ОСНАЩЕНИЯ ПОДМНОГООБРАЗИЙ ГОЛОНОМНОГО И НЕГОЛОНОМНОГО ЦЕНТРОПРОЕКТИВНЫХ МНОГООБРАЗИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Условие аффинного расслоения от прямолинейной конгруэнции (А, ву) к конгруэнции касательных плоскостей [А, ea, ер] поверхности (А) c учетом (7) и (8), имеет вид:

Ш/* Л ®aY+ ЮуР Л ®pY = 0. (9)

Форма Пфаффа ю/ тогда и только тогда является полным дифференциалом некоторой функции, когда Бю/ = 0 или выполняется равенство ( 9 ), откуда следует утверждение теоремы.

Теорема 3.Точка А тогда и только тогда является фокусом луча [А, ea] конгруэнции (А, ea), когда формы Пфаффа юв и юг линейно зависимы.

Доказательство. Точка А является фокусом луча [А, ea] конгруэнции (А, ea) тогда и только тогда, когда Г1вГ2г - Г2вГ1г = 0 или юв л юу = 0, а это и означает линейную зависимость форм юв и юу.

Библиографический список

1. Щербак Е.А. О конгруэнциях пар фигур, порожденных коникой и точкой в Аз // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1986.С. 110 - 114.

E. A. S c h e г b a k

ON SOME PROPERTIES OF CONGRUENCES OF EQUIPPED CONICS IN A3

Investigation of congruences K equipped conics F={Fi, F2} are continued, where Fi is a central conic and F2 is a point, not incident to a plane of the conic F1. New geometric properties of the congruence K are obtained.

УДК 514.76

ОСНАЩЕНИЯ ПОДМНОГООБРАЗИЙ ГОЛОНОМНОГО И НЕГОЛОНОМНОГО ЦЕНТРОПРОЕКТИВНЫХ МНОГООБРАЗИЙ

Ю.И. Ш е в ч е н к о

(Калининградский государственный университет)

Под центропроективным многообразием понимается результат проективиза-ции дифференцируемого многообразия, при которой касательные линейные пространства всех порядков превращаются в центропроективные пространства тех же размерностей. При этом различаются голономные и неголономные цен-тропроективные многообразия, полученные из соответствующих дифференци-

руемых многообразий и отличающиеся размерностями касательных пространств выше первого порядка.

Рассмотрено подмногообразие центропроективного многообразия и главное расслоение, ассоциированное с ним. Расслоение содержит, в частности, подрас-слоения касательных и нормальных линейных реперов. Способом Лаптева в ассоциированном расслоении задана групповая связность, в том числе, касательная и нормальная линейные связности. Оснащение Картана и нормализация Нордена поверхности проективого пространства распространены на подмногообразие.

Доказано, что композиционное оснащение ( оснащение Картана и нормализация 2-го рода Нордена) подмногообразия сводят к касательной и нормальной связностям групповую связность, называемую в этом случае композиционной. Показано, что плоскость Картана и нормаль 2-го рода абсолютно параллельны в композиционной связности. Линейные связности охарактеризованы геометрически с помощью центральных проекций плоскостей Картана и нормалей 2-го рода. Введены новые оснащения, выяснены их роль и взаимоотношения.

1. Центропроективные многообразия. Рассмотрим n-мерное многообразие Vn некоторого класса дифференцируемости. В любой точке Ае Vn имеются каса-

Г

тельные векторные пространства T порядков r, причем их размерности при г>1 для неголономного и голономного дифференцируемых многообразий различны

[1]: DimT =n(1+n+.. .+nr-1), dimTr= C П+r-1. Наделяя векторные пространства Tr структурой аффинного пространства, дополняя их несобственными гиперплоскостями и расширяя действия групп преобразований, произведем проективиза-цию дифференцируемого многообразия Vn. В результате касательные пространства Tr превратятся в центропроективные пространства Pr тех же размерностей, а дифференцируемое многообразие Vn станет центропроективным многообразием Wn [2].

Отнесем многообразие Wn к подвижному реперу {A, Ai, Aij, Aijk,...}, причем AeWn; A,AieP1=Pn; AijeP2; АикеР3;... Деривационные формулы репера имеют вид [2]:

дА= W А+ W1 Ai (I,J,K,L=1,...,n), (1)

dAi= W Ai+ WJ Aj+ W i А+ WJ Aij,

к к к к

öAij= W Aij+ WI Akj+ Wj Aik+ WI Aj+ WjAi+ WijAk+ WijA+ W Aijk,..., (2)

где д - символ дифференцирования вдоль многообразия Wn, W - некоторая линейная дифференциальная форма, W1 - базисные формы многообразия Wn, w J, w I, w jj, w IJ,...- слоевые формы. Базисные и слоевые формы удовлетворяют структурным уравнениям [2]:

