Extremal problems of interpolation type and optimal reconstruction of linear operators Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.518.8

ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОГО ТИПА И ОПТИМАЛЬНОЕ ВОССТАНОВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ

© К. Ю. Осипенко

Ключевые слова: оптимальное восстановление линейных операторов; интерполяция; экстремальные задачи; уравнение теплопроводности.

Рассмотрены методы оптимального восстановления линейных операторов. Предложенная схема применяется к решению уравнения теплопроводности.

1. Восстановление линейных функционалов

Одними из первых задач восстановления были задачи интерполяции функции. Пусть известны значения некоторой функции х(-) в системе то чек Ь\,... ,Ьп х(Ь\),..., х(Ьп). Как “восстановить” значение функции в некоторой точке т?

Нам хотелось бы по информации (х(Ьх),... ,х(Ьп)) указать число, которое можно было бы принять за приближенное значение х(т). Это можно сделать различными способами. Например, соединить точки ,х(Ь^)) ломаной или построить многочлен степени п — 1, проходящий через эти точки (многочлен Лагранжа). Наконец, можно строить полиномиальные сплайны различных степеней, проходящие через те же точки.

Какой из всех этих методов лучше?

Вместо вычисления значения х(т) можно рассматривать вычисление интеграла от этой функции

[ь

/ х(Ь) м

J а

по той же информации. Здесь тоже большое количество разнообразных методов: квадратурные формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона и т.д.

Такая же ситуация с численными решениями дифференциальных уравнений и многих других задач вычислительной математики.

В связи с этим возникает много вопросов.

Как разобраться во всем этом множестве методов?

Как их сравнивать и можно ли выбрать лучший?

Как строить новые хорошие методы?

Оценка эффективности того или иного метода требует некоторой дополнительной, априорной информации. Например, если оценивается погрешность интерполяции или вычисления интеграла, то часто в качестве такой априорной информации участвуют оценки максимума модуля какой-либо из производной функции х(-).

Одним из самых распространенных подходов к рассмотренным задачам является следующий: предлагается некоторый метод, а затем исследуется его эффективность с помощью оценки его погрешности при некоторых условиях на функции, с которыми этот метод работает (например, гладкость и ограниченность соответствующих производных).

А.Н. Колмогоровым был инициирован другой подход к подобным задачам.

2. Колмогоровский подход к задачам восстановления

Одной из первых задач восстановления, на которой хорошо видна колмогоровская идея, явилась задача о построении наилучшей (или оптимальной) квадратурной формулы.

Пусть дан некоторый класс функций Ш. Требуется вычислить

г ь

/ х(Ь) М,

а

зная значения х(Ьх),... ,х(Ьп)-

В качестве методов восстановления значения интеграла рассматриваются всевозможные квадратурные формулы

/Ъ n

x(t) dt Е aj x(tj).

j=i

Ставится задача о нахождении наилучшей квадратурной формулы, т.е. формулы, на которой достигалась бы нижняя грань

ai,...,an€R SUp x(-)eW

t-Ъ n

/ x(t) dt — ^ ajx(tj) Ja j=

Такого рода постановки впервые стали рассматриваться в работах A. Sard (American J. of Math., 1949) и С.М. Никольского (Успехи матем. наук, 1950).

В 1965 г. С.А. Смоляком была поставлена общая задача оптимального восстановления линейного функционала.

3. Постановка С.А. Смоляка

Пусть X — линейное пространство, W С X, L,l\,... ,ln — линейные функционалы на X. Требуется восстановить значения Lx, x Е W, по значениям Ix = (l\x,..., lnx).

В качестве методов восстановления рассматриваются всевозможные функции

m: Rn ^ R.

Погрешностью данного метода m называется величина

e(L, W, I, m) = sup \Lx — m(Ix)\. xew

Погрешностью оптимального восстановления называется величина

E(L,W,I)= inf e(L, W, I, m).

m:

W

то среди оптимальных методов имеется линейный, т.е. имеющий вид

n

m (Ix) = \^ aj ljx

jj

j=i

E(L,W,I) = sup \Lx\. xew Ix=0

4. Оптимальное восстановление линейных операторов

Сформулируем общую задачу об оптимальном восстановлении линейного оператора. Пусть X — линейное пространство, У^ — линейные нормированные пространства, Т: X ^ Z, I: X ^ У

— линейные операторы. Требуется восстановить значения оператора Т на множестве Ш С X по неточной информации о значениях 1х.

