Осциллятор Дуффинга с внешним гармоническим воздействием и производной переменного дробного порядка Римана-Лиувилля, характеризующая вязкое трение Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2016. № 2(13). C. 50-54. ISSN 2079-6641

DOI: 10.18454/2079-6641-2016-13-2-50-54

УДК 517. 925.42

ОСЦИЛЛЯТОР ДУФФИНГА С ВНЕШНИМ ГАРМОНИЧЕСКИМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ И ПРОИЗВОДНОЙ ПЕРЕМЕННОГО ДРОБНОГО ПОРЯДКА РИМАНА-ЛИУВИЛЛЯ, ХАРАКТЕРИЗУЮЩАЯ ВЯЗКОЕ

ТРЕНИЕ

В. А. Ким

Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга, 683032, г. Петропавловск-Камчатский, ул. Пограничная, 4 E-mail: [email protected]

В работе предложено обобщение осциллятора Дуффинга с вязким эредитарным трением, которое представлено оператором производной переменного дробного порядка в смысле Римана-Лиувилля. Построена явная конечно разностная схема для вычисления приближенного решения, а также фазовые траектории при различных значениях управляющих параметров.

Ключевые слова: производная Римана-Лиувилля, производная Грюнвальда-Летникова, эредитарность, осциллятор Дуффинга, фазовая траектория

© Ким В. А., 2016

MSC 34C26

DUFFING OSCILLATOR WITH AN EXTERNAL HARMONIC IMPACT AND DERIVED VARIABLES FRACTIONAL RIEMANN-LIOUVILLE, IS CHARACTERIZED BY VISCOUS FRICTION

V. A. Kim

Vitus Bering Kamchatka State University, 683031, Petropavlovsk-Kamchatsky, Pogranichnaya st., 4, Russia E-mail: [email protected]

The paper suggested a generalization of Duffing oscillator with viscous friction hereditarity, which is represented by the operator of fractional order derivative of the variable in the Riemann-Liouville. Built explicit finite difference scheme for calculating approximate solutions, as well as the phase trajectories for different values of the control parameters.

Key words: Riemann-Liouville derivative Grunwald-Letnikova, hereditarity, Duffing oscillator, phase trajectory

© Kim V.A., 2016

Введение

В настоящее время широкое развитие получило одно из научных направлений нелинейной динамики - дробная динамика. Суть, которой состоит в учете эффектов памяти и последействия, характеризующимся производными дробных порядков. Более подробно вопросы исследования таких систем изложены в книге И. Петраса [1], в книге В.В. Учайкина [2] рассматриваются элементы эредитарной динамики, которая включает дробную динамику как частный случай.

В работе [3] была предложена модель осциллятора Дуффинга с фрактальным трением. Фрактальное трение обладает свойствами вязкого трения за счет степенного ядра в интегральном операторе («тяжелые хвосты»). Поэтому такой осциллятор может иметь различные приложения, например [4] или [5].

В настоящей работе мы продолжим изучать осциллятор Дуффинга с фрактальным трением, но порядок дробной производной будет представлять собой функцию от времени, а не константу как в работе [3]. Далее построим численную явную конечно-разностную схему для счета приближенного решения соответствующей задачи Коши, а также на основе численного решения построим и исследуем фазовые траектории.

Постановка задачи

Найти решение x (t), где t е [0, T] следующей задачи Коши:

x (t) + aD^x (т) - x (t)+ x3 (t) = 8 cos (at), x (0) = x0, x (0) = y0, (1)

0г

где (т) = Щг)У / ^ ХТт1—(г) - производная Римана-Лиувилля переменного дробного порядка 0 < q (г) < 1, а - коэффициент вязкого трения, 8 и а - амплитуда и частота внешней периодической силы, хо и уо - заданные константы, начальные условия.

Случай, когда q(г) представляет константу был подробно исследован в работе [3]. В работе [6] была рассмотрена модель эредитарного осциллятора Дуффинга с производной Герасимова-Капуто.

Задачу Коши (1) удобно представить в виде системы дифференциальных уравнений:

х (г)= У(г),

з^ . * — (2)

D(t )x (т )= w (t) ,

y (t) = x (t) + aw (t) - x3 (t) + 8 cos (at), x(0) = x0, y (0) = y0.

Система (2), в силу нелинейности, не имеет точного решения, поэтому будем искать приближенное решение с помощью теории конечно-разностных схем [7]-[9]. Разобьем отрезок [0, T] на N равных частей с шагом h. Решение дифференциальной задачи x(t) перейдет в приближенное сеточное решение x(tk), tk = kh, k = 1,...,N. Производную дробного порядка в системе (2) аппроксимируем разностным аналогом - обобщенный производной Грюнвальда-Летникова [10]:

<1 x(т) - ¿11 jk-,)*k-j = hx-1 +1 jk-,)*k-j, (3)

ISSN 2079-6641

Ким В. А.

