ОБОБЩЕНИЕ СВЯЗНОСТИ ЛЕВИ-ЧИВИТАНА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

О.М. Омельян

УДК 514.75

О.М. Омельян

(Калининградский государственный университет)

ОБОБЩЕНИЕ СВЯЗНОСТИ ЛЕВИ-ЧИВИТА НА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ

В п-мерном проективном пространстве рассматривается распределение т-мерных плоскостей с заданным метрическим тензором. На распределении исследуется

объект линейной связности {Г'к, Г'а}. Показано, что

аффинная связность с подобъектом Г'к может являться

обобщенной связностью Леви-Чивита в случае голо-номного распределения и в случае полунормализованного 1-го рода распределения с соответствующей адаптацией репера. На неголономном распределении под-

связность с подобъектом Г|к порождается полем метрического тензора и объектом кручения. Подобъект Г|а

также охвачен полем метрического тензора лишь в адаптированном репере. Установлено принципиальное различие понятий обобщенной связности Леви-Чивита и индуцированной связности.

В проективном пространстве Рп исследуем распределение т-мерных плоскостей Рт с заданным метрическим тензором g. На распределении плоскостей рассмотрим [1] линейную связность с объектом {Г-к, Г-а}, компоненты которого

удовлетворяют сравнениям по модулю базисных форм юк (К= 17П):

А^к +ю5к = 0 А^а-Г>к = 0 (и,к=1,т; а,Ь,с= т + 1,п); (1)

105

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

= Л>'а -5'юк -5'кю,, ю'а =ЛЬаюЬ -5'юа. (2)

Эта связность содержит аффинную связность с подобъектом Г,к , обобщающую классическую аффинную связность без

кручения на поверхности. Возникает вопрос: может ли линейная связность быть связностью Леви-Чивита, т. е. существует ли охват компонент объекта линейной связности с помощью метрического тензора g и его пфаффовых производных? Следует отметить, что компоненты ^ дважды ковариантного

тензора g удовлетворяют условиям

Д§у= 8цк®к; (3)

8ц= вл, §цк = gjiк, ^е^Сёу) * 0. (4)

Продолжая уравнения (3), получим

- - gljю!k = 0 - gIjkюk - йк^а - ёк]Юка = 0. (5)

1. Пусть компоненты объекта аффинной связности симметричны, т. е. кручение =Г^к] = 0. В этом случае, исходя

из сравнений (11), естественно предположить, что формы ю^к

симметричны по нижним индексам, т. е. Л^-ц = 0, а значит,

распределение является голономным либо ®а = 0. Процикли-руем сравнения (51) для пфаффовых производных :

Agjkl - - §1кю11 = 0 Agklj - gklю1j - = 0 (6)

В систему (51), (6) подставим выражения трехиндексных форм из (11) и, учитывая симметрию метрического тензора, вычтем последнее сравнение из суммы двух первых:

А^к + gjki -+ 8аСГ|к -Г!,) + ЕлСГк +Г1.) + §к1СГ1 -ф] - 0. Следовательно, можно положить

в^к + gjki - вкц + gilСгjk -Гк)) + влСГк + Г^)+gklСгji -Г1) = 0. (7) 106

О.М. Омельян

Рассмотрим голономное распределение БП. С учетом симметрии Г|к = Гу получаем

§чк + gjki - 8ки + 2§лГ['к = 0 (8)

откуда gJlГilk = ^ку - giJk - gJki). Меняя индексы соответствующим образом и учитывая, что у метрического тензора gij

существует обратный тензор gij, связанный с ним следующим соотношением:

gijgjk=5^ (9)

получаем

^ = -gjlk -glkj). (10)

Замечание 1. При выводе формулы (10) мы использовали условие симметрии форм ю^к, а не условие голономности

распределения = 0, из которого автоматически вытекает

симметрия форм ю^к.

