Математическое моделирование нелокальной колебательной системы Дуффинга с фрактальным трением Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2015. № 1(10). C. 18-24. ISSN 2079-6641

УДК 517.925.42

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛОКАЛЬНОЙ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ДУФФИНГА С ФРАКТАЛЬНЫМ ТРЕНИЕМ

Р.И. Паровик1, 2

1 Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, 684034, Камчатский край, п. Паратунка, ул. Мирная, 7

2 Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга, 683032, г. Петропавловск-Камчатский, ул. Пограничная, 4

E-mail: [email protected]

В работе рассматривается нелинейная фрактальная колебательная система Дуффинга с трением. Проведен численный анализ этой системы с помощью конечно-разностной схемы. Построены решения системы в зависимости от дробных параметров, а также фазовые портреты.

Ключевые слова: оператор Герасимова-Капуто, фазовый портрет, осциллятор Дуффинга, конечно-разностная схема

© Паровик Р.И., 2015

MSC 37C70

MATHEMATICAL MODELING OF NONLOCAL OSCILLATORY DUFFING SYSTEM WITH FRACTAL

FRICTION

R.I. Parovik1, 2

1 Institute of Cosmophysical Researches and Radio Wave Propagation Far-Eastern Branch, Russian Academy of Sciences, 684034, Kamchatskiy Kray, Paratunka, Mirnaya st., 7, Russia

2 Vitus Bering Kamchatka State University, 683031, Petropavlovsk-Kamchatsky, Pogranichnaya st., 4, Russia

E-mail: [email protected]

The paper considers a nonlinear fractal oscillatory Duffing system with friction. The numerical analysis of this system by a finite-difference scheme was carried out. Phase portraits and system solutions were constructed depending on fractional parameters.

Key words: Gerasimov-Caputo operator, phase portrait, Duffing oscillator, finite-difference scheme

© Parovik R.I., 2015

Введение

Исследование нелинейных колебательных систем имеет важное практическое значение [1]. С развитием теории моделирования фрактальных процессов появилась возможность выявить новые свойства нелинейных фрактальных колебательных систем. Такие колебательные процессы описываются дифференциальными уравнениями с производными дробных порядков [2]. Дробные порядки производных связаны с фрактальной размерностью среды, а их учет в колебательной системе, как дополнительных степеней свободы, дает предпосылки к новым хаотическим режимам, которые описывают реальные процессы и явления. Например, в работе [3] был исследован вопрос о моделировании затухающих колебаний в шине транспортного средства, в работе [4], были изучены свойства вязко-упругих свойств балок, пластин и цилиндрических оболочек.

Интерес представляет изучение нелинейной колебательной системы с трением (осциллятор Дуффинга). В работах [5, 6] рассмотрено моделирование осциллятора Дуффинга с фрактальным трением. В настоящей работе рассмотрено обобщение предложенных ранее моделей осциллятора Дуффинга, в случае, когда в исходное уравнение вводится оператор дробного дифференцирование вместо производной второго порядка по смещению. Исследованы режимы колебательной системы в результате изменения дробных параметров, построены фазовые портреты.

Постановка задачи

Найти решение x (t), где t е [0, T], удовлетворяющее уравнению

dotx (n) + ad^x (П) - x (t) + x3 (t) = 8 cos (at) (1) и начальным условиям

x(0)= xo, x(0)= yo (2)

1 t x(n)dn л , , 1 tx(n)dn .

где (n) = гё-О) 0 (T-^,d0tx (n) = г(Т—в) 0 (t-n?- операторы дро6-

ного дифференцирования в смысле Герасимова-Капуто порядка а и в; x (t) = dx/dt и x(t) = d2x/dt2; x0,y0, 8, a,a, T - заданные параметры.

Необходимо отметить, что в работах [2, 5, 6] для описания трения использовался оператор дифференцирования дробного порядка в смысле Римана-Лиувилля. Мы используем оператор Герасимова-Капуто, в этом случае справедливы локальные условия (2). В случае оператора Римана-Лиувилля необходимо задавать нелокальные условия [7].

