CC BY
12
Как видно из схемы (рис. 1) на вход преобразователей пр1 пр2 прЪ поступает импульсное напряжение, преобразуемое в напряжение постоянного поля (рис2) указанными преобразователями, и после сравнения U= с
заданными U30'U60,U90 Через задержку t=T, где T - период контроля, который обычно составляет не менее 10
Y Y Y
часов, и усилители 30' 60' 90. Схема включает выходные усилители и регистрирующие элементы (сигнальные реле, системы телемеханики, передатчики через сотовую сеть или спутники - диспетчеру.)
Поясним для написанного текста символы 30, 60, 90 - это процент износа трубопровода при различных деформациях. Это значит, что напряжение с датчиков их сравнивается с эталонными при износе 30%, 60% и 90% трубопровода и далее схема, если эти пороги превышены, производит соответствующие переключения. В зависимости от того, сколько раз включается счетчик, принимается решение о текущем или капитальном ремонте нефтепровода.
Сказанное в этом разделе легко реализуется, так как в разделе цифровой техники имеются отработанные схемотехнические сборки, из которых тривиально реализуется данная структура.
Литература
1.Жабрев, А.В. Физико-химические процессы синтеза наноразмерных объектов. - СПб.: Изд-во «ЭЛМОР», 2012. - 328 с.
2.Проскуряков Р.М., Дементьев А.С. Построение системы диагностики технического состояния нефтепровода на основе постоянного пульсирующего магнитного поля. Записки Горного института / Санкт-Петербургский горный университет. СПб, 2016. Т.218. 208 с.
3. Интегральные микросхемы в устройствах автоматики и защиты тяговых сетей/ В.Я. Овласюк, В.А. Зимаков, В.И. Дубровин и др.; Под ред. В.Я. Овласюка. - М.: Транспорт, 1985. - 128с.
References
1.Zhabrev, A.V. Fiziko-himicheskie processy sinteza nanorazmernyh ob'ektov. - SPb.: Izd-vo «JeLMOR», 2012. - 328 s.
2.Proskurjakov R.M., Dementev A.S. Postroenie sistemy diagnostiki tehnicheskogo sostojanija nefteprovoda na osnove postojannogo pul'sirujushhego magnitnogo polja. Zapiski Gornogo instituía / Sankt-Peterburgskij gornyj universitet. SPb, 2016. T.218. 208s.
3. Integral'nye mikroshemy v ustrojstvah avtomatiki i zashhity tjagovyh setej/ V.Ja. Ovlasjuk, V.A. Zimakov, V.I. Dubrovin i dr.; Pod red. V.Ja. Ovlasjuka. - M.:Transport,1985.-128s
DOI: 10.18454/IRJ.2016.48.146 Дробышева И.В.1, Паровик Р.И.2'3
1 Магистрант,
2ORCID: 0000-0002-1576-1860, кандидат физико-математических наук, доцент, Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга,
3
старший научный сотрудник, Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН ЭРЕДИТАРНЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР ДУФФИНГА С ЗАТУХАНИЕМ
Аннотация
В работе предложена обобщенная математическая модель осциллятора Дуффинга с трением, которая учитывает эффект «памяти» или эредитарность в колебательной системе. Описание этого эффекта дается формальной заменой в модельном уравнении целочисленные производные на производные дробных порядков в смысле Римана-Лиувилля. Была построена явная конечно разностная схема для вычисления приближенного решения. Приведены примеры использования явной конечно-разностной схемы, в которых приведены осциллограммы и фазовые траектории, полученные при различных значениях управляющих параметров.
Ключевые слова: осциллятор Дуффинга, производная Римана-Лиувилля, конечно-разностная схема, фазовые траектории, осциллограммы.
