:

1,3,К = \П;а,р,у = 2,п -1;^ = {1,п};

/,у, к = 1,п -1;а,Ь = 2,п.

1. Фокальные многообразия, ассоциированные с Н (Л,Ь) -распределением аффинного пространства

Известно [1], что скомпанованное распределение-Н(Л-2,Ь1) аффинного пространства (в дальнейшем кратко Н(Л,Ь) -распределение) задается системой уравнений

Поступила в редакцию 22.05.2020 г. © Попов Ю. И., 2020

п *п К а ла К п *п К 1 л1 К /1\ ®1 = Л1К® , ®1 = Л1К® , ®а=ЛаК® > ®а=ЛаК® , С1)

коэффициенты которой удовлетворяют соответственно уравнениям

УЛ" = Л"аЬ, УЛа + = Л?К1аЬ,

улаак =лактрЬ, ул +ла^ =л~аЬ

(2)

аКЬ

Имеет место теорема существования Н(Л,Ь) -распределения:

Теорема 1. Н(Л,Ь)-распределение существует с произволом (3п —5) функций п аргументов.

Действительно, с одной стороны, утверждение теоремы 1 непосредственно следует из уравнений (1). С другой стороны, теорема 1 является при т = п — 2 следствием теоремы 1 [1].

Определение 1. Фокальной точкой текущего элемента Н(Ь) -распределения с центром в точке А, соответствующей

определенному направлению смещения центра А, называется точка Щ этого элемента, которая принадлежит также (с точностью до величины первого порядка малости) соседнему элементу этого распределения, получаемого смещением центра А в данном направлении (фокальном направлении, соответствующем данной точке Щ) [2].

Среди фокальных многообразий, ассоциированных с Ь-рас-пределением, выделим прежде всего характеристику гиперплоскости Н( Ь) при смещении центра по кривым, принадлежащим Ь-распределению. Найдем уравнения, определяющие это фокальное многообразие. Относительно репера Я0, присоединенного к текущей точке А Н(Л,Ь) -распределения, конечное уравнение плоскости имеет вид

уп = 0 . (3)

Точка Щ е Н(А) определяется координатами у3 , удовлетворяющими уравнению (3). При смещении ^-плоскости

вдоль некоторого направления точка Р перейдет в новую точку Р , координаты у3 которой относительно исходной системы координат определяются соотношениями [2]

~3 3 3 к

у = у -®ку •

Потребовав, чтобы точки Р принадлежали исходной плоскости Н(А), получим

1 п , а п г\ п г\ У 01 + У 0а = О, У = 0 •

Систему уравнений теперь представим в виде

1 лп К , а л п К п п п

у Ак0 + у Ак0 =00, У = 0 •

При смещении центра вдоль кривых, принадлежащих ¿-распределению, многообразие фокальных точек Р гиперплоскости Н(А) определяется системой уравнений

у1А11 + уаАа1 = 0, уп = 0 . (4)

Разделив уравнение (41) на объект А', получим

у1 + уаА = 0, уп = 0, (5)

где А =Аа1/ А1 •

В репере Я1 величины Аа удовлетворяют уравнениям

УЛА = ы'ак0к • (6)

В общем случае, то есть когда ранг системы (4) максимальный (ранг системы равен двум), эта система в гиперплоскости Н(А) определяет (п -2)-мерную плоскость А(А), проходящую через центр А^ Плоскость А(А) (5) является характеристикой гиперплоскости Н(А) при смещении центра А по кривым, принадлежащим Х-распределению^ Таким образом, тензор |Аа | первого порядка является структурным объектом поля плоскостей А(А), и система (6) дифференциальных уравнений определяет поле А-плоскостей

Определение 2. Геометрические образы, принадлежащие текущей плоскости Н, которые ассоциируются с Ь-распределе-нием, будем называть НЬ-виртуальными геометрическими образами [3].

Поскольку плоскость Л(А) и прямая Ь(А) имеют лишь одну общую точку А, то плоскость Л(А) можно интерпретировать как Н(Ь)-виртуальную нормаль 1-го рода прямой Ь(А) внутри гиперплоскости Н(А).

Итак, поле тензора {Л } определяет поле Н(Ь)-виртуаль-

ных нормалей 1-го рода Ь-распределения.

