13ISSN: 2181-1385 ISI: 0,967 | Cite-Factor: 0,89 | SIS: 1,9 | ASI: 1,3 | SJIF: 5,771 | UIF: 6,1
TO'RT O'LCHAMLI NILPOTENT UNAR LEYBNITS ALGEBRALARINING
TASNIFI
Ushbu maqola 4 o'lchamli nilpotent unar Leybnits algebralarining tasnifiga bag'ishlangan bo'lib, izomorfizm aniqligida 10 bitta parametrli va 12 ta parametrsiz algebralar olingan.
Kalit so'zlar: Leybnits algebralari, unar Leybnits algebralari, nilpotent algebralari, kotsikllar, avtomorfizmlar, kohomologik fazolar.
CLASSIFICATION OF FOUR-DIMENSIONAL NILPOTENT UNARY
LEIBNITZ ALGEBRAS
The paper is devoted to the classification of 4-dimensional nilpotent unary Leibniz algebras, 10 one-parameter and 12 non-parameter algebras are obtained in isomorphism accuracy.
Keywords: Leibniz algebras, unary Leibniz algebras, nilpotent algebras, cocycles, automorphisms, cohomological spaces.
Bizga ma'lumki algebralar nazariyasida klassifikatsiya masalalari juda muhim ahamiyatga ega. Klassifikatsiyalar o'z navbatida algebraik va geometrik klassifikatsiyalarga bo'linadi. Algebraik klassifikatsiyada ko'paytmalar jadvali orqali berilishi bu algebraning turli xossalarini o'rganishda juda muhim ahamiyatga ega bo'ladi.
Ma'lumki, nilpotent algebralar muhim ahamiyatga ega, chunki ularda trivial bo'lmagan markazga ega bo'ladi. So'nggi yillarda nilpotent algebralarni algebraik klassifikatsiyasiga bag'ishlangan bir qancha ishlar chop etilmoqda. Xususan, assotsiativ, komutativ, bikomutativ, Li, Leybnits, binary Leybnits, Yordan, Zinbiel va boshqa ko'plab algebralarning klassifikatsiyasiga bag'ishlangan
Niyozxon Ilyozxon o'g'li Ergashov Xursanoy Rasuljon qizi Mo'minova
Chirchiq davlat pedagogika universiteti magistrantlari niyozkhon98@mail.ru, xursanoy.muminova55@gmail.com
ANNOTATSIYA
ABSTRACT
ishlar chop etilmoqda [1-2, 4-5, 8-9,14].
February, 2023
Algebralar bo'yicha quyidagi bir nechta ishlar 4 o'lchamli Leybnits algebralari [11], 4 o'lchamli nilpotent terminal algebralari [12], 4 o'lchamli nilpotent kommutativ algebralar [13], 4 o'lchamli binary Li algebralari [16], 4 o'lchamli Zinbiel va 4 o'lchamli nilpotent Leybnits algebralari [17], 5 o'lchamli nilpotent Malcev algebralari [16], 6 o'lchovli nilpotent Lie [18] algebralari ko'rib chiqilgan.
Biz ushbu ishda 4 o'lchamli nilpotent Leybnits bo'lmagan unar Leybnits algebralarini tasniflaymiz.
Biz F maydoni ustidagi L algebraning x,y,z£L elementlari uchun quyidagi belgilashni kiritib olaylik.
L(x,y,z)=[x,[y,z]]-[[x,y],z]+[[x,z],y]=0 - Leybnits ayniyati. £ e(x,y,z)= 6 (x,[y,z])- 6([x,y],z)+ 6 ([x,z],y) Bu yerda 6 : L x L — V chiziqli akslantirish, V Vektor fazo
1-ta'rif. F maydoni ustida L algebra berilgan bo'lsin. Agar ixtiyoriy x,y,z£L elementlar uchun quyidagi ayniyat bajarilsa:
L(x, y, z) = 0 u holda L algebrasi Leybnits algebrasi deyiladi.
2-ta'rif. Aytaylik L, F maydoni ustida berilgan algebra bo'lsin. Agar L algebraning ixtiyoriy bitta xosil qiluvchidan iborat bo'lgan qism algebrasi Leybnits algebrasi bo'lsa u holda L algebra unar Leybnits algebrasi deyiladi.
A.Djumadildayev L algebraning unar Leybnits algebrasi bo'lishi uchun quyidagi ayniyatni bajaralishi zarur va yetarli ekanligini isbotlagan [15]
L(a, a, a) = 0, L([a, a], a, a) = 0.
Bizga berilgan A Algebrasi uchun quyidagi markaziy qatorni aniqlaymiz.
A 1= A, A 1+1= A 1 A + A 1-1 A 2+ A 1-2 A 3+...+ A 2 A 1-1+ A 1 A \
A algebra uchun shunday k e N son mavjud bo'lib, A k=0 bo'lsa, u holda A nilpotent algebra deyiladi. Ana shunday xususiyatga ega bo'lgan minimal k soni nilpotentlik indeksi yoki A algebraning nilindeksi deyiladi [3].
(A ,*) kompleks maydonida C da berilgan unar Leybnits algberasi va VC ustidagidagi vektor fazo bo'lsin. chiziqli fazo ( , ) barcha chiziqli
akslantirishlar to'plami 6 :AxA —> V ko'rinishda aniqlanadi.
