Еще о наилучших приближениях аналогами «Своих» и «Не своих» гиперболических крестов к Текст научной статьи по специальности «Математика»

Еще о наилучших приближениях аналогами «своих.» и «не своих»

гиперболических крестов

к.ф-м.н. доц. Пустовойтов H.H. Университет машиностроения

Аннотация. В статье изучаются наилучшие приближения классов периодических функций многих действительных переменных с заданной мажорантой смешанных модулей непрерывности аналогами «своих» и «не своих» гиперболических крестов. Мажоранта содержит степенные множители в разных степенях и логарифмические множители в разных степенях.

Ключевые слова: периодические функции многих переменных, наилучшие приближения, смешанный модуль непрерывности, аналоги «своих» и «не своих» гиперболических крестов.

§1. Определения. Ранее полученные результаты.

Будем рассматривать функции от d вещественных переменных f(x) = f(Х15...,xd), имеющие период 1я по каждой переменной.

Смешанный модуль непрерывности порядка l от функции f (x) определим следующим образом:

^ \f, t),

sup

\hj N tj

J=1,-, d

4

А'й f (x)

где t = ...,td), И = Ий), разность А'И /(х)означает взятие разности порядка I с

шагом И. по переменной х , ] = 1, •.., d, норма равна:

if ( X)W 9 =

1

j| f (x)|9 dx

71.

= d, 1 < q <

00

Введем функцию Q(t) — Q(t1,..., td ) для tj ^ 0, J — —, d следующей формулой:

Q(t) =

d 1

nj (log-)? при tj > 0, j = 1,..., d,

j=i tj

o, ntj = o.

j=i

(i)

Здесь 0 < r. < l, b. - произвольные действительные числа, логарифмы берутся (как и

всюду ниже) по основанию 2, а также при Т > 0 полагаем (log г) + = max {log г; 1 }. Рассмотрим классы функций

HQq = { f (xi,..., ): f (x) e L\(^), О(l\f; t), < Q(t) },

где запись f (x) e Lq (яd ) означает, что норма || f (x) || конечна и

n

J f (x)dx. = 0, j = 1,..., d, Q(t) задается равенством (1).

-л

Мы будем рассматривать случай 1 < q < со .

Через | A | будем обозначать количество элементов множества А. Мы будем рассматри-

9

q

вать порядковые неравенства и порядковые равенства. Запись А (N) << В (N) означает, что А(N) < С ■ В(N) , где С не зависит от N. Запись А (N) В(N) означает, что А (N) << В (N) и В (N) << А (N).

Рассмотрим множества, порожденные поверхностями уровня функции ) из (1). Обозначим

ж(

(N)= { * = (v.., s,): Sj eN, j = 1,..., d, О(2"s) > -11,

N

где: 2"s = (2"s ',...,2"Sd).

d

To есть: ж(^= \ s = (s1V.., sd ): sj ef, j = 1,..., d, Y\2jj sb/ < N

j=1

Сж(№> = Nd \ ж(N).

Положим Q(N) = u ^(s),

где

p(s) = {k = (к,,..., kd): |j e N, 2Sj1 <

Также рассмотрим множества

к} < 2Sj, j = 1,..., d }.

Г (N) = то есть: Г (N) =

к = (к^...,kd): к eN, j = 1,..., d, Q(-

1

к1

1) * ^

N

к

к = ft,..., кл): к] eN, j = 1,..., d, П|к7 j (log к] )b; < N

j=1

Можно легко показать, что Г(N) a Q(2edN) а Г(2ed N). Откуда следует, что | Г(N)| ~ | Q(N) |. Также нам понадобятся множества

0( N) = { s = (s^..., Sd): Sj eN, j = 1,..., d,

1 <Q (2"s) < — 1.

2lN

N

В работе [1] доказано, что \в(N)| „ . (log N)d-1.