Drobysheva I.V.1, Parovik R. I.2,3
Undergraduate student, 2ORCID: 0000-0002-1576-1860, PhD in Physics and Mathematics, Associate professor, Vitus Bering Kamchatka State University, 3Institute of Cosmophysical Research and Radio Wave Propagation FEB RAS HEREDITARITY DUFFING OSCILLATOR WITH DAMPING
Abstract
The paper presents a generalized mathematical model of Duffing oscillator with friction that takes into account the effect of "memory" or hereditarity in an oscillatory system. The description of this effect is given formal change in the model equation integral derivatives on derivatives of fractional order in the sense of Riemann-Liouville. explicit finite difference scheme for calculating the approximate solution has been built. Examples of using explicit finite-difference scheme, which shows oscillograms and phase trajectories obtained for different values of the control parameters.
Keywords: Duffing oscillator, Riemann-Liouville derivative, finite-difference scheme, phase trajectories, oscillograms.
Введение. Эредитарность процесса - это свойство процесса сохранять «память» о его состояниях в предыдущие моменты времени. Как правило, такие процессы происходят во фрактальных средах, обладающие масштабной инвариантностью и нелокальностью по времени и пространству.
Исследование эредитарных колебательных систем является одним из актуальных направлений исследований, что подтверждено различными приложениями [1-3]. Эредитарные колебательные системы рассматриваются в рамках теории эредитарной динамики [1].
Более подробно вопросы исследования эредитарных колебательных системы систем, по нашему мнению, изложены в книге И. Петраса [4].
В настоящей работе мы будем исследовать пример эредитарной колебательной системы - эредитарный осциллятор Дуффинга с затуханием и внешним периодическим воздействием. Далее построим численную явную конечно-разностную схему для счета приближенного решения соответствующей задачи Коши, а также на основе этого численного решения построим и исследуем осциллограммы и фазовые траектории эредитарного осциллятора Дуффинга.
Отметим, что в работе [5] была предложена модель осциллятора Дуффинга с производной Римана-Лиувилля в диссипативном члене (фрактальное трение). Фрактальное трение обладает свойствами вязкости за счет степенного ядра в интегральном операторе («тяжелые хвосты»), где показатель степени является степенью вязкости.
Постановка задачи. Рассмотрим следующее эредитарное уравнение Дуффинга с внешним гармоническим воздействием:
с\2 \ ^ \
—- i К (/ — т)х(т)Лт + а—i к (/ — г)х(г)Лт —х) + х3 (7) = ггсоб(о), а 0 а 0 (1)
где а - коэффициент вязкого трения, Г и о - амплитуда и частота внешней периодической силы, К (^ — т) и
К (^ — т) - функции памяти. Выберем функции памяти в виде:
у-р Я
К ('—•К ('—т)=НТ) <р< 2-°<'< 1
Тогда мы приходим к следующей задаче Коши. Найти решение X (/), где / е [0, Т] следующей задачи Коши в локальной постановке [6]:
Брх (?) + аВ^х (т) — х (?) + х3 (?) = г соб О ),
(2)
lim i2" "х (t) = x0,lim d (t2~ px (t)) = y0, 1 d2 \ x (r) dr 1 d\x (r) dr
, ч 1 а г хт)ат тля ( \ 1 а Гх(т)
где (т) = ^(2—р> а1 [(¿—Гг и (т)=?(ГЯ) Л [-(¿—Ту - производные Римана-
Лиувилля дробных порядков 1 < р < 2, 0 < я < 1, х0 и - заданные константы, начальные условия.
Уравнение (2), в силу кубической нелинейности, не имеет точного решения, поэтому будем искать его приближенное решение с помощью теории конечно-разностных схем [7-10]. Для этого разобьем временной отрезок
[0, Т] на N равных частей с шагом Н . Тогда решение дифференциальной задачи х (/) перейдет в приближенное
сеточное решение х(^), ^ = кН, к = 1,N . Производные дробных порядков в уравнении (2) аппроксимируем разностным аналогом - производной Грюнвальда-Летникова [11]:
1 £ ~ 1 V £ -1
Щ,х (г)» -L £ nif) х4 = + £
Н'^ ' • hp
( Р )
my'x.
j k - j ■
k -1 v k -1
(3)
1 k -1 у k -1
D0tx (г)»1£ cjq) Xk - j = £ + £ cjq) Xk - j,
4q } = m(p } = 1, c(q)
hqj=0 j k-j hq M f i , л
1 1 + q
V j У
4q) m{pp cj -1, mj
i 1 , л 1 1+p
V j У
m(P i.
