Оптимальное восстановление производной функции по неточно заданным производным других порядков и самой функции Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2016, Том 18, Выпуск 3, С. 60-71

УДК 517.984.64

ОПТИМАЛЬНОЕ ВОССТАНОВЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ ПО НЕТОЧНО ЗАДАННЫМ ПРОИЗВОДНЫМ ДРУГИХ ПОРЯДКОВ И САМОЙ ФУНКЦИИ

С. А. Унучек

В работе изучается задача одновременного восстановления производных функции fci-ro и &2-го порядков в среднеквадратичной норме по неточно заданным производным n^-ro и n2-ro порядков и самой функции. Решение приводится при некоторых условиях на погрешности, с которыми заданы производные и сама функция. Полностью задача решена для случая ki = k, ni = 2k, k2 = 3k, n2 = 4k, k e N. При этом оказывается, что в отличие от ранее встречавшихся ситуаций, в общем случае погрешность восстановления зависит от всех трех погрешностей, с которыми задана исходная информация.

Ключевые слова: оптимальный метод, преобразование Фурье, экстремальная задача.

Введение

Общая постановка задачи оптимального восстановления функционала принадлежит С. А. Смоляку [1]. Она явилась обобщением задачи о наилучших квадратурных формулах С. М. Никольского [2], которая в свою очередь возникла на основе идей А. Н. Колмогорова. Задача об оптимальном восстановлении по неточно заданной информации была поставлена в работе [3]. В данной работе изучается задача одновременного восстановления производных функций ki-го и &2-го порядков в среднеквадратичной норме по неточно заданным производным щ-го и П2-го порядков и самой функции. Решение приводится при некоторых условиях на погрешности, с которыми заданы производные и сама функция. Полностью задача решена для случая ki = k, ni = 2k, k2 = 3k, n2 = 4k, k G N. Нам показался этот случай интересен тем, что в задачах восстановления производных при задании погрешности в среднеквадратичной норме не встречался случай, когда более двух множителей Лагранжа отличны от нуля. Для заданной погрешности в равномерной норме ситуация, когда много множителей Лагранжа отлично от нуля,

k

n

водной рассматривалась в работе [6].

1. Основные понятия

Рассмотрим соболевское пространство функций

W2"(R) = |x(-) G L2(R) : (■) — локально абсолютно непрерывна,

x(n)(-) G L2(R)}, n G N.

© 2016 Унучек С. А.

Пусть по = 0 П\,П2, к\,к2 € N 0 < к\ < П\ < к2 < П2. Предположим, что для каждой функции ж(-) € #2"2 приближенно известны ее производные П1-го и П2-го порядков и сама функция, т. е. известны функции уо(-), ш(') и У2(') € ^(М) такие, что

\\х(п}(-) - Уз (Ж(К) < Ь, 3 =0,1, 2.

Задача состоит в одновременном оптимальном восстановлении производных к1-го и к2-го порядков функции ж(-) € (^)> 0 < к1 < П1 < к2 < П2.

В качестве методов восстановления рассмотрим всевозможные отображения

р: (¿2(^))3 ^ (¿2(М))2.

Погрешностью методов р будем называть величину

, К, 5, р) = sup

Fe(L2(к))3

\

j=i

где К = (к1,к2), 5 = (60,61,62), V = (у0(-), уг{-), у2(-)), р = {ч>\{у), Ч>2(У))- Здесь р = (р1,р2), Р1,Р2 ^ 0 — весовые коэффициенты, варьируя которые можно отдавать предпочтение более точному восстановлению производной какого-либо порядка. Погрешностью оптимального восстановления называется величина

V :(МК))3 ^(МК))2 2

Методы р, па которых достигается нижняя грань, будем называть оптимальными методами.

2. Основные результаты

Ш \ П1

Теорема 1. Если б1 ^ б2"2 б0 "2, погрешность оптимального восстановления равна

Е (Ж™2 (Ж), К, 5) = + (1)

где

A ki /¿2\2(fc1 /n2-1) k2 {¿2\2(k2/n2-1) A2 =Pi— +P2— T-

П2 V¿0/ П2 V¿0/

Метод p = (pT (Y), (У)) такой, что его преобразование Фурье

Fps{Y) = (iOk° (l-a3(0)Fy0(0 + (i0k>-n*a3(0Fy2(0, s = 1,2,

где

ы2п2+ва(т\п2^о\2 (a0+л2е2™2-Pieki-P2ek2)