Отметим, что функция Q(t) из (1) удовлетворяет условиям (S) и (S,) (см. [1]). Поэтому для рассматриваемых здесь классов H q верна теорема о представлении (см. [2]). Теорема А. Для того, чтобы f (x) из

Lq (* d) принадлежала классу H q необходимо

и достаточно при 1 < q < , чтобы

II £ (f, x)||q «О(2-s)

для всех векторов

s — (s1,..sd ) с натуральными компонентами, и при 1 < q < оо || Ах (f, х) || «О. (2 *), где: 8,(/, х) = £ /(к) ^(к,х),

к^р( s)

/(к) - коэффициенты Фурье функции /(х) ,

(/, х) обозначает свертку /(х) с ядром (х) = 2^(V_1 (х]) — V_2 (х])), по-

]=1

рожденным ядрами Балле -Пуссена Vm (г) порядка 2т — 1, кроме того, считаем

V2.(Г) - 1.

Мы будем рассматривать наилучшие приближения Eq(N) (f ) q функций f (x) в норме Lq тригонометрическими полиномами со спектром из Q(N) .

EQ ( N )( Hq ) q = SU Pn EQ ( N )(f ) q

Также обозначим fGHq .

Из теоремы 1 работы [ 1 ] вытекает

1 d-1

Теорема Б. При 1 < q EQ{N)(NN) q° где q0 = min {q; 2}.

При изучении приближений функций из классов С.М. Никольского Hq, которые сов-

падают с Нд при ^(t) _ П , выяснилось (см. [3, 4]), что вместо тригонометрических

]=1

полиномов со спектром из множеств @гп (г = Г1 = ... = Гу < Гу+1 < ... < Га) , порожденных по-

d

верхностями уровня функции О. ^) = [ ^ , лучше брать множества Q"n . Дело в том, что

1=1

множества Qrn шире, чем Qrn, но Qrn Qrn , а наилучшие приближения Е^г, (Н^)^ по

порядку лучше, чем Е г (Нг) . Этот эффект позволяет улучшить оценки поперечников.

Qn ^ ^

Множества Qrn и Qrn называются «своими» и «не своими» гиперболическими крестами соответственно.

Эффект «не своих» гиперболических крестов для ) из (1) при условии Г = Г2 = ... = Га рассмотрен автором ранее (см. [5]). В данной работе мы изучим этот эффект

в случае различных г..

Автором доказана (см. [5])

Теорема В. Пусть ) задано равенством (1), причем Г1 = Г2 = ... = Га = Г, Ь1 < Ь2 < ... < Ьй . Тогда количество элементов множества Г(N) по порядку равно

1 — 2

Nr -ф 1(N, r, bd), где: (f.\(d)(N, r, b^..., bd) равно (logN) 1(loglogN)v 1 при

_ ± (V_1)

b = ... = bv= r < bv+1 <... < bd; (log N) r r (loglog N при

1 v v+1 — • ' • — d '

b1 < ... < bv< Г = bv+1 = ... = bv+M< bv+M+1 < ... < bd ; (log N) r при Г < b1 < ... < bd, b 2 > Г .

Если в случае r1 = ... = rd = r некоторые b больше r, то возникает эффект «не своих» гиперболических крестов.

В случае r = r1 = ... = rd роль «не своих» гиперболических крестов играют множества

d ,

s = (s^..., sd): s. ef, j = 1, ..., d ^2rSjsb/ < N

j=1

Q'( N) = и P(S), где; <

г

причем bj = bj , j = 1,...,v, r < bj < b J, j = v +1,..., d .

В случае r<b =...=bv <bv+1 <.. .<bd берем b =bl, j =1,..,v, bl<b <b, j=v+1,- •,d. Автором доказана (см. [5])

Теорема Г. Пусть 1 < q < , qo = min { q; 2 }. Тогда Eqxn)(HqQ)q X NФ2(N, d, q0, b, b'), где ^(N, d, q0, b, b') по порядку равно:

— - (bv+1 -bvti' )-^-(bd -bd) ' ' 1

1) (log N) qo , если bv+1 - bv+1 < ... < bd - bd < —;

qo

y..^^;) ^ , , , , 1

2) (logN) qo OoglogN) qo , если b.,1 <. .<bm-bm -b^ =. Л =-;