D W1 =W J AW J, D W J =W K AW K +W K AW JK, (3)

D W I= W J AW J + W J AW IJ, (4)

t>, i l i i li l . l i

D w jk = w jk a w l — w lk aw j — w jl aw k + w aw jkl,

К к к к

О ю и = ю и Л ю к — ю ¡к Л юи — ю ки Л ю I + ю Л ю ик ,•••,

где D — символ внешнего дифференцирования. Точки Аи, Лик,... и формы юИк, юи, юИкь, ю ик,... в голономном случае симметричны по нижним индексам, а в неголономном случае не симметричны, поэтому неголономная и голономная размерности, например, соприкасающегося пространства Р2 таковы: Б1шР2=п(1+п), &шР2= -2 (п+3).

2. Связности многообразия. Над многообразием Wn возникает главное расслоение центропроективных реперов С(^) со структурными уравнениями (3,4), типовым слоем которого является центропроективная (коаффинная) группа C=GA*(n), действующая в касательном центропроективном пространстве Рп. Это расслоение содержит подрасслоение линейных реперов L(Wn) с уравнениями (3), типовым слоем которого служит линейная группа L=GL(n)^C. Центропроективная связность в расслоении С(^) задается способом Лаптева [3] с помощью форм ОИ =юИ — Июк, О1 =ю 1 — Гиюи, причем компоненты объекта

связности Г={ ГИк, Ги} удовлетворяют дифференциальным соотношениям

УГИк +юИк - 0, УГи + ГИюк +юи - 0, (5)

где символ - означает сравнение по модулю базисных форм ю1, а дифференциальный оператор V действует следующим образом:

\ /1 11 'Лт-41 т-11 Ь т-' I Ь , т-1 Ь I

VГJК = дГик — Гиь ю к — Гьк ю и + ГЖю ь • Объект центропроективной связности Г содержит подобъект Г^, задающий линейную связность в подрасслоении L(Wn). Объект Г охарактеризован [2] с помощью параллельных переносов нормали 2-го рода многообразия W п —подпространства N11-1: А^Н^^Рп. Дадим характеристику подобъекту Ги1к с помощью отображений нормалей Рассмотрим точки ЭД=А1+Я,1А. Подействуем на них оператором V: VNI-Ю N¡+(^1+ ю 1 )А. Совокупность точек N1 инвариантна в

фиксированной точке Ае¥п при условиях ^1+ ю 1 =Яиюи. Продолжая эти урав-

к

нения, получим ^и—Як ю и +ю и -0. Нормаль Nn-1=[NI]—натянута на точки N1,

которые удовлетворяют уравнениям

VNI= ю N1+ юи Ни (Ни=Ац+ХиА+Я1Л) (6)

Определение 1. Центропроективное многообразие W п, на котором задано поле нормалей 2-го рода N^1, назовем полунормализованным многообразием

п

Точки N1; удовлетворяют сравнениям

к

VNIJ- ю NIJ+ ю и N1+ ю и т.е. вместе с точками N1 определяют продолженную нормаль N(^=[N^N1]: Л^п^Р2, К-1сК(п), DimN(n)=n2+n-1, dimN(n)=f (п+3)-1

Введем формы линейной связности О и в уравнения (6):

ю N1+ о ю тСи, (7)

к

где Си=Ш+ Г^ Nк (УСи=ю Си+ ю JNI). Возьмем точки Е^С^Я^ (УБц=ю Би). На них натянута плоскость Е(п)=[Еи]: ^^©б^^^п), Б1тБ(п)=п2-1, &тЕ(п)= у (п+1)-1. Уравнения (7) перепишем в виде:

ю -Я юи )NI+ О и №+ юи Би. (8)

Определение 2. Плоскость Е(п) назовем порожденным линейной связностью дополнением нормали 2-го рода N^1 многообразия Wn) до продолженной нормали ^п). Произвольную плоскость Е , обладающую тем же свойством: Н1-1©Е =N(n), назовем просто дополнением нормали N1-1.

Теорема 1. Задание линейной связности в расслоении L( Wn)) над полунормализованным многообразием W])1) эквивалентно заданию поля дополнений нормалей 2-го рода N>1.