£ e(x,y,z) + £e(y,x,z) + £e(y,z,x) + £ e(x,z,y) + £e(z,x,y) + £e(z,y,x) = 0 £ e ([*, y], z, t) + £ q ([x, y], t, z) + £ q ([x, z], y , t) + £ q ([x, t], y, z) + £ e ([x, z], t, y)
February, 2023 Multidisciplinary Scientific Journal
233
ISSN: 2181-1Э85 ISI: G,967 I Cite-Factor: G,89 I SIS: 1,9 I ASI: 1,3 I SJIF: 5,771 I UIF: 6,1
Л Eg ([X, t], Z, y) Л Eg ([y , X], Z, О Л Eg ([y , X], t, Z) Л Eg ([Z, X], y, О Л Eg ([ t, X],y, Z)
Ushbu elementlar unar Leybnits algebrasining kosikllari deb ataladi. f chiziqli akslantirish uchun A dan V gacha, agar S f :AxA —V ni S f (x,y) =f (xy) ko'rinishda olsak, S f E Z UL2 (A,V) bo'ladi. Biz B U L2 (A,V) = [в = S f :fE H o m (A ,V)} kabi aniqlaymiz. H U L2(A ,V) ikkinchi kohomologik fazoni ZUL2(A,V)/BUL2(A,V) bo'linma fazo kabi belgilaymiz. Endi A algebra deganda unar Leybnits algebrasini tushunamiz.
А и t (A ) A algebraning avtomorfizm guruppasi va ф E А и t (A ) bo'lsin. в E ZBL2(A,V) uchun А и t (A) gruppasining ZB L2(A ,V) dagi ta'sirini ф в (x,y) = в(ф&),ф(y)) orqali belgilaymiz. BBL2(A,V) ning АШ(A) ta'sirida o'zgarmasligini tekshirish qulay. Demak, HBL2 (A,V) ning А и t (A) qo'zg'atilgan ta'siri mavjud.
A algebra С ustida m o'lchamli binar Leybnits algebrasi va V к o'lchamli С vektor fazo bo'lsin. в chiziqli akslantirish uchun, Ag = A 0 V chiziqli fazoda barcha x,yEA, x',y'EV lar uchun [—,— ] Aq amalida
[x Л x', y Л y']Ae = xy Л в(x,y) aniqlaymiz. Ag algebraga A algebraning V dagi k — o'l cho v l i markaZiy к eng aytmas i deb ataladi. A g unar Leybnits algebrasi bo'ladi, agar в E ZBL2(A,V) bajarilsa yetarli.
А nn ( в ) = [x E A : в (x,A) + в (A ,x) = О } to'plamni в ning anmi ly at o r i deb ataymiz . A algebra anna lyator i ideali
А nn (A ) = [x E A : x A + A x = О } sifatida belgilanadi. E'tibor qilsak А nn (A g) = (А nn ( в ) П А nn (A )) 0 V ekanligini ko'rish mumkin.
A algebra ei, e2,.. .,en bazisga ega bo'lgan nilpotent algebra bo'lsin. Uni Лlj ko'rinishdagi bichiziqli forma bilan belgilaymiz. Л i j :AxA—»С va Лij(elem)= SllSjm bo'lib {Л j. l<i,j<n} to'plam A dagi bichiziqli formalar chiziqli fazosi uchun bazis bo'lib [4], har bir в e ZBl2 (A,V) uchun yagona в = S i < ij < n cij Л ij mavjud. Bu yerda сц e С.
Bizga Leybnits bo'lmagan unar Leybnits algebralari kerak, demak, markaziy kengaytma orqali ko'rib chiqayotgan algebramiz hosil qiluvchilari 2 ga teng bo'lishi kerak. Abel algebrasining markaziy kengaytmasi ko'rib chiqsak, algebraning 3-darajasi nolga teng bo'ladi, bu algebra Leybnits
Л E g ([Z, X], t, y) Л E g ([ t, X], Z, y) Л E g ([y, Z], X, t) Л E g ([y, t], X, Z) Л E g ([Z, y], X , t) Л E g ([ t, y], X , Z) Л E g ([Z, t], X , y) Л E g ([ t, Z], X , y) Л E g ([y , Z], t, X) Л E g ([y , t], Z , X) Л E g ([Z, y], t, X) Л E g ([ t, y] , Z, X) Л E g([Z,t],y,X) Л E g ([ t ,Z],y,X) = О
algebrasi ham bo'ladi. Shuning uchun biz abel algebrasining
February, 2023
ISSN: 2181-1385 ISI: 0,967 | Cite-Factor: 0,89 | SIS: 1,9 | ASI: 1,3 | SJIF: 5,771 | UIF: 6,1
markaziy kengaytmasini qaramaymiz. Biz Leybnits bo'lmagan unar Leybnits algebralarini faqat 3 o'lchamli 2 ta hosil qiluvchi nilpotent Leybnits algebralarining bir o'lchamli markaziy kengaytmalari orqali topamiz. Bunday algebralar quyidagicha.
Endi yuqoridagi algebralarning kohomologik gruppalarini keltiramiz.
