Об оптимальном восстановлении решения задачи Дирихле для полуплоскости по неточным данным Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.51

ОБ ОПТИМАЛЬНОМ ВОССТАНОВЛЕНИИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ПОЛУПЛОСКОСТИ ПО НЕТОЧНЫМ ДАННЫМ

© Е. В. Абрамова

Ключевые слова: оптимальное восстановление; задача Дирихле; преобразование Фурье.

Аннотация: Рассматривается задача Дирихле для полуплоскости {(х,у) € М2 | у > 0 }; основной результат заключается в нахождении оптимальной погрешности и оптимального метода восстановления функции и(■, у) в метрике Ь2(М) по неточным измерениям функций и(-,у\) и и(-,у2), где 0 <У\ < у < у2.

Хорошо известно (см.,напр., [1]), что если задана функция / (■) € Ь2(М), то существует единственная гармоническая функция и(^, ■) в иолуилоскости { (х,у) € М2 | у > 0 } такая, что и(^, у) ^ ^ /(■) при у ^ 0 в метрике Ь2(М), и эта функция есть интеграл Пуассона

u(x,y) = P(x — t,y)f (t) dt,

J R

где P(x,y) = y/n(x2 + y2).

Ставится следующая задача, аналогичная задаче Адамара о трех кругах: по приближенно известным функциям и(■, yi) и u(-,y\) (0 < yi < y^) восстановить функцию u(■, y), где yi < y < y2■ Точная постановка задачи такова.

Пусть известны функции Zi( ) Е L2(R), i = 1, 2, такие, что ||u(^, yi) — Zi(^)^L2(R) ^ где 5i > 0,

i = 1, 2. Под оптимальным восстановлением функции u(^, y) в метрике L2(R) по данной информации будем понимать следующее. Любое отображение m: L2(R) х L2(R) ^ L2(R) называем методом восстановления и погрешность этого метода оцениваем величиной

e(y,yi,y2,5i,52,m) = sup !u(^,y) — m(zi(0,Z2(0)0)||L2 (R)-

Zi(-)eb2(R), i=i,2 \\u(-,Vi)-Zi (*) IIl2 (R) ^^i, i=i,2

Нас интересует величина

E (y,yi,y2,6i,S2) = inf e(y,yi,y2 ,Si,S2,m),

m: ^2(R)x^2(R)—>^2(R)

которую называют погрешностью оптимального восстановления и метод m, на котором нижняя грань достигается, называемый оптимальным методом восстановления.

Теорема.

У2-У У-У1

E (y,yi ,y2,Si,S2) = 6УУ2-у1 62У2-у1 -Метод m, определенный равенством

m(zi^), Z2^))() = (Ki * Zi)() + (K2 * Z2)(),

где K-]_(■) и K2() — функции из L2(R), преобразования Фурье которых имеют, вид

(y 2 — y)5‘^e-'[^'[(y-yi')

FKi(0 = РШ) =

(y2 — y)§2 + (y — yi)Sle Шу2 yi) (y — yi)S2 e-M(y+y2-2yi) (y2 — y)S2 + (y — yi)52e-2№(y2-yi)'

является оптимальным.

Отметим, что оптимальный метод оказывается линейным, «сглаживает» наблюдаемые функции Zi(■) и Z2(■), сворачивая их с быстроубывающими функциями Ki(■) и K2O.

Доказательство этой теоремы опирается на общие методы теории оптимального восстановления линейных операторов, разработанных в работах [1, 2]. Укажем здесь некоторые этапы доказательства. Нетрудно проверить, что величина погрешности оптимального восстановления не меньше значения следующей задачи

^ maX i = 1,2, f(■) Е l2(r)- (1)

y>0

функция £ ^ e-^^ есть преобразование Фурье функции x ^ P(x,y)), что квадрат значения (1)

2- /'e-m\\Ff (£)|2 d£ ^ max, 2_ t e-2y^\Ff (£)|2 d£ < £2, f (■) Е L2(R)- (2)

2n Jr 2n Jr

Относительно переменной \Ff (-)|2 данная задача является задачей выпуклого программирования (см. [3]). Однако решение этой задачи не существует, и поэтому рассматривается более общая задача (также выпуклого программирования), которая имеет то же значение, но решение которой уже существует. Это позволяет, с одной стороны, найти значение задачи (2) (и тем самым получить оценку снизу для погрешности оптимального восстановления), а с другой - найти множители Лагранжа, которые участвуют в построении оптимального метода восстановления. Если такие множители Лагранжа Л i > 0 и \2 > 0 найдены, то оптимальный метод строится следующим образом. Для любых Zi() Е L2(R) i = 1, 2, рассмотрим экстремальную задачу

Л i IIu^,yi) — Zi (0Hl2(R) + Л2І|u(■,y2) — Z2^)IIb2(R) ^ min, f (■) Е L2(R)-Пусть f (■, zi(■),Z2(■)) — ее решение. Тогда оптимальный метод находится по формуле

m(zi(■),&(■))(■) = [ P(x — t,y)f(t,Zi(-),Z2(-)) dt-

R

ЛИТЕРАТУРА

1. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974.