Доказательство. Если даны нормализующий 2-го рода квазитензор Я и объект линейной связности I ик, то с их помощью строятся базисные точки дополнения Е(п): Еи=^+( Г^ +8к Яи^к. Обратно, рассмотрим точки Е и=№+ Ц^^к. Применяя оператор V, найдем

УЕ и=ю Е ц+(VцК + юК +8КюJ)Nк. При выполнении сравнений V ц к + ю к + 8кюJ =0 на точки Е и натянута плоскость Е , т.е. задание поля плоскостей Е эквивалентно заданию поля квазитензора Ц и. Сопоставляя разложения точек Еи и Е и, получим Г^ = цк - 8к Яи

Теорема 2. Линейная связность полунормализованного многообразия Wn) характеризуется внутри продолженной нормали ^п) проекцией смежной нормали 2-го рода ^-^дН^ на исходную нормаль N^1 из центра Б^-порожденного линейной связностью дополнения нормали В символической записи

Гк : И^дЛы Б(п) > Nn-l. Доказательство следует из формулы (8).

3. Подмногообразие. Пусть в многообразии Wn дано подмногообразие Wm. Разобьем значения индексов: 1=(^а); у,к=1,...т; а,Ь,с=т+1,...,п. Дифференциальные уравнения подмногообразия WmcWn запишем в виде:

юа = ла ю\ (9)

Продолжая их, найдем

, ь

ула-л^ль ю ь +ю а=лау ^ = о), (ю)

где дифференциальный оператор V действует так:

ула = ала-л>; + л> ь (а = д

Уравнение (1) для точки АеШт,смещающейся вдоль подмногообразия Wm, принимает вид dA= ю Л+ ю(Б1=Л1+ Л^Ла). Точки В1 удовлетворяют дифференциальным уравнениям

VBi= ю Б,+ Л£i ю aБJ+( ю i +Л£i ю а)Л+ ю (11)

где

Б1J=Л1J+ ЛaJЛa+ Л'Л^ Л£; (ЛaJ+ Л1^ Лab)• (12)

Совокупность точек А,В1 определяет касательное подпространство Рт=[Л,Б1]^Рп к подмногообразию Wm в точке А.

Произведем частичную канонизацию подвижного репера {А, А1, Лa} касательного пространства Рп, помещая точки А1 в касательное подпространство Рт^

Тогда Л£1=0, Б1=Л1 и соотношения (9-12) упрощаются

ю ^0, юa = Л^ю ^

(13)

УБ1= ю Б1+ ю 1Л+ ю JБlJ (Бу=Лу+ ЛaJ Лa)•

Продолжая вторую подсистему системы (13), найдем vлa ■ + ю и -0, где знак

- теперь означает сравнение по модулю базисных форм ю 1 подмногообразия Шт. Точки Ву удовлетворяют сравнениям

VBlj- ю Бу + ю iЛJ+ ю ^1+ 0 к Лк+ 0 у Л,

где 0к = ю+Л^ю0у = ю ^ + Л>a. Совокупность точек А, А1, БlJ определяет соприкасающееся подпространство Р(т) к подмногообразию Wm в точке А, причем DimP(m)=m(m+1), dimP(m)= у ^+3).

4. Прикасающиеся пространства. Из деривационных формул (2) с учетом уравнений (13) подмногообразия Wn следует:

VAlj- ю Лу+ю 1ЛJ+ю j Л1+ ю к Лк+ ю ; Aa+ ю ^ Л, VЛal- ю Лш+ ю aЛJl+ ю a Л1+ ю 1 Лa+ ю ю 1 Ль+ ю ai Л,

VЛla- ю Лla+ ю a ЛlJ+ ю a Л1+ ю 1 Лa+ ю ^ ю 1 Ль+ ю iaЛ• Значит, инвариантны совокупности точек {А, А1, Лa, Лх)}, {Л, Л1, Лa, ЛlJ,Лal}, {Л, Л1, Л^ ЛlJ,Лla},{Л, Л1, Лa, Лу, лш, Лla}, определяющие четыре подпространства, которые обозначим Х^^*^ соответственно. В неголономном случае имеем:

Рп Y

ЛеР,* п X Р2=Р(п),

Р^) У* ^

Рп nP(m)=Pm, Рп+РМ=Х, УпУ*=Х, У+У*=г, DimX=n+m2, DimУ=DimУ*=n(m+1), DimZ=n+m(2n-m). В голономном случае таблица включений упрощается, т.к. X^Y=Y*=Z, причем dimX=n+J2(m+1), dimУ=n+J2(2n-m+1)•

Выясним геометрическую характеристику подпространств Y,Y*, через которые выражаются подпространства X,Z. Предварительно найдем 2-ой дифференциал точки Ае Wn вдоль многообразия Wn:

d2A=d( й A+ ш1 Ai)=(öw 1 +2 йй1 + шJ ш J )Ai+

+(д й + й 2+ й1й I)A+ Ю1йJ Aij е P(n)=[Pn+öPn]. Соприкасающееся пространство P(n) является линейной оболочкой множества пространств Pn +dPn, смежных с касательным пространством Pn вдоль многообразия Wn. Аналогично, для подмногообразия Wm:

d2A=d( ш A+ ш1 Ai)=(d ш1 +2 ш ш1 + шJw1 )Ai+

+(d й + й 2+ й1й1 )A+ ш1йJ Aij е P(m)=[Pm+dPm].

