CC BY
8
Владикавказский математический журнал Январь-март, 2006, Том 8, Выпуск 1
УДК 517.5
ОБ ОПТИМАЛЬНОМ ВОССТАНОВЛЕНИИ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ПО НЕТОЧНО ЗАДАННОЙ ТЕМПЕРАТУРЕ В РАЗЛИЧНЫЕ МОМЕНТЫ ВРЕМЕНИ1
Е. В. Введенская
В работе изучается задача оптимального восстановления решения уравнения теплопроводности в круге для случая радиальной симметрии в момент времени £ = т по приближенно заданным в метрике Ь2 значениям температуры в моменты времени £ = 0 и £ = Т, 0 <т<Т. Получен оптимальный метод восстановления и найдена его погрешность.
Рассмотрим задачу о нахождении решения уравнения теплопроводности в единичном круге В = {(ж, у) £ Ж2 : х2 + у2 ^ 1} в случае радиальной симметрии начального условия и нулевого граничного значения
1
П = Ди = игг +— иг, (1)
г
и(г, 0) = А(г), (2)
и(М) = 0. (3)
Здесь г = у/х2 + у2, 0 ^ г ^ 1, и А(г) £ Ь2(В), где
у/(х,У)11ь2СО)
\
- JJ |/(х, у) |2 йхйу.
Б
Начальное условие (2), а, следовательно, и решение задачи (1)-(3) не зависит от полярного угла р. Точное решение задачи (1)-(3) в этом случае имеет вид (см., например, [1]):
те
и(г,4) = ^ ск / (щ г )е-^, (4)
к= 1
где ь*к, к £ Н, — корни функции Бесселя первого рода нулевого порядка /(■), расположенные в порядке возрастания, а Ск — коэффициенты Фурье функции А(-) при разложении ее в ряд по системе {/с(^кг)}кем:
те
А(г) = ^ Ск /с(^к г), к=1
Ск = "Т I А(г)/с(^кг)г^г, (1к = I /02(^кг)гйг. &к 3С .¡с
© 2006 Введенская Е. В.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке программы «Университеты России» (УР.03.01.130).
Пусть известны yo(r),yT(r) Е ¿2(D) такие, что
l|A(r) - yo(r)yL2(D) < ¿0, ||u(r,T) - ут(r)yLa(D) < St,
т. е. решение задачи (1)—(3) в момент времени T известно с погрешностью, не превосходящей St, а начальное условие — с погрешностью, не превосходящей So. Требуется оптимально восстановить решение задачи (1)—(3) в момент времени т, 0 < т < T, по функциям yo(■) и ут(■).
В качестве методов восстановления будем рассматривать всевозможные отображения £: ¿2(D) х ¿2(D) ^ L2 (D). Для данного метода £ погрешностью восстановления назовем величину
е(т, So, St,£) = sup ||u(r,т) - £(yo,yT)(x,y)|L2(D)•
A(r),yo(r),VT (r)£L2(D) \\A(r)-y0 (r)||L2(D) \\u(r,T) ут (r)\b2(D)<^T
Погрешностью оптимального восстановления будем называть величину
E(t,So,St )= inf e(T,So,ST ,£)•
£: l2(d)xl2(d)^l2 (D) 4
(5)
Метод, погрешность которого равна погрешности оптимального восстановления, называется оптимальным.
Введем следующие обозначения:
am = e 2Vm, Am = [am+i,am), m = 1, 2,..., Aq = [af,
T
f T T T T e2
amam+1 — am am+1 ¿T
Ai =
TT am — am+1
G Am, m G N,
aT1 ,
¿2
¿T Л
# G aQ ,
0Q
(6)
A2 = <
aT m am+1 ¿2
aT m - aT , am+1 ¿0
0, ¿2
¿0
GA
Q.
Теорема 1. При всех So, St > 0 имеет место равенство
При этом метод
E (t,¿q,¿t ) = v ai¿0 + а2 ¿t.
At М \ V^ Aiyok + A20^/2yTk т/2 Ti ,
£(yo,yT -A-^"T-ak Jo(vk r)
k=i Ai + A2ak
где yok и yTk — коэффициенты Фурье функций yo(-) и yT(■), соответственно,
(7)
1
Уок
dk Jo
является оптимальным.