Формулу (10) можно получить при адаптации репера нормализации 1-го рода неголономного распределения N БП. Для этого запишем деривационную формулу для точек Аа:

ала =ела +юаА+<л1 +®Ж. (11)

Произведем оснащение распределения N8^: к каждой точке А присоединим плоскость дополнительной размерности Рп_т -нормаль 1 -го рода. Получим полунормализованное 1 -го рода распределение 1NSn. Поместим точки Аа в плоскость Рп-т. Тогда из уравнений (11) видно, что если ®а = 0, то dЛa =юаА + (...)ьАь, т.е. сравнения ®а = 0 являются условиями

107

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

относительной инвариантности плоскости Рп_т = [А,А]. Выражения для трехиндексных форм (2) в репере, адаптированном нормализации 1 -го рода, принимают вид:

Ш|к =-5Н -5кш j, Ца =-55Юа. (12)

Тогда, обращаясь к системе (51), (6) и используя равенства ш^к = получим сравнения

АСgijk+gjki- gkij) - 2gjlш!k-

Подставляя в эти сравнения выражения для трехиндексных форм из (11), получаем равенство (8), откуда следует формула (10). _

Теорема 1. Аффинная связность с подобъектом ГД, компоненты которого определяются по формуле (10), является обобщенной связностью Леви-Чивита на голономном распределении БЩ и на полунормализованном 1-го рода неголономном распределении в адаптированном репере.

Замечание 2. Объект Г|к охвачен с помощью метрического

тензора g и его пфаффовых производных по формуле (10), совпадающей с формулой, определяющей связность Ле-ви-Чивита на поверхности. Эта связность впервые была получена Леви-Чивита в работе [2].

2. Предположим, что компоненты объекта линейной под-связности несимметричны, т. е. кручение 8={ Б^} ^ 0. Так как

любую двухиндексную величину можно представить в виде суммы симметричной и антисимметричной частей, то

Гк =Г,к)+I (13)

Подставляя равенства (13) в (7), получим

ГС|к) = - gj1k - g!kj - 2gjms;nk - 2gkmSm). (14)

108

О.М. Омельян

Используя формулу (13), имеем

Г]к = ^ё11 (ёка1"3 "ёщ "-2ёктЗ + 8'к. (15)

Теорема 2. На неголономном распределении аффинная связность с подобъектом Гук, компоненты которого

определяются формулой (15), порождается полем метрического тензора g и объектом кручения Б.

Замечание 3. Из формулы (15) при условии S=0 следует формула (10).

3. Обратимся теперь к подобъекту Г^. В адаптированном нормализации 1-го рода репере сравнения (12) упрощаются

дт;а+®1 а - о. (16)

Сравнения (52) для пфаффовых производных ёу а метрического тензора принимают вид:

Дёу а - ё1к< - ёк«И - (17)

Свернем сравнение (17) с тензором {- 1ёу}, в результате по-

лучим

1 2

- 1 Д(ёуаё* ) + «ка = 0 .

Так как ДГ^ --ю|ка, то Д(Гка + 1^аёч) - 0. Следовательно,

можно положить Г/а =- 1 ёл^ё3 к. Введем обозначение Га = Гу1а,

2 3

тогда с учетом (122, 16) Г|а =—81Г, т. е.

з т 3

Г^ 81ё1каё1к. (18)

2т

109

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

Теорема 3. На полунормализованном 1-го рода распределении в адаптированном репере существует порожденная полем метрического тензора линейная подсвязность с подобъектом Г-а, компоненты которого определяются по формуле (18).

4. При исследовании распределения плоскостей обнаружилось два способа определения касательной линейной связности с объектом {Г-к, Г-а}: 1) индуцирование связности

оснащающим квазитензором X [3]; 2) порождение связности метрическим тензором g [4]. Возникает очевидный вопрос: существует ли связь между этими двумя способами определения связности? Запишем выражения [3] объекта линейной связности Г с помощью X:

Гк =|а -5| Хк -5к Х|, Га =ЛЬ аХ'ь -5| X а +5' Хк Х^ + X,, (19)

причем сравнения для компонент оснащающего квазитензора X имеют вид:

А^ + ш = 0, А^ + ш' = 0, А^ + X' ш + ш = 0. (20)

Для того чтобы найти зависимость между g и X, мы в соответствии с условиями пунктов 1 - 3 данной статьи приравняем правые части выражений охватов для объекта Г. Во-первых, приравняем (191) и (10):

25С| Xк) = Л* kX1a - 1 -^ 1к -glkj ). (21)

Свернем выражения (21) по индексам { и _):

Xk = - - - g!kl)). (22)

т +1 2

Утверждение 1. Если индуцированная аффинная связность Г|к совпадает с обобщенной связностью Леви-Чивита Г|к

голономного распределения БЩ и полунормализованного 1-го

110

О.М. Омельян

рода распределения ^Бё , то оснащающий подквазитензор Хк является функцией (22), т. е. нормализация 1-го рода распределений БП и порождает нормализацию 2-го рода.