Метод решения

Задачу (1), (2) решим с помощью численных методов - явной конечно-разностной схемы. Введем т - шаг дискретизации, причем tj = ]Т, j = 1,2,..,N, Ыт = Т, х(]х) = х^. Тогда производные дробных порядков, входящие в уравнении (1, можно аппроксимировать следующим образом [8]

(n)

г—а

г (3 - «) 20

(k + 1)2 а - k2-a (xj_k+i - 2xj-k + xj_fe_i)

(3)

_-ß j-1

dßtx (П) - £ [(k + 1)1-ß - k1-ß

xj-k+1 - xj-k

Подставляя соотношения (3) в уравнение (1), получим следующую явную конечно-разностную схему:

x1 = Ax0 — Cx^ + K, x2 = Ax1 — Bx0 — Cx\ + Kcos (ют),

j-1

Xj+1 = Axj — Bxj—1 — Cx3 — B £ bfe(xj—k+1 — 2xj—k + Xj—k—0 —

k=1

j—1

—M £ ck (xj—k+1 — xj—k) + Kcos (юjт) (4)

k=1

2т—« т—P \ It т—« т—P

a = i -2т—- + : +1 т

Г (3 - а) Г(2 - ß) J / \ Г(3 - а) Г(2 - ß) Г

в= Я-Т-^+ -ÄY к = 5 /(-^ + T-ß

Г (3 - а)/ \Г (3 - а) Г (2 - ß) Г / \Г (3 - а) Г (2 - ß)/'

Т-а Т-ß \ Т-ß Ii Т-а Т-ß

Г (3 - а) Г (2 - в) /' г (2 - в)/ \ г (3 - а) Г (2 - в) /'

Ьк = (к + 1)2-а - к2-а, Ск = (к + 1)1-в - к1-в, ] = 2,..,N - 1.

х •_х • 1

Производную у (г) = х (г) = бх/бг аппроксимируем конечной разностью:у/ = —-•—

т

Значения хо и уо определяются из начальных условий (2).

Результаты моделирования

Численное моделирование проводилось с учетом следующих значений параметров в решении (4): N = 4000, т = п/100, ю = 1,8 = 0.3,а = 0.15,х0 = 0.2,у0 = 0.3. Фазовый портрет строился по точкам(х (г),у (г)) в зависимости от параметров а и в.

Для исследования колебательных режимов часто используют сечение Пуанкаре. Сечение Пуанкаре - это плоскость в фазовом пространстве, выбранная таким образом, чтобы все траектории, принадлежащие аттрактору, пересекали ее под ненулевым углом.

Отметим, что замкнутые фазовые траектории образуют конечные последовательности точек в сечении Пуанкаре (одна точка соотвествует предельному циклу с периодом Т, две точки соответсвуют предельному циклу с удвоенным периодом 2Т, непериодические режимы соотвествуют бесконечные последовательности точек в сечении Пуанкаре. В качестве сечение Пуанкаре выберем плоскость постоянной фазы внешнего воздействия югп = 2пп, что соотвествует выбору точек фазовой траектории ровно через период Т = 2п внешней силы.

На рис. 1 представлен случай а = 2, в = 1, соотвествующий классическому осциллятора Дуффинга с трением. В этом случае эффект памяти в колебательной системе исчезает. Решение не является периодическим, а имеет хаотический характер (рис. 1а). Подтверждение хаотического режима для вынужденных колебаний фрактального осциллятора Дуффинга можно увидеть на рис. 1б, где представлено сечение

Рис. 1. Фазовый портрет и точки сечения Пуанкаре (а), построенные согласно чис-

п

ленному решению (в) с учетом параметров: N = 30000, т = ^^, а = 1, 8 =

0.3, а = 0.15, х0 = -1.3311, у0 = -0,1429, а = 2, в = 1; б - сечение Пуанкаре при N = 5 ■ 105 с теми же значениями параметров

Пуанкаре, построенное при большом количестве точек N = 5 ■ 105, а также функция смещения х ), которая приведена на рис. 1в. Исходя из точек сечения Пуанкаре рис. 1б, можно заключить, что классический осциллятор Дуффинга является биста-бильной колебательной системой [9], которая обладает хаотическим аттрактором, характерным для детерминированного хаоса [10].

На рис. 2 приведен фазовый портрет (рис. 2а) и функция смещения (рис. 2б), полученные с помощью численной схемы (4) в случае: а = 2, в = 0.6.