= 1, c

(qk-i)

=1

1 + Qk-

Ak-1

а целочисленные производные:

* (t) « -, У (t)

Ук - Ук-1 h

(4)

Подставляя (3) и (4) в систему (2), приходим к следующему приближенному решению задачи Коши:

*к = *к-1 + hyk-i,

к-1 ( ) *к = wk-ihqk-1 - L cjQk-l)*k-j, j=i j

Ук = Ук-1 + [aWk-1 - *3-1 + 8cos (ю (k - 1))] h.

(5)

Можно отметить, исходя из работы [10], что аппроксимация (5) дифференциальной задачи (2) имеет первый порядок. Мы не будем проводить исследования явной схемы (5) на устойчивость и сходимость. Явные схемы, как правило условно устойчивы, т.е. существует ограничение на шаг h.

Оценить шаг h можно с помощью метода двойного счета [11]. Также для выбранных управляющих параметров можно провести эксперимент по исследованию устойчивости по правой части или начальным данным. Если схема устойчива с первым порядком, то по теореме Лакса она сходится с таким же порядком.

Устойчивость точки покоя системы (2) можно провести по аналогии работы [12]. Рассмотрим некоторые результаты моделирования осциллятора Дуффинга с фрактальным трением.

Результаты моделирования

Пример 1. Рассмотрим численное решение задачи Коши (2) с значениями следующих управляющих параметров: q (t) = q0 — Aexp (— sin (юt)), q0 = 0.9, A = 0.08, ю = 1, 8 = 0.3, a = 0.15, xo = 0.3, yo = 1.51, N = 3300, T = 150, h = 0.0454.

Рис. 1. Кривая численного решения - а и ее фазовая траектория - б

1

о

На рис. 1(a, б). приведена кривая численного решения и ее фазовая траектория для эредитарного осциллятора Дуффинга (5) с дробным показателем q (t)= q0 — Aexp(— sin(ю)). Фазовая траектория выходит на регулярный хаотический аттрактор.

Пример 2. Рассмотрим численное решение задачи Коши (2) с значениями следующих управляющих параметров: q(t) = q0 — A/exp(cos(®t)), qo = 0.9, A = 0.05, ю = 100, S = 30, a = 0.15, X0 = 0.3, y0 = 1.51, N = 4000, T = 20, h = 0.005.

\ /

rírt

Рис. 2. Кривая численного решения - а и ее фазовая траектория - б

На рис. 2(а,б) видно, что сначала происходят затухающие колебания, а потом фазовая траектория выходит на предельный цикл.

Заключение

В работе предложена модель эредитарного осциллятора Дуффинга с производной переменного дробного порядка. Для этой модели была составлена численная конечно-разностная схема. В зависимости от различных управляющих параметров с помощью этой схемы были построены осциллограммы и фазовые траектории. Показано, что фазовые траектории выходят на предельный цикл. Интерес представляет также исследование других нелинейных эредитарных осцилляторов.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю Р.И. Паровику за ценные замечания и советы, которые послужили лучшему осмыслению результатов моделирования.

Список литературы

[1] PetrasI., Fractional-Order Nonlinear Systems: Modeling, Analysis and Simulation, Springer, New York, 2011, 218 pp.

[2] Учайкин В. В., Метод дробных производных, Артишок, Ульяновск, 2008, 512 с.

[3] Syta A., Litak G., Lenci S., Scheffler M., "Chaotic vibrations of the Duffing system with fractional damping", Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science, 24:1 (2014), 013107.

[4] Gao X., Yu J., "Chaos in the fractional order periodically forced complex Duffing's oscillators", Chaos, Solitons & Fractals, 24:4 (2005), 1097-1104.

ISSN 2079-6641

Ким В. А.

[5] Rossikhin Y. A., Shitikova M. V., "Application of fractional calculus for dynamic problems of solid mechanics: novel trends and recent results", Applied Mechanics Reviews, 63:1 (2010), 010801.

[6] Паровик Р. И., "Математическое моделирование нелокальной колебательной системы Дуффинга с фрактальным трением", Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки, 2015, №1(10), 18-24.

[7] Паровик Р. И., "О численном решении уравнения фрактального осциллятора с производной дробного переменного порядка от времени", Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки, 2014, №1(8), 60-65.

[8] Паровик Р. И., "Численный анализ некоторых осцилляционных уравнений с производной дробного порядка", Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки, 2014, №2(9), 30-35.

[9] Паровик Р. И., "Об одной конечно-разностной схеме для математической модели нелинейного эредитарного осциллятора", Международный научно-исследовательский журнал, 2016, №4-2(9), 138-142.

[10] Петухов А. А., Ревизников Д. Л., "Алгоритмы численных решений дробно-дифференциальных уравнений", Вестник МАИ, 16:6 (2009), 228-243.

[11] Марчук Г.И., Вычислительные методы, Наука, М., 1977, 456 с.

[12] Паровик Р. И., "Об исследовании устойчивости эредитарного осциллятора Ван-дер-Поля", Фундаментальные исследования, 2016, №3-2, 283-287.

Поступила в редакцию / Original article submitted: 16.04.2016