Считается, что для каждого х Е Ш нам известен у Е У такой, что \\1х — у\\у ^ 6.

В качестве методов восстановления рассматриваются произвольные отображения

т: У Z.

T

X D W ----------------- Z

I \ / m

4 Y х

m

e(T,W,I,5,m) = sup \\Tx — m(y)\\z.

xEW, y£Y \\Ix-y\\Y ^

Погрешностью оптимального восстановления называется величина

E(T, W, 1,5) = inf e(T, W, 1,5, m).

m: Y ^Z

W

E(T, W, 1,5) ^ sup \\Tx\\z.

xeW ||Ix|| y ^

W

W = { x e X : ||Tqx\zo < 5o }, где Zo — линейное пространство, a To : X — Zo — некоторый линейный оператор. Поэтому задачи

ВИДс1

\\Tx\\z — max, \\Tox\\z0 ^ 5o, \\Ix\\y ^ 5, x e X,

играют важную роль в задачах восстановления.

T To I

висящим от некоторого параметра. В этом случае предыдущая экстремальная задача принимает

ВИД

\\Trx\\ — max, \\Trix\\ ^ 5i, \\Tr2x\\ ^ 52, x e X.

Такого рода задачи называются интерполяционными: известны оценки норм при двух значениях параметра и надо оценить норму при некотором промежуточном значении параметра.

5. Теорема Адамара о трех кругах и неравенства для производных

Пусть f (z) — аналитическая функция в кольце

ri ^ \z\ ^ Г2.

Положим

M(r) = max \f (z)\.

\z\=r

Теорема 2. (Адамар) log M (r) — выпуклая функция относительно log r.

Это утверждение можно сформулировать и в следующем виде: при всех ri < r < r2 имеет место неравенство

log r<2/r log r/ri

M(r) ^ M(ri) log r2/ri M(r2) log r2/ri.

Теорема Адамара о трех кругах дает оценку значения следующей экстремальной задачи

M(r) — max, M(r1) ^ 51, M(r2) ^ 52.

Точное решение ее (оно дается в терминах эллиптических функций) было найдено Р. Робинсоном в 1943.

В 1913 г. Э. Ландау рассмотрел подобную задачу. Вместо кругов он рассматривал производные. Для функций x() e (R+) с локально абсолютно непрерывной первой производной на R+

и таких, что x"(-) e L^(R+) он получил точное неравенство

I!*'(-)I!l„»+) < 2!М-)1!ь/!.(«+)1!*"(-)|!;/2,

В действительности, им была решена следующая экстремальная задача

II^OIIl«,(R+) — max, NOIIl«,(R+) < 51, \\x"OIIl«,(R+) < 52.

Сам Адамар в 1914 г. решил ту же задачу для R.

В 1939 г. А.Н. Колмогоров получил общий результат в этом направлении. Он нашел решение экстремальной задачи

llx(k)(0llL»(R) ^ max, Ы-)\\ьх(R) < ¿1, ||ж(г)(01к»(к) < ¿2-

Значение этой задачи

Kr_

r—k r-l-k/vc-k/r

K

Г-1 — k/ r rk k ¿1 ¿2

r

ГД6

4 ™ (—1)«(т+1)

Кт = ^ п (2з + 1)т+1 в=0 4 7

— константы Фавара.

Экстремальные задачи подобного типа получили название неравенства для производных типа Ландау-Колмогорова.

6. Неравенство Харди-Литтлвуда-Полиа

Одним из представителей такого типа неравенств, где удается получить достаточно общий результат, является неравенство Харди-Литтлвуда-Полиа.

В 1939 г. Харди, Литтлвуд и Полна доказали, что для всех целых 0 < к < r имеет место точное неравенство

ll^’Olkm «1М01|Ц)1к(,'’(-)1|£

справедливое для всех функций x(-) Е W2, (R) (функций x(-) Е L2(R) У которых (г — 1)-ая

производная локально абсолютно непрерывна на R и x(r)( ■ ) Е ¿2(R))-

Этот результат можно сформулировать в том же виде, как и теорему Адамара.

