3Uchinchi renessans yosh olimlari: zamonaviy vazifalar,
innovatsiya va istiqbol Young Scientists of the Third Renaissance: Current Challenges, Innovations and Prospects
ALGEBRAIK CHIZIQLARNI "NYUTON KO'PBURCHAGI" USULIDA YECHISH (SHOXALARINI TOPISH) VA TASVIRLASH
Sh. Qurdashov
Sharof Rashidov nomidagi Samarqand davlat universiteti tayanch doktoranti. 9223shahriddin@gmail .com. O' zbekiston.
Oshkormas ko'rinishdagi algebraik chiziqlarni erkli o'zgaruvchining kasr darajasi bo'yicha yoyib o'rganish " Nyuton ko'pburchagi" usuli deb ataladi. U quyidagidan iborat: x va y o'zgaruvchilarga bog'liq
f(x,y) = 0 (1)
algebraik chiziq berilgan bo'lsin. Bu yerda f(x, y)-analitik algebraik chiziq. y ni x — a ning darajalari bo'yicha darajali qatorga yoyish talab etilsin. Umumiylikka zarar keltirmasdan a = 0 deb olamiz. Unga mos x = 0 qiymat oladi. Xususiy holda,f(x, y) n ning barcha qiymatida y ga nisbatan n-darajali polinom bo'lsin. Agar ularning barchasi turlicha bo'lsa, u holda fy xususiy hosilada x ning o'rniga nol va y o'rniga nolga aylanmaydigan biror qiymat qo'yamiz. U holda biz o'zgaruvchilarning bu qiymatlarida fX, fXX, - hosilalarning qiymatlarini topish imkoniyatiga ega bo'lamiz va Teylor qatori yordamida izlanayotgan yoyilmani hosil qilamiz. (1) ning maxsus nuqtasi aylanada yotadi, aylana ichida yaqinlashuvchi.
Agar f(0,y) = 0 tenglama b karrali ildizga ega bo'lsa, u holda fy(a,b) = 0
dkv
bo'ladi. U holda hosilani hisoblab bo'lmaydi. Shuning uchun tavsiflangan usulda
yoyilma qo'llanilmaydi. Bu holda izlanayotgan yoyilma "Nyuton ko'pburchagi" usuli yordamida hosil qilinadi va u quyidagidan iborat:
f(x, y) = An(x)yn + An-i(x)yn-1 + - + Ai(x)y + Ao(x) (2)
bo'lsin, bu yerda
An(x) = akxPk + ak+1xPk+1 + -,(ak * 0,k= 0,1,...) Faraz qilaylik, izlanayotgan y yoyilma x ning £ darajasi bilan boshlansin. £ ni va
y = cxE + c'x + - (3)
ni aniqlaymiz. (3) ifodani (2) ga qo'yib, aynan nolga tenglaymiz. Ifodani soddalashtirsak, ko'ramizki, quyidagi ko'phad bir yoki bir nechta x ning eng kichik darajalariga ega bo'lgan quyidagi
f(x,cxE + c'x£' + -) = ancnxPn+nE + an-1cn-1xpn-i+(n-1)E + - + a1cxpi+E +
a0xPo +— (4)
May 15, 2024
97
Uchinchi renessansyosh olimlari: zamonaviy vazifalar,
innovatsiya va istiqbol Young Scientists of the Third Renaissance: Current Challenges, Innovations and Prospects
Ifoda aynan nol bo'lishi uchun, eng kichik pk + ks ga ega bo'lgan had yagona bo'lmasligi kerak, chunki boshqa holda bu had hech nima bilan qisqarmaydi. Shuning uchun s sonni shunday olish kerakki,
Pn + ns, Pn-i + (n - 1)s, ..., pi + s, Po qiymatlardan hech bo'lmaganda ikkitasi teng bo'lsin, qolganlari boshqacha bo'lishi
ham mumkin. Ravshanki, izlanayotgan s n(n2+1) ta s = — dan iborat. Bu
qiymatlardan qaysilari biz tanlashimiz kerak bo'lgan qiymat ekanligini bilish uchun Nyutonning quyidagi geometrik usuli yordam beradi.
(n, Pn), (n — 1, Pn-1), , (1, Pl), (0, Po) koordinatali nuqtalarni koordinatalar to'riga qo'yamiz va bu nuqtalardan har biri orqali burchak koeffitsiyenti s bo'lgan parallel to'g'ri chiziqlar o'tkazamiz. Bu to'g'ri chiziqlardan har biri ordinata o'qini pk + ks (k = 0,1, ■) balandlikda kesadi. Shunday qilib, ikkita chekli o'lchov bu to'g'ri chiziqdan quyiga to'g'ri keladi, qolganlari esa yuqorida yotadi. (n, pn) nuqtaga chizg'ichni vertikal pastga quyib, soat strelkasi bo'yicha boshqa bir nuqtaga borib tekkunicha aylantiramiz, masalan bu nuqta (k, pk) bo'lsin.