Рис. 2. Фазовый портрет и точка Пуанкаре (а), построенные согласно численно-

п

му решению (б) с учетом параметров: N = 4000, т = у^, а = 1,8 = 0.3,а = 0.15, Х0 = 1.0052, у0 = 1.3901, а = 2, в = 0.6

Можно отметить, что решение в этом режиме имеет периодический характер, а фазовая траектория - предельный цикл. Сечение Пуанкаре состоит из одной единственной точки, что отражено на рис. 2б и эта точка совпадает с начальной точкой (хо,уо). Аналогичные результаты были представлены в работе [5]. Можно также отметить, что кубическая нелинейность в уравнении (??) приводит к увеличению частоты колебаний (рис. 2б).

На рис. 3 представлена расчетная кривая, построенная по формуле (??). Параметры расчета: количество точек N = 1000, шаг дискретизации т = 0.16, £ = 4, а = 2,в = 0.8, (х(0),X(0)) = (-2.623, -4.0705).

Рис. 3. Предельный цикл с точками сечения Пуанкаре (а) и численное двупери-одическое решение (б), полученное по формуле (??) с учетом параметров: а = 2,в = 0.8, т = 0.16,а = 0.15, д = 4, (х(0),X (0)) = (-2.623, -4.0705)

На рис. 3а и рис. 3б видно, что решение имеет придельный цикл с петлей, причем сечение Пуанкаре содержит две точки. Поэтому решение является двуперио-дическим. Наличие петли приводит к раздвоении амплитуды колебаний (рис. За). Подобные структуры получали авторы работы [5].

На рис. 4 представлена эволюция решения и фазовые портреты при различных параметров а, в и т. На рис. 4 фазовые траектории выходят на предельный цикл. На рис. 4в наблюдается хаотичный режим. Можно сделать вывод, что появление новых параметров (дробных показателей) в эредитарном уравнении (1), расширяет свойства осциллятора Дуффинга и предваряет появления новых режимов и эффектов в нелинейной колебательных системах. Порядки дробных производных выступают в качестве управляющих параметров, которые определяют режимы фрактальной колебательной системы, что необходимо учитывать при их моделировании.

Рис. 4. Фазовый портрет и численное решение (??) с учетом параметров: (а,б) а =

1.7,в = 1, т = П; (в,г) а = 1.8,в = 1,П; (д,е) а = 1.8,в = 0.2, т = П; (ж,з) 60 40 60

а = 1.3, в = 0.2, т = П 60

Заключение

В работе рассмотрена модель фрактального осциллятора Дуффинга с трением. Найдены численные решение в зависимости от дробных параметров а и в, построены фазовые траектории. Анализ решений показал, что существуют как периодические решения, так и хаотические режимы. Для более качественного анализа в дальнейшем будут построены бифуркационные диаграммы и проведен тест на установления условий возникновения периодических решений.

Библиографический список

1. Рехвиашвили С.Ш. Размерные явления в физике конденсированного состояния и нанотехнологиях. Нальчик: КБНЦ РАН, 2014. 250 с.

2. Petras I. Fractional-Order Nonlinear Systems. Modeling, Analysis and Simulation. Beijing and SpringerVerlag Berlin Heidelberg: Springer, 2011. 218 p.

3. Kao B.G. A three-dimensional dynamic tire model for vehicle dynamic simulations // Tire Science and Technology. 2000. Vol. 28, no. 2. P. 72-95.

4. Rossikhin Y.A., Shitikova M.V. Application of fractional calculus for dynamic problems of solid mechanics: novel trends and recent results // Applied Mechanics Reviews. 2010. Vol. 63, no. 1. P. 010801.

5. Syta A., Litak G., Lenci S., Scheffler M. Chaotic vibrations of the duffing system with fractional damping // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 2014. Vol. 24, no. 1. P. 013107.

6. Sheu L.J., Chen H.K., Chen J.H., Tam L.M. Chaotic dynamics of the fractionally damped Duffing equation // Chaos, Solitons & Fractals. 2007. Vol. 32, no. 4. P. 1459-1468.

7. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.

8. Паровик Р.И. Численный анализ некоторых осцилляционных уравнений с производной дробного порядка // Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки. 2014. Т. 9, № 2. С. 30-35.

9. Эбелинг В. Образование структур при необратимых процессах. Введение в теорию диссипативных структур. М.: Мир, 1979. 279 с.

10. В.Т. Гринченко А.А. Снарский, В.Т. Мацыпура. Введение в нелинейную динамику: Хаос и фракталы. М.: ЛКИ, 2007. 264 с.

Поступила в редакцию / Original article submitted: 13.04.2015