Т еоремаЗ. log ||x(k)( ■ )||l2(r) _ выпуклая функция арг у мента к.

к

непрерывной переменной.

Само понятие выпуклости позволяет легко перейти от трех кругов в случае теоремы Адамара или трех производных в случае неравенства Харди-Литтвуда-Полиа к произвольному числу кругов или производных. Чем больше значений выпуклой функции известно, тем точнее ее можно оценить в промежуточной точке.

Пусть ki < ... < кп и ki ^ к ^ кп. Рассмотрим следующую экстремальную задачу

l|x(fc)( -)Hl2(R) ^ max, llx(kj)(■ )||l2(R) < Sj, j = 1,...,n,

x(■) Е Wkn (R).

Рассмотрим в плоскости (x, y) множество точек

M = co{ к, log Sj), j = 1,... ,n }.

Положим

Теорема 4.

sup ||x(k) ( • )||l2 (R) = ee(k).

x(^)ewkn (R)

\\x(kj )(0llL2(R)^j.

7. Оптимальное восстановление производных

Предположим, ЧТО известны функции yi(•), . . . ,yn(•) S L2CR), такие, что

\\x(kj)(•) - Уз(• )IIl2(R) < 5з, j =

Требуется как можно точнее восстановить функцию x(k)( • ).

Под методами восстановления будем понимать произвольные отображения m: (L2(R))t

^ L2(R).

m

e(Dk,K,S,m)= sup ||x(k)(•) - m(y)(OH^r),

\\x(kj)()-Vj(ОІІЬзда^, j=l,-n

здесь K = (ki,...,kn) 6 = (¿1 ,...,5n)n y = (yi( • yn(• ))■

Погрешностью оптимального восстановления назовем величину

E(Dk,K,6)= inf e(Dk, K, 6, m).

m: (L2(R))n^L2(R)

Метод, на котором эта нижняя грань достигается, назовем оптимальным.

Обозначим через kj1,..., kjr точки излома линии в(•). Через Fx(• ) будем обозначать преобразование Фурье функции х(• ).

Теорема 5. При всех k1 ^ k ^ kn

k

Если kjs < k < kj3+1) 1 ^ s ^ r — 1, то метод

E(Dk ,K,6) = ee(k). метод

m(У)(•) = (Ls * yjs)(•) + (Rs+i * yjs+i)(•),

где

FLs(t ) = (ir)

(kjs+i — k)6js+1 (—ir )k

k \ JS + 1 ) Js + 1

(kjs + 1 — k)6j + 1 T 2kjs +(k — kjs )6j r js + 1

(k — kjs )6js (—iT)kjs + 1 _______

s + (k — fa )62 r2kjs+

FRs+i(r) = (ir)k-----------------Ц------3-Ц-^---------------—r,----

(kjs + 1 — k)6‘js+1 T js +(k — kjs )6l T js + 1

является оптимальным. При к = к1 ^ в ^ г — I, метод т(у)(■) = у^е (■ ) — оптимальный.

8. Теорема Адамара для уравнения теплопроводности

Рассмотрим обобщенное уравнение теплопроводности в

щ + (—А)а/2и = 0, и|4=0 = /(x), / е Ь2(мЛ).

n

js

Оператор (—Л)а/‘2 определяется следующим образом

(—Л)а/2д(х) = F-1(\^\а ЕдШ*),

где F — преобразование Фурье в Ь2(Ма), а F-1 — обратное преобразование Фурье. Единственным решением этого уравнения является функция

и

(t, х) = F-\e-^atFf Шх)

Теорема 6. log \\u(t, ■ )||l2 (Rd) — выпуклая фун кция, t. Иными словами, при всех т, 0 ^ ti < т <t2

t2—T І t2—t1

Т — t

Ыт, ■ )||L2(Rd) < Mb,■ ^¿(r^IH^, ■ ^¿(¿г Перейдем теперь к задаче en + 1 “кругом”:

