Математическое моделирование осциллятора Дуффинга с дробными производными в смысле Римана-Лиувилля Текст научной статьи по специальности «Математика»

б) Редактирование параметров Рисунок 1 - Окна для редактирования базы знаний

Остальные функции режима работы со знаниями реализуются путем выбора соответствующего пункта меню и проведения необходимых операций. Контекстно-зависимая помощь, объяснительная компонента, система вложенных меню и другие средства «дружелюбного» интерфейса обеспечивают пользователю эффективную работу с системой, а наряду с возможностью расширения базы знаний - жизнестойкость системы. Аккумулирование и тиражирование опыта эксперта в виде базы знаний экспертной системы позволит достичь в больших масштабах эффективных результатов уборки. Список использованной литературы:

1. Димитров, В.П. Совершенствование методов технического обслуживания зерноуборочной техники на основе экспертных систем [Текст] / В.П. Димитров // Дисс. на соискание учен. степени д-ра техн. наук /Ростов-на-Дону, 2002.- 300 с.

2. Димитров, В.П. Об организации технического обслуживания машин с использованием экспертных систем [Текст] / В.П. Димитров // Вестник ДГТУ.- 2003.- Т. 3.- №1.- С. 6-7.

3. Димитров, В.П. Особенности моделирования процесса принятия решений при технологической регулировке машин [Текст] / В.П. Димитров, Л.В. Борисова //Механизация и электрификация сельского хозяйства.- 2009.- №4.- С. 2-4.

4. Тугенгольд, А.К. К вопросу построения нечеткой экспертной системы продукционного типа для технологической регулировки машин [Текст] / А.К. Тугенгольд, В.П. Димитров, Л.В. Борисова // Вестник ДГТУ.- 2008.-Т.8, № 3 (38) .- С. 419 - 426.

5. Борисова, Л.В. Особенности формализации знаний при логико-лингвистическом описании сложных технических систем [Текст] / Л.В. Борисова, В.П. Димитров // Ростов-на-Дону, РГАСХМ.- 2006.- 207 с.

© Димитров Е.В., 2016

УДК 517.958

Дробышева Ирина Викторовна

Магистрант 2-го года обучения, КамГУ им. Витуса Беринга, г. Петропавловск-Камчатский, РФ

e-mail: [email protected]

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОСЦИЛЛЯТОРА ДУФФИНГА С ДРОБНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ В СМЫСЛЕ РИМАНА-ЛИУВИЛЛЯ

Аннотация

В работе предложена обобщенная математическая модель осциллятора Дуффинга с трением, которая

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №5/2016 ISSN 2410-700X_

учитывает эффект «памяти» или эредитарность в колебательной системе. Описание этого эффекта дается формальной заменой в модельном уравнении целочисленные производные на производные дробных порядков в смысле Римана-Лиувилля. Была построена явная конечно разностная схема для вычисления приближенного решения, а также фазовые траектории при различных значениях управляющих параметров. Показано, что свойства решения эредитарного осциллятора гораздо шире, чем свойства классического осциллятора Дуффинга.

Ключевые слова

Осциллятор Дуффинга, производная Римана-Лиувилля, конечно-разностная схема, фазовые траектории, осциллограммы.

Введение. Исследование эредитарных колебательных систем является одним из актуальных направлений исследований, что подтверждено различными приложениями [1-3]. Эредитарные колебательные системы рассматриваются в рамках теории эредитарной динамики [1].

Эредитарность процесса - это свойство процесса сохранять «память» о его состояниях в предыдущие моменты времени. Как правило, такие процессы происходят во фрактальных средах, обладающие масштабной инвариантностью и нелокальностью по времени и пространству.

Более подробно вопросы исследования эредитарных колебательных системы систем изложены в книге И. Петраса [4] .

В настоящей работе мы исследуем пример эредитарной колебательной системы - эредитарный осциллятор Дуффинга с трением. Далее построим численную явную конечно-разностную схему для счета приближенного решения соответствующей задачи Коши, а также на основе численного решения построим и исследуем фазовые траектории.

Отметим, что в работе [5] была предложена модель осциллятора Дуффинга с фрактальным трением. Фрактальное трение обладает свойствами вязкости за счет степенного ядра в интегральном операторе («тяжелые хвосты»).