N0i: ei£?i = e2
HBL2(VV° !) = ([Ax 3], [A 2 J, [A 3 J, [A 3 3]> H M L2(Vo i) = H B L2( N o 1 )©<[A? 3]>_
N02 : ei^ = e3 e2e1 = —e3
H B L2(Vo 2 ) = <[A i J, [Ai 2], [A i 3 - A 3 1 ], [A 2 2 ], [A 2 3 - A 3 3]> H M L2(Vo 2 ) = H B L2(N 0 2 ) ® <[A3 1], [A 3 2], [A 3 .,]> N03- = e3 eie2 = e3 e2e2 = ae3
H B L2 (V^T 0 ) = <[A 1 2,], [A 2 1 ], [A2 2 ]>
) <[ ] [ ] [ ] [ ]>
H M L2(W£T° ) = H B L2(W£T° ) ® <[A3 1 + A 3 2 ]> H M L2(V0°3 ) = H B L2(V0°3 ) © <[A3 2 ]> N04\= e3 e2e2 = e3 H2 (V° 4) = <[A 1 2 ], [A2 1], [A2 2 ]> H M L2(V° 4) = H B L2(N ° 4) © <[A 3 1 , [A 3 ?.]]>
1.1. N ° 1 algebraning markaziy kengaytmasi. Quyidagicha belgilashlar kiritib olamiz.
V1= [A1 3], V2= [A2 1 ], V 3= [A3 1 ], V 4= [A2 3 ], V5= [A3 3 ]
0 = £f= ¿V ¿G H M L2(VV° 1 ) holatni qaraylik. VV° 1 algebraning avtomorfizmlar guruppasi quyidagi matritsalardan iborat
Nqi : = e2
N02 : = e3 e2e1 = -e3 No3 - eiei — e3 e±e2 = e3 N04\= e3 e2e2 = e3
e2e2 = ae3
Bu yerdan biz ushbu tenglikni olamiz /0 0 /a*
ISSN: 2181-1Э85
ISI: G,967 I Cite-Factor: G,89 I SIS: 1,9 I ASI: 1,3 I SJIF: 5,771 I UIF: 6,1
Biz {Ss= 1 а¿V^ qism fazoga Aut( N о 1 ) ni ta'sir ettirib {Ss= 1 а*V¿> ni olamiz,
bu yerda
a a a a
t (x а1 + yа4 + и а s), x2 (x а 2 + и а4) ,
xza2 + txa3 + uza4 + tua5, tx2 cc4,
а S — t (z а4 Л t а s )
Bizga ajralmaydigan hamda Leybnits bo'lmagan unar Leybnits algebralarning
xa2
tasnifi kerak shuning uchun а4 ф О bo'ladi. y — x (a2as ^ aia*) , и —
aî
a4
va
tas
Ci л
ko'rinishda tanlasak, а* — а* — а S — О va а1 — а2 — а s — О bo'lib,
quyidagilar kelib chiqadi.
а * — tx а з, а* — tx а4.
(1) Agar а4 — О bo'lsa {V4> mavjud.
(2) Agar аз ф О bo'lsa va x — — ko'rinishda tanlab olsak {Vз Л V4> mavjud. Biz quyidagi orbitalarga ega bo'lamiz
{V4>, + V 4>,
Bu orbitalarga mos algebralar quyidagicha.
L\ : elel — e2 e2eз — e4
Li : e^l — e2 e2eз — e4 eзel — e4
1.2. N о 1 algebraning markaziy kengaytmasi. Quyidagicha belgilashlar kiritib olamiz:
Vl— [Л i l ], V2— [Л12], V 1— [Л 1 з — Л з I ], V4 — [Л 2 2],
V s— [Л 2 з — Л з 2], V 6— [Л з J, V7— [Л з 2 ], V8— [Л з з],
S E ) holatni qaraylik. algebraning avtomorfizmlar
guruppasi quyidagi matritsalardan iborat.
/х z О p — (y t О Vu q xt — yz/ Bu yerdan biz ushbu tenglikni olamiz
(p1
0
a2 a4
\CLfy CC3 CCj Ctg
a a
* * CC(1 — a-y
a2 + a
*
a4
* H-
a-7 — ac
Biz {S^ 1а^ ^ qism faazoga Aut( N о 2 ) ni ta'sir ettirib {S^ 1 а*Vni olamiz, bu yerda
a\ = x2a± + xya2 + y2a4 + uxa6 + uya7 + u2aQ,
February, 2023
ISSN: 2181-1385
ISI: 0,967 | Cite-Factor: 0,89 | SIS: 1,9 | ASI: 1,3 | SJIF: 5,771 | UIF: 6,1
a * = 2 xz a ± + * ( tx + y z)a 2 + 2 ty a 4 + q x a 6 + uz a 6 + tu a 7 + q y a 7
+ 2quaQ, a * = (x t — yz) (x a 3 + y a 5 + u a 8), a4 = z2a± + tza2 + t2a4 + qza6 + qta7 + q2as, a * = (x t — y z) (z a 3 + t a 5 + qa 8 ), a * = (x t — y z) (x a 6 + y a 7 + 2 u a 8 ), a * = (x t — y z) (z a 6 + t a 7 + 2 qa 8) , a* = (xt — yz)2a8.