2. Магарил-Ильяев Г.Г., Осипенко К.Ю. Оптимальное восстановление функций и их производных по коэффициентам Фурье, заданным с погрешностью // Математический сборник. М., 2002. Т. 193. № 3. С. 79-100.

3. Магарил-Ильяев Г.Г., Осипенко К.Ю. Оптимальное восстановление функций и их производных по приближенной информации о спектре и неравенства для производных // Функциональный анализ и его приложения. М., 2003. Т. 37. Вып. 3. С. 51-64.

4. Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. Выпуклый анализ и его приложения. М.: Эдиториал УРСС, 2003. 2-е изд.

Abstract: Dirichlet problem for half-plane is considered; the main result is determination of the optimal recovery error and the optimal recovery method of function u(■, y) in L2(R)-metric from inaccurate measurements of functions u(^yi) and u(^y2) where 0 <y\ <y < y2.

Key words: optimal recovery; Dirichlet problem; Fourier transform.

Абрамова Елена Владимировна старший преподаватель Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (технический университет)

Россия, Москва

e-mail: abramova [email protected]

Elena Abramova

senior teacher

Moscow State Institute of

Radiotechnics, Electronics and Automatics

(Technical University)

Russia, Moscow

e-mail: abramova [email protected]

УДК 517.98

КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОБОБЩЕННОЙ ГРУППЫ ЛОРЕНЦА НА СФЕРЕ

© А. А. Артемов

Ключевые слова: канонические представления; псевдо-ортогональная группа; преобразование Березина.

Аннотация: Обобщенная группа Лоренца О = ВОо(1, п — 1) действует на единичной сфере вМ с над-группой БЦп, М). Это действие имеет 3 открытых орбиты. Мы разлагаем на неприводимые компоненты канонические представления Я\,„, АеС, V = 0,1, группы О и разлагаем сопутствующую форму Березина.

Возьмем в пространстве М™, п ^ 4, билинейную форму

[х, у] = —х - у - + Х2У2 + ... + Хпуп.

Группа О = ЯОо(1, п — 1) сохраняет эту форму. В качестве надгруппы для О мы возьмем группу О = ЯЬ(п, М). Обозначим ч ерез \х\ евклидову нор му в М .Пусть П - сфер а \х\ = 1, пуст ь Б -сечение конуса [х,х} = 0 плоскостью х- = 1, оно есть сфера в Мп . Обозначим через (/,Ь)п и (0, скалярные произведения по евклидовым мерам йп и йв на П и Б, соответственно.

Канонические представления АеС, V = 0,1, группы О мы определяем как ограничения представлений максимальной вырожденной серии надгруппы О на группу О. Они действуют в пространстве Т>„ (П) функций на П класс а С и четное ти V:

{Я\,и(9)/)(п) = /(\п9\-Х-п, 9 е О.

Преобразованием Березина назовем оператор Q\,V в Т>„(П), задаваемый формулой

,V/)(п) = с(А, V) I [п,у\х’" /(у) йь,

где с(А, V) - некоторый множитель, мы используем обозначение ^’ V = |t|лsgnV£. Он отлетает К\,V с К-\-п, Композиция Q-x-n,V Q\, " есть тождественный оператор. Представление К\,V и оператор Q\, " могут быть продолжены на пространство ТV (П) обобщенных функций на П четности V. Назовем формой Березина полуторалинейную форму (/,Ь)\,и = /,Ь)п.

Представления Т;, а е С группы О, участвующие в разложении канонических представлений, действуют в пространстве Т(Б) = С<х'(Б):

(Т„ ш) (в) = <?( .

Обозначим П± = {±[п, п] > 0^. Действие п ^ пд/\пд\ группы О на П не транзптпвно. Оно имеет 3 открытые орбиты: П+ и П- П {±п- > 0}.