Соприкасающееся подпространство P(m) есть оболочка пространств Pm+dPm, смежных с касательным подпространством Pm вдоль подмногообразия Wm. Для смещений 2-го порядка возможны еще два варианта. Во-первых,

d(dA)=d( ш A+ ш1A1+ шa Aa)=(d ш + ш 2+ ш1ш1+шa ш a )A+ ш1 (шJ B1j+ шa Aa1)+ +(d ш1 + ЮJw 1+2 ш ш1 + ш aш a )A1+(dш a + ш bй Ь + й й a)AaeY=[Pn+dPn].

Подпространство Y является линейной оболочкой пространств Pn +dPn, смежных к касательному пространству Pn вдоль подмногообразия Wm. Во-вторых,

d(dA)=d( ш A+ ш1 A1)=(d ш + ш 2+ ш1ш1 )A+(d ш1 + шJ ш '+2 ш ш1 )A1+

+( й й '+ й 1й a )Aa+ й 1( й JA1J+ й aA1a) eY*=[Pm+dPm].

Подпространство Y* есть оболочка подпространств Pm+öPm, смежных к касательному подпространству Pm вдоль многообразия Wn.

Определение 3. Подпространства X,Y,Y*,Z назовем прикасающимися подпространствами подмногообразия Wm центропроективного многообразия Wn в точке AeWm.

Замечание. 1)Прикасающиеся подпространства подмногообразия дифференцируемого многообразия характеризуются аналогично [4].

5. Ассоциированное расслоение. Структурные уравнения (3,4) с учетом дифференциальных уравнений (13) подмногообразия Wm принимают вид:

Dш 1 = шJ лшJ, (14)

Dш 1=шk лшk +шk Л01k, (15)

Dш 1 =ш 1лшj +шJ л01J, (16)

D ш b =ш bлш С +ш 1 л0 b1 (0 b1 =ш b1 -лaJш b), (17)

Dшa =шa лш 1+шb лшb +шJ лшaJ, (18)

Dшa =wJb лшb +шa лш 1 + ш1 лшa1. (19)

Расслоение центропроективных реперов C(Wn) сократилось до главного расслоения G(Wm), базой которого является подмногообразие Wm, а типовым слоем служит ^(^^-ш^-ш^-членная подгруппа стационарности G^C центрирован-

ного касательного подпространства Рт в касательном пространстве Рп. Расслоение О(Шш) содержит четыре главных подрасслоения над той же базой Шт со следующими структурными уравнениями:

а) (14,15) - расслоение касательных линейных реперов Ьт2(Шт), типовой

слой- линейная группа Ьщ2=ОЬ(т)^О, действующая неэффективно в (т-1)-

мерном проективном пространстве направлений касательного подпространства

Рт,

б) (14,17) - расслоение нормальных линейных реперов Ь _т)2 (Шт), типовой

слой _ линейная фактор-группа Ьп_т)2 =ОЬ(п-т), действующая неэффективно в

фактор-пространстве Рп/Рт, являющимся (п-т-1)-мерным проективным пространством;

в) (14-16) _ расслоение центропроективных реперов Ст(т+1)(Шт), типовой слой _ центропроективная (коаффинная) группа Ст(т+1)=ОЛ*(ш): Ьщ2 ^ОЛ*(т)^О, действующая в касательном подпространстве

Рт;

г) (14,15,17,18) _ расслоение Н(Шт), ассоциированное с соответствующим подмногообразием Ут дифференцируемого многообразия Уп [4], типовой слой _(т2-тп+п2)-членная подгруппа стационарности Н^О подпространства Тт в пространстве Тп.

Групповая связность в главном расслоении О(Шт)со структурными уравнениями (14-19) задается по Лаптеву с помощью форм

о. = ш. _п;кшк, о 1 = ш 1 _п..ш-оь = шЬ _пь ш\

. . . . . (20) о а=ш а _п о а=ш а _п а. ш.,

причем компоненты объекта связности П={ П .к, П.., П Ь., П а., П а1} удовлетворяют сравнениям:

vп 1к +е 1к - 0, УП 1. +Пкшк +е.. - о, упь. +еь. - о, (21)

УП а. _п к.ш к +П ¡.ш Ь +ш а. - о, УП а. +п а. ш. +П ь ш ь -П.1 ш а +ш а. - о.