Bizga ajralmaydigan hamda Leybnits bo'lmagan unar Leybnits algebralarning tasnifi kerak shuning uchun ( a6, a7, a8) ^ ( 0 ,0 ,0 ) bo'ladi.
(1) a8 = 0 , bo'lsin, hamda ( a6, a7) ^ 0 va umumiylikka ta'sir etmagan holda
( p ga mos keladigan hol bo'yicha) a6 ^ 0 deb z =
t (x a2+2 y a4 )
ta6 x2a1+xya2+y2a4
U =
q=
a6
ko'rinishda
xa6+ya7
tanlasak
xa6
, * *
a* = a* = a* = a* = 0 bo'lib, Quyidagilar kelib chiqadi.
a * = tx (x a 3 + y a 5),
* _ ,2
CC4 — L CC4,
* _ ,2
ag — t xa5,
* _ , 2
Ctg — lX CCfr
(a) a5 = 0 bo'lsin.
(i) (a) Agar a4 = 0, bo'lsa, (aV3 + V6) mavjud;
(ii) (a) Agar a4 ^ 0 , bo'lsa va t = x-a- ko'rinishda tanlasak (aV3 + V4 + V6) hosil bo'ladi.
(b) a 5 ^ 0 bo'lganda y = — ^ ko'rinishda tanlab a * = 0 ni olamiz.
a5
t CY
(i) Agar a4 = 0 bo'lganda x = —- ko'rinishda tanlab olsak (V5 + V6) mavjud
a6
hosil bo'ladi;
a4 _ a4 a6
(ii) Agar a4 =£ 0 bo'lsa va x = ^ t = (V4 + V5 + V6) hosil bo'ladi.
ko'rinishda tanlab olsak
at
(2) a 8*0 bo'lsa hamda u = —xa^+a, q = - za&+ta7
2 ctg 2(Zq
ko'rinishda
tanlasak a * = a * = 0 hosil bo'ladi.
Shunday qilib umumiylikka ta'sir etmagan holda a 6 = a7 = 0 ko'rinishda tanlasak, quyidagilar kelib chiqadi.
a\ = x2a± + xya2 + y2a4,
February, 2023
237
ISSN: 2181-1385
ISI: 0,967 | Cite-Factor: 0,89 | SIS: 1,9 | ASI: 1,3 | SJIF: 5,771 | UIF: 6,1
a* = 2 xza± + * ( tx + yz)a2 + 2 tya4 , a * = (tx — y z) (x a 3 + y a 5 ), a4 = z2a± + tza2 + t2a4, a * = (tx — y z) (za 3 + t a 5 ), a * = (x t — yz)2a 8 (a) ( a 3, a 5)=(0,0) bo'lganda. Quyidagi holatlar hosil bo'ladi:
(i) ( a1t a2, a4) = ( 0, 0 ,0), bo'lganda (V8> mavjud.
(ii) a1, a2, a4) ^ ( 0 ,0 ,0 ), bo'lganda umumiylikka ta'sir etmagan holda ( cp ga mos keladigan hol bo'yicha) at ^ 0 deb,
(A) a2 — 4axa4 0 va x =
a 2 +
— S
a2~4a1a4
2 ai
y = 1 , z =
-a 2 +
a|-4a1a4
—, t=a±.
2 ap
aa
ko'rinishda tanlasak (V2 + V8> kelib chiqadi.
(B) a2 — 4axa4 = 0 bo'lganda z =
a7
2 a1
— , t= I—, ko'rinishda tanlasak
(XO -vi (Xo
(V t + V 8>kelib chiqadi. (b) ( a3, a5) ^ (0 ,0 ) bo'lganda umumiylikka ta'sir etmagan holda ( p ga mos
tas
keladigan hol bo'yicha) a3 ^ 0 va z =--, ko'rinishda tanlasak a * = 0 kelib
a2 = 0 bo'lsa t = —, ko'rinishda tanlasak (ocV-l + V3 + V8> hosil
a8
2 a?
chiqadi.
(i) a4 = 0. Bo'lgan holatda.
(A)
bo'ladi:
(B) a2 ^ 0 bo'lganda x = —, y = ——, t = —, ko'rinishda tanlasak
&3 a2 a8
(V2 + V3 + Vq> hosil bo'ladi.
(ii) a4 ^ 0, bo'lganda y =
xa2 x = Ia±, t = — ko'rinishda tanlasak
2a a
' a.
afí
(aVt + V3 + V4 + V8> hosil bo'ladi.