Chizg'ichning holati aynan bitta s ning qiymatini aniqlaydi. Chizg'ichni (k, pk) nuqta atrofida avvalgi yo'nalishda aylantiramiz, birinchi to'g'ri keladigan (l, pl) nuqta bilan uchrashgungacha. protsessni davom ettirib, s ning barcha mumkin bo'lgan qiymatlarini hosil qilamiz. Hosil qilingan chizmadagi qavariq siniq chiziqlar Nyuton ko'pburchagi deyiladi. Bu kesmalarning har biriga ularning X o'qidagi proyeksiyasi nechta birlikni tashkil qilsa, shuncha har xil yoki ustma-ust tushuvchi c koeffitsiyentning qiymatlari mos keladi. Haqiqatan ham, agar pi + is va Pj + js lar kesmaning chetki nuqtalari bo'lsa, (4) ifodada quyi hadlar qisqarishi uchun aici + —+ ajCj = 0 ya'ni aici-j + —+ aj = 0 o'rinli bo'lishi kerak.
Bu c ga nisbatan tenglama i — j ta ildizga ega va hokazo. Boshqa tomondan, ko'pburchakning barcha proyeksiyalari uzunliklari n ga teng. Bu yerdan kelib chiqadiki, hosil qilgan barcha n larimiz y(x) yoyilma uchun boshlang'ich hadining qiymati bo'ladi.
Keyingi hadni hosil qilish uchun , (1) tenglamaga y = cxE + z ni qo'yib, yoyishni amalga oshirish kerak va z uchun quyi hadni topamiz. Umuman aytganda, hosil qilingan s, s', ■ qiymatlar kasr sonlardir.
Ko'pincha x ning darajalari bo'yicha yoyilma o'suvchi emas kamayuvchi holda
i
izlanadi yoki ayta olamizki, x = ro atrofida darajali qator. Ikki tipdagi yoyilma x = -
98
May 15, 2024
Uchinchi renessans yosh olimlari: zamonaviy vazifalar,
innovatsiya va istiqbol Young Scientists of the Third Renaissance: Current
almashtirish orqali bir-biriga o'tadi. Tushunarliki, bu yerdagi geometrik usulga mos algebraik hisoblashlarni amalga oshirish mumkin.
Misol. y2 — 2yx2 + x4 — x5 = 0 tenglamani x = 0 nuqta atrofidagi yechimlarini toping.
Yechish: y2 — 2yx2 + x4 — x5 = 0 tenglama yechimlarini quyidagi
ko'rinishda izlaymiz. y = cxE + c'x +— U holda
cxE + c
'Xe
+
)2 —2(
cxE + c'x +
) x2 + x4 — x5 = 0
bo'ladi. Demak, c2x2E +-----2cxE+2 +-----+x4+x5 = 0 hosil bo'ladi.
Yuqoridagi tengliklardan esa quyidagilarni hosil qilish mumkin:
n = 2;p = 0 va n = 1;p = 2 2—0
=2
Demak, izlanayotgan yechim y = cx2 + z ko'rinishda ekanligi ma'lum bo'ldi. Yoyilmaning keyingi hadlari ham huddi shu usulda topiladi.
z2 + x4 + 2x2z — 2x2z — 2x4 + x4 — x5 = 0
z2 — x5 = 0 5
Z = ±x2
5
Demak, biz izlayotgan yoyilma y = x2 ± x2 + — ko'rinishida bo'ladi. Bu esa bizga berilgan algebraik chiziqning shoxalarini ifodalaydi. Ushbu shoxalarni tasvirlasak uning grafigi ikki xil ko'rinishda bo'ladi.
y = x7 + X2 +
99
May 15, 2024
Uchinchi renessansyosh olimlari: zamonaviy vazifalar,
innovatsiya va istiqbol Young Scientists of the Third Renaissance: Current
ChaLes.hnnoeon.andPru.en
у = X7 — X2 +
Yuqoridagilardan ko'rinib turibdiki berilgan algebraik chiziqning tasviri quyidagicha bo'ladi.
REFERENCES
1. A.Soleev, X. Nosirova "Darajali geometriyaning chiziqli bo'lmagan masalalarga qo'llanilishi" monografiya Samarqand 2017 y.
2. А.Д.Брюно Решение алгебраического уравнения алгоритмами степенной геометрии. Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша, 2017, 034.
3. А.Д.Брюно О решении алгебраического уравнения. Препринты ИПМ
4. им. М. В. Келдыша, 2016, 070
5. A.Soleev, Power geometry in local resolution of Singularities of an algebraic curve. World science. № 6(58), Vol.1, June 2020. RS Global.
6. A.D.Bruno, A.S. Soleev, Local uniformization of branches of a space curve and Newton polyhedra. Algebra and Analiz, 1991. Vol. 3, no. 1. P. 67-102.
7. A.D.Bruno, A.B. Batkhin Asymptotic solution of an algebraic equation, DAN 440:3 (2011) 295-300 (R) = Doklady Mathematics 84:2 (2011) 634639 (E).
100
May 15, 2024
