О решении волнового уравнения при неточно заданных коэффициентах Фурье функции, задающей начальную форму струны Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал октябрь-декабрь, 2006, Том 8, Выпуск 4

УДК 517.5

О РЕШЕНИИ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ ПРИ НЕТОЧНО ЗАДАННЫХ КОЭФФИЦИЕНТАХ ФУРЬЕ ФУНКЦИИ, ЗАДАЮЩЕЙ НАЧАЛЬНУЮ ФОРМУ СТРУНЫ

Н. Д. Выск

В работе рассматривается задача оптимального восстановления решения волнового уравнения по значениям коэффициентов Фурье функции, задающей начальную форму струны, заданным с погрешностью в равномерной норме. Приводится решение более общей задачи восстановления оператора, определенного на весовом пространстве векторов из 12, по приближенным значениям координат этих векторов.

1. Постановка задачи

Рассмотрим волновое уравнение с нулевыми граничными условиями и нулевой начальной скоростью

- иХХ}

и(0, ■£) - п(п,г) - 0, и(х, 0) — ](ж), щ(х, 0) — 0.

Как известно, точное решение этой задачи имеет вид

(1)

где

u(x,t) = ^ aj (f) cos jt sin jx, j=1

2 í'n

aj (f) = — f (x)sin jxdx

n J 0

— коэффициенты Фурье функции f (x). Предположим, что f (•) £ Wn([0,n]), где

W?(M) = { f (•) £ L2([0,n]) : f (n-1)(0 абс. непр. на [0,n], f ^ОН^]) < 1 },

(2)

•)^L2([0,n]) =

\

71

— I |g(x)|2 dx.

n J

а

© 2006 Выск Н. Д.

Будем считать, что нам известны приближенные значения первых N коэффициентов Фурье функции f (•) yi,..., yn, причем

К (f) - yj I < Sj, Sj > 0, j = 1,..., N. (3)

Поставим задачу поиска оптимального метода восстановления решения задачи (2) в момент времени T на классе W2l([0, п]) по информационному оператору FN (S = Si,..., sn), который каждой функции f (•) £ W2l([0, п]) сопоставляет множество векторов y = (yi,..., yN), удовлетворяющих условию (3).

В качестве методов восстановления будем рассматривать произвольные операторы ^: Rn ^ L2([0,n]). Погрешностью восстановления для данного метода ^ назовем величину

e(T,W2l([0,n]),F5N,р) = sup ||u(-,T) - ^(уХОН^п]).

f(•)6W2n([0,n]), y=(yi,...,y)€RN К' (f)-Vj KSj, j=i,...,N

Величина

E(T, W?([0, п]), FN) = N f n e(T, wn([0, п]), F5N, p)

называется погрешностью оптимального восстановления, а метод, на котором достигается нижняя грань, называется оптимальным методом восстановления.

Рассмотрим более общую задачу оптимального восстановления оператора Q: X ^ , заданного равенством

Qx = (niXi,n2X2,...), j £ N,

где x = (xi,x2,...) £ X, а

X = < x = (xi,x2,...) : ||x||x = ^ Vj|Xj| < то >,

I j=i J

Vj > 0, j £ N. Положим ßj = n2 и будем предполагать, что ßj/Vj ^ 0 при j ^ то. Тогда при всех x £ X Qx £ I2. Нас интересует задача восстановления оператора Q по приближенным значениям первых N компонент xi,...,xn. Положим

W = {x £ X : ||x||x < 1 }. Будем считать, что для каждого x £ W нам известен вектор y = (yi,..., yN) такой, что

|xj - yj| < Sj, j = 1,..., N.

В качестве методов восстановления рассматриваются всевозможные отображения ^: 1N ^ I2. Погрешность восстановления для данного метода ^ определяется равенством

e(Q, W, in,S,<p) = sup ||Qx - <p(y)||i2

xew, yelg |xj-yj К Sj, j=i,...,N

(здесь S = (Si,..., SN), INx = (xi,..., xN)).

Погрешностью оптимального восстановления называется величина

E(Q, W, in,S)= inf e(Q,W,lN,S,p), (4)

V : lSo^l2

а метод, на котором достигается нижняя грань, называется оптимальным методом восстановления оператора Q на классе Ш по информации , заданной с погрешностью в N

норме 1 NN •

Случай, когда коэффициенты Фурье заданы с погрешностью в норме , как для задачи (1), так и для задачи (4), исследовался в работе [1].

2. Основные результаты

Пусть Vj монотонно возрастает,

lim Vj = lim ßj/Vj = 0.

Без ограничения общности можно считать, что

ßl > ßl > > ßN

Vi ^ V2 ^ ' " ^ VN

(этого можно добиться соответствующей перенумеровкой). Пусть q > N таково, что

ßq ßj

— = max —.

Vq j>N Vj

ßl ßq

Если Viöi < 1 и — > —, положим

Vl Vq

Г p }

Po = po(S) = maJ p VjS2 < 1, Vt > Vi, 1 ^ p ^ n\ l „•_-. Vp Vq )

j=i

в противном случае считаем, что po = 0. Положим

q,

qo

ßq > ßPo + 1 vq > VP0 + 1 ■ ßq ^ ßpp + 1

P0 + 1, ßq <

Теорема 1. Имеет место равенство

E (Q,W,In ,S) =

\

— + Y (ßj-— Vj) S2 Vqo j=1 V Vq0 V j

po

j=i

ßqo „ --Vj

при этом метод

po

ш = y vA1 j=i v

ßqo Vj Vqo ßj

Vj ej,

где ej, j = 1, 2,... — стандартный базис в ¡2

(5)

(6)

1, к — 1, ,

является оптимальным.