V+ß-l ' ' £ --(bv+l-bv+l )-■-■-(ъу+м-ъу+м ) —

3) (logN) qo (loglogN)qo, если

Г Г Г Г 1 г г

b -b , <...<b -b <b -b , =...= b , —b , ==— <b —b n -Ъ;

V+l V+l V+ß V+ß V+ß+l V+ß+l V+fJ+4 V+fJ+4 V¥/J¥%+! v+ß^+l — d d '

q0

^ л , , 1 f f

4) (logN)qo (loglogN)qo, если bv+i -bv+i =...=bv+M-bv¥/t =-<b^ -bv+,+i <.. .<bd -bd;

qo

Yzl 1 , ,

5) (log N) qo , если — < bv+i - bv+! < ... < bd - bd ;

qo

6) (logN qo , если b^^i <.. :<b^ -bv¥M <- <b^i -bv+/i+i <.. ^ -bd.

qo

Замечание. Как отмечено в [5], при q = 1,00 верна оценка сверху

Eq<( N)(^ )q « ^ ^2(N , d ,1, b, b).

Как видно из теоремы Г, определенные различия в показателях логарифмических множителей порождают эффект «не своих» гиперболических крестов.

Сформулируем лемму, доказанную в [5]. Эта лемма использовалась при доказательстве теоремы Г, и она нам также понадобится при доказательстве новых теорем.

d

Лемма А. Для суммы &= ^ П^у' ' верны следующие порядковые равенства

seö(N) j=1

(считаем У1 < ... <yd ):

если у < ... ^ < 1, то ст х (log N)d 1 Г! "' Yd;

если y< ... <y <y = ... = 1, то ст x (log N)v~l~Yl ~"'~Yv (loglog N)d_v;

если y^ <.. :<y <y +i =...=/+ =1<T+fi!1 >vто er x (logN^^ ^^(loglogN)'

если у =... = у = 1 <у <... <у , то ст

(loglog N

log N

если 1 <у^ <... то ст х (log N)^!;

если ...<у < 1 <„.<у , то ^х (logN/ 1 Г!

§2. Новые результаты

Рассмотрим теперь мажоранту смешанных модулей непрерывности порядка 1 из (1) с

различными . Будем считать, что Г=Г1 =. 0<Г<Га </,

Ь1 < ... < Ь у< Г < Ьу+1 < ... < Ь^, 1 <У <Т], Ь. - произвольные действительные числа при у = ^ +1,..., ^ .

В этом случае теорема Б дает следующую оценку:

1

Ee(n)(H?), ~ ■ -(logN)

d-1 9о

N

б( N), определенные выше, - аналоги «своих» гиперболических крестов. Аналогами «не своих» гиперболических крестов будут множества

б" (N) = и Ж),

se ®"(N)

где:

причем r.

(s^..., Sd): s. eN, j = 1,..., d, ЦГ] S] sbj < N

j=i

rr

r, j = 1,...,^ Г < r. < r. , j = rj + 1

d,

b.

b., j = 1,...,v, r<b. <b., j = v +1,

77;

в случае г < Ь1 =... = Ьу< Ьул1 <... < Ь^ берем Ь." =\, у =1,^, V, Ь1 <Ь." <Ь., у = у+1,- •, 77,

Ь У' любые при у = 7] + 1,..., ^.

Теорема 1. Пусть О (?) задается (1), причем г = 7 =...= Г < Г+1 <...< гл, Ь1 <...< Ь.

1

Г ,

Тогда количество элементов множества Q( N) по порядку равно: Nr *ф 1( N, r, b1;..., b^). где функция N, r, b15..., b^) см. в формулировке теоремы В с заменой dна Г/.

Доказательство:

Будем оценивать | (N) |,

где Г+ (N) = \к = kd): к. eN, j = 1,..., d, П^(logk])b+J < N

j=1

Понятно, что это даст доказываемое порядковое равенство. Введем следующие множе-

ства:

Г+(г?)( N) = \к = к,): к. eN, ] = 1,...,?, П ^ (log kj )b+j < N

J=1

Получим оценку сверху:

i \

г, (N )|

Z

(k,+1.---. kd): к=( кkd )еГ + (N)

Г

()

N

П к]0' (log к. )b

v J

(по теореме В с заменой d на г/)

s

I

квГ+ (N)

V '

N

П кГ к)!