Подставляя соотношения (3) и (4) в уравнение (2), приходим к следующему приближенному решению задачи Коши (2):
1 k-1 k-1 Xk = - (Xk-1 - xL )-с £ mjp) - K £ Cfx^j + A cos (®(k -1) h) (4)
B j=1 j=1
где B = h-' +oh-q ,С = —,K = —,A = a.
B B B
Можно отметить, исходя из работы [11], что аппроксимация (4) дифференциально задачи (2) имеет первый порядок за счет аппроксимации начальных условий. Мы не будем проводить исследования явной схемы (4) на устойчивость или сходимость. Отметим, что явные схемы, как правило, условно устойчивы, т.е. существует ограничение на шаг И . Оценить шаг И можно с помощью метода двойного счета (правило Рунге) [7].
Также для выбранных управляющих параметров можно провести эксперимент по исследованию устойчивости по правой части или начальным данным. Если схема устойчива с первым порядком и обладает аппроксимацией первого порядка, то по теореме Лакса она сходится с таким же порядком. Рассмотрим некоторые результаты моделирования осциллятора Дуффинга с затуханием и внешним гармоническим осциллятором.
Результаты моделирования. Рассмотрим некоторые примеры.
Пример 1. Значения управляющих параметров имеют вид:
N = 2000, а = 10, а = 0.15, р = 1.7, ц = 0.8, с = 5, И = 0.05.
Рис. 1 - Расчетная кривая, полученная по формуле (4) а) и фазовая траектория б)
На рис.1а приведена осциллограмма - расчетная кривая численного решения, полученная по формуле (4) и фазовые траектории (рис.1б.). Видно, что амплитуда колебаний практически не меняется, что может свидетельствовать о наличии периодического решения или предельного цикла. Действительно, на рис. 1б. фазовая траектория выходит на предельный цикл.
Пример 2. Управляющие параметры имеют следующие значения:
N = 2000, а = 30, а = 0.15, р = 1.7, ц = 0.8, с = 5, И = 0.05.
Х(11
Рис. 2 - Расчетная кривая, полученная по формуле (4) а) и фазовая траектория б)
На рис.2а приведена осциллограмма и фазовая траектория рис.2б., когда в отличие от предыдущего примера амплитуда внешней силы в три раза больше. На осциллограмме (рис.2а) можно увидеть, что в начале колебания происходят в хаотическом режиме с раздвоенной амплитудой, затем выходят на квазирегулярный режим. На рис. 2б. фазовая траектория имеет петлю, соответствующую раздвоению амплитуды колебаний, и выходит на предельный цикл. Рассмотрим другой пример с уменьшением шага дискретизации.
Пример 3. Параметры: N = 2000,а = 30,а = 0.15,р = 1.7,ц = 0.8,с = 5,И = 0.07.
Рис. 3 - Расчетная кривая, полученная по формуле (4) а) и фазовая траектория б)
В этом случае мы видим, что колебания происходят в регулярном хаотическом режиме. Фазовые траектории типа (рис. 3б) были получены в работе [12] с учетом дробной производной в смысле Герасимова-Капуто. Рассмотрим случай, когда изменяются значения дробные параметры.
Пример 4. Параметры: N = 2000, а = 30, а = 0.15, р = 1.3, ц = 0.8, с = 1, И = 0.07.