1и(т, ■ )|L2(Rd) ^ max, llu(tj, ■ )|L2(Rd) ^ Sj, j = 1, 2,---,n,

В плоскости (t, y) определим множество

M = co{ (tj, log Sj), 1 ^ j ^ n } + { (t, 0) | t ^ 0 }

Теорема 7. При всех т ^ ti

sup \\и(т, ■)

f еь, (Rd)

llu(tj >011 L2(Rd) ’ j=1>2>--->n

= e

0(T )

Рассмотренная экстремальная задача тесно связана со следующей задачей восстановления. Предположим, что в моменты времени 0 ^ ¿1 < . . . < ¿п приближенно известны распределение температуры У]() е Ь2(М?), 3 = 1,... ,п. Будем считать, что

11и(3,') — Уз (011ь2(^) < 5з, 3 = 1,---,п-Требуется восстановить распределение температуры в момент т.

Как и ранее, в качестве методов восстановления рассматриваются всевозможные отображения т: (Ь2(Ма))п Ь2(Мл).

т

еТ(Ь2(мЛ),5,т) = эир \\u(т, ■) — m(У)(■)\\L2(Жd),

/ (■),Уl(■),■■■,Уn(■)eL2(Жd)

\\и(3 ,')—уЗ (0\1 Ь2(М^) ^.7 , з = 1,.",п

Ет (Ь2(Мл),5)= ет (Ь2(Мл),5,т)

т: ^2(К^))П ' ",ч

Величина

называется погрешностью оптимального восстановления, а метод, на котором она достигается, называется оптимальным.

Теорема 8. При всех т ^ ¿1

а) 5) = Рв(т)

Ет (Ь2(Мл),5) = е

Пусть Ч < ... < — точки из л ома, в() и ¿з, < т < 4+^ тогда ме тод т (у)(-) =

= (ьз * Уз,)(-) + №+1 * Уз,+1)('), ^е

(1. _т 5 е 1 ? 1 “(^+1-Т)

Е£3(0 = ( Зе+1 ) 3е+1

^Зэ+1 — т )5‘з,+1 е 1 ? 1 °(Ьв+1 Ьв) + (т — Ч, )51е 1 ? 1 °(Ьв+1 Ьв)

FRs+l(Z) =

(т — Ч )51е |?| “(Т ^)

(^+1 — т)5^в+1 е|?|“(^+1 ^) + (т — Ч,)5]ее ^)

оптимальным.

Если т > то метод, который сопоставляет У решение уравнения в момент, времени т, совпадающего в момент, времени с У.г (•), является оптимальным.

Сделаем несколько замечаний.

1. Оптимальный метод линеен и использует не более двух приближенных измерений.

2. Для нахождения этих измерений надо среди Ч < ... < Ч найти блпжайшие к т точки излома линии О(-).

3. В точках, не попадающих на изломы, сделанные измерения могут быть уточнены с помощью построенного оптимального метода.

Предположим, ЧТО ДЛЯ некоторого Ч Ч < ¿3 < и 5] > ев().

Для измерения Уз (■) имеем

\\и(Ь3, 0 — У3 (^)\\L2 (К) ^ 53.

А оптимальный метод в точке дает погрешность меньшую, чем 5.

\№з , ■) — т^^(К*) < ев(Ь) < 53.

9. Схема построения оптимальных методов восстановления

Для простоты опишем схему получения оптимального метода восстановления для двух измерений В моменты ¿1 = 0 И ¿2 = T.

Сначала рассматривается экстремальная задача

МТ’ -)HL2(Rd) ^ max> И0, OllLcRd) = II/HL(Rd) < 62

\\u(T, •)lL2(Rd) < Ö2T, / e L2(Rd).

Переходя к преобразованию Фурье и пользуясь теоремой Планшереля, приходим к следующей

ЗЭ.ДЭ.Ч6

e-2lil“r\F/(£)|2 d( ^ max, / \F/(£)|2 d( < 6%,

(2n)d JWd (2n)d jRd

__!_/■ e-2|«|aT\F/(C)|2 d( < 62 , / e L2(Rd).

(2n) J Rd

В этой задаче нет существования. Мы рассматриваем ее расширение, переходя к мерам:

f e-‘2'l^a'T dß(£) ^ max, f dß(£) ^ 6%,

J Rd J Rd

f e-2l^T dß(0 < 6T, dß(0 ^ 0.