V j=^+1

ф,

N

П кГ к)!

V г=ч+1

г, Ь^..., Ь?

«

<<

N

Пк? Сое к )ь

V j=7+1_

г, Ь

у

d гг

г

Ьг

«

^): П к/ (1ОЕкг)Г • ^l(N, г, Ь1,..Ь„)

г=л+1

N)

г

т.к. — > 1 при г =т] +1,..., d. г

Получаем оценку снизу. Рассмотрим множество

Г+ (N) = {к = {к,,...,к^,1,—,1): кг еМ, ] = 1,...,^, к,) е Г+(^)(N)}.

Очевидно, Г+ (N) с Г+ (N) . Поэтому | Г+ (N) | > | Г+ (N) | = | Г+(7) (N) .

Итак, |Г+ (N)| „ . |Г+(7)(N) . Учитывая теорему В, получаем теорему 1. Далее оценим Ед,(м)(Я")д.

Теорема 2. Если функция ) задается равенством (1), то верно следующее порядко-

1

вое равенство: Е еЧN)СЯ ),

N

ф2(И ,г/, q 0, Ь, Ь"), функцию ^2( N ,77, q 0, Ь, Ь") см. в

теореме Г с заменой d на /7 и Ь' на Ь" .

Доказательство

Сначала получим оценки сверху. Через N)(/) обозначим сумму Фурье функции

/(х) , соответствующую множеству 0'(N) .

Из многомерной теоремы Литтлвуда-Пэли (см.[4], Теорема А) следует, что для / ( х)

из

будет Ев,,(ы)(/), ^ 2 К (/, х)

У .ЕС

I Ч0

I Ч

Чо

Используя теорему А и лемму Б из [5], получаем: Ед,(Ю(/) << ^ (о(2 .))Чо

1

\Чо

у № в" ( N )

Здесь в\N) = ж'' (2' N) \ ж" N

d 2 d 2 Имеем: О. (2) = П —— = П 1 (2^ ) П -

(г,--гг )

}=

1 ..

]=4+1 .

d 2 - о sj

где О ! (2 -' ) = П —-

J=1 s .J

i

Для s = (si,..., Sd) e в\N) будет Q,(2"s) _( Следовательно,

E0"(N)(f )q « T7

N

V

4

X П

SEff'(N) J=1

-(bj-bJ')q0

J

\q0

П 2

V J=v+!

"(rj~rj )sj s -(bj ~bj )

SJ

qo

Для фиксированных s^+1,..., Sd обозначим

N

П 2r

J=V+1

через N1, a также положим

0"(NX) = \( si,..., s,): Sj e N, j = 1,...,^, N, <П 2rjSj • s) < 2lN,

j=!

Тогда, применив лемму A, получим:

=

i

N

S

( + sd ): ^(s,,..., sd)e0'(N)

\qo

П 2

V J=V+1

-(rJ-rJ)sJ m s~(bJ-bJ)

e n

( si,...,sV0„" ( Ni) J =!

s~(bj~bj )qo

N

S

( s, + i,.., id ): ^(si,.., sd)e0"(N)

qo

П 2

VJ

-(rJ-rJ)sJ s~(bJ-bJ)

sJ

■{ф2(Ni, 77, qo, b, b")y

qo

«

« NNi,^, qo, ь, b")

S

^(s,,.., sd)e0*(N)

' d ,, Vo

-(r,~rj)sj s-(bj-)

' sj

V j=^+i y

П 2-

qo

«

« N ( Ni,?, qo, b, b").

(2)

Здесь мы использовали тот факт, что в наших условиях ф2(N,,77, qo, b, b") возрастает

" A

с ростом N и то, что rj — r. > o . Оценки сверху доказаны.

Получим оценку снизу. Пусть сначала i < q < 2.

Il s ||,(- -i) d

--- q x) П sin Xj .

