Энергия основного состояния носителей тока в графене Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 537.311.33

ЭНЕРГИЯ ОСНОВНОГО СОСТОЯНИЯ НОСИТЕЛЕЙ ТОКА

В ГРАФЕНЕ

П. В. Ратников1, А. П. Силин

В двухзонном приближении рассчитана энергия основного состояния носителей тока в графене, который рассматривался как бесщелевой полупроводник. Получено условие устойчивости электронной (дырочной) системы в графене. Обсуждается возможность перехода бесщелевого полупроводника в полуметалл.

Известно, что тонкие пленки графита проявляют полу металлические свойства [1]; однако одноатомный слой атомов углерода, образующих правильную гексагональную решетку (графен), обладает такой зонной структурой, что в шести К-точках зоны Бриллюэна энергетическая щель равна нулю. Поэтому графен можно рассматривать как двумерный бесщелевой полупроводник, или как полуметалл с нулевым перекрытием зоны проводимости и валентной зоны [2]. Первый подход дает возможность описывать носители тока в графене в рамках двухзонной модели Дирака2 [7, 8]

и~а ■ УФ = (1)

1 ratnikov@lpi.ru

2Уравнение Дирака (1) эквивалентно с точностью до унитарного преобразования гамильтониана и волновой функции паре уравнений Вейля (см. книгу [3] на с. 79). Как известно, уравнение Вейля описывает в КЭД двухкомпонентное нейтрино (см., например, книгу [4] на с. 114). Использование уравнения Дирака как матричного уравнения 4 х 4 в двухмерной системе возможно потому, что в случае двух пространственных измерений матричное представление 4x4 можно использовать равноправно с матричным представлением 2 х 2 (см. [5] на с. 133). Этот факт позволяет перенести формализм диаграммной техники КЭД на случай двухмерной системы дираковских фермионов (графен). На применение уравнения Вейля к задаче об описании носителей тока в бесщелевом полупроводнике впервые указано в работе [б].

( 0 Г;

где а = 1 } I - а-матрицы Дирака; р = —ih V - двумерный оператор импульса

\ <7 0 )

з

(в дальнейшем h = 1); и = -700 = 9.84 • 10' см/с - величина, аналогичная кейновскому матричному элементу скорости межзонных переходов, 7 ~ 3 эВ - зонный параметр и а0 = 1.44 А - межатомное расстояние в решетке графена [9]. В окрестности К-точек зоны Бриллюэна закон дисперсии носителей тока линеен ер = ±ир (+ соответствует электронам, — соответствует дыркам). Для двумерного электронного (дырочного) газа, возникающего при электронном легировании бесщелевого полупроводника [2], энергия основного состояния, приходящаяся на одну частицу, есть сумма трех слагаемых:

Egs — Е\ап ^exch ЕСОГТ, (2)

гл ^ /27Г7г2£> .

где Ькт = ~иРР ~ средняя кинетическая энергия, рр = \--импульс Ферми, п2£>

3 V ^

- двумерная концентрация частиц, и - кратность вырождения3. Если уровень Ферми

Ер лежит выше Е = 0, то в системе есть только электроны как носители тока в зоне

проводимости с числом долин ие = 2; если Ер < 0, то в системе есть только дырки

как носители тока с г/д = 2. Положение уровня Ферми можно изменять приложением

электрического поля [2]. Видно, что оба случая в модели Дирака равноправны. Ниже

будем для определенности рассматривать случай электронов.

Обменная энергия дается обменной диаграммой первого порядка (рис. 1)

=^ (*•) ^ с* .«ж {г - -«).

(3)

где фотонный пропагатор (^р — к — « V ^~р — к ^ 4 (мы пренебрега-

ем фотонным полюсом при со = ±с

р — к

, вклад которого в интеграл по часто-

там е и и порядка {и/с) ~ 10 5 по сравнению с вкладом полюсов функций Грина), т, /_л 2тге2

* I Я ) = -—— закон Кулона в двухмерном случае, - эффективная диэлектрике»] Ч.\

ческая проницаемость графена. Функция Грина свободного электрона при Д = 0 есть

3В общем случае для двух проекций спина кратность вырождения равна и = 2Ниже будет

показано, что спин-неполяризованное состояние энергетически выгоднее, чем спин-поляризованное, для

которого и —

[10]

up

и2 р — е2 — г0

--(- 2niS (и2~р — е2) Npup,

;n V /

(4)

где р = Рр/У(3{0 = 0,1,2) - свертка с матрицами Дирака = для к = 1,2 и

-у0 = ( ^ ] единичная матрица 2 х 2; = 0(171 -рг)О(е); 0(х) = <1

\ 0 — I I I 0, х < 0.

Выражение (3) преобразуется к виду (см. Приложение):

F fn2D^1/2 exch" у/Ъ^

(5)

2тг

где Ji = J dx J dy J dX~j

ООО

ная Каталана [11]; a"

2(^+Г9х)ху = I (G+й'G = 915965 • • • -

xгуL — Ixy COS X О \ If

аналог постоянной тонкой структуры.

KeffU

Корреляционная энергия дается формулой [12]

1 Г d2 к duj Г d\

J (2тг)3 J Т

\vV (Т) П44 (T,iu

ЕСОГТ =

2(2тг)з , л 1 — ( & ) П44 ( & , га; Полный поляризационный оператор равен

+ AvV к П

г(0) 44

^ А; , г о;

(6)

П44 к ) =

П<°4> ( га;) + П^ (7, га;) + ...,

(7)

что соответствует сумме диаграмм:

/уМ _

7

а

+

Поляризационный оператор в низшем порядке по взаимодействию к , ш) в двумерном случае равен [10]

2

к - У) -

#) -ч

+ £ -4 к -Г-

, 2

1£ри> и2

(8)

Мы вычисляем корреляционную энергию, следуя методу, во многом сходному с известным методом Нозьера-Пайнса [13, 14], применяемым для расчета электронного газа и электронно-дырочной жидкости, при этом используются асимптотики обезразмеренного поляризационного оператора [15]

I _ „ 1

пй>М)= О)

где введены безразмерные переменные г = -у/а;2 + и2к2¡ирр и ыпв = ик/у/ш2 + и2к2.

Чтобы найти параметр малости разложения (7), оценим поправку первого порядка по взаимодействию П^ к поляризационному оператору (8):

= - / (У + + п) (7,в) •

с(У + + х V ба^ ъ (10) 1 [ <Р~р<Р~д 2хаж / . / ■_¡х о* рр

^ - I Р I) - I 9 I) =

Учитывая,

что основной вклад в П^ ^ к , ъси^ вносят малые передаваемые импульсы из-за наличия V [15], сравнивать (10) нужно с асимптотикой П^ ^ к , ги^ при малых

условием применимости приближения хаотических фаз.

Подстановка асимптотики поляризационного оператора при г > 1 в (6) дает вклад больших импульсов:

£с~„ = -^4-[(1+91)-1П(1+Л)-</1], (Н)

6{1ТТуП20

ОТ

, откуда получаем, что (10) мало по параметру — < 1, что одновременно является

I 7