Математическое моделирование нелинейных эредитарных осцилляторов на примере осциллятора Дуффинга с дробными производными в смысле Римана-Лиувилля Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2016. № 2(13). C. 43-49. ISSN 2079-6641

DOI: 10.18454/2079-6641-2016-13-2-43-49

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 517. 925.42

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭРЕДИТАРНЫХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ НА ПРИМЕРЕ ОСЦИЛЛЯТОРА ДУФФИНГА С ДРОБНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ В СМЫСЛЕ

РИМАНА-ЛИУВИЛЛЯ

И. В. Дробышева

Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга, 683032, г. Петропавловск-Камчатский, ул. Пограничная, 4 E-mail: [email protected]

В работе предложена математическая эредитарная модель осциллятора Дуффинга с трением, которая является обобщением ранее известной классической модели осциллятора Дуффинга. Это обобщение заключается замене в модельном уравнении целочисленной производной на производные дробных порядков в смысле Римана-Лиувилля. Построена явная конечно разностная схема для вычисления приближенного решения, а также фазовые траектории при различных значениях управляющих параметров.

Ключевые слова: производная Римана-Лиувилля, производная Грюнвальда-Летникова, эредитарность, осциллятор Дуффинга, фазовая траектория

© Дробышева И. В., 2016

MATHEMATICAL MODELLING

MSC 34C26

MATHEMATICAL MODELING OF NONLINEAR OSCILLATORS HEREDITARITY EXAMPLE DUFFING OSCILLATOR WITH FRACTIONAL DERIVATIVES IN THE RIEMANN-LIOUVILLE

I. V. Drobysheva

Vitus Bering Kamchatka State University, 683031, Petropavlovsk-Kamchatsky, Pogranichnaya st., 4, Russia E-mail: [email protected]

The paper presents a mathematical model hereditarity Duffing oscillator with friction, which is a generalization of previously known classical model of Duffing oscillator. This generalization is replaced in the model equation integral derivative on derivatives of fractional order in the sense of Riemann-Liouville. Built explicit finite difference scheme for calculating approximate solutions, as well as the phase trajectories for different values ??of the control parameters.

Key words: Riemann-Liouville derivative Grunwald-Letnikova, hereditarity, Duffing oscillator, phase trajectory

© Drobysheva I.V., 2016

Введение

Исследование эредитарных колебательных систем является одним из актуальных направлений исследований, что подтверждено различными приложениями [2]-[5]. Эредитарные колебательные системы рассматриваются в рамках теории эредитарной динамики, предложенной Вито Вольтерра [2].

Эредитарность процесса - это свойство процесса сохранять «память» о его состояниях в предыдущие моменты времени. В частности, такие процессы происходят во фрактальных средах, обладающие масштабной инвариантностью и нелокальностью по времени и пространству. Для процессов происходящих во фрактальных средах, функция памяти имеет степенной вид, поэтому такие эредитарные процессы можно описать с помощью дробных производных. Например, более подробно вопросы исследования эредитарных колебательных системы с помощью дробной производной Римана-Лиувилля изложены в книге Ивана Петраса [1].

В настоящей работе мы исследуем пример эредитарной колебательной системы - эредитарный осциллятор Дуффинга с трением и периодической внешней силой. Далее для приближенного решения модельного уравнения с начальными условиями построим численную явную конечно-разностную схему. На основе численного решения построим и исследуем осциллограммы и фазовые траектории эредитарного осциллятора Дуффинга.

Отметим, что в работе [3] была предложена модель осциллятора Дуффинга с фрактальным трением.

Постановка задачи

Рассмотрим следующее эредитарное уравнение Дуффинга:

0 t t Ci f d f

Ki (t - t) x (t) dt + a — J K2 (t - t) x (т) dt - x (t)+ x3 (t) = о cos (at), (1)

0 0

где Ki (t — т) и K2 (t — т) - функции памяти.

Если выбрать функции памяти в уравнении (1) в виде: (t- Т)1-p (t- Т

Ki (' - т)= Г(2—"pr, K2 ('- т)= n;!—)qy,1 < p <2-0 < q <i- (2)

то мы приходим к следующей задаче.