O. (O =

Ao + A2^2"2

e

2

а — произвольные функции из удовлетворяющие условию

р^2к1^2(е) +м2к2^2(е) < 1,

является оптимальным. Положим

™ =\/р216 о + 2'Р1'Р251 + р22522,

I),

0,

Ао = <

А1 =<

А2 =

^ л/^0^2,

Теорема 2. Пусть к £ Н, = к, п1 = 2к, к2 = 3к, п2 = 4к. Тогда Метод (р = (<^Г(К), (У)) такой, что его преобразование Фурье

25г1У

1 на (,п §о

4 V 52

£¡51 2\¥ ■

¿=о

где а^(-) — любые функции из Ь^И,), удовлетворяющие в случае ^ условиям

<(0 = Ю{2з-1)к(-)-«1(0=0,

Ао - ^(е)е4к А/АоА2 Ао + А2е8к - - Р2е

6к

Ао + А2е

8к

А2 е8к+аде4к А До а2 ( Ао+а2 е8к - ^е2к - ^е1

6к

Ао + А2 е8к

в = 1, 2, а $$(•) — произвольные функции из Ь^(К), удовлетворяющие условию

Р1е2к ^?(е)+Р2е6к ^Ке) < 1,

в случае 5\ < условиям

"Е2=о(^е)2к^а|(е) = (¿е)(25-1)к, в = 1,2,

Р1 ( о ) +М — 1 ^

^=0 Л,

является оптимальным.

3. Доказательства

к1 к2

порядков в общем виде. Докажем, что имеет место неравенство

Е (Ж2П2(Ж),К,5) ^ sup

x(-)eW2n2 (R), \

Ер^ Wx(j (OIIW (2) j=i

Для любой функции ж(-) € (М) такой, что выполнены условия \\ж(п) (')\\ь2(К) ^ бз', 3 = 0,1, 2, и для любого метода р имеем

2 (piWx(kl)(-)Wl2(R) + Р2Wx(k2)(-)Wl2(

1/2

1/2

= ( PlWx(kl)(-)-(-x)(k1) (-)+p(0) - p(0)W|2 (R) +P2Wx(k2)(-) - (-x)(k2)(-)+ p(0)-p(0)W

12 , ,^nM|2 V/2

PlWx(k1)(-) - p(0)WL2(R) + P2Wx(k2)(-) - p(0)WL2(R)

+ (pi\\(-xf2)(-) - p(0)|||2(r) +№||(-ж)(^)(.) - p(0)|||2(r)) /z < 2e(W2n2(R),K,5,<p),

x)^(-) - p(0)WL2(Rb'1/2

p

e{W2n2(R),K,5,tp) ^ sup

2

\\x(nj ) (•) W L2 (R) , j=0,1,2

\

l|x(fcj) (') WL2(

j=1

Отсюда следует неравенство (2).

Это означает, что погрешность оптимального восстановления не меньше значения экстремальной задачи

^1||х^)(-)11|2(к)+№||х^)(-)|||2(к) шах,

\\х(п)(-)\Ь2(К) < 63, 3 = 0,1,2.

Перейдем к квадрату задачи (3) и запишем ее в образах Фурье. По теореме Планше-реля имеем

1 1 1

К

Тем самым, приходим к следующей задаче:

^ /Ы2к1 +Р2ек2)\(^Ш2^ шах,

1 К- (4)

j- f en>\(Fxm\2d^Sl j = 0,1,2.

Теперь докажем теорему 1. Пусть б1 ^ б2"2 бо "2. Покажем, что погрешность

а1 I п1

к «2 X ~

б2 бо

оптимального восстановления не меньше величины Аоб2 + А2б^. Рассмотрим последовательность функций хт(•), для которой

1

где = ) ™2, 0(т) = ¿ол/2тгт. Так как

¿0

¿Iц^жлч = £ / < =

п1 ^ "1

и, учитывая условие 61 ^ 62П2 бо "2, выполняются соотношения

к

т

к

то последовательность функций хт(-) допустима в задаче (4). Значение этой задачи не менее величины:

1Р11 ек1\(рхтщ2^+^Р21 ек2\(рхт)(о\2^

2п

При т ^ ж величина, стоящая в правой части, стремится к величине При

2 2 — т / ё2\ "2 / /сЛ / ё2\ "2 / к2

т кг (52\ к2 (ё2\

Л2 =Р1— у-

п2 бо п2 бо

т. е. в случае 61 ^ б£2 бо "2 погрешность оптимального восстановления

(5)

Займемся построением оптимальных методов. Оптимальные методы в общем случае будем искать среди методов (p{Y) = {(р\ (Y), ^ОО) вида (ps(Y(-)) = А^уо(-) + AJyi(-) + A2y2(-), где Л* : L2(R) ^ L2(R), j = 0,1, 2 s = 1, 2 — линейные непрерывные операторы, действие которых в образах Фурье имеет вид:

F(Л*yj)(■) = «*(•)№)(■), j =0,1,2, s = 1,2,

где j) e L^(R).