Объект групповой связности П содержит четыре подобъекта, задающие связности в указанных подрасслоениях: объекты касательной и нормальной линейных связностей П .к и П Ь., объект коаффинной (центропроективной) связности { П .к, П..} и подобъект групповой связности { П .к, П П а.} для ассоциированного подрасслоения Н(Шт).

Определение 4. Групповую связность ассоциированного расслоения О(Шт) назовем О-связностью, а связность подрасслоениия Н(Шт) _ Н-связностью.

Замечания. 2) Объект П можно получить из объекта Г, ограничивая сравнения (5) на подмногообразие Шт, расписывая их подробно для существенных на Шт компонент Г.к, Г.., Гьа., Га., Га1 и Г. ,производя отождествление Г. = Ла. и переобозначая коренную букву остальных компонент с Г на П.

3) Расслоение, ассоциированное с m-поверхностью Xm проективного n-пространства, рассматриваемой как многообразие касательных плоскостей, есть частный случай расслоения G(Wm), а G-связность - непосредственное обобщение связности в расслоении, ассоциированном с поверхностью Xm[5].

6. Классические оснащения. Распространим классические оснащения поверхности Xm проективного n-пространства на подмногообразие WmcWn.

Определение 5. Оснащением Картана [6] подмногообразия Wm назовем присоединение к каждой его точке плоскости Cn-m-i:Pm©Cn-m-i=Pn..

Плоскость Cn-m-i зададим точками Ca=Aa+ Я'аЛ;+ЯаЛ. Применим к ним оператор V:

VCa - fflCa + (VA^ + © ^)Ai + (VA а + К© i + © a)A, откуда получим уравнения

VA^ + © a = A>j, (22)

VA. a © ' + © a = A ш ©(23)

Продолжая их, найдем

VA'aj - A'b0bj + Aka0kj + © ¡y- 0, (24)

VA ai - A b 0 b' + Aj 0 ji +Ajai ©j + © ш - 0. (25)

Определение 6. Нормализацией Нордена [7] подмногообразия Wm назовем поле двух плоскостей на нем, а именно, нормали 1-го рода Nn-m: Pm^Nn-m=A, Pm+Nn-m=Pn и нормали 2-го рода Nm-i:AgNm-icPm. Поле нормалей 1-го(2-го) рода называется нормализацией 1-го(2-го) рода.

Подобъект Aa оснащающего по Картану квазитензора { Aa, Aa } задает нормаль 1-го рода Nn-m=[A,Aa+ Aia Ai]. Плоскость Nm-i определим точками Ni=Ai+ A i A. Применим к ним оператор V: VNi-© Ni+(VA i + © i )A, откуда

VA i + © i = A y©j. (26)

Продолжая эти уравнения, найдем

VA j-A k 0 k +0 0. ^ (27)

О Л X О Л Л Л T/V >f Л Л ®® Л Л • • Л ** -* /«w/V ХЛ.1 \ ФФ/V ФФ Л Г ГУ гъ>/V/V Г X \ \ м TT 7" /«w /V/V ФФ Л Л X ~ /V .. Г ГУ rv \ ФФ /V

Oaioaia 3. lioiaee5aoey i-ai oiaa нашанаоафеу Wm naiaeo 1-пауфнпои е

eanäoäeüiie е iiöiaeüiie eeiäeiül МуфШоу!. Äiiä^äöäeünöäi aääOny oiöloeie

п ■=Aiaj+AibПbj-AkaПkj, (28)

löiaäöyälie П lilitop niioii0äiee (2i,22,24).

О Л X О Л Л Л Т/\ >f Л Л ®® Л Л ф Ф Л Ф Ф /«w/V /V ®. Л «®/V •• Л Г ГУ гъ>/V/V Г X \ ЛФФ ТТТ ГУ ГУ .. \ \ /V/V >/V/V>AAA1 ГУ .. Г ГУ гы \ ФФ /V

Oaioaia 4. lioiaee5aoey 2-ai oiaa iiaiiiaiiaoa5ey Wm naiaeo eiaooeiiop nay5iinoü е

eanaoäeüiie eeiäeiie nay9iinoe. Äiiä^äöäeünöäi neäaoäo e? oiöloeü

п ij = A ij+A k п kj, (29)

löiaäöyälie n üliuüp niioii0äiee (2i,26,27).

О Л X О Л Л Ш ТгыГ\\ОГ \ О ГЛ > X > \ Г \ фф/V фф Л Г ГУ rsjfy/y Г X \ Лфф ТТТ ГУ ГУ .. \ \ гы /V ФФ Г ГУ гы \ ФФ /V /V/V Л /V /V Л Г Г ГУ Г Л

Oaioaia 5. Imauäieä Eaooaia iialiiaiiaoa5ey Wm naiaeo G-nay5iinoü e eiaooeiiie e

iiolaeüiie eeiäe^ My5imoyl.

