2Uchinchi renessans yosh olimlari: zamonaviy vazifalar,
innovatsiya va istiqbol Young Scientists of the Third Renaissance: Current Challenges, Innovations and Prospects
BOSHQARUV FUNKSIYALARI EKSPONENSIAL CHEGRALANISHLI QUVISH MASALASI
S. I. Uralova
V.I.Romanovskiy nomidagi Matematika instituti tayanch doktoranti.
O'zbekiston.
Quvish masalasi differensial o'yinlarda integral chegralanishli hol uchun parallel yaqinlashish strategiyasidan foydalanilgan holda ko'plab ishlarda to'la hal qilingan (masalan [1-7]). Biz ushbu ishda quyidagi differensial o'yinda quvish masalasini ko'raylik.
Masalaning qo'yilishi: Faraz qilaylik Rn fazoda ikkita o'yinchi harakatlanayotgan bo'lsin. Ulardan biri P quvlovchi boshqasi esa E qochuvchi bo'lsin deymiz. P quvlovchi E qochuvchini ta'qib qilayotgan bo'lsin. Hamda ularning harakat dinamikalari Rn fazoda quyidagi (1)-(2) sistema bilan berilgan
bo'lsin:
P: x = u, *(0) = *0, (1) E: y = v, y(0)=yQ, (2)
bu yerda har bir t vaqtda, x(t) P quvlovchining, y(t) esa E qochuvchining
harakat holati vektorlaridir; x va y -mos ravishda bu vektorlar P quvlovchi va E
qochuvchining boshlang'ich holatidir hamda x0 ^ y0; Quyidagi akslantirishni
qanoatlantiruvchi u(): [0, Rn va v(): [0, Rn uzluksiz hamda
o'lchanuvchi funksiyalar mos ravishda P quvlovchi va E qochuvchining boshqaruv funksiyalaridir, ular quyidagi eksponensial chegaralanish qanoatlantiradi deb faraz qilamiz, ya'ni u(•) e U va v(•) e V:
t t
J|u(sf ds <p2em, t > 0, (3) J|v(s)\ds <a2e2kt, t > 0,
0 0
(4)
bu yerda p,G,klar musbat parametrlar(sonlar) hamda U- (3)-tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha u (•) funksiyalar to'plami; V -(4)-tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha v (•) funksiyalar to'plami (qarang [3.b-910]).
Yendi (1)-(4) foydalanib biz o'yichilarning harakat trayektoriyalarini topamiz (qarang [6.b-70]):
213
May 15,2024
Uchinchi renessansyosh olimlari: zamonaviy vazifalar,
innovatsiya va istiqbol Young Scientists of the Third Renaissance: Current
ChaLes.hnnoeon.andPru.en
x(t) = x0 + ju(s)ds, y(t) = y0 + jv(s)ds. 0 0
Yendi biz quyidagi ishlar [1-7] dagi kabi (1)-(4) o'yin uchun asosiy ta'riflarni
keltirib o'tamiz.
Ta'rif 1. u(t, v): R+xRn ^Rn uzluksiz funksiya quvlovchining strategiyasi deyiladi, agarda u - Borel o'lchanuvchi funksiya bo'lsa.
Ta'rif 2. Strategiya u - tutishni T(u) vaqt davomiyligida tugatadi deyiladi,
qachonki har bir v(-)e V uchun x(t*) = y(t*), t* e[0,T(u)] bo'lsa, bu yerda (x(t*), y(t*)) juftlik quyidagi
rx{t) = u{t,v{t)), x(0) = x0, y{t) = v(0, V(0) = y0
sistemaning yechimidir.
Ushbu masalada biz quvlovchi uchun parallel yaqinlashish ya'ni n strategiyani taklif qilamiz (qarang [1,b-35] ).
Ta'rif 3. Har bir v(•) e V uchun z(t) vektor:
z(t) = zQA(t, v(-)), A(0, v(0) = 1 bo'lsa, u holda strategiya u quvlovchining parallel yaqinlashish yoki n strategiyasi deb ataladi, bu yerda z(t) = x(t) - y(t), A(t, v(0) esa uzluksiz hamda
kamayuvchi funksiyadir.
Ta'rif 4. Quyidagi (5)-funksiya
u(t,v> v- A (t ^ A(t,v) = max{0,2<v,4> + SQelkt}
(5)
quvlovchiningn-strategiyasi deyiladi, agarda (1)-(4) o'yinda p > — bo'lsa, bu o2 — — z
yerda, S0 =pi—■.—, = —, <v,^0> - v va vektorlarning skalyar ko'paytmasi.
L I ' ^0
z0 z,
Yeslatma 1: |u(t, v)| = | v(t )| + S0e2ktA. (6)
A t* '
(7)
Teorema 1. Agar p> —bo'lsa va A(t) = 0 tenglama musbat yechimga ega bo'lsa, u holda quvlovchi (5)- n strategiya yordamida (1)-(4) o'yinda qochuvchini
[0,T] vaqt oralig'ida tutadi, bu yerda A(t) = 1--(elks -1) +—4~teM.