Задача. Найти решение x (t), где t е [0, T] следующей задачи Коши в локальной постановке [6]:

Dtx (т) + aDq0tx (т) - x (t) + x3 (t) = о cos (at), (3)

d

lim 12-px (t) = x0, lim — (t 2-px (t)) = y0, t^0 t^0 dt v '

„ , . 1 d2 tx (t) dт „ , , 1 d t x (t) dт

где Dqtx (T) = Г^Т-q) d2 0 (7-Tf и (T) = Г(2-p) dt 0 (t-T^ " Прои3водНЫе

Римана-Лиувилля дробных порядков p, q, a - коэффициент вязкого трения, о

и а - амплитуда и частота внешней периодической силы, х0 и у0 - заданные константы, начальные условия.

Задача Коши (3), в силу кубической нелинейности, не имеет точного решения, поэтому будем искать приближенное решение с помощью теории конечно-разностных схем [6]-[9]. Разобьем отрезок [0,Т] на N равных частей с шагом й. Решение дифференциальной задачи х ) перейдет в приближенное сеточное решение х(¿к), ¿к = кй, к = 1,...,N. Производную дробного порядка в системе (3) дискретной производной Грюнвальда-Летникова [10]:

1

к-1

(T> - ¥ £

(Р)

т/ Xk-j =

Xk . k—i (p) + £ m( )Xk-

1

hP

(4)

1 ^ (q>

Dt* (T) - rq £ cfxk

h j=o

Xk . k— (q) - + £ cf*k- j, j=1

(q)

c0 = mo

(p)

(q)

= 1, j )= 1 -

1+q\ м .»

c^, m(.- ) = 1 -

а целочисленные производные:

1 + p

m

( p ) ,

x (t )= У(t)

xk - xk-1 h

(5)

Подставляя (4) и (5) в систему (3), приходим к следующему численному решению задачи Коши:

1 k-1 Xk = в (xk-1 - XU) - C £ m7

k1

(p)xk- j - K £ cjq)xk- j + A cos (ю (k - 1) h),

yk =

xk - xk-1 h

(6)

й-р й-9 а где В = й-р + ай-9, С =-, К =-,А = -.

В ' В В

Можно отметить, исходя из работы [10], что аппроксимация (6) дифференциальной задачи (3) имеет первый порядок. В работе нас не будут интересовать вопросы устойчивости и сходимости явной схемы (6). Скажем лишь, что явные схемы, как правило, условно устойчивы, т.е. существует ограничение на шаг й. Оценить шаг й можно с помощью правила Рунге [11].

Также для выбранных управляющих параметров можно провести эксперимент по исследованию устойчивости по правой части или начальным данным. Если схема устойчива с первым порядком, то по теореме Лакса она сходится с таким же порядком. Рассмотрим некоторые результаты моделирования эредитарного осциллятора Дуффинга с трением и гармоническим внешним воздействием.

Результаты моделирования

Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 1. Значения управляющих параметров имеют вид: N = 2000, а = 10, а 0.15, р = 1.7,9 = 0.8, а = 5, й = 0.05.

Рис. 1. Расчетная кривая, полученная по формуле (6) а) и фазовая траектория б)

На рис.1а приведена расчетная кривая численного решения, полученная по формуле (6) и фазовые траектории (рис.1б.). Видно, что амплитуда колебаний практически не меняется, что может свидетельствовать о наличии периодического решения или предельного цикла. Действительно, на рис. 1б. фазовая траектория выходит на предельный цикл.

Пример 2. Управляющие параметры имеют следующие значения: N = 2000, о = 30, а = 0.15, р = 1.7, д = 0.8, ю = 5, к = 0.05..

Рис. 2. Расчетная кривая, полученная по формуле (6) а) и фазовая траектория б)

На рис.2а приведена осциллограмма и фазовая траектория рис.2б., когда в отличие от предыдущего примера амплитуда внешней силы в три раза больше. На

осциллограмме (рис.2а) можно увидеть, что в начале колебания происходят в хаотическом режиме с раздвоенной амплитудой, затем выходят на квазирегулярный режим. На рис. 2б. фазовая траектория имеет петлю, соответствующую раздвоению амплитуды колебаний, и выходит на предельный цикл.

Рассмотрим другой пример с уменьшением шага дискретизации.

Пример 3. Параметры: N = 2000, а = 30, а = 0.15,р = 1.7,д = 0.8, ю = 5,к = 0.07.