Вернемся к задаче оптимального восстановления решения волнового уравнения. Если /(■) е Ш2п([0,п]),то

оо

/(х) — ^ а3 (/)й1п jx, 3 = 1

где

X>

Е j 2ч2(/) < 1, j=i

т. е. Vj = j2n. Из (2) вытекает, что "j = cos2 jT. Соответственно q > N таково, что

cos2 qT cos2 jT

-^-= ^ft&X-~-.

q2n j>N j2n 2 cos2 qT

Тогда в случае, если ¿i < 1 и cos2 T > -~-,

q2n

/гч i ^ -2n r2 1 cos2 pT cos2 qT /I

po = j , < > — ! < p <

иначе po =0.

Соответственно

qo

cos2 qT cos2 (po + 1)T

^ ^ (po + 1)2n , . cos2 qT cos2 (po + 1)T

po + 1, q2™ < (po + 1)2n •

Из теоремы 1 вытекает Следствие 1. Имеет место равенство

E (T,W2 ([0,п]),^ v) = при этом метод

\

cos2 qoT { 2 cos2 qoT

qo +jj=1 ^ - j 2) j

( T) v-Л j2 cos2 qon -T • • u(x,T) ~ >. 1--2-yj cosJTsin

qo2 cos2 jT

q2 cos2

j=i

является оптимальным.

3. Доказательство

Доказательство теоремы 1. Рассмотрим экстремальную задачу

E^j|:Х'|2 ^ К|2 < j j = 1,...,N^ ^Vj|2 < 1

j=i j=i

Положим Uj = |xj|2, j G N, и перепишем эту задачу так:

X

2

Е "j Uj ^ max, Uj ^ ¿2, j = 1,..., N, ^ Vj Uj ^ 1, Uj ^ 0. (7)

j=i j=i

Введем функцию Лагранжа для этой задачи

N х

l(u, A, Ai,..., an) = + Aj + ^Vj)Uj + e (-"j + AVj)Uj,

j=1 j=N+1

где U = {Uj}j6N.

Из работы [2] (см. также [3]) вытекает, что если найдутся такие А, Ai,..., Xn > 0, что для допустимой в задаче (7) последовательности A = {Aj }jgN выполнены условия

(a) min L(u, A, Ul,. . . , AN) = L(A, А, Ai,..., XN),

Uj ^0

(b) Y Aj (Aj - j =0, A(£ Vj Uj — Л = 0,

j=i V J S=i J

то U — решение задачи (7), а ее значение равно

N

EUj S2+U. j=i

Если при этом для всех у е существует решение ху экстремальной задачи

N

У^ Aj|xj — Vj|2 + АУжУх ^ min, x £ X,

j=i

то

а метод

E (Q,W,In ,S) =

\

N

EUj j+U j=i

<U(V) = Qxy

является оптимальным.

Задача (8) может быть записана в виде

(8)

(9)

N те

У^ (xj — Vj)2 + UVjx2j + U E Vjx2 ^ min, x £ X.

j=i j=N+i

Нетрудно убедиться, что ее решение есть

xy

N U-Xj

j=i Uj + UVj

Vj ej.

Поэтому достаточно найти А, Х\,...,Хм ^ 0 и допустимую в (7) последовательность и — {Аз , для которых будут выполнены условия (а) и (Ь). При этом метод

N

Uj

U(V) = Y nj U—V" Vj ej j=i Uj + UVj

(10)

будет оптимальным.

Предположим, что po > 0. Положим U = , X/ = ßj — Vj, j = 1,... ,po, Aj = 0,

Po <j < N.

qo

qo

Uj =

S^

po

i-E vj sj

j=i j

qo

0,

j = 1,...,Po, j = qo,

j > Po, j = qo.

Легко проверить, что последовательность А, — допустимая и выполнены условия (6). При этом

Ди, А, А1,..., Ам)= Е + ~V') и ^ 0'

так как в силу выбора до

^ > ^, ¿>Ро.

Поскольку ДА, А, А1,..., Ам) = 0, условие (а) выполнено.

Подставляя А и А1,..., Ам в (9) и (10), получаем погрешность оптимального восстановления и оптимальность метода

ро , ч

А(у) = Е пА 1 - ^ У,"в,,

V из/

Пусть ро = 0. При этом либо ^ 1, либо — ^ —. В обоих случаях положим

V! ^

А = ро, а, = 0, ^ = 1,..., N, = —, А, =0, ^ = д0. Тогда последовательность п, — допустимая,

^ / \ / \ Ди, А, А1,..., Ам) = £ -Р, + ^V, и, = £ V, р0 - , и, > 0 ^ V ^о / ,=1

в силу выбора ^о, а £(и, А, А1,..., Ам) = 0, то есть условие (а) выполнено. Условия (6) также очевидным образом выполнены. При этом из (9) и (10) следует, что

Е ,5) = ^

а метод (р(у) =0 — оптимальный. >

Литература

1. Выск Н. Д., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление решения волнового уравнения по неточным начальным данным // Мат. заметки.—2006.—Т. ???.—С. ??—??.

2. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление функций и их производных по приближенной информации о спектре и неравенства для производных // Функ. анализ и его прил.—2003.—Т. 37.—С. 51-64.

3. Осипенко К. Ю. Неравенство Харди-Литтлвуда-Полиа для аналитических функций из пространств Харди-Соболева // Мат. сб.—2006.—Т. 197, № 3.—С. 15-34.

Статья поступила 27 марта 2006 г. Выск Наталия Дмитриевна

Москва, «МАТИ» — Российский государственный технологический университет им. К. Э. Циолковского