JRd

Для решения этой задачи рассматривается функция Лагранжа

L(dß, Ао, Ат) = [ (-е-21^ат + Ао + \те-21^т) dß(£).

JRd V '

Затем ищется мера d]A(£) и множители Лагранжа Ао, Ат такие, что

(a) min C(dß,A0,AT) = C(d]2,A0,AT),

dß(Q>0

(b) Ao(i dm - 6о2) + AT (/ e-2l^T dß(0 - 62t) =0.

\JRd J \JRd J

Далее, для фиксированных уо(),ут( ) e L2(Rd) решается экстремальная задача Ао\/ (0 — yo( )\ L2(Rd) + Ат|u(T, 0 - ут(0 \ IL2(Rd) — min, f e L2(Rd), где u(, •) — решение уравнения теплопроводности с начальным распределением температуры f () А

Если /(•) — решение этой задачи, то метод

m(У)() = u(т, •),

в котором и(, •) — решение уравнения теплопроводности с начальным распределением /(•), —

ОПТИМАЛЬНЫЙ.

Рассмотрим более внимательно задачу

f e-2^7 dß(^) — max, ( dß(^) ^ 6%,

jRd JRd

I e-2]t]aT dß(0 ^ 6T, dß(0 ^ 0. (1)

Rd

Ясно, что для всех оо,от > 0 значение задачи

f e-2^7' dß(() — max, f dß(() ^ 6о,

JRd

I e-m"T dß(0 ^ 6T, dß(0 ^ 0 (2)

не меньше, чем значение задачи (1).

В действительности, существует некоторое множество значений Оо,От > 0, при которых значения этих задач совпадают.

Предположим, что 6т < 6о- Положим

Теорема 9. При всех 0 ^ а0 ^ <г0 и ат ^ ат значения задач (1) и (2) совпадают,.

Это приводит к тому, что удается построить целое семейство оптимальных методов восста-НОВЛ6НИЯ.

Т е о р е м а 10. При всех 0 ^ а0 ^ <г0 и ат ^ ат методы

ГПа0,ат (У)(0 = (Ко * Уо)() + (КТ * Ут )()

оптимальны; здесь

FKo(0 =

FKt (0 = <

0,

(T - т)5Te^a(T-т)

(T - т)STe^aT + т52в-№ат :

1е-1«1“т,

\ 1

'e\i\a(T-т),

т 80е—\^\ат (T - Т)§те^\ат + т52е—№ат''

0,

\ '

0 ^ \£\ ^ ао, ао < \£\ < ат,

\С\ ^ ат,

0 ^ \£\ ^ ао, ао < \£\ < ат,

\С\ ^ ат■

Поступила в редакцию 5 октября 2009 г.

Osipenko К. Yu. Extremal problems of interpolation type and optimal reconstruction of linear operators. Some methods of optimal reconstruction of linear operators are considered. Given scheme is applied to thermal conductivity equation.

Key words: optimal reconstruction of linear operators; interpolation; extremal problems; thermal conductivity equation.

УДК 515.12, 517.987

К ТЕОРЕМЕ ДЛУГЛВЕТЛ

© П. М. Симонов, А. В. Чистяков

Ключевые слова: положительный оператор подстановки с весом; диффузный оператор; теорема Даугавета.

В статье сформулировано следующая теорема. Пусть Ьр = Ьр(И, Т,^), р е [1, то], банахово пространство на сепарабельном пространстве с безатомной мерой. Тогда для любого положительного оператора подстановки с весом Я : Ьр ^ Ьр канонический проектор Я-в : М(Ьр) ^ М(Ьр), порожденный полосой Я-в := {Я}^, имеет единичную норму. Из теоремы сразу следует следующее утверждение. Если оператор К е М(Ьр) имеет мажоранту V, дизъюнктную с Я (например, К — интегральный оператор), то ||Я + К|| ^ ||Я||.

Это утверждение значительно усиливает многочисленные обобщения известной теоремы И.К. Даугавета. Наиболее интересные применения анонсированная здесь теорема может иметь в спектральной теории операторных алгебр мажорированых операторов, порожденных решеточными гомоморфизмами.

Одной из первых публикаций по проблематике является работа [1], вызвавшая серию исследований [2-5]. К результатам подобного типа относится теорема Халмоша-Сандера ([6], теорема