Постановка задачи. Найти решение x (t), где t е [ö, T] следующей задачи Коши в локальной постановке [6]:

Dptx (t) + aDqtx (г) - x (t) + x3 (t) = a cos [at), (1)

lim 12px (t) = xn, lim—(t 2px (t)) = yn,

ttо v ' 0 ttо —tV '

i \ 1 rx(r)dT i > x(r)dr где /)!'х(т ) = —--- —-—-- и n' xiг\-_-_Г_i-J_ - производные Римана-Лиувилля

0i ^ Г(1 -q)[{t-r)q Q, { )~T(2-p)\it-r)^ Р У

дробных порядков 1 < p < 2, ö < q < 1, a - коэффициент вязкого трения, a и a - амплитуда и частота внешней периодической силы, x и y - заданные константы, начальные условия.

Система (2), в силу нелинейности, не имеет точного решения, поэтому будем искать приближенное решение с помощью теории конечно-разностных схем [7-9]. Разобьем отрезок [0, T ] на N равных частей с

шагом h. Решение дифференциальной задачи x (t) перейдет в приближенное сеточное решение

x(h), h = kh, к = 1,...,N . Производную дробного порядка в системе (2) аппроксимируем разностным

аналогом - производной Грюнвальда-Летникова [10]:

к-1 v к-1

xk- j , (3)

1 к-1 y к-1

D'x (г)« £ I mj) x, - j = ^ + I P) *

1 к-1 v к-1 Dqx (г)« ± I cj ]x, - j = xq + £ cjq > x, ^

h j=0 h j=1

с,

(* > -

1, с

(*)

/

1 + *

)

с(ч) т(р) с] -1,т]

г

1 + р

)

т

(р) ] -1-,

а целочисленные производные:

х

(О МО'

хк хк-1

к

(4)

Подставляя (3) и (4) в систему (2), приходим к следующему приближенному решению задачи Коши

(2):

1 к-1 к-1 - (х*-1 - х3-1) - СI т(р)х*_, - КX хк } + А ос8 (® (к -1) к),

В ]=1 ]=1

(5)

где В = к р

Ук =■

к

к

ак* , С = —, К = —, А = —.

В В В

Можно отметить, исходя из работы [10], что аппроксимация (5) дифференциально задачи (2) имеет первый порядок. Мы не будем проводить исследования явной схемы (5) на устойчивость и сходимость. Явные схемы, как правило условно устойчивы, т.е. существует ограничение на шаг к . Оценить шаг к можно с помощью метода двойного счета (правило Рунге) [7].

Также для выбранных управляющих параметров можно провести эксперимент по исследованию устойчивости по правой части или начальным данным. Если схема устойчива с первым порядком, то по теореме Лакса она сходится с таким же порядком. Рассмотрим некоторые результаты моделирования осциллятора Дуффинга с фрактальным трением.

Результаты моделирования. Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 1. Значения управляющих параметров имеют вид: N = 2000, а = 10,а = 0.15, р = 1.7, * = 0.8, а = 5, к = 0.05.

к

10 20 зо 40 зо во ТО ВО 50

6

Рисунок 1 - Расчетная кривая, полученная по формуле (5) а) и фазовая траектория б) На рис.1а приведена расчетная кривая численного решения, полученная по формуле (5) и фазовые траектории (рис.1б.). Видно, что амплитуда колебаний практически не меняется, что может свидетельствовать о наличии периодического решения или предельного цикла. Действительно, на рис. 1б. фазовая траектория выходит на предельный цикл.

Пример 2. Параметры: N = 2000, а = 30, а = 0.15, p = 1.3, q = 0.8, © = 1, h = 0.07.

а

x(t>

\ \ [\ 1 Л III \ \ \ \ \ 1 1

2 'Р 1, 0 / SI '1/ / 100 2<

б

VW

Рисунок 2- Расчетная кривая, полученная по формуле (5) а) и фазовая траектория б)

С уменьшением параметра p до 1.7 характер колебаний меняется. Можно заметить на рис. 2а, что колебания имеют раздвоенную амплитуду, о чем свидетельствуют две петли на фазовой траектории (рис. 2б), которая выходит на предельный цикл. Такой режим колебаний характерен для эредитарного осциллятора Ван-дер-Поля [12].

Заключение. Была предложена математическая модель эредитарного осциллятора Дуффинга с трением с дробными производными Римана-Лиувилля. Построена явная конечно-разностная схема для численного счета приближенного решения задачи Коши в локальной постановке. С учетом различных значений управляющих параметров, построены осциллограммы и фазовые траектории. Показано, что фазовые траектории выходят на предельный цикл, также показано, что могут существовать режимы присущи другим колебательным системам. Поэтому решение эредитарного осциллятора Дуффинга обладает более широкими свойствами, чем классический его аналог.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю к.ф.-м.н., Р.И. Паровику за ценные замечания и советы, которые послужили лучшему осмыслению результатов моделирования. Список использованной литературы:

1. Учайкин В.В. Метод дробных производных. Ульяновск: Артишок, 2008. 512 с.