А1ёададаёйпдт аиоаёаао ёф 01516ёй (28) ё пёаао^иаё

Па. =*.а. ЬПЬ -X.П..,

проверяемой с помощью соотношений (21-23,25,28).

Следствие (Т.4,Т.5). Композиционное оснащение [8] подмногообразия Wm (оснащение Картана и нормализация 2-го рода) сводит G-связность к касательной и нормальной линейным связностям.

Определение 7. Если О-связность порождена по формулам (28-30) двумя линейными связностями с помощью композиционного оснащения, задаваемого

полем квазитензора Я={ Xа, X.}, то назовем ее композиционной О-связностью

или СО-связностью.

Вводя в уравнения (22,23,26) формы О-связности (20), получим

ДХ^ = Х^. шАХ а = X а. ш1, АХ. = X.. ш3, где ковариантные дифференциалы и

ковариантные производные компонент композиционно оснащающего квазитензора X относительно О-связности имеют вид:

Теорема 6. Поле композиционно оснащающего квазитензора X абсолютно параллельно в композиционной О-связности. Иначе говоря, плоскость Картана Сп-т-1 и нормаль 2-го рода ^-1, соответствующие любой точке АеШт, переносятся параллельно относительно СО-связности вдоль произвольной кривой подмногообразия Шт,проходящей через точку А.

Замечания. 4) Нормализация подмногообразия Шт сводит Н-связность и ко-аффинную связность к линейным подсвязностям, но всю О-связность свести с ее помощью к подсвязностям не удаеться. Это позволяет сделать лишь более сильное композиционное оснащение. Нормализация Нордена поверхности Хт дает возможность не только свести соответствующую связность к линейным под-связностям, но и задать последние [5,9,10].

5) На поверхности Хт компоненты композиционно оснащающего квазитензора X удовлетворяют тем же уравнениям (22,23,26), их продолжения (24,25,27) имеют более простой вид, формулы (28-30) сохраняются [9,10]. Ковариантный дифференциал и ковариантные производные квазитензора X имеют тот же вид, поэтому вдоль линии подмногообразия Шт можно осуществлять разнообразные параллельные перенесения [9,11,12].

7. Линейные связности как отображения. Нормаль 2-го рода N^1 натянута на точки N1, удовлетворяющие дифференциальным уравнениям

У^ = ш^ + ш .N¿1 (Nij=Bij+XijA+XiAj)

(31)

Точки N.. удовлетворяют сравнениямУ^. - ш^. +шзNi + ек^ и определяют вместе с точками N1 продолженную нормаль 2-го рода подмногообразия Шт: ^-1сЫ(т), ЛíN(m)^X, DimN(m)=m2+m-1, ё1тК(ш)=^(т+3)-1.

Введем в уравнения (31) формы касательной линейной связности о.:

dNl=шNl+ о iNз+юiClз, (32)

где Cij=Nij+ П kNk. Точки Су удовлетворяют сравнениям УСlз-шClз+шзNl. Возьмем

точки Eij=Cij+XjNi (УElз-шElз).Они задают плоскость E(m)=[Eij]_порожденное касательной линейной связностью дополнение нормали 2-го рода ^-1 до продолженной нормали ^ш): Nm-l©E(m)=N(m),DimE(m)=m2-1, dimE(m)=y (т+1)-1.

Уравнения (32) запишем в виде:

dNi=(ш-Xjю')Ni+ о 1 Nз+юiElз.

Теорема 7. Касательная линейная связность эквивалентна заданию поля дополнений E(m) нормалей 2-го рода ^-1 и характеризуется внутри прдолженной нормали ^ш) с помощью центральной проекции

П .к: ———^ Nm-l.

Плоскость Картана Cn-m-l натянута на точки Ca, которые удовлетворяют дифференциальным уравнениям

УCa=шCa+Ш1Ca1, (33)

где Cai=Aai+ X3ai Л.+ X3a Bji+XaiA+XaAi. Эти точки удовлетворяют сравнениям

УCai-шCai+ШiCa+ е^ т.е. определяется продолженная плоскость Картана С^шА]: DimC=dimC=(m+1)(n-m)-1.

Введем формы нормальной линейной связности оаЬ в уравнения (33):

dCa=шCa+ оЬ Cь+ШiBai, (34)

где Вш^^ П ЬiCь (УВш-шВш+ш^а). Возьмем точки Kai=Bai+XiCa (УКа1-шКа1), задающие порожденное нормальной связностью дополнение плоскости Картана ^-т-! до ее продолжения С- пространство K=[Kai]:Cn-m-lФK=C,DimK=dimK=m(n-т)-1. Уравнения (34) запишем в виде:

dCa=(ш-XlШi)Ca+ оЬ а+ш^аь

Теорема 8. Нормальная линейная связность эквивалентна заданию поля дополнений К плоскостей Картана и характеризуется внутри продолженной плоскости Картана С центральной проекцией

П ь. : Cn-m-1+dCn-m-1 ^ Cn-m-1.