Yuqoridagilardan xulosa qilsak bizda quyidagi orbitalar mavjud. (aV3 + V6>, (aV3 + V4 + V6>, (V 5 + V6>,
(V4 + V 5 + V6>, (V8>,
(V± + V8>, (aV± + V3 + V8>,
(aV± + V3 + V4 + V8>, Bu orbitalar quyidagi yangi algebralarni beradi: Li(a) : e ^2 = e3 e±e3 = a64
63^1 = (1 — a)e 4
( >, ( >,
e2ex = —e3
February, 2023
238
L4(a): ^2 = e3 £?3£?i — ( 1 — a) ele3 = e4 ae4 e2ei = ~e3 e2e2 = e4
: ^2 = e3 e2el = ~e3 = e4 6361 = e4 e3e2 = ~e4
i 4 : L 6 : ^2 = e3 e3e2 = —e4 e2el = ~e3 e2e2 = e4 — e4 e3et = e4
L 4 : L 7 : ^2 = e2el = ~e3 6363 = e4
L 4 : L 8 : e±e2 = e3 + e4 e2el = ~e3 6363 = e4
L 4 : L 9 : — 64 ele2 = = ~e3 6363 = e4
Li 0 ( a) : e3e3 = e4 ele2 = 63 e±e3 = e4 = ~e3 e3el = ~e4
L 4 : Li i : e±e2 = e3 + e4 e±e3 = e4 = ~e3 6361 = ~e4 e3e3 = e4
Li 2 ( a) : ele2 = 63 e±e3 = e4 e2ei = ~e3 e2e2 = e4
e3ei = -e4
e3e3 = e4
qT[ « 2
1.3. N,?0 algebraning markaziy kengaytmasi. Quyidagicha belgilashlar kiritib olamiz:
Vi— [A ! 2 ], V2= [A 2 !], V3= [A 2 2 ], V4= [A 3 ! + A3 2 ], V 5— [A 3 2],
0=£f= ¿V ¿G H M L2 (Nq?0 ) holatni qaraylik. N0 algebraning avtomorfizmlar guruppasi quyidagi matritsalardan iborat
/ x —ay 0
q — ( y x + y 0
yz t x2 + xy + y2 Bu yerdan biz ushbu tenglikni olamiz
0 a± 0\ (a* al + a* 0' a 3 0 ) q — ( a* a 3 + a a* 0
,a4 a4 + a5 0/ \a*4 a*4 + a*5 0
Biz (Xf= i ajVj) qism fazoga Aut(N(? 0) ni ta'sir ettirib (£ f= i aj*Vj> ni olamiz, bu yerda:
a* — x2ai + y (x + ya)a2 + xya3 — yzaa4 + xza 5, a* — —y2a ai + (x + y) (x a2 + y a3 ) + t (x + y)a4 + tya 5, a* — —y ( 2 x + y) a ( ai + a2 ) + ( (x + y)2 — y 2a)a3
+ (t (x + y) + (—ty — xz — yz)a)a 4 + (t (x + y) — yza)a 5, a* — (x2 + xy + y 2a)( (x + y)a4 + ya 5). a 3 — (x2 + xy + y2a) (—y aa4 + x a 5). Bizga ajralmaydigan hamda Leybnits bo'lmagan unar Leybnits algebralarning tasnifi kerak, shuning uchun, ( a4, a 5) ^
February, 2023
239
( 0 ,0 ) bo'lganda umumiylikka ta'sir etmagan holda a4 Ф 0 deb tanlashimiz mumkin. (1) a a 2 + a 4a 5 + a 1^0 bo'lgan holda
_ у(a4+a5) _ у(aa1a4(a4+2as)+aa2a4(a4 +2as)+a3(aa4 + a\))
СС _ — , L _
ССд
a4( a a2+a4a s+a 2 )
y ( a1(a4 + 2 a 5)2 — a4 ( a2 ( ( 1 — a)a4 — a r) + a3(a4 + a r))
z —-
a4 ( a a\ + a4a r + a \ )
Ko'rinishda tanlab, quyidagilarga ega bo'lamiz
* Н< Н< Г\
at = a3 = a4 = 0 ,
у2 ( - a a 1 a2+a s( - a 3a4+a 2 ( a4+a s)})
*
a-, =
*
a-, =
ai
2\2
y a a\ + a4a r + a 2)
ai
(a) Agar — aatal + a5(—a3a4 + a2(a4 + ar)) = 0 bo'lganda (Vr) hosil bo'ladi.
(b) Agar — a a 1a2 + a r(—a 3a4 + a 2 ( a4 + a r )) Ф 0 bo'lganda
a4( a a -1a4-a s( -a 3a4+a2 ( a4+a 5)))
y = —---—5-T-z-- ko'rinishda tanlasak (V2 + Vr) hosil bo'ladi.
(aa2+a4a5+a2)2 2
(2) aa% + a4ar + a2=0, ar = —1( 1 + j 1 — a4)a4, bo'lganda y = 0 , t=
xa2
a4
Z =
2 хал
ko'rinishda tanlasak
a4+ J( 1-4 a) a2
al — a2 —
X'
*
CCo. =
( 2aa1a4 + 2aa2a4 — a3 ( a4 + j( 1 — 4a)a%))
a4 + j ( 1 — 4 a)a\
* 3 cc4 — x cc4,
a4 = —1c3 ( a4 + j( 1 — 4a)ahosil bo'ladi.
(a) Agar 2aa^ + 2aa2a4 — a3 ( a4 + j( 1 — 4a)a%) = 0 bo'lsa (V 4 —1j( 1 — 4a)Vr) hosil bo'ladi.
(b) Agar 2aa1a4 + 2aa2a4 — a3(a4 + j( 1 — 4a)al) = 0 bo'lsa hamda
2aa1a4+2aa2a4-a3( a4 +
X =
(1 - 4 a) al
ko'rinishda tanlasak
a4(a4+ J( 1-4 a) a2 )
(V 3 + V4—1( 1 + V 1 — 4 a)V r) hosil bo'ladi.