Для оценки оптимальной погрешности для фиксированных yj(■) e L2(R), j = 0,1, 2, s = 1, 2, рассмотрим экстремальную задачу

Е (piix^o -Е j(■)WL2(rJ ^ max>

s=1 V j=0 J

Wx(nj)(-) - yj(')WL2(R) < j, j =0,1, 2, s = 1, 2.

Перепишем эту задачу в образах Фурье

2

Y Е (Р° / №k'Fx(0 - Е <*i(0FVi(0 dH) max,

п *=1 V R j=0 /

^ J\(i0n*Fx(0-Fyj(0\2<%^6l j = 0,1,2.

(6)

Положим

Zj(£) = (*£)п Fx(£) - Fyj(£), j =0,1, 2.

Задача (6) примет вид

2

1 2 / ( 2 2 2 \

^E U/ + ^ Nmax,

П *=1 V R j=0 j=0 )

j = 0,1,2.

В случае ¿1 ^ ¿0 "2 положим

«0(0 = (*£)*' (1 - «*(£)), «1(0 = 0, «2(0 = ^a(0, s = 1,2.

Задача (7) перепишется в виде

1

2тт

Е (р* / |(ie)ks (1 - O>(0) Z0(О + (ie)ks-n20,(0*2(of d£ ) ^ max,

*=Л R /

¿/k(0|4o2, 3 = 0,1,2.

Оценим подынтегральные функции с помощью неравенства Коши — Буняковского:

2

=е

2кд

(>е)к- (1 - «.(е)) *> (е) + (¡е)к--П2 а.ю*2 (е)

2

< е

2ks

|1 - а.(е)|2 , |а.(е)|

Ао

+

А2е2п2

Тогда

1

27Г

Е |(*е)ка (1 - а.(е)) ^о (е) + (¿е)ка -П2 «.(еые) .=1

Ао ые)12 + А2(е)|2, в = 1,2

¿е

2кЛ |1 - а.(е)|2 , |а.(е)|2

Ао

+

А2е2п2

Ао ые)12+А2^ о2) ^

Если выполняется условие

2

.=1

то справедливо неравенство 2

Ао

А2е2п2

(8)

1

2тт

¿> /1 (^е)ка (1 - «.(е)) ^о (е) + (¿е)ка -П2 «.(еые) |2 ¿е < Ао б02 + А262 .=1

т. е. оценка сверху совпадает с оценкой снизу, что означает оптимальность метода. Покажем, что множество оптимальных методов не пусто. Из условия (8) найдем ограничения на а.(е) и построим явно какой-либо из методов.

.=1

Ао+А2 е2п2

Ао А2

.=1

Ао А2е2"2

А2е2га2

а.(е) -

¿е2(ка-"2)р.

.=1

а.(е) -

А2 е2п2

Ао + А2е2"2

<

Ао + А2 е2п2 Ао А2

2 Е р.е2ка

Ао + А2е2п2

2

Ао+А2 е2п2 -Е р.е

Ао + А2е2п2

2кд

.=1

Рассмотрим функцию

£(е) = -Р1е2к1 - Р2е2к2 + Ао+а2е2п2, е ^ о,

и параметрически заданную кривую (см. рис. 1):

/х = е2п2,

1 у=Р1е2к1 + Р2е2к2.

2

2

у = Ао + А2 х

у = Р\:)УП2

х0 X

Рис. 1

Нетрудно видеть, что функция у(х) = р1хк1/п2 + р2хк2/п2 возрастает и вогнута при х £ [0, В силу вогнутости функции выполняется неравенство у ^ у, где у = кх+Ь —

касательная к графику вогнутой функции у(х) в некоторой точке хо ^ 0. Построим касательную в точке Жо = • Значения коэффициентов касательной равны

к = у'(х0) = а2, Ь = у(0) = А0. График функции у(х) = р1хк1/п2 + р2хк2/п2 расположен ниже прямой у ^ у = Ао + А2х. Это означает, что #(£) ^ 0, т. е.