Замечание. 6)Плоскости E(m) и К, характеризующие касательную и нормальную связности, сами определяются с помощью объектов П .к и П Ь. соответственно. Значит, для окончательной интерпретации линейных связностей объек-

ты Пjk u Пbi нужно охватить внутренним образом или с помощью других оснащений.

8. Новые оснащения. Рассмотрим точки Fij=Bij+ | kAk+^ijA. Применим оператор V:

VFij=raFij+(V | kj + 5 k ®j+ 5 k Ю1+ 0 k )Ak+(V|j+ | k rak+ 0 ij )A. Если выполняются сравнения

V| k + 5 k ®j+ 5 k 0 k =0, (35)

V|ij+ | krak+ 0 ij =0, (36)

то задано дополнение касательного подпространства Pm до соприкасающегося подпространства P(m) - плоскость F=[Fij]: Pm©F=P(m), DimF=m2-1, dlmF=f (m+1)-1.

Теорема 9. F-оснащение полунормализованного подмногообразия Wm эквивалентно заданию коаффинной связности. Доказательство следует из формул

Пk = |jj - 5kXj - 5kXi, Пij = |ij - X,Xj, (37)

проверяемых с помощью соотношений (21,26,35,36).

F-оснащение подмногообразия Wm задается полем объекта {|k, | ¿j}, содержащим подобъект | k, который определяет дополнение нормали 2-го рода Nm-1

до соприкасающегося подпостранства P(m) - плоскость F =[Fij,A]: Nm-1© F =P(m), Dim F =m2, dim F = ^(m+1).

Следствие (Т.9). F -оснащение полунормализованного подмногообразия

W0 ООО

m эквивалентно заданию касательной линейной связности. Возьмем точки Lai Aai+1 abi Ab и применим оператор V: VLai=®Lai+ ю JB, + (5 ¿ю a + ю Jai + | bi® b)Aj+( V| b +5 j +0 b1)Ab+( | ^ю b + ю ai)A. Если справедливы сравнения

V| b +5 ью i +0 b = 0, (38)

то определяется плоскость L=[Lai, Bij, Ai, A]:

P(m)^L^Y, DimL=m(n+1), dlmL=f (2n-m+3).

Теорема 10. L-оснащение полунормализованного подмногообразия wI индуцирует нормальную линейную связность. Доказательство вытекает из формулы

Пbi = 1 bi -5bx¿, (39) проверяемой с помощью соотношений (21,26,38).

Теорема 11. Подпространства E(m) u F совпадают тогда и только тогда, когда коаффинная связность полунормализованного подмногообразия Wm0

eiäööeöiäaia F-iñíáuáíeái e ñaáüáíá e eáñáoáeüíié eeíáéíié пауфйпое ñ íiiiuüp i'öiäieffiäiey íi6iáee5á0ee 2-ai бiäá.

'* /У /У У > > O .... гы У ,Л ТЛ > /V О Г гы У /V /V |Л.м>)(Лм > X У Г гы У /V 1—" / \ 1—\ /V /V \/\ Г.. Л •• /V rv .. Г . Л О

Aieagaoaeunoai. BáäáiñOäl iiäiöinoöainoä E(m)=F äi5iiffiü ee0ü ä ñeo-áá äшíëíáíëy öáäáíñoä Eij=Fij, еф eioiöüö ñeáäOáo

^ k = П k + 5 k X j + 5 k X1' ^ ij = X ij + X1X j + П ijX k. Yoi óiOióeü (37) löe óñeiäëyö (29).

Л .. /V

О Л X О Л Л -4 T/v ■..■XAiV Л X У Г ^ У /V /V 1—> ..о Л Л /V . . X /\ \ X \ Г \ /\ О Т \ A/V .. \ Л \ Ли и /\/\ Л Лм Л /\/\ м Л

Oaioaia 12. lläíölñ0öáíñ0äl Е eáseo ä íölñ0öáíñ0äá L olaäá e oieüei olaäá' elaäá

rr< ФФФФАЛ ФФ /«w /\ .. rr< /«w Л ФФ ЛАФФ Г ФФ> ХГ<Г<УГУ X Л О ГУ ОЛ >Ли Г ГГ< ХЛЛ..Л /К /К У Г ГГ< /«w/V >Л»\ ГГ< Л1ЛЛ Г X У У .. TT тП

íiOiáeüíáy ñäy5ílñ0ü ëíäOöëöläáíá L-iñíáuáíeái íleoílöiáeë5läáíílal иäшallaöá5ëy Wm.