February, 2023
240
1.4. N o 3 algebraning markaziy kengaytmasi. Quyidagicha belgilashlar kiritib olamiz:
Vi= [Ai 2], V2= [A 2 !], V 3= [A 2 2 ], V4= [A 3 i + A3 2], V 5= [A 3 2], 0 = £f= \ « ¿V ¿G H M L2( Nq3 ) holatni qarasak, Nq3 algebraning avtomorfizmlar guruppasi quyidagi matritsalardan iborat:
Bu yerdan biz ushbu tenglikni olamiz
'a* a\ + a* 0N
«2 «3 0
a\ a\ + a^
Biz (£ 5= 1«tVj) qism fazoga Aut(N0°3) ni ta'sir ettirib (£ 5= 1«i*Vj> ni olamiz, bu yerda:
«2 = x (x «1 + (x — y)«2 — x «3 + y «3 + z« 5 ), a2 = xy « 2 + y (—x + y)« 3 + t (y«4 + (—x + y) a 5), «3 = y (y«3 + t ( «4 + « 5 )), «3 = xy (y «4 + (—x + y)a 5 ),
a* = x2ya5
Bizga ajralmaydigan hamda Leybnits bo'lmagan unar Leybnits algebralarning i kerak shuning uchun, « 5 ^ 0 bo'ladi z = tanlasak «2 = 0 bo'ladi va quyidagilar kelib chiqadi
(1) Agar « 5 + quyidagilar hosil bo'ladi;
tasnifi kerak shuning uchun, « 5 ^ 0 bo'ladi z = — xa 1+(x y ) ( a2 a3) ko'rinishda (1) Agar « 5 + « 4 = 0 bo'lganda t = y (xa2+( x+y) a3 ) deb tanlasak
XCC5
«3 = y2« 3> «2 = — x2 y« 5,
a*5 = x2ya5
(a) Agar « 3 = 0 , bo'lsa (V4 — V 5) hosil bo'ladi;
(b) Agar « 3 ^ 0 , bo'lsa x = 1 , y = —- ko'rinishda tanlab (V 3 + V4 + V 5)
a3
a 5
; 0, uo lsa x = 1 , y = — hosil qilamiz.
(2) Agar « 5 + «4 ^ 0 bo'lsa va y = xa 5 , y = — x a3as2 ko'rinishda
v 7 0 5 4 ^ a4+a 5 ^ ( a4+a 5)2
tanlasak quyidagilar hosil bo'ladi;
2
^ X cc^cc^
2 a4+as'
a3 — aS —
February, 2023
241
ISSN: 2181-1385
ISI: 0,967 | Cite-Factor: 0,89 | SIS: 1,9 | ASI: 1,3 | SJIF: 5,771 | UIF: 6,1
«5 =
_ x3a\
a4+a5
(a) Agar a2 = 0 bo'lsa (V 5> hosilbo'ladi;
(b) Agar a 2 * 0 , bo'lganda x = — ko'rinishida tanlasak (V 2 + V 5>hosil bo'ladi.
a5
N 03 algebraning markaziy kengaytmasining barcha hollarini jamlasak quyidagilarga ega bo'lamiz.
(V 5>, (V 2 + V 5> (V4 - j (1 + V 1 - 4 a)V5>,
(v 3 + V4 - j (1 + vn-4a)V 5>, ( 74 - j ( 1 - vi-4a) ^ (V 3 + 74 - j ( 1 - vi-4a) ^5>a * 0,
Bu esa bizga quyidagi yangi algebralarni beradi:
'a* 0'
L1 3 ( a) : — e3 ^2 = e3 e2e2 = ae3 e3e2 = e4
Lj 4 (a) : : e^i — e3 ^2 = e3 = e4 e2e2 = ae3
— e4
L1 5 ( a) : : e^i — 63 ^2 = e3 e2e2 = ae3 = e4
— Hi 2 v - V 1 - 4 a)e4
Lj 6 (a) : : e^i — ^2 = e3 e2e2 = a e 3+e4 = e4
— 2 v - V 1 - 4 a)e4
Lj 7 ( a * 0 ) : : e^i — e3 ^2 = e3 e2e2 = ae3 = e4
— j( 1 + V 1-4 a)e4
Lj 8 ( a * 0 ) : : e^i — e3 ^2 = e3 e2e2 = a e 3+e4 = e4
e3e2 — j( 1 + V 1-4 a)e4
E'tibor bersak Lj 7 ( 0 ) va Lj 8( 0 ) algebralar bir o'lchamli annihilatorga ega Leybnits algebralaridir.