А0 + А2£2"2 Ps£

2кз

> 0.

s=1

Положим

о (О =

А2£2"2 + ^(0|£Г2А/А0А2 А0 + А2£2"2 - Р1^2к1 - Р2^2к2

А0 + А2£2"2

Тогда условие (8) выполняется при всех 0ДО £ Ь^(К), в = 1,2, удовлетворяющих условию

М2к1 ^(0 + Р2^2к2$2(0 < 1,

в частности, при 01(0 = $2(0 =0. >

Перейдем к доказательству теоремы 2. Пусть А"1 = к, щ = 2к, к2 = ЗА, п2 = 4А, А £ N. В случае ¿1 ^ утверждение теоремы 2 вытекает из теоремы 1.

Пусть

¿1 < \/боб2- (9)

Покажем, что в этом случае погрешность оптимального восстановления не меньше величины \f5\W. Пусть

А0

м

А2

¿г

р

я

Р22

А2 + РАо " У(А2 + ^Ао)2 -4Р

1/к

4к

2р25?

2

^ = ( А2 + РЛ0 + У(Л2 + РЛ0)2 - АР\ 1/к

/ 2 х^ (П)

(р\52 + р1§1 + + ^¿22)2 - АуЩ\

"V « ) '

> 0.

Подкоренное выражение в равенствах (10) и (11) положительно, так как из (9) следует, что ДоД2 > 1, и, следовательно,

Д2 + РД о ^ 2Д/Д2РДО ^ 2>/Р.

Тем самым доказано, что ео < е1-Покажем, что

_ ¿4к е1 - ео

Для этого достаточно доказать, что б°е4к - б° > 0 ми Дое4к > 1- Это неравенство можно записать в виде

-2РА°

Д2 + РДо - д/(Д2 + РДо) — 4Р

Для доказательства этого неравенства достаточно показать, что

д/(Д2 + РДо)2 — 4Р > Д2 - РД0.

Если правая часть этого неравенства отрицательна, то оно очевидно выполнено, а если правая часть неотрицательна, то неравенство выполнено в силу очевидного соотношения

(Д2 + рДо)2 - 4Р > (Д2 + РДо)2 - 4РДоД2 = (Д2 - РДо)2.

Осталось показать, что

¿4к _ ¿4к °0 ¿4к _ ¿4к ^ и' е1 - ео е1 - ео

Для доказательства этого неравенства достаточно убедиться в справедливости неравен-

Доео4 < 1

2РДп

Д2 + РД0 + д/ (Д2 + РДо)2 — 4Р

Доказательство этого неравенства сводится к доказательству неравенства

д/(Д2 + РДо)2 — 4Р > РД0 - Д2,

которое фактически уже было доказано.

Рассмотрим последовательность функций хто(-), для которой

1^1(111,), ? ь - 1

(Рхто )(е) =

]_

т I

т

0,

Поскольку

( «о

а

К \io_J, £ 1

^ Р1(т) + Р1(т) = р

2пт

1

2тг

( «О

«1 \ л4к п 2

^ т

/

£>2(т)£4к + ^2(т)£4к _ 2пт (¿2^4к£4к - ¿2£04к + ¿2£4к - ¿2£4к£4

4к\

2пт

( «о

2пт (£4к - £0 «1

4к^

= ¿2,

= ^ I £8к-С2(т) с?£ + I еко1{ш)

К \fo-A. Л-А

тт

^2(т)£08к + ^2(т)£8к 2пт £08к£4к - ¿2£08к + ¿2£0к - ¿2£4к£0к)

2пт

2пт (£4к - £

ок)

2

^ ' Ро

Р2

то последовательность функций хт(■) допустима в задаче (4). Значение этой задачи не менее величины

1

2тг

Р1 У £2к |(Рхт)(£)|2 + Р^ £6к |(^хт)(£)|2 ^

. К К

«о «1

^2(т) | (р1£2к + Р2£6^ + ^°2(т) У (р1£2к + Р2£6к) ^

£ —— £ ——

Чи т 41 т

^(ш) (Р1 (£о - ¿)2к +Р2 (£0 - ^)6к) + ПЦш) (Р1 (а - ¿)2к +Р2 (а - ¿)6к

1

2тг

/ V

\

у

2пт

При т ^ то данная дробь стремится к величине

Я =

^2

Р2 (£2к + £2 £0 £1

= ¿1^=Ао¿о+ад+ад

А0 =

р1 ¿1 А 2 + 2р1 Р2¿2 А Р2¿1

2^

А1 =

2¿lW

А2 =

2^

Таким образом, в случае < погрешность оптимального восстановления

е (ж™2 (ж), к,б)> у ад+ад+ад-

Перейдем к построению оптимальных методов. При = к, щ = 2к, к2 = 3к, П2 = 4к, к £ N задача (7) принимает вид

|2

1

2тг

Е U / (ie)(2s-1)k- ЕaSFx(^) + Ea^z,(e) de) ^ max,

¿/МО^О?, J =0,1,2.

