2Uchinchi renessansyosh olimlari: zamonaviy vazifalar,
innovatsiya va istiqbol Young Scientists of the Third Renaissance: Current Challenges, Innovations and Prospects
EVOLYUTSION ALGEBRALAR VA ULARNING MUHIM ELEMENTLARI
B. A. Narqo'ziyev
PhD, Toshkent Kimyo xalqaro universiteti Samarqand filiali aniq fanlar kafedrasi mudiri,
Sh. A. Saidmurodova
Sharof Rashidov nomidagi Samarqand davlat universiteti talabasi.
O'zbekiston.
Matematiklar va genetiklar bir paytlar noassotsiativ algebralarni Mendel genetikasini o'rganishda qo'llashgan. Mendel birinchi bo'lib o'zining genetik qonunlarini ifodalash uchun algebraik jihatdan juda mos bo'lgan belgilardan foydalangan. Ular keyinchalik bir qancha boshqa mualliflar tomonidan "Mendel algebralari" nomini oldi. Mendel genetikasi orqali matematikaga yangi sohalar umumiy genetik algebralar va evolyutsion algebralar tushunchalari kirib keldi. Bu algebralar umumiy holda kommutativ ammo assotsiativ emas, bundan tashqari ular birorta yaxshi o'rganilgan Li, Jordan yoki alternativ algebralar kabi noassotsiativ algebralar sinfiga tegishli emas.
Umumiy genetik algebra bu biologiya va matematikaning o'zaro ta'siri natijasidir. Bu yo'nalishdagi ko'plab natijalarni Yu.I. Lyubichning asarlaridan topish mumkin. U tomonidan birinchi marta 1992-yilda evolyutsion algebralar sinfi (evolutionary algebras nomi bilan) taklif qilingan. 2006-yilda J.P.Tian o'zining monografiyasida evolyutsion algebraning yangi turini taqdim yetdi. U o'zinig ilmiy ishlarida bu algebralar nazariyasining asoslarini yaratdi. Shundan so'ng evolyutsion algebralarga qiziqish keskin ortib ketdi. Evolyutsion algebra tushunchasi algebralar va dinamik sistemalar orasida yotadi. Algebraik jihatdan evolyutsion algebralar noassotsiativ Banax algebralari bo'lsa, dinamik jihatdan diskret dinamik sistemani ifodalaydi [1,4].
Hozirgi vaqtda zamonaviy algebraning muhim yo'nalishlaridan biri bo'lgan evolyutsion algebralar nazariyasini tadqiq qilish muhim ahamiyatga ega. Bu sohada ko'plab matematiklar tomonidan ilmiy izlanishlar olib borildi va yangi yo'nalishlar ochildi. Evolyutsion algebralar matematikaning ko'plab sohalari bilan aloqalarga ega. Bu algebralar bir qancha matematik muammolarni yangicha hal qilish imkonini beradi. Evolyutsiya qonunlarini matematik o'rganish orqali populyatsiyaning biror bir turining yoki uning xususiyatining rivojlanishiga yoki butunlay yo'qolib ketishiga
May 15, 2024
150
Uchinchi renessans yosh olimlari: zamonaviy vazifalar,
innovatsiya va istiqbol Young Scientists of the Third Renaissance: Current Challenges, Innovations and Prospects
ee ={
' j
asosli bashorat berishimiz mumkin. Hozirgi kunda kerakli xususiyatlarga ega bo'lgan turni ko'paytirish va uning foydali xususiyatlarini rivojlantirish ham ilmiy, ham iqtisodiy muhim muammolardan biridir. Bu borada: evolyutsion algebralar xossalarini o'rganish va ularning zanjirlarini tasniflash dolzarb ilmiy tadqiqotlardan hisoblanadi [3].
1-ta'rif. (E,•) biror F maydon ustidagi algebra bo'lsin. Agar 0, агар i Ф j
Yuakek, агар i=
. k
shcirtni qanocitlcintiruvchi el,e^,...,en,...bazis majud bo'lsa и hoi da bu algebraga evolyutsion algebra deyiladi. Bu bazisga esa tabiiy bazis deyiladi.
M = (a{j) orqali E evolyutsion algebraning strukturaviy o'zgarmaslar
matritsasini belgilaymiz. Evolyutsion algebra umumiy holda kommutativ ammo assotsiativ emas, buni quyidagicha ko'rsatish mumkin: evolyutsion algebraning ixtiyoriy x = ^iaiei va у = E elementlarini olib ushbu ko'paytmani qaraymiz
x • у = •^bjej=^ щЬ^ • ej = ^ a^e? = yx,
i j i i bu esa algebra kommutativ ekanligini anglatadi. Umumiy holda e^ et = Eiaijej bazis ko'paytmalari ichida j Ф i hol uchun a^ Ф 0 elementli ko'paytmani topish mumkin, u holda (et • e{) • ej Ф 0 deyish mumkin, ammo et • (et • ej) = et • 0 = 0. Bu esa (^ • e{) • eу Ф et • (et • ej) ekanligini anglatadi.