1.5. AÍq4 algebraning markaziy kengaytmasi. Quyidagicha belgilashlar kiritib olamiz:
V 1= [Aj 2 ], V 2= [A2 J, V 3= [A2 2], V4 = [A3 J, V 5= [A3 2], 0 = £5= 1 a ¿V ¿G H ML2(iVo 4) holatni qarasak. algebraning
avtomorfizmlar guruppasi quyidagi matritsalardan iborat: / x y 0 P1 = ( -y x 0
y Z t X2 + y2J \z
Bu yerdan biz ushbu tenglikni olamiz
February, 2023
242
ISSN: 2181-1385
ISI: 0,967 j Cite-Factor: 0,89 j SIS: 1,9 j ASI: 1,3 j SJIF: 5,771 j UIF: 6,1
/0 at 0\ /a* a\ 0\ ( \ I ;z аз О ) ( — I а 3 а" + а3 О I, \а4 а5 О/ у а* а* ОJ
Biz (X f= 1 а ¿V ¿> qism fazoga Aut(VV0 4) ta'siг ettirib (X s= а ¿3V ¿> ni hosil qilamiz. Bu yerda:
а" — xz;1 + у (—у ;z + z;4) + x (—Уаз + z а s ),
а " — — у z;1 + x (x а z — у а 3 + t а4) — tу а s,
*
аз
— 2 xу (а-L + ;z) + (xz — уz )аз + ( tу — xz);4 + ( tx + уz)а s, а" — (xz + у z) (x а4 — у а s), а " — (xz + у z) (уа4 + x а s ). Bizga ajralmaydigan hamda Leybnits bo'lmagan unar Leybnits algebralarning tasnifi kerak, shuning uchun ( а4, а s) : ( О , О ) bo'ladi va umumiylikka ta'siï etmagan holda а4 : О ko'rinishda tanlab quyidagilami hosil qilamiz.
(1) (a) Agar а| + а \ : О bo'lsa, у —
ха5
a4
Х(%2 0-4 "ЬХй^з СС4 OCç — XOC-^OCg
t , т , z
) ))
ko'гinishda
* _ x2 (а1а2+а5 (а3а4- а2а5) * _ x 3(а2+а2 )2
, а4 — z
ai
ai
а4( а2" а 2 ) ' ~ а4( а2" а 2 )
2 (г*
tanlasak ,
hosil bo'ladi.
( а) Agar а1а| + а s ( аза4 — а^ s) — О, bo'lganda (V4> hosil bo'ladi.
( Ь) Agar а1а| + а s ( аза4 — а^ s) : О ko'гinishda tanlasak
))
x =
( а2" а § )2
,2 i ™2 _
1 ko'гinishda belgilasak (V L + V4> hosil bo'ladi.
(2) Agar а| + а z — О bo'lsa quyidagicha tanlab olsak
t _ y2а1-x2а2+ xy а3 _ уа^ "( (zx2"y2 )± ¿xy) I а3а4(х 3+¿y 3 ) I xа2а4(xy ± ¿ (x2I zy2 )) а4^ ± ¿y) ' а2 (x ± ¿y)2 '
* * /Л И<
а3 = а5 = 0, а± =
(x 21 y2 ) ( а i" а2+а 3 )
(x±¿y)2 , — (xz+уz ) (x ± ^) а 4, а а— + i (xz +
уz )(x + iу) а4 hosil bo'ladi.
(a) Agar а 1 + а z+а 3 — О , bo'lsa (V4 ± iV s> ga ega bo'lamiz
(b) Agar а 1 + а z+а 3 : О bo'lsa u holda у — О , у — а1" а2+а3 ko'rinishda
tanlasak (V 1 + V 4 + iV s>ni hosil qilamiz.
) ushbu automorfizm )
V4 — iV s va ( z( V L + V4 + iV s ) — V L + V4 — iV s shartlarni
February, 2023
243
bajarganligi sababli (V4 + iV 5>, (V Í + V4 + ¿V 5) alohida orbitallarga ega bo'lamiz..
Xulosa qilib aytganda (V 4> (V Í + V 4> (V 4 ± iV 5), (V Í + V 4 + iV 5) orbitalar hosil bo'ladi.
Bu esa quyidagi algebralarni beradi:
e±e2 = e3 e2e2 = e3 e3ex = e4
= e3 exe2 = e4 e2e2 = e3 e3ex = e4 = e3 e2e2 = e3 e3ex = e4 e3e2 = ie4 = e3 e±e2 = e4 e2e2 = e3 e3e± = e4 e3e2 = ie4 Endi biz 4 o'lchamli nilpotent unar Leibniz algebralarining barcha tasniflarining natijalarini umumlashtiramiz.