2. Gao X., Yu J. Chaos in the fractional order periodically forced complex Duffing's oscillators // Chaos, Solitons & Fractals. 2005. Т. 24. №. 4. С. 1097-1104.

3. Rossikhin Y. A., Shitikova M. V. Application of fractional calculus for dynamic problems of solid mechanics: novel trends and recent results // Applied Mechanics Reviews. 2010. Т. 63. №. 1. С. 010801.

4. Petras I. Fractional-Order Nonlinear Systems: Modeling, Analysis and Simulation. New York: Springer, 2010.

5. Syta A., Litak G., Lenci S., Scheffler M. Chaotic vibrations of the Duffing system with fractional damping // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 2014. Vol. 24, no. 1. P. 013107.

6. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его приложения. М.: Физматлит, 2003. 272 с.

7. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977. 456 с.

8. Паровик Р.И. О численном решении уравнения фрактального осциллятора с производной дробного переменного порядка от времени // Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки. 2014. №. 1 (8). C. 6065.

9. Паровик Р. И. Численный анализ некоторых осцилляционных уравнений с производной дробного порядка // Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки. 2014. №. 2 (9). C. 30-35.

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №5/2016 ISSN 2410-700X_

10.Петухов А.А., Ревизников Д.Л. Алгоритмы численных решений дробно-дифференциальных уравнений // Вестник МАИ. 2009. Т. 16. № 6. С. 228-243.

11.Паровик Р.И. Математическое моделирование нелокальной колебательной системы Дуффинга с фрактальным трением // Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки. 2015. №. 1 (10). C. 18-24.

12.Паровик Р.И. Математическая модель фрактального осциллятора Ван дер Поля // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2015. Т.17. № 2. С. 57-62.

© Дробышева И.В., 2016

УДК 672.9

Ермолаева Вера Анатольевна

к.х.н., доцент МИ ВлГУ г. Муром, Российская Федерация E-mail: [email protected]

РАСЧЕТ ЗАТРАТ НА ОБЕСПЕЧЕНИЕ БЕЗОПАСНОСТИ ТЕХНОЛОГИИ ОКРАСКИ

МЕТАЛЛОКОНСТРУКЦИЙ

Аннотация

Рассмотрен технологический процесс окраски металлоконструкций, проанализированы производственные и экологические опасности, произведены расчёты затрат на обеспечение системы безопасности.

Ключевые слова

Окраска металлоконструкций, расчет затрат, обеспечение безопасности.

Рассмотрен и проанализирован технологический процесс окраски металлоконструкций. На основании анализа технологического процесса, материального и энергетического баланса, физико-химических основ технологии была дана оценка степени влияния технологического процесса на окружающую среду и состояние здоровья работников.

Анализ технологического процесса позволяет идентифицировать и проанализировать производственные и экологические опасности. В результате осуществления технологического процесса окраски металлических конструкций в воздух попадают вредные вещества: ксилол, сольвент, уайт-спирит -данный технологический процесс является источником загрязнения атмосферы. Анализ экологической безопасности показывает необходимость очистки отходящих газов и обезвреживания органических примесей в газовых выбросах сложного состава. Для этого предлагается использовать термокаталитические реакторы ТКР-5 и применять меднохромовый катализатор [1]. Вспомогательным оборудованием является вентилятор ВЦ-14-46 -№8. Для обеспечения очистки воздуха от паров растворителей необходимо установить резервный вентилятор того же типа в местную систему вентиляции. Внедрение данной установки позволяет значительно снизить количество вредных веществ, выбрасываемых в атмосферу.

Для оценки производственной безопасности технологического процесса произведен расчет естественной и искусственной освещенности на рабочих местах. Расчет нормативного значения площади остекления показал, что естественного освещения в помещении цеха недостаточно, поэтому работы нужно проводить, применяя искусственное освещение. Рассчитано минимальное необходимое количество светильников для создания требуемого уровня искусственного освещения. Разместим светильники в прямоугольной сетке координат симметрично по потолку: 12 параллельных рядов по 16 светильников в каждом ряду. При проведении имитационного моделирования было выявлено, что для оптимального освещения необходимо использовать лампы ДРЛ-400.