R maydon ustida aniqlangan n o'lchamli E evolyutsion algebra uchun V: Rn ^ Rn,x^V(x) = x' operatorni quyidagicha aniqlaymiz x' = Yi=iaijx?, j = l,...,n. Bu operator evolyutsion operator deb nomlanadi.
2-ta'rif. A algebraning x elementi uchun x2 = 0 bo 'lsa, u absolyut nilpotent
element deyiladi.
• 2
3-ta'rif. x e A element uchun x x tenglik o'rinli bo'lsa, u idempotent
element deyiladi.
Bu elementlar V(x) evolyutsion operatorning nol va qo'zg'almas nuqtalari bo'lgani uchun muhim hisoblanadi.
En evolyutsion algebra, M uning strukturaviy o'zgarmaslar matritsasi bo'lsin, shuningdek MT matritsa M ning transponirlangani bo'lsin.
151
May 15,2024
Uchinchi renessansyosh olimlari: zamonaviy vazifalar,
innovatsiya va istiqbol Young Scientists of the Third Renaissance: Current
_g ^aLge^^Pr^
Mjj
[0-11 a12
\a
1r
ai-1,1 aj1 ai + 1,1 ai-1,2 aj2 ai + 1,2
Q.i-1,f Q-jr &i+1,r
ar2
a.
rr
matritsa yordamida dij =
det(Mfj)
Mr = (aik)i,k=1,...,r belgilashni olaylik.
det(Mr)
Qiziqarli muammolardan biri En evolyutsion algebra yagona absolyut nilpotent elementga ega bo'lish sharti ostida, D = (dij)i=1. ,r. j=r+1,...,n matritsaga bog'liq zaruriy va yetarli shartni topishdir. Bu muammo J.M.Kasas, M.Ladra va U.A.Rozikovlar tomonidan rank(M) = n — 1 hol uchun yechilgan. Biz rank(M) = n — 2 holni qaraymiz [2].
1-teorema. rank(M)=n — 2 bo'lsin. En evolyutsion algebra yagona (0,... ,0) absolyut nilpotent elementga ega bo 'lishi uchun quyidagi shartlardan biri bajarilishi zarur va yetarli:
d;n-1 > 0
(i) j , ' _ ba'zi i0 E [1,... ,n — 2} uchun;
<"-i0,n > 0
dk,n-1 > 0
(ii)
k,m E [1,...,n — 2} uchun; (iii)
dk,n = 0
ydmn > 0
eKH {
dk,n-1 = 0 dk,n > 0 d-m,n-1 > 0
ba 'zi
ds,n-1 > 0 (dt,n-1 < 0
ds,n < 0
va
lt,n-dt,n > 0
ba 'zi s,tE
[1,... ,n — 2}
va
maxt
,n-1 < 0, dt,n > 0 } > wins j : ds n- 1>
(.at,n-1 J (us,n-1
0, ds n <0 } lar uchun.
Absolyut nilpotent va idempotent elementlarning mohiyati populyatsiyaning biror bir turining yoki uning xususiyatining butunlay yo'qolib ketishi yoki ma'lum bir vaqtdan keyin takrorlanishiga asosli bashorat berish mumkinligidir.
REFERENCES
1. B.A. Narkuziev, On absolutely nilpotent elements of an evolution algebra corresponding to permutations, Dok. Akad. Nauk. Uzbekistan, 2017, no. 01, p.5-7.
2. B.A. Narkuziyev, Some remarks on evolution algebras corresponding to permutations, Journal of Algebra and Its Applications, vol. 21, no. 6 (2022) 2250112 (15 pages).
May 15, 2024
152
Tashkent Institute of Economics and Pedagogy
Uchinchi renessans yosh olimlari: zamonaviy vazifalar,
innovatsiya va istiqbol Young Scientists of the Third Renaissance: Current Challenges, Innovations and Prospects
3. B.A. Narkuziyev, U.A. Rozikov, Classification in chains of three-dimensional real evolution algebras, Linear and Multilinear Algebra, (IF=1,626), 2023, V. 71, No. 2, p. 265-300.
4. J.P. Tian, Evolution algebras and their applications, Lecture Notes in Mathematics, 1921, Springer- Verlag, Berlin, 2008.
May 15, 2024