'л /у /у у у у о .... гы у тл > ..л оалфф \ . о тг ,, х о г х у аол/\/\>фф г

Aieagaoaeunoai. Bá5elЖáiëy oi-áe Kai í0áia0á5Oái e äëäo:

Kai=Lai+ Xai Aj+ Aj Bji+AaiA+AaAi+( Пb +5bAi - ^b )Ab+( Пb + 5bAi)(A,jbAj + AbA).

/V \ ТГ X Л .И \ /V .. Ф iA ГУ \ ъ Г Г. \ \ /V . /\ \ \ ..Х/К^УХУГ^У/КУ X •• л •• ФФХ> г ~ ФФ/V /V Л ФФ / /~\ \

-eë Kai 0á5eáaápoñy íi aá5ëñíüi oi-eái íölñ0öáíñ0äá L eë0ü íöë oñeläëyö (39). Oiaäá EcL.

Библиографический список

1. Шевченко Ю.И. Связности голономных и неголономных дифференцируемых многообразий // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1994. Вып.25.С. 110-121.

2. Шевченко Ю.И. Связности голономных и неголономных центропроектив-ных многообразий // Там же, 1996. Вып.27. С.122-135.

3. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Проблемы геометрии. М.,1979. Т.9. 248с.

4. Шевченко Ю.И. Оснащение подмногообразий голономного и неголоном-ного дифференцируемых многообразий // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1995. Вып.26.С. 113-126.

5. Шевченко Ю.И. Об оснащениях многомерной поверхности проективного пространства // Там же, 1977. Вып.8. С.135-150.

6. Картан Э. Пространства проективной связности // Тр.семин. по вект. и тенз. анализу. М.;Л.,1937. Вып.4. С.160-173.

7. Норден А.П. Пространства аффинной связности. М.,1976. 432с.

8. Шевченко Ю.И. Структура оснащения многообразия линейных фигур // Тез.докл. VI Прибалт. геом. конф. Таллин,1984. С. 137-138.

9. Шевченко Ю.И. Параллельный перенос фигуры в линейной комбинации связности // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1987. Вып. 18.С. 115-120.

10. Шевченко Ю.И. Об основной задаче проективно-дифференциальной геометрии поверхности // Там же, 1989. Вып.20. С.122-128.

11. Шевченко Ю.И. Геометрическая характеристика некоторых индуцированных связностей поверхности // Там же, 1981. Вып.12. С.126-130.

12. Полякова К.В. Параллельные перенесения направлений вдоль поверхности проективного пространства // Там же, 1996. Вып.27. С.63-70.

Yu. I. S h e v c h e n k o

EQUIPMENTS OF SUBMANIFOLDS OF HOLONOMIC AND NONHOLONOMIC CENTROPROJECTIVE MANIFOLDS

A centroprojective manifold is understood as the result of a projectivisation of a differentiate manifold, by which tangent linear spaces of all orders turn into centroprojective spaces of the same dimensions. In this case differ holonomic and nonho-lonomic centroprojective manifolds, obtained from the corresponding differentiable manifolds and differing by dimensions of tangent spaces of higher than the first order.

A submanifold of the centroprojective manifold and a principal fibering associated with it is considered. The fibering contains, in particular, subfibering of tangent and normal linear frames. Using Laptev's method a group-connection is given in the associated fibering, including tangent and normal linear connections. Cartan's equipment and Norden's normalization of a surface of a projective space are spreading on the submanifold.

It is proved, that a composition equipment (i.e. Cartan's equipment and Norden's second genus normalization) of a submanifold reduces group connection, called in this case composite, to tangent and normal connections. It is shown, that Cartan's plane and a normal of the second genus are absolutely parallel in the composition connection. Linear connections are characterized geometrically with the help of central projections of Cartan's planes and normals of the second genus. New equipments are introduced, and explained their role and mutual relations.

УДК 514.75

ВВЕДЕНИЕ АФФИННЫХ СВЯЗНОСТЕЙ НА ГИПЕРПОЛОСНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА

С.Н. Юрьева

(Калининградский государственный университет)

Работа является продолжением исследований теории регулярных гиперполосных распределений аффинного пространства [1], [2], которые названы нами

л

Н-распределениями [2]. Вводятся обобщённые связности Г и Г соответственно на оснащающем Н-распределении (§1) и базисном М-распределении (§2), индуцированные соответственно полями инвариантных нормалей 1-го рода Н-распределения и М-распределения. Приведены охваты объектов кривизны и

л л1

кручения связностей Г и Г. С помощью тензоров деформаций {у^ }, {уjK },