Определим преобразования Пуассона и Фурье:

{р±и,;^)(п) = [п,п}±Х-п-;)/2 I р(в) йз,

Js

(,Р±;/)(в) = [ [п,п}±-;)/2 /(п) йп.

■)п

Эти преобразования сплетают Т2-п-а с К\,„ и К\,„ с Та, соответственно. Имеет место следующая формула:

Ял V = Т*Лав(>'•". °) Р-Л-„,„,«.

в

где а, в Е {—, +}. Матрица Л = (Ла ,в) есть своего рода "собственное число" преобразования Березина.

Каноническое представление К\,„ порождает два представления Ь\ и Мл, связанных с границей Оо = {[и, и] = 0} открытых орбит. Первое из них действует в пространстве Т(О) обобщенных функций четности V, сосредоточенных на Оо. Обозначим через Тк(О), к Е Н, его подпространство, натянутое на 5(т')(а), а = [и, и], т = 0,1,... ,к. Второе - в многочленах Тейлора (струях) от а функций / Е Т>„(О). Обозначим через ст и с*т коэффициенты Тейлора функций /(и) и (1 + а)(п-3)/2 (1 — а)-1/2 /(и). Это - функции из 'Е(Б).

Преобразования Пуассона и Фурье мероморфно зависят от а, их полюсы располагаются соответственно в точках А — 2к, 2 — п — А + 21 и —А — п — 2к, А + 2 + 21, где к,1 Е N. Полюсы простые, если пары последовательностей не пересекаются.

Пусть А - общего положения. Вычеты Р±и преобразования Пуассона в полюсах у являются

операторами, действующими из (Б) в Т(О). Например, р±и 2к(ф) с точностью до множителя есть

и

к!

{л .k(v) = £ (-1)'j^—Ti WX-2k,rV i'k-'\a),

r=0 (

где Ша%т - некоторые дифференциальные операторы (многочлены от оператора Лапласа-Бель-трами Аэ на Б степени т); в частности, {л ,о(ф) = р5(а). Он сплетает представление Т2-п-л+2к с представлением Ь\.

Вычеты р±V ^ преобразования Фурье являются граничными операторами. Например, Р\1, -\-п-2к (ф) есть с точностью до множителя оператор

Ьл. k (f) = ^ W-л-п-2к .r (c*k-r )-r=0

Для А общего положения граничные представления Ь\ и Мл диагонализуемы с помощью операторов {л, к и Ъл,к, соответственно.

А

1к ■ (—п — 2)/2 < Ие А — 2к < (2 — п)/2, к Е

При А Е 1о формула обращения и формула Планшереля для формы Березина получаются складыванием соответствующих формул для гиперболоидов [х,х] = 1 и [х,х] = —1 (с мерами Планшереля и), а именно,

/ = ! и (а) {Р-л, V, 2-п-а Р-л, V, а / + Р+Л, V, 2-п-а Р+Л, V, а / } Ар +

+ ^ Р+л,V,2-п-г Р+Л,v,r/, (1)

(МЬ ,V = [ и(а) ^ Ла’в(А^, 2 — п — а) ./, РЁ'^2-п-а% АР +

а, в

+ ^ иГЛ) V, 2 — п — г) (Р+Л^,г.[, Р+XV,2-п-г, (2)

где интегралы берутся по pER с а = (2 — n)/2 + ip, суммирование ведется по целым r > (2 — n)/2 таким, что r=v + 1 (mod 2), волна означает некоторую нормализацию, а, в E {—, +}.

Для Л из полосы Ik+i, к £ N, мы продолжаем разложения (1) и (2) апалитически по А в эту полосу. При этом полюсы а = Л — 2т и а = 2 — n — Л + 2m т = 0,1,к, подинтеграль-ного выражения пересекают линию интегрирования - прямую Re а = (2 — n)/2 - и дают к + 1 дополнительных слагаемых в правых частях. IVlbi получим:

k

+ Х/+Х/ n\v,rn(f), (3)

m=0

где интеграл и ряд означают то же, что и в (1), и

nX,v,m(f) = —4п U(A—2m)J2 {P\,v,2-n-\+2mF\,v,\-2mf },

а

операторы n\tV,m проектируют на пространства 'Em(Q) и ортогональны относительно формы Березина. Продолжение формулы (2) есть "теорема Пифагора" для разложения (3).