Поле нормалей 1-го рода (поле прямых к) Н(Л,Ь) -распределения в аффинном пространстве Ап определяется полем квазитензора \к'п }, компоненты которого в репере Я0 удовлетворяют дифференциальным уравнениям

УК +©' = к'аК . (7)

п п пК V '

Таким образом, произвольную инвариантную одномерную нормаль к 1-го рода гиперплоскости Н(А) относительно локального репера Я1 можно задать системой уравнений

У' — КУ = 0 . (8)

Плоскость Оп—1(А) = [к, Л], натянутая на инвариантную прямую к(А) и характеристику Л(А) гиперплоскости Н(А), является инвариантной нормалью 1-го рода прямой Ь(А) в каждом центре А Н(Л,Ь) -распределения пространства Ап. В локальном репере Я1 плоскость Г2п-1(A) определяется уравнением вида

У1 ^а+ (К — Л'аУК )У" . (9)

Следуя работам [2; 4], построим фокальные многообразия ¥п_2(П,Ь), ¥п_2(Л,Ь) соответственно в С2п_1 и Лп_2 при смещении центра А по кривым, принадлежащим ¿-распределению, то есть по кривым

оа = 0, у1 = ¡в , где У и1 _ ¡в = ¡в . (10)

Точка Р п_ 1 (А) является фокальной точкой при смещении центра А по кривым, принадлежащим ¿-распределению (9), когда координаты точки Р удовлетворяют системе уравнений

{ 1+ УЛ+ уп*п=0, (11)

I У1 =Луа + V _Л< )уп,

где

Л = Л _Лп (V1 _ЛУр )_Л'Лп(у1 _Л'ур ) _ЛЛЛр

У1а У1а1 а1\ п п / У1аУ 111\Уп п / у1ру1ау 11П

Vn = V1! _ ЛV _ ЛЛуап1 _ ЛЛЖ _ луп) _ _лппК _л^:)Ып _луп),

У Л = Л КоК, УV = v КоК.

а аК ' п пК

Система (11) определяет в плоскости Г2п1(А) алгебраическое (п _2)-многообразие порядка один — фокальное многообразие Рп_2(П,Ь), соответствующее прямой Ь. Многообразие ¥п_2 есть плоскость размерности (п _2), которую в дальнейшем будем обозначать через Рп_2 (А) , причем ¥п_2 (А) с Пп_1 (А),

Ае2 (А).

Плоскость Лп_2 пересекает фокальное многообразие ¥п_2(А) по плоскости ¥п_2(А) размерности (п _3), которая в репере Я1 задается системой уравнений

Уп = 0, у1 = Л'ауа, 1 + Лауа= 0 . (12)

Плоскость Рп_3(А), определяемая системой уравнений (12), есть фокальное многообразие Рп-3(Л,Ь) плоскости Л, соответствующей прямой Ь, то есть полученное при смещении центра А вдоль кривых, принадлежащих Ь-распределению.

В результате приходим к следующему предложению.

Теорема 2. Геометрический объект {Л^,Ла} — тензор 2-го порядка Н(Л,Ь)-распределения определяет в Л-плоско-сти (п -3)-мерную плоскость Рп_3(Л,Ь) (12), не проходящую через центр А, которая является аналогом плоскости Кенигса [5; 6] для пары распределений (Ь, Л).

2. Задание нормальных и внутренних аффинных

связностей на оснащенном Н (Л,Ь) -распределении

1. Адаптируем репер Я1 полю нормалей Ы1(А) 1-го рода Н-распределения, выбирая вектор еп\\Ы1( А) . В этом случае

С = Л'„юК, С =ХакаК, (13)

п пК ' п пК ' V '

а поле нормалей 1-го рода Ы1(А) Н-подрасслоения определяется уравнениями

У4К =КкьС, УКК=ас. (14)

Таким образом, уравнения (1, 2, 13, 14) задают оснащенное полем нормалей 1-го рода Ы1(А) Н(Л,Ь) -распределение.

йе}

При фиксации точки А = х (центра Н(Л,Ь) -распределения) плоскости N 1(х), Ып-1(х), Ы2(х) и Тп-1(х), Т1(х), Тп-2(х) остаются неподвижными. Следовательно, Н(Л,Ь) -распределение индуцирует нормальные Ы1(А),Ып-1(А),Ы2(А) и Тп-1(А),Т1(А), Тп-2(А) касательные подрасслоения [7].

Структурные уравнения касательного расслоения Тп-1 (А) в силу формул (1, 2, 13) имеют следующий вид:

йаК = аЬ лС, йС =с лС + О,

Ь ' а а у а '

йа1. = О, йа1 =С ла1 + О1,

1 1 ' а а ' "

йа" =а л а" + О", 1 1 ' 1 '

где

о" = л С + а" л с/ = (Л^К] + а^к] )С ЛСК =

1 (15)

= -Я"КаЬ лаК,

2 аЬК

О = (+А[Ь^К])С лаК = лаК, (16)

О"=Л^[Ь^п\К]СЬ лсК = 2к"ькСь лаК, (17)

0"=Л"1[,Я""кСЬ лсК = ^-2Я"ьКсь лаК, (18)

" = 2( Л"[Ь^К] +4^]) (19)

Я'ьк = 2( Л"[ЬЛ"К] +Л-[L^nK]), (20)

КьК = 2Л"[Ь^п\К], (21)

я"ьк = Щь"]. (22)

Следуя работе [7], приходим к выводу, что в касательном расслоении Тп-1 (А) возникает аффинная связность у без кручения с формами связности {аК, аС}, которую назовем внутренней (касательной) аффинной связностью оснащенного Н(Л,Ь) -распределения.