Во-вторых, приравняем (191) и (15):

28(з^к) =ла^ - 1ё11(ёкз 1 -ёз1к -ё1кз - 2ёзт§Гк - 2ёктБт) - 3 (23) Сворачивая выражения (23) по индексам { и _), получаем

Як =-Ц-[Ла1кА1а - 1ё11(ёк11 - ё11к - ё1к1 - 2ё1т81к - 2ёкт§т) - 81к (24)

т +1 2

Утверждение 2. Если индуцированная аффинная связность Г|к совпадает со связностью Г^, порождаемой полем метрического тензора и объектом кручения неголономного распределения , то оснащающий подквазитензор Як является функцией (24), т. е. нормализация 1-го рода и объект кручения распределения N8^ порождают нормализацию 2-го рода.

И наконец, приравняем (192) и (18); получим (с учетом сравнений (2О2) и полунормализации 1 -го рода), что

S^ S'glkaglk. (25)

Свернем (25) по i и j:

^a = "Z" glkaglk* (26)

2m

Утверждение 3. Если индуцированная линейная подсвяз-ность rja совпадает с обобщенной связностью Леви-Чивита

Г|а полунормализованного распределения "NS^, то оснащающий подквазитензор Ла является функцией (26), т. е. метрика распределения "NSg порождает оснащение Картана, подчиненное нормализации 1-го рода.

111

Дифференциальная геометрия многообразий фигур

Вывод. В общем случае формулы (22, 24, 26) не имеют места, поэтому определение линейной связности с объектом {rjk, rja} на распределении NSn с помощью оснащающего

квазитензора X либо с помощью метрического тензора g есть два разных способа задания связности. В первом случае говорят об индуцированной связности, а во втором случае будем говорить об обобщенной связности Леви-Чивита.

Список литературы

1. Омельян О.М. Понятия распределенной и нераспределенной линейных связностей // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2003. Вып. 34. C. 103 - 110.

2. Levi-Civita T. Nozione di parallelismo in una varieta qualunque e conseguente specificazione geometrica della curvatura Riemanniana // Rend. Circolo math. Palermo, 1917. V. 42. P. 173 - 205.

3. Омельян О.М. Четыре индуцированных связности на распределении плоскостей // Междунар. конф. по геометрии и анализу. Пенза, 2003. С. 63 - 69.

4. Омельян О.М. Понятие связности Леви-Чивита, обобщенное на распределение плоскостей // Тр. мат. центра им. Н.И. Лобачевского. Казань, 2003. Т. 21. С. 179 - 180.

О. Omelyan

THE GENERALIZATION OF CONNECTION OF LEVI-CHIVITA ON THE DISTRIBUTION OF PLANES

In n-dimensional projective space the distribution of m-planes with the given metric tensor is investigated. On the distribution the object of linear connection (r^,rja} is investigated. It is shown,

that affine connection with the subobject rjk can be the generalized

connection of Levi-Chivita in case of the holonomic distribution and in a case the seminormal of 1 -st sort of distribution with the appropriate adaptation of a frame. On the nonholonomic distribution the

112

О.М. Омельян

subconnection with the subobject rjk is generated by a field of a metric tensor and the object of a torsion. The subobject Fj1a is enveloped by a field of a metric tensor only in the adapted frame. The basic distinction of concepts of the generalized connection of Le-vi-Chivita and the induced connection is established.

УДК 514.76

В.И. Паньженский

(Пензенский государственный педагогический университет)

О ДВИЖЕНИЯХ В КАСАТЕЛЬНОМ РАССЛОЕНИИ ОБОБЩЕННОГО ФИНСЛЕРОВА ПРОСТРАНСТВА

На касательном расслоении обобщенного финслерова пространства естественным образом определены две ри-мановых метрики: метрика главной диагонали и метрика второй диагонали. В случае, когда обобщенное финсле-рово пространство сводится к риманову, эти метрики совпадают с метрикой Сасаки и метрикой полного лифта соответственно. Доказано, что размерность алгебры Ли инфинитезимальных движений, сохраняющих слои, не превосходит пСп +1) - в случае метрики главной диагонали и 3пСп +1) / 2 - в случае метрики второй диагонали, где п - размерность базисного многообразия. Если движения состоят из продолженных преобразований базисного многообразия, то размерность алгебры не превосходит п{п +1)/2. Указаны все римановы метрики, для которых алгебра Ли инфинитезимальных движений имеет размерность п{п +1) / 2.

Пусть М - гладкое п-мерное многообразие, ТМ - касательное расслоение над М, С X) - локальные координаты на М, СхЛ) = Сх', хп+' = у') - естественные локальные координаты на

113