1-teorema. L kompleks sonlar maydonida berilgan 4 o'lchamli nilpotent unar Leybnits algebrasi bo'lsa, u holda L binar Leybnits algebrasi bo'ladi yoki quyidagi
I 4
19
I 4
^20
I 4
^21
I 4
b22
algebralardan biriga izomorf bo'ladi:
I 4 L,1 = e2 e2e3 — e4
Li = e2 — e4 e3el = e4
L43 ( a) = e3 e±e3 = ae4 e2el = ~e3
i = ( 1 — a)e4
L44 (a) = e3 e±e3 = ae4 e2ex = -e3 e2e2 = e4
= ( 1 — a)e4
I 4 L5 = e3 e2et — ~e3 e2e3 = e4 e3ex = e4
= ~e4
I 4 L6 = e3 e2et — ~e3 e2e2 = e4 e2e3 = e4
= e4 e3e2 — -e4
I 4 by = e3 e2et — ~e3 e3e3 = e4
I 4 b8 = e3 + e4 e2et — ~e3 e3e3 = e4
I 4 L,9 = e4 e±e2 — e3 e2el = ~e3 e3e3 = e4
LÍ 0 ( a) = ae4 e±e2 — e3 ele3 = e4 e2e± = -e3
i = -e4 e3e3 e4
I 4 = e3 + e4 e±e3 — e4 e2el = ~e3 e3et = -e4
= e4
LÍ 2 ( a) = ae4 e±e2 — e3 ele3 = e4 e2e± = -e3
= e4
= ~e4 e3e3 e4
LÍ 4 ( a) = e3 e±e2 — e3 e2e2 = ae3
e3e2 = e4
February, 2023
244
L4 4 ( a) : = e3 ^2 = e3 e2ei = e4
= ae3 e3e2 = e4
L4 5 ( a) : = e3 = e3 e2e2 = ae3 e3ex = e4
2 v — V i — 4 a)e 4
L4 6 ( a) : = e3 = e3 e2e2 = ae3+e4 e3ex = e4
2 v -V i — 4 a)e 4
L4 7 (a^0) : = e3 = e3 e2e2 = ae3 e3ex = e4
e3e2 — 4 a)e 4
L4 8( a * 0 ) : = e3 = e3 e2e2 = ae3+e4 e3ex = e4
e3e2 =2(1+Vl — 4 a)e 4
L 4 : L 1 9 : = e3 = e3 6361 = e4
i 4 : L 2 0 : = e3 = e4 e2e2 = e3 e3et = e4
L 4 : L 2 1 : = e3 e2e2 = e3 6361 = e4 e3e2 = ie4
L 4 : L 2 2 : = e3 ^2 = e4 e2e2 = e3 e3et = e4
e3e2 = ie4
REFERENCES
[1] Abdelwahab H., Calder'on A. J., Kaygorodov I., The algebraik and geometrik classification of nilpotent binary Lie algebras, International Journal of Algebra and Computation, 29 (2019), 6, 1113-1129.
[2] Abdurasulov K., Kaygorodov I., Khudoyberdiyev A., The algebraik and geometrik classification of nilpotent Leibniz algebras.
[3] Albert A., On the power-associativity of rings. Summa Brasiliensis mathematicae, 2 (1948), 2, 21-32.
[4] Alvarez M., Fehlberg J'unior R., Kaygorodov I., The algebraic and geometric classification of Zinbiel algebras, Journal of Pure and Applied Algebra, 226 (2022), 11, 107106.
[5] Alvarez M.A., Kaygorodov I., The algebraik and geometrik classification of nilpotent weakly associative and symmetrik Leibniz algebras, Journal of Algebra, 588 (2021), 278-314.
[6] Arenas M., Arenas-Carmona L., Universal Poisson envelope for binary-Lie algebras, Communications in Algebra, 41 (2013), 5, 1781-1789.
[7] Arenas M., Shestakov I., On speciality of binary-Lie algebras, Journal of Algebra and Its Applications, 10 (2011), 2, 257-268.
February, 2023
245
ISSN: 2181-1385 ISI: 0,967 j Cite-Factor: 0,89 j SIS: 1,9 j ASI: 1,3 j SJIF: 5,771 j UIF: 6,1
[8] Benayadi S., Kaygorodov I., Mhamdi F., Symmetric Zinbiel superalgebras, Communications in Algebra, to appear, arxiv:2203.00311
[9] Burde D., Steinhoff C., Classification of orbit closures of 4-dimensional complex Lie algebras, Journal of Algebra, 214 (1999), 2, 729-739.
[10] Camacho L., Kaygorodov I., Lopatkin V., Salim M., The variety of dual Mock-Lie algebras, Communications in Mathematics, 28 (2020), 2, 161-178.
[11] Ismailov N., Kaygorodov I., Volkov Yu., The geometric classification of Leibniz algebras, International Journal of Mathematics, 29 (2018), 5, 1850035.
[12] Kaygorodov I., Khrypchenko M., Popov Yu., The algebraic and geometric classification of nilpotent terminal algebras, Journal of Pure and Applied Algebra, 225 (2021).
[13] Fernandez Ouaridi A., Kaygorodov I., Khrypchenko M., Volkov Yu., Degenerations of nilpotent algebras, Journal 'of Pure and Applied Algebra, 226 (2022), 3, 106850.
[14] Camacho L., Kaygorodov I., Lopatkin V., Salim M., The variety of dual Mock-Lie algebras, Communications in Mathematics, 28 (2020), 2, 161 -178.
[15] Ismailov N.A., Dzhumadil'daev A.S., Unary and binary Leibniz algebras. Mat. Zametki, 2021, Volume 110, Issue 3, P. 336-344.
[16] Kaygorodov I., Popov Yu., Volkov Yu., Degenerations of binary-Lie and nilpotent Malcev algebras, Communications in Algebra, 46 (2018), 11, 4929-4941.
[17] Kaygorodov I., Popov Yu., Pozhidaev A., Volkov Yu., Degenerations of Zinbiel and nilpotent Leibniz algebras, Linear and Multilinear Algebra, 66 (2018), 4, 704716. [Corrigendum to Degenerations of Zinbiel and nilpotent Leibniz algebras, Linear and Multilinear Algebra, 70 (2022), 5, 993-995.]
[18] Grunewald F., O'Halloran J., Varieties of nilpotent Lie algebras of dimension less than six, Journal of Algebra, 112 (1988), 2, 315-325.
February, 2023