(12)

В случае < у^о^г, возьмем такие з = 1,2, чтобы они удовлетворяли условию

^(¿е)2^а.(е) = («е)(25-1)к. Задача (7) принимает вид

1

2тг

E(ps / Е a(e)^^ (e) de

—> max,

S=1

j=0

1

2tt

j\zj(e)|2de < j, j = o,i,2.

Применим неравенство Коши — Буняковского для оценки подынтегральных функций: 2 2 / , 2 \

\\ 2 \

Е aS(e)Zj (e) j=0

j=0 л/А,-

<

E

aS(e)

j=0 Aj

ЕА,izj(e)i2|, s = i,2. ,=0

Значит,

2n

Eh

S = 1

Ea?(e)z, (e)

j=0

«hsE '4 E

S = 1

2 aS(e)

j=0 Aj

ЕА izj (e)i2^ de

vj=° / )

При выполнении условия

2 aS(e)

Ep-E

s=1 j=0 Л?

^ 1,

(13)

также выполняется неравенство

1 2 / „ 2

^E[p'l de]

S=1

j=0

j=0

т. е. указанные методы оптимальны. Докажем, что множество оптимальных методов также не пусто. Пусть

е А е4кз

¿=о

Тогда условие Eo=о(¿е)2kjа.(е) = (¿е)(°.-1)к) в = 1, 2, выполняется. Покажем, что усло-

вие (13) также выполняется.

2 2 Ч'(«)Г P1e2k+P2e6k

s=1 j=0

А e2=0 а, e4kj

2

2

2

1

2

2

Рассмотрим функцию

gl (О = -PlP - rf* + Ac + Âi£4k + Â2£8k

A c8fc

= ff- - +(e04fc+4£o2fcei2fc+e4fc - 2 (e0k++ek)

m (, 2k ¿-2fc\ / /-2k ¿-2fc\ \ a

2W7 Ie ) Ie ) >0'

это означает что

PiÎ2k + P2Î6k < 1

условие (13) выполнено, множество оптимальных методов не пусто.

Литература

1. Смоляк С. А. Об оптимальном восстановлении функций и функционалов от них: Дис. ... канд. физ.-мат. наук.—М.: МГУ, 1965.

2. Никольский С. М. Квадратурные формулы.—М.: Наука, 1988.—254 с.

3. Марчук А. Г., Осипенко К. К). Наилучшее приближение функций, заданных с погрешностью в конечном числе точек // Мат. заметки.—1975.—Т. 17, № 3.—С. 359-368.

4. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. К). Оптимальное восстановление функций и их производных по коэффициентам Фурье, заданным с ошибкой // Мат. сб.—2002.—Т. 193.-С. 79-100.

5. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. К). Оптимальное восстановление функций и их производных по приближенной информации // Функцион. анализ и его прил.—2003.—Т. 37.—С. 51-64.

6. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. К). Неравенство Харди — Литтлвуда — Полна и восстановление производных по неточной информации // Докл. РАН.—2011.—Т. 438, № 3.—С. 300-302.

Статья поступила 21 марта 2016 г.

Унучек Светлана Александровна Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте РФ, старший преподаватель

РОССИЯ, 119571, Москва, проспект Вернадского, 82, стр.1 E-mail: svunOmail .ru

The paper deals with the problem of simultaneous recovery of the fci-th and fc2-th order derivatives of a function in the mean square norm from inaccurately given derivatives of n^-th and n2-th order and the function itself. The solution is given under some conditions on the errors of given derivatives and the function itself. The problem is solved completely for the case ki = k,ni = 2k, k2 = 3k, n,2 = 4k, k £ N. It turns out that in contrast to previously encountered situations in the general case, the error of recovery depends on errors of all three errors of input data.

OPTIMAL RECOVERY OF THE DERIVATIVE OF THE FUNCTION FROM ITS INACCURATELY GIVEN OTHER ORDERS OF DERIVATIVES AND THE FUNCTION ITSELF

Unuchek S. A.

Key words: optimal method, Fourier transform, extremal problem.