Рис. 4 - Расчетная кривая, полученная по формуле (4) а) и фазовая траектория б)
С уменьшением значений параметра р до 1.7 характер колебаний меняется. Можно заметить на рис. 4а, что колебания имеют раздвоенную амплитуду, о чем свидетельствуют две петли на фазовой траектории (рис. 4б), которая выходит на предельный цикл. Такой режим колебаний характерен для эредитарного осциллятора Ван-дер-Поля [13]. Эти петли более ярко выражены в следующем примере.
Пример 5. Параметры: N = 3000, а = 30, а = 0.15, р = 1.6, ц = 0.8, с = 1, И = 0.07.
u w 1 1 I1 и 111 Ш1 i i \ I'1 ЦЦ II1 f 1 I uuuuuu 1 №
1,111 ,¡ 'I i\ 1 m 'П 1 и i: i If 1 lj J 'J J 'fifí iff У !¿ M1 L ! 1 ¿
m
ял
Рис. 5 - Расчетная кривая, полученная по формуле (4) а) и фазовая траектория б)
Растроение амплитуды мы наблюдаем в следующем примере.
Пример 6. Примеры: N = 2000, а = 30, а = 0.15, р = 1.9, д = 0.8, ш = 1, Н = 0.05.
Рис. 6 - Расчетная кривая, полученная по формуле (4) а) и фазовая траектория б)
В этом случае мы видим растроение амплитуды колебаний (рис.ба), что приводит к дополнительны петлям на фазовой траектории (рис. 6б.)
Заключение. Была предложена математическая модель эредитарного осциллятора Дуффинга с вязким трением и внешнем гармоническом воздействии. Построена явная конечно-разностная схема для численного счета приближенного решения задачи Коши в локальной постановке.
С учетом различных значений управляющих параметров, построены осциллограммы и фазовые траектории. Показано, что фазовые траектории выходят на предельный цикл, также показано, что могут существовать режимы присущи другим колебательным системам, например, эредитарному осциллятору Ван дер Поля [13]. Поэтому решение эредитарного осциллятора Дуффинга обладает более широкими свойствами, чем его классический аналог. Это можно объяснить тем, что порядки дробных производных Римана-Лиувилля p и q являются дополнительными степенями свободы для рассматриваемой колебательной системы, что несомненно расширяет ее свойства.
Вопросы устойчивости точек покоя эредитарного осциллятора Дуффинга можно исследовать по аналогии с методикой работы [14]. Другое направление исследований эредитарного осциллятора Дуффинга является его обобщение на случай, когда порядки дробных производных представляют собой функции от временной координаты по аналогии с работой [8]. В этом случае необходимо разрабатывать эффективные численные методы решения соответствующей задачи Коши.
Литература
1. Учайкин В.В. Метод дробных производных. Ульяновск: Артишок, 2008. 512 с.
2. Gao X., Yu J. Chaos in the fractional order periodically forced complex Duffing's oscillators // Chaos, Solitons & Fractals. 2005. Т. 24. №. 4. С. 1097-1104.
3. Rossikhin Y. A., Shitikova M. V. Application of fractional calculus for dynamic problems of solid mechanics: novel trends and recent results // Applied Mechanics Reviews. 2010. Т. 63. №. 1. С. 010801.
4. Petras I. Fractional-Order Nonlinear Systems: Modeling, Analysis and Simulation. New York: Springer, 2010.
5. Syta A., Litak G., Lenci S., Scheffler M. Chaotic vibrations of the Duffing system with fractional damping // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 2014. Vol. 24, no. 1. P. 013107.
6. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его приложения. М.: Физматлит, 2003. 272 с.
7. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977. 456 с.
8. Паровик Р.И. О численном решении уравнения фрактального осциллятора с производной дробного переменного порядка от времени // Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки. 2014. №. 1 (8). C. 60-65.
9. Паровик Р. И. Численный анализ некоторых осцилляционных уравнений с производной дробного порядка // Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки. 2014. №. 2 (9). C. 30-35.