Рассмотрим функцию fq (x) = B ■ ^ Q (2 s ) • 2

sga

Здесь A={s=(s,,...,s^i,...,!):sj eN, j=1,..^}, \\s\\i = s, + ...+ sd, s(7) = (s,,...,s7),

j=1+1

b

1

1

1

ечx) = п Z е

j=l k' =2 sj-1

Как известно,

i ( k, x )

(k, x) — k i x i ^ . .. ^ k x .

x)

lis И1 (l- !)

II II 1 q

Поэтому в силу теоремы A f (x) е H° при некотором B > o .

Как следует из [1], EQ„{N)(fq)q >> £ (Q(2"s))q

у se<9"( N)

И далее, аналогично соотношению (2) получаем:

/

EQ"( N )(fq )q >>

N

Л

ч

I П

s=(Sl,..., s7,!,_,1): j=1 ^ seff'(N)

-(bj~bj )qo

j

qo

NФ2(Ni,v, qo, b, b").

Получили оценку снизу при 1 < Ч < 2 .

Теперь получим оценки снизу при 2<Ч<оо. Рассмотрим функцию /(х) =^0(2.)-ё(к'х),

где К & />(.), (к., х) = к. Х1 + ... + 1 Хd, а сумма берется по всем векторам . = (.1, ..., ) с натуральными компонентами. Тогда по теореме Литтлвуда-Пэли имеем:

EQ'(N)(f )q »

Z (2"s ))2

^ se<9"( N)

>

Z (Q (2"s))2

>>

N

ч

X П

f-(bj~bj )2

s=( si,_,s7,1,_,1): ^ ssff'(N)

1

>>

Ni^,2, b, b").

Теорема 2 доказана.

Итак, мы видим, что Е ,(N(И°) при 1 < Ч < оо по порядку меньше, чем

Eq(N)H)q при Q(t) ИЗ (1), ХОТЯ |Q"(N) I

IQ (N )|.

Замечание. При q = 1; да верны оценки сверху: EQ.(N)(H^)q << — ф2(N, 77, 1, b, b") .

Q ( ) q q N

Литература

1. Пустовойтов H.H. Приближение многомерных функций с заданной мажорантой смешанных модулей непрерывности // Матем. заметки. Т. 65. Вып. 1. 1999. с. Ю7-117.

2. Пустовойтов H.H. Представление и приближение периодических функций многих переменных с заданным смешанным модулем непрерывности // Analysis Mathematica, v.2o(1994), c.35-48.

3. Теляковский С.А. Некоторые оценки для тригонометрических рядов с квазивыпуклыми коэффициентами // Матем. сборник. 1964. Т.63(Ю5). с.426-444.

4. Темляков В.Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Труды МИАН СССР. 1986. Т. 178. с. 1-112.

q

q

2

2

2

5. Пустовойтов H.H. О наилучших приближениях аналогами «своих» и «не своих» гиперболических крестов // Матем. заметки. 2013. Т.93. Вып. 3. с.460-470.

6. Пустовойтов H.H. Ортопоперечники классов многомерных периодических функций, мажоранта смешанных модулей непрерывности которых содержит как степенные, так и логарифмические множители // Analysis Mathematica, v.34(2008), c.187-224.

7. Бугров Я.С. Приближение класса функций с доминирующей смешанной производной // Матем. сборник. 1964. Т. 64(106). с.410-418.

8. Бугров Я.С. Конструктивная характеристика классов функций с доминирующей смешанной производной// Труды МИАН СССР. 1974. Т.131. с.25-32.

9. Никольская Н.С. Приближение периодических функций класса SH г, суммами Фурье //

Сиб. матем. журн. 1975. Т. 16. №4. с.761-780.

10. Пустовойтов H.H. Ортопоперечники некоторых классов периодических функций двух переменных с заданной мажорантой смешанных модулей непрерывности // Изв. РАН. Серия матем. Т.64(2000). с.123-144.

11. Пустовойтов H.H. О приближении и характеризации периодических функций многих переменных, имеющих мажоранту смешанных модулей непрерывности специального вида // Analysis Mathematica, v.29(2003), c.201-218.