I yo(r)Jo(vfcr)r dr, Утк =-т I Ут(r)Jo(vfcr)r dr, k = 1,2, JQ dk J 0
m
Для доказательства теоремы 1 будем использовать схему построения оптимальных методов восстановления линейных операторов из работ [2] и [3]. Сначала приведем общую постановку задачи восстановления линейного оператора.
Пусть X — линейное пространство, У\,..., Yk — линейные пространства с полускалярными произведениями (■, •)yj, j = 1,..., k, и соответствующими полунормами || ■ ||yj, j = 1,..., k, Ij: X ^ Yj, j = 1,..., k, — линейные операторы, а Z — линейное нормированное пространство. Рассматривается задача оптимального восстановления оператора Л: X ^ Z на множестве
W = {x Е X : ||Ijx||Yj < 6j, j = 1,... ,l, 0 < l < k }
(при l = 0 считаем, что W = X) по значениям операторов Ii+i,..., Ik, заданным с погрешностью. Предполагается, что для каждого x £ X известен вектор y = (yi+i,..., yk) Е Yi+1 х ... х Yk такой, что
||Ijx - yj ||Yj ^ , j = l + 1,..., k.
В качестве методов восстановления рассматриваются всевозможные отображения £: Yi+i х ... х Yk ^ Z. Погрешностью восстановления данного метода m называется величина
e(^W,I,5,£) = sup ||Лх - £(y)||z.
xex, y=(yi+1,...,yk)eYi+ix...xYk \\Ijx-yj llvj. ^Sj, j=l+i,...,k
Погрешностью оптимального восстановления называется величина
E(^W,I,5) = inf e(^W,I,<U), (8)
£: Yi+iX...xYk^Z
а метод, на котором достигается нижняя грань, называется оптимальным методом восстановления.
С поставленной задачей оптимального восстановления оператора Л тесно связана экстремальная задача
||Лх||| ^ max, ||Ij x|Yj ^ ¿j, j = 1,...,k, x € X. (9)
Обозначим через L(x, А) функцию Лагранжа экстремальной задачи (9)
k
L(x, А) = —|Лx|Z + Е Aj ||Ijx||Yj, j=i
где A = (Ai,..., Ak). Из работы [4] (см. также [3] и [5]) вытекает следующий результат
Теорема 2. Пусть существуют А = (Ai,..., Ak), Aj ^ 0, j = 1,..., k, и допустимый в (9) элемент A такие, что
(a) minx6x L(x, A) = L(A, A),
(b) j A(|IjA|Yj — <j2)=0. Тогда значение задачи (9) равно
j=i
Если при этом для всех y = (yj+i,..., yk) £ YJ+i х ... х Yk существует xy — решение экстремальной задачи
1 k
№xllY + II1*x - yjHYj- ^ min' x £ j=1 j=1+1
то £(y) = Лxy — оптимальный метод восстановления и
E(Л, W, I, 5) =
\
j=i
Задача (5) есть частный случай задачи (8). В ней X = Yi = Y2 = Z = ¿2(D), k = 2, l = 0 (т. е. W = X), /1 — тождественный оператор, а Л и /2 — операторы, ставящие в соответствие начальному условию A(r) £ ¿2(D) решение задачи (1)—(3) в моменты времени т и T соответственно.
< Доказательство теоремы 1. Экстремальная задача (9) в нашем случае имеет
вид
llu(r,T)У|2(Д) ^ maX
l|u(r, 0)|L2(D) < ¿0, l|u(r,T)Н^2(D) < ¿T, u(r, 0) Е ¿2(D). Согласно теореме Планшереля
(10)
те
и т Л, ^м|2 —2v2t
Hr,i)lli2(D) = £ck|Jo(vkr)|L2(D)e-2vk* k=1
Положим Uk = c|ЦJo(vfer)lL2(D). Тогда задача (10) примет вид
те
E—2v2 т uke k ^ max,
k=1
тете
Y^ Uk < ¿0, Uke-2v2T < ¿T, Uk ^ 0, k Е N. k=1 k=1
Рассмотрим функцию Лагранжа задачи (11)
те
L(u, Ai, А2) = £ (-e-2v2T + Ai + A2e-2v2^ Uk k=1
те
= E e-2v2T (-1 + Aie2v2T + A2e-2v2(T-T^ Uk,
(11)
fc=i
где и = {и^
Пусть А1 и А2 определены равенствами (6). Предъявим такую допустимую в (11) последовательность А = (см. теорему 2), что выполнены условия
(с) тшад к ^с, Ь(П, А1,А2) = ДА, А1,А2),
(Ф А1 (ЕГ=1 Ак - 502) + А2 (ЕГ=1 Аке-2^т - ¿2 ) = 0.