Vif)

Рис. 3. Расчетная кривая, полученная по формуле (6) а) и фазовая траектория б)

В этом случае мы видим, что колебания происходят в регулярном хаотическом режиме. Фазовые траектории типа (рис. 3б) были получены в работе [12] с дробной производной в смысле Герасимова-Капуто.

Рассмотрим случай, когда изменяются дробные параметры.

Пример 4. Параметры: N = 2000, а = 30, а = 0.15,р = 1.3,д = 0.8, ю = 1,к = 0.07.

ад

а

т

Рис. 4. Расчетная кривая, полученная по формуле (6) а) и фазовая траектория б)

С уменьшением параметра р до 1.7 характер колебаний меняется. Можно заметить на рис. 4а, что колебания имеют раздвоенную амплитуду, о чем свидетельствуют две петли на фазовой траектории (рис. 4б), которая выходит на предельный цикл. Такой режим колебаний характерен для эредитарного осциллятора Ван-дер-Поля [12].

Эти петли более ярко выражены в следующем примере.

Пример 5. Параметры: N = 3000, о = 30, а = 0.15,р = 1.6,д = 0.8, а = 1,к = 0.07.

ш

Рис. 5. Расчетная кривая, полученная по формуле (6) а) и фазовая траектория б)

Растроение амплитуды мы наблюдаем в следующем примере.

Пример 6. Примеры: N = 2000, о = 30, а = 0.15,р = 1.9,д = 0.8, а = 1,к = 0.05.

Рис. 6. Расчетная кривая, полученная по формуле (6) а) и фазовая траектория б)

В этом случае мы видим растроение амплитуды колебаний (рис.6а), что приводит к дополнительны петлям на фазовой траектории (рис. 6б.)

Заключение

Была предложена математическая модель эредитарного осциллятора Дуффинга с трением с дробными производными Римана-Лиувилля. Построена явная конечно-разностная схема для численного счета приближенного решения задачи Коши в локальной постановке. С учетом различных значений управляющих параметров, построены осциллограммы и фазовые траектории. Показано, что практически все фазовые траектории выходят на предельный цикл, также показано, что могут существовать режимы присущи другим колебательным системам. Поэтому решение эре-дитарного осциллятора Дуффинга обладает более широкими свойствами, чем классический его аналог.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю Р.И. Паровику за ценные замечания и советы при написании этой работы.

Список литературы

[1] Учайкин В. В., Метод дробных производных, Артишок, Ульяновск, 2008, 512 с.

[2] Gao X., Yu J., "Chaos in the fractional order periodically forced complex Duffing's oscillators", Chaos, Solitons & Fractals, 24:4 (2005), 1097-1104.

[3] Rossikhin Y. A., Shitikova M. V., "Application of fractional calculus for dynamic problems of solid mechanics: novel trends and recent results", Applied Mechanics Reviews, 63:1 (2010), 010801.

[4] Petrasl., Fractional-Order Nonlinear Systems: Modeling, Analysis and Simulation, Springer, New York, 2011, 218 pp.

[5] Syta A., Litak G., Lenci S., Scheffler M., "Chaotic vibrations of the Duffing system with fractional damping", Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science, 24:1 (2014), 013107.

[6] Нахушев А. М., Дробное исчисление и его приложения, Физматлит, М., 2003, 272 с.

[7] Паровик Р. И., "Математическое моделирование нелокальной колебательной системы Дуффинга с фрактальным трением", Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки, 2015, №1(10), 18-24.

[8] Паровик Р. И., "О численном решении уравнения фрактального осциллятора с производной дробного переменного порядка от времени", Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки, 2014, №1(8), 60-65.

[9] Паровик Р. И., "Численный анализ некоторых осцилляционных уравнений с производной дробного порядка", Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки, 2014, №2(9), 30-35.

[10] Паровик Р. И., "Об одной конечно-разностной схеме для математической модели нелинейного эредитарного осциллятора", Международный научно-исследовательский журнал, 2016, №4-2(9), 138-142.

[11] Петухов А. А., Ревизников Д. Л., "Алгоритмы численных решений дробно-дифференциальных уравнений", Вестник МАИ, 16:6 (2009), 228-243.

[12] Марчук Г.И., Вычислительные методы, Наука, М., 1977, 456 с.

[13] Паровик Р. И., "Об исследовании устойчивости эредитарного осциллятора Ван-дер-Поля", Фундаментальные исследования, 2016, №3-2, 283-287.

Поступила в редакцию / Original article submitted: 18.03.2016