2Uchinchi renessansyosh olimlari: zamonaviy vazifalar,
innovatsiya va istiqbol Young Scientists of the Third Renaissance: Current Challenges, Innovations and Prospects
ALGEBRANING ANTI-ROTA-BAKSTER OPERATORLARI
M. E.Azizov
O'zbekiston Respublikasi Fanlar akademiyasi V.I.Romanovskiy nomidagi Matematika instituti tayanch doktoranti , azizovmaj idkhan@gmail .com. O'zbekiston.
Rota-Bakster operatorlari dastlab Jan-Karlo Rota va Richard Baksterlarning ishlariga foydalanilgan bo'lib, hozirgi kunda matematikaning bir qator sohalariga tarqalib bormoqda. Ushbu operatorlar avvalllari kombinatorika va ehtimollar nazariyasida ko'plab foydalanilgan bo'lsa, so'nggi paytlarda algebrada ham keng qo'llanilmoqda.
Glen Bakster, 1960-yilda Rota-Bakster operatorlari yordamida ehtimollik taqsimotlariga oid ma'lum bir xususiyatni qanoatlantiruvchi quyidagi maxsus Bakster tenglamasini kiritdi [3]:
2 (a (aT ))T = ( a 2b )T + (aT )2 bu erda, A algebra va b e A undagi element, Va e A,T e End(A).
Pre-Li algebrasini tavsiflashda, Li algebrasidagi O-operatorlaridan foydalanilgani kabi [2], anti-pre-Li algebrasini tavsiflash uchun anti-O-operatorlari muxim ahamiyat kasb etadi [4].
Ushbu ishda ¿7(2, □ ) Li algebrasida anti-pre-Li algebra strukturasini qurishga imkon beruvchi anti-Rota-Bakster operatorlarini tavsifini keltiramiz.
Umumiy holatda Kupershmidt tomonidan anti-O-operatorlarni qurish strukturasi keltirilgan [1]. Unga ko'ra, anti-Rota-Bakster operatoriga quyidagicha ta'rif beriladi:
Ta'rif 1. [4] Aytaylik (g, [-,-]) Li algebrasi berilgan bo'lsin. Agar R: g ^ g
chiziqli operator uchun
[R(x), R(y)] = R([R(y), x] + [y, R(x)]), Vx, y e g (1)
ayniyat o'rinli bo'lsa, u holda R anti-Rota-Bakster operatori deyiladi.
Ta'rif 2. [4] Aytaylik (g, [-,-]) Li algebrasi berilgan bo'lsin. Agar R: g ^ g
anti-Rota-Bakster operatori
[[R(x),R(y)],z] + [[R(y),R(z)],x] + [[R(z),R(x)],y] = 0, Vx,y,z e g (2)
shartni qanoatlantirsa, u holda R kuchli anti-Rota-Bakster operatori deyiladi.
May15,2024
26
Uchinchi renessans yosh olimlari: zamonaviy vazifalar,
innovatsiya va istiqbol Young Scientists of the Third Renaissance: Current
Kompleks sonlar maydonida ushbu 3-o'lchamli sl(2,U )q{x,y,z } maxsus Li algebrasini qaraylik:
ro 11 ro o1 r 1 0A
x ■
0 0
y:
io
0 -1
(3)
u holda quyidagi ko'paytirish jadvaliga ega bo'lamiz:
[x, y] = z, [x, z] = 2x, [y, z ] = -2y.
Endi ushbu algebra uchun anti-Rota-Bakster operotorlarini topamiz. R matritsani quyidagi ko'rinishda olaylik:
' a b c ^
R = d g h gM3(D ).
k l m J
Ushbu R matritsa va si (2,D ) algebra uchun (1) va (2) ayniyatlarni qo'llagan holda,
anti-Rota-Bakster va mos ravishda kuchli anti-Rota-Bakster operatorlarini olamiz:
Tasdiq. Kompleks sonlar maydonida ushbu 3-o'lchamli sl(2,U )q{x,y,z} maxsus Li algebrasi uchun quyidagicha anti-Rota-bakster operatorlari mavjud:
r 0 0 01 r 0 0 01 r 0 0 c 1
d 0 h , d 0 h , d 0 0 ,
V 0 0 0, K 2h 0 0 J v 0 2c m j V
-2m 0 0A r 0 b c 1
d -2m h , 0 0 0
2 h 0 m V 0 0 0 J
a 0 c
a3 0 a3
4 c2 4 c2
a2 c 0 - a
(bu erda c ^ 0 ),
g 0
d g
2h 2c
c h
g 2ch
o+-
2g
(bu erda g ^ 0 ),
g b c 1
-4ch + gm + g ( g + m )
b 2h
g h 2c m
(bu erda b ^ 0 ).
Bularning ichida quyidagi operatorlar
r 0 0 01 r 0 0 01
d 0 h , d 0 h
, 0 0 0 J v 2h 0 0 j
kuchli anti-Rota-Bakster operatorlaridir.
27
May 15,2024
Uchinchi renessansyosh olimlari: zamonaviy vazifalar,
innovatsiya va istiqbol Young Scientists of the Third Renaissance: Current Challenges, Innovations and Prospects
REFERENCES
1. B.A. Kupershmidt, What a classical r-matrix really is, J. Nonlinear Math. Phy. 6 (1999) 448-488.
2. C. Bai, A unified algebraic approach to the classical Yang-Baxter equation. J. Phys. A, Math. Theor. 40 (2007).
3. G. Baxter, An analytic problem whose solution follows from a simple algebraic identity. Pacific J. Math, 10(3), (1960) 731-742.
4. G. Liu, C. Bai, Anti-pre-Lie algebras, Novikov algebras and commutative 2-cocycles on Lie algebras. Journal of Algebra, 609, (2022) 337-379.
28
May 15, 2024