Пусть
¿2
-T Е Am, m € N. (12)
¿0
Ai e2vmт + ^e-2^(T-т) — 1,
Тогда из равенств (6) вытекает, что
Сх е2
Л1 е2^т+1т + А2е-2^+1(т-т) = 1.
Эти равенства означают, что у функции
£(*) = -1 + А^ + А2е-2^(т-т)
имеется два нуля ^ и ^+1. Поскольку эта функция выпукла при г £ , то других ну-
,2\
лей у нее нет. Следовательно, ^ 0 при всех к ^ 1. Тем самым для любой допустимой
в (11) последовательности п = {ик
¿(п, Ах, Л2) ^ 0.
Положим щ = 0 при к = т, т + 1, а Ат и Ат+1 выберем из условий
ит + Лт+1 = ^¿Ъ
Имеем
Ame-2vm T + Am+ie-2vm+iT = ¿2 •
¿2 _ ¿2aT ¿2aT ¿2
¿T ¿0 am+i а — ¿0 am _ ¿T
T T , Am+1 T T a Tm - a T a Tm - aT
% um+1 m um+1
Из (12) вытекает, что Am ^ 0 и Am+i ^ 0. Следовательно, последовательность A — {Ak}keN — допустимая в (11). Кроме того, для нее выполнено условие (d). Условие (с) также выполнено, так как L(A, Ai, А2) — 0. Если ¿T/¿Q2 € Ao, то, положив Ai — ¿Q и A2 — 0, нетрудно убедиться, что условия (с) и (d) снова выполнены.
Построим теперь оптимальный метод восстановления u(-, т). Для этого, согласно теореме 2, надо сначала решить экстремальную задачу
Ai||A(r) _ yo(r)y|2(D) + A2||u(r,T) _ yT(r)^) ^ min. (13)
Пусть
те
A(r) — > &Jo(vkr). (14)
k=i
Представляя по теореме Планшереля квадраты норм в (13), учитывая (14) и (4), приведем эту экстремальную задачу к виду
те
J](Ai(cfc _ yok )2 + A2 (а e-v2T _ yTk )2) ||Jo (vfc r)||2 ^ min. (15)
k=i
Коэффициент при ||Jo(vkr)||2 в (15) представляет собой квадратичную параболу относительно Ak, минимум которой достигается при
Ai yok + A2aT/2yTk ck —-A-A k -•
Ai + A2aT
По теореме 2 метод (7) является оптимальным. >
m
Литература
1. Боголюбов А. Н., Кравцов В. В. Задачи по математической физике.—М.: МГУ, 1998.
2. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление функций и их производных по коэффициентам Фурье, заданным с погрешностью // Мат. сб.—2002.—Т. 193.—С. 79-100.
3. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление функций и их производных по приближенной информации о спектре и неравенства для производных // Функ. анализ и его прил.—2003.—T. 37.—С. 51-64.
4. Осипенко К. Ю. Неравенство Харди — Литтлвуда — Полиа для аналитических функций из пространств Харди — Соболева // Мат. сб.—2006.—Т. 197.—С. 15-34.
5. Осипенко К. Ю. Optimal recovery of linear operators // Abstracts of International Conference «Extremal Problems and Approximation».—M.: MSU, 2004.—P. 11-12.
Статья поступила 10 октября 2005 г. Введенская Елена Викторовна
Москва, «МАТИ» — Российский государственный технологический университет им. К. Э. Циолковского