9h I - I V ' I - I
2—
2k I
May15,2024
214
Uchinchi renessans yosh olimlari: zamonaviy vazifalar,
innovatsiya va istiqbol Young Scientists of the Third Renaissance: Current
Isbot. Faraz qilaylik qochuvchi ixtiyoriy v(-)eV boshqaruvda harakat
qilyotgan bo'lsin, quvlovchi esa (5) - П strategiyadan foydalansin, u holda (1)-(4) o'rniga quyidagi o'yinni ko'ramiz:
z = u(t,v(t))-v(t) = -À(t,v(t))^0, z( 0) = ZqTO Yuqoridagi masalani yechish orqali quyidagi yechimni olamiz:
z(t ) = A(t, v()) z0,
(8)
1 t
bu yerda A(t, v(-)) = 1--JÀ(s, v( s))ds.
I z0 I 0
Quyidagi tengsizlikka ko'ra (qarang [2.760-b])
J max {0,p(s)} ds > max < 0, Jp(sds J>,
0 I 0
bu yerda p(s) ixtiyoriy integralanuvchi funksiya, biz quyidagi xulosaga kelamiz:
t ft J max {0,2<v(s), 4 > + 80 e2ks} ds > max J 0, J( 2<v(s), 4> + 80 e2ks ) ds
0 I 0
Oxirgi natijaga ko'ra
1 t _ A(t, v(-)) < 1 - — J( 2<v( s),& > + 80e2ks ) ds. 1 z0 1 0
Quyidagi belgilashni kiritamiz
- 1 t _ A(t, v(-)) = 1 - — J( 2<v(s),40 > + Ô0e2ks ) ds.
'0 I 0
A(t, v(-)) funksiya t > 0 argument bo'yicha monoton kamayuvchi ekanligini ko'rish qiyin emas , shunga ko'ra uni yuqoridan baholaymiz:
A(t, v(-)) < 1 -
2k I z
8 (e2ks -1) + ^ J|v(s)|ds.
-0 I 0
(4)-tengsizlikdan hamda Koshi-Bunyakovskii tengsizligidan foydalangan
holda, quyidagiga ega bo'lamiz
11 1 t f t Л 2 f t Л 2 f t Л 2
J|v(s)| ds < Jds J|v(s)| ds =ф J|v(s)|ds <o4~tekt.
0 V 0 J V 0 J V 0 J
Oxirgi tengsizlikdan biz quyidagi natijalarni olamiz:
May 15,2024
215
Uchinchi renessansyosh olimlari: zamonaviy vazifalar,
innovatsiya va istiqbol Young Scientists of the Third Renaissance: Current _Challenges, Innovations and Prospects
Л^,v(0) < 1--e2ks -1 ) + k—Jieы va Л({,v())<Л({).
2k|z0| ро|
p > — shaгtga ko'гa shunday T vaqtda Л^) = 0 bo'ladi va shunday mavjud
f e[0,T] vaqt uchun л({*^(•)) = 0 bo'ladi. л({*^(•)) = 0va (S) tenglikdan
foydalangan holda biz quyidagi xulosaga kelamiz.
z(t*) = 0 yoki x(0 = y(f) Yendi biz (5)- П-strategiyani joizligini, ya'ni (3) tengsizlikni [0,t*]vaqt oralig'ida qanoatlantirishini ko'гsatamiz. Faraz qilaylik qochuvchi V to'plamdan ixtiyoriy v (•) boshqamv tanlasin, u holda (6) va (V) dan foydalangan holda (5)- П strategiyani joizligini quyidagicha ko'reatamiz:
2 _ 2
Щ (t,v(t)) =| v(t) | +—-—À e2kt.
exp I — I 1 exp
lz0|
Oxiгgi tenglikni ikkkala tomonini [0,t* bo'yicha integrallaymiz
2—
t
t t Г>2 —n-2
JI u(t, v(t))|2 ds < J |v(s)|2 ds + JP — Àe2ksds.
0 0 0 z0
t „2 2
p i„2ks.
(4) tengsizlikka ko'ra biz quyidagiga ega bo'lamiz
* *
t t |(s,v(s))|2 ds < cr2e2 + I ~ Âe2sds. 0 0 lzo|
(7) tenglikdan foydalanib, quyidagi natijani olamiz
* *
t ^2 _ 2 t
|(s, v(s))|2 ds <a2e2kt* |ds = J2 +
0 \zo\ 0
*
t
Demak, |\u(s, v(s))| ds < p2e2kt . Teorema isbotlandi.
— -—2 ).
.Ht
REFERENCES
1. Azamov A. A., Samatov B. T. The n-strategy: analogies and applications, Contributions to Game Theory and Management, The 4th Int. Conf. Game Theory and Management, v. IV, (2010), b.33-47.
2. Samatov B.T. Problems of group pursuit with integral constraints on controls of the players I, Cybern. Syst. Anal. (2013), 49, b. 756-767.
3. Samatov B.T. Problems of group pursuit with integral constraints on controls of the players II, Cybernetics and Systems Analysis, (2013), 49,(6), b. 907-921.
May 15, 2024
0
216