Теорема 3. В дифференциальной окрестности 2-го порядка оснащенное Н(Л,Ь)-распределение (полем нормалей 1-го рода N 1(х) Н-подрасслоения) индуцирует внутреннюю аф-

финную связность у в касательном расслоении Tn_1(A) с формами связности {С, о'.} и 2-формами кривизны (15—18). Компоненты тензора кривизны = {К'1К^,ЩаК^, Щщ,^^}

связности уимеют строение (19—22).

2. Структурные уравнения нормального расслоения Ы1(А) с учетом уравнений (1, 2) и (13) можно представить в виде

С = П,

п п '

где

П =С л с + с Л с = (Л^Щ] + Кгь^Пщ] )С Л с =

1 (23)

= -2КкС ЛС,

= 2(ХгьЦк] . (24)

Согласно работе [7] получаем, что в нормальном расслоении К1(А) возникает центроаффинная связность у1 с формой связности {а>П} и 2-формой кривизны (23), которую назовем нормальной центроаффинной связностью оснащенного Н ( Л,Ь) -распределения.

Теорема 4. В дифференциальной окрестности 2-го порядка оснащенное Н(Л,Ь)-распределение индуцирует в расслоении N1(A) нормалей 1-го рода Н-подрасслоения нормальную центроаффинную связность у1 с формой связности {С} и 2-формой кривизны (23). Компоненты тензора кривизны связности у1 имеют строение (24).

3. Аналогично можно построить нормальную центроаффинную связность г/1 в расслоении Nn_1(А) нормалей 1-го рода базисного ¿-подрасслоения данного Н(Л,Ь) -распределения.

Структурные уравнения нормального расслоения N1(A) имеют следующий вид:

in n n , В n , 1 n a n , s-\n

d0a =®a + k Aap +aa =®a + п\ ,

j a a a , s~» a

dan = ®n + Пп ,

da" = Г2",

n n '

где

П = 2R1K®L (25)

П =К^\к]а = L2KLK®L (26) П (15), П (23),

RIk = 2^n[L^\2\K], (27)

klk = 2^l[LA\1\K]' (28)

RBLK (19), R1LK (24).

Теорема 5. В дифференциальной окрестности 2-го порядка оснащенное H(A,L) -распределение индуцирует в расслоении N2(A) нормалей 1-го рода нормальную центроаффинную связность J с формой связности {a } и 2-формами кривизны (15, 23, 25, 26). Компоненты тензора кривизны RnLK связности J имеют строение (19, 24, 27, 28).

Связность tj1 назовем в дальнейшем нормальной центро-аффинной связностью L-подрасслоения.

4. Структурные уравнения соответствующего касательного расслоения Т1(А) в силу формул (1, 2, 13) имеют следующий вид:

йюк = юь , = О\,

где Я! (16), Я\ьк (20).

Теорема 6. В дифференциальной окрестности 2-го порядка оснащенное Н(Л,Ь)-распределение (полем нормалей 1-го

рода N 1(х)) индуцирует внутреннюю аффинную связность ц в касательном расслоении Т1(А) с формами связности {юК, со'1} и 2-формой кривизны (16). Компоненты тензора кривизны Я\ьк связности ц имеют строение (20).

5. Построим нормальную центроаффинную связность З1 в расслоении Ы2(А) нормалей 1-го рода Л-подрасслоения данного Н(Л,Ь) -распределения и связности З в касательном расслоении Тп_2(А).

Структурные уравнения нормального распределения ~М2(А) имеют следующий вид:

ёю1, = Я, ёю" = О",

1 1 ' п п '

11 1 1, а 1 , п 1 £ 1, ^-,1

аю =ю лю1 +ю люа+ю лю =ю лю£+О,

п п 1 п а п п п £ п ,

тп 1 п , а п , п п £ п , /-\п

аю, = ю лю + ю лю + ю лю =ю1 лю * + От,

1 1 1 1 а 1 п 1 £ 1 '

где О1 (16), О: (23),

О, = КЛ^ю люк = люк, (29)

О", люК = люк, (30)

Кк (20), ЯЩк (24),

(32)

(31)

Теорема 7. В дифференциальной окрестности 2-го порядка оснащенное Н(Л,Ь)-распределение индуцирует внутреннюю нормальную центроаффинную связность З1 в расслоении N2(A) нормалей 1-го рода Л-подрасслоения с формами связности { ю^ } и 2-формами кривизны { П1^ }, компоненты тензора кривизны которой имеют строение (20, 24, 31, 32).