Итак, для А из полосы Ik+i, к £ N, к пространству Dv(Q) нужно добавить пространство На этом пространстве представление R\,v раскладывается в сумму двух слагаемых: первое разлагается как R\,v для полосы Iq, второе разлагается в сумму к + 1 неприводимых представлений T2-n-\+2m, т = 0,1,...,к. Имеет место формула обращения (3) и формула Планшереля для формы Березина.

Для А из полосы I-k-i, к £ N мы продолжаем разложения (1) и (2) ап алитически по А в эту полосу. Здесь полюсы а = Л + 2 + 2т и а = —Л — n — 2т т = 0,1,к, подинтегральной функции (это - полюсы преобразований Фурье F±v а) дают добавочные слагаемые в правой части:

k

+ Х/+Х/ П > v,m(f), (4)

m=0

где интеграл и ряд означают то же, что и в (1), и

^,v,m(f) = —4п ^(Л + 2 + 2т) ^ P^v,^-n-2mF\,v^+2+2mf 1

а

операторы Пл,т ^ к, - проекционные, ортогональные относительно формы Березина. Их можно распространить на пространство TV(^), состоящее из функций f класса C<х на каждой G-орбите и четности v и имеющих разложение Тейлора порядка к: f (u) = Со + cia + ■ ■ ■ + Ckak + + o(ak).

При продолжении разложения (2) указанные выше полюсы подинтегральной функции оказываются полюсами обоих преобразований Фурье, так что каждое из четырех слагаемых (а, в £ £ {+, —}) имеет полюс второго порядка. К счастью, вся сумма этих четырех слагаемых имеет полюс только первого порядка (старшие лорановские коэффициенты взаимно уничтожаются) и вычет получается в обозримом виде. Продолжение формулы (2) есть "теорема Пифагора" для разложения (4).

Таким образом, для Л из полосы I-k-i, к £ N представление Rл,v, рассматриваемое на пространстве TkV(Q), распадается на сумму двух слагаемых. Первое действует на подпространстве функций, для которых их коэффициенты Тейлора cm равны нулю для т ^ к, и разлагается как представление Rл , v для поло сы Iq, второе разлагается в прямую сумму неприводимых представлений Т-л-п-2m, т ^ к. Имеет место формула обращения (4) и "формула Планшереля" для формы Березина.

Abstract: The generalized Lorentz group G = SO0(1, n—1) arts on the unit sphere in R with an overgroup SL(n, R). This action hra 3 open orbits. We decompose the canonical representations R\,v, Л£С, v = 0,1, of G

Key words: canonical representations; pseudo-orthogonal group; Berezin transform.

Артемов Анатолий Анатольевич к. ф.-м. н., доцент, начальник управления методологического обеспечения основной деятельности университета Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов

e-mail: [email protected]

Anatoliy Artyomov

candidate of phys.-math. sciences,

senior lecturer

Tambov State University named after G.R. Derzhavin Russia, Tambov

e-mail: [email protected]

УДК 519.85

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРИСОЕДИНЕННОЙ МАТРИЦЫ НА МНОГОПРОЦЕССОРНОМ КЛАСТЕРЕ 1

© А. А. Бетин

Ключевые слова: параллельный рекурсивный алгоритм; присоединенная матрица; детерминантные тождества.

Аннотация: Предлагается параллельный рекурсивный алгоритм вычисления присоединенной матрицы. Приводятся результаты экспериментов на кластере МСЦ при различных размерах, плотности матриц для различного числа процессоров.

Задача обращения плотных и разреженных матриц - одна из самых распространенных задач параллельного программирования. Однако с ростом размеров матриц накопление ошибок тоже растет, и для некоторых задач эта проблема становится катастрофической.

Мощности параллельных вычислительных систем позволяют сегодня подойти к проблеме накопления ошибок с другой стороны. Можно строить параллельный алгоритм с точными вычислениями. Также как в числовых параллельных алгоритмах, преимущество будет у блочных, рекурсивных алгоритмов, в которых не требуется выборка ведущего элемента на каждом шаге.

Алгоритм вычисления присоединенной матрицы основан на разложении на множители об-

( А С \

ратной матрицы. Если А = I I - обратимая матрица и А ее обратимый блок, то можно

BD

разложить на множители ее обратную матрицу A-1 [1]:

■ (I 1 їь. 1 C I О I О ' О -1 A

О I О (D - BA-1C)-1 I B - О I

Применение детерминантных тождеств позволяет вычислять присоединенную матрицу с помощью аналогичного разложения присоединенной матрицы [2].

Работа выполнена при поддержке программы "Развитие потенциала высшей школы"(проект 2.1.1/1853) и Темплана 1.12.09.