10. Паровик Р.И. Об одной конечно-разностной схеме для математической модели нелинейного эредитарного осциллятора // Международный научно-исследовательский журнал. 2016. № 4-2 (46). С. 138-142.
11. Петухов А.А., Ревизников Д.Л. Алгоритмы численных решений дробно-дифференциальных уравнений // Вестник МАИ. 2009. Т. 16. № 6. С. 228-243.
12. Паровик Р.И. Математическое моделирование нелокальной колебательной системы Дуффинга с фрактальным трением // Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки. 2015. №. 1 (10). C. 18-24.
13. Паровик Р.И. Математическая модель фрактального осциллятора Ван дер Поля // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2015. Т.17. № 2. С. 57-62.
14. Паровик Р.И. Об исследовании устойчивости эредитарного осциллятора Ван-дер-Поля // Фундаментальные исследования. 2016 №3(2). С. 283-287
References
1. Uchajkin V.V. Metod drobnyh proizvodnyh. Ul'janovsk: Artishok, 2008. 510 s.
2. Gao X., Yu J. Chaos in the fractional order periodically forced complex Duffing's
oscillators // Chaos, Solitons & Fractals. 2005. Т. 24. №. 4. С. 1097-1104.
3. Rossikhin Y. A., Shitikova M. V. Application of fractional calculus for dynamic problems of solid mechanics: novel trends and recent results // Applied Mechanics Reviews. 2010. Т. 63. №. 1. С. 010801.
4. Petras I. Fractional-Order Nonlinear Systems: Modeling, Analysis and Simulation. New York: Springer, 2010.
5. Syta A., Litak G., Lenci S., Scheffler M. Chaotic vibrations of the Duffing system with fractional damping // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 2014. Vol. 24, no. 1. P. 013107.
6. Nahushev A.M. Drobnoe ischislenie i ego prilozhenija. M.: Fizmatlit, 2003. 272 s
7. Marchuk G.I. Metody vychislitel'noj matematiki. M.: Nauka, 1977. 456 s.
8. Parovik R.I. O chislennom reshenii uravnenija fraktal'nogo oscilljatora s proizvodnoj drobnogo peremennogo porjadka ot vremeni // Vestnik KRAUNC. Fiziko-matematicheskie nauki. 2014. 1(8). S. 60-65. DOI: 10.18454/2079-66412014-8-1-60-65.
9. Parovik R.I. Numerical analysis some oscillation equations with fractional order derivatives// Bulletin KRASEC. Physical & Mathematical Sciences, 2014, 9:2, P. 34-38, DOI: 10.18454/2313-0156-2014-9-2-34-38.
10. Parovik R.I. Ob odnoj konechno-raznostnoj sheme dlja matematicheskoj modeli nelinejnogo jereditarnogo oscilljatora // Mezhdunarodnyj nauchno-issledovatel'skij zhurnal. 2016. № 4-2 (46). S. 138-142.
11. Petuhov A.A., Reviznikov D.L. Algoritmy chislennyh reshenij drobno-differencial'nyh uravnenij // Vestnik MAI. 2009. T. 16. № 6. S. 228-243.
12. Parovik R.I. Mathematical modeling of nonlocal oscillatory Duffing system with fractal friction// Bulletin KRASEC. Physical & Mathematical Sciences, 2015, 10:1, P. 16-21 DOI: 10.18454/10.18454/2313-0156-2015-10-1-16-21.
13. Parovik R.I. Matematicheskaja model' fraktal'nogo oscilljatora Van der Polja // Doklady Adygskoj (Cherkesskoj) Mezhdunarodnoj akademii nauk. 2015. T.17. № 2. S. 57-62.
14. Parovik R.I. Ob issledovanii ustojchivosti jereditarnogo oscilljatora Van-der-Polja // Fundamental'nye issledovanija. 2016 №3(2). S. 283-287.