6. Структурные уравнения касательного расслоения Тп_2 (х) имеют вид

Теорема 8. В дифференциальной окрестности 2-го порядка оснащенное Н(Л,Ь)-распределение индуцирует внутреннюю аффинную связность З в касательном расслоении Тп_2(А) с формами связности {юК, юра } и 2-формами кривизны (15). Компоненты тензора ЯРаЬК связности З имеют строение (19).

1. Попов Ю. И. Нормализация основных структурных подрас-слоений Н(Л,Ь) -распределений аффинного пространства // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер. Физ.-мат. и техн. науки. 2018. № 3. С. 5—14.

2. Лаптев Г. Ф., Остиану Н.М. Распределение да-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности // Тр. Геом. семин. / ВИНИТИ. 1971. Т. 3. С. 49—94.

3. Попов Ю. И. Трехсоставное распределение проективного пространства // ДГМФ. Калининград, 1987. Вып. 18. С. 65—86.

с1юк =юь люЩ, йюра =юуалюр +ПР,

где Пра (15), ЯРщ (19).

а

Список литературы

4. Норден А.П. Пространства аффинной связности. М., 1976.

5. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований // Тр. Моск. матем. об-ва. 1953. Т. 2. С. 275—382.

6. Столяров А. В. Проективно-дифференциальная геометрия регулярного гиперполосного распределения да-мерных линейных элементов // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. 1975. Т. 7. С. 117—151.

7. Чакмазян А. В. Нормальная связность в геометрии подмногообразий. Ереван, 1999.

Yu. I. Popov1 11mmanuel Kant Baltic Federal University 14 A. Nevskogo St., Kaliningrad, 236016, Russia yurij.popoff2015@yandex.ru doi: 10.5922/0321-4796-2020-51-12

Fields of geometric objects associated with compiled hyperplane H (A,L) -distribution in affine space

Submitted on May 22, 2020

A compiled hyperplane distribution H(An_2 ,L1) is considered in an

n-dimensional projective space Pn. We will briefly call it a H(A,L) -

distribution. Note that the plane A(A) is the distribution characteristic obtained by displacement in the center belonging to the L-subbundle. The following results were obtained:

a) The existence theorem is proved: H(A,L) -distribution exists with arbitrary (3n -5) functions of n arguments.

b) A focal manifold Fn_2(Q,L) is constructed in the normal plane f2n _1 of the 1st kind of L-subbundle. It was obtained by shifting the center A along the curves belonging to the L-distribution. A focal manifold Fn_3 (A,L) is also given, which is an analog of the Koenigs plane for the distribution pair (A, L).

c) It is shown that a framed H(A,L) -distribution in the 1st kind normal field of Я-distribution induces tangent Tn_1 (A),T1(A), Tn_2(A) and N1(A),Nn_1(A),N2(A) normal bundles.

d) Six connection theorems induced by a framed H(A,L) -distribution in these bundles are proved.

In each of the bundles (Tn_1(A),N1(A)), (T1(A),Nn_1(A)), (Tn_2(A), N2(A)) the framed H(A,L) -distribution induces an intrinsic torsion-free affine connection in the tangent bundle and a centro-affine connection in the corresponding normal bundle.

e) In each of the bundles (d) in the differential neighborhood of the 2nd order, the covers of 2-forms of curvature and curvature tensors of the corresponding connections are constructed.

Keywords: bundle, subbundle, focal bundle manifold, 2-form of curvature, curvature tensor, normal centro-affine connection, inner affine connection.

References

1. Popov Yu. I.: Normalization of main structural subbundles H(A,L) -distributions of affine space. IKBFU's Vestnik. Ser. Physics, Mathematics, and Technology, 3, 5—14 (2018).

2. Laptev, G.F., Ostianu, N.M.: Distributions of m-dimensional line elements in a space with projective connection. Tr. Geom. Sem., 3, 49—94 (1971).

3. Popov, Yu. I.: Three-part distribution of projective space. DGMF. Kaliningrad. 18, 65—86 (1987).

4. Norden, A.P.: Normalization theory and vector bundles. Tr. Geom. Sem. Kazan Univ. 9, 68—76 (1976).

5. Laptev, G.F.: Differential geometry of imbedded manifolds. Group theoretical method of differential geometric investigations. Tr. Mosk. Mat. Obs., 2, 275—382 (1953).

6. Stoljarov, A. V.: The projective differential geometry of a regular hyperband distribution of m-dimensional line elements. Itogi nauki i tekhn. Ser. Probl. Geom., 7, 117—151 (1975).

7. Chakmazyan, A. V.: Normal connection in the geometry of framed submanifolds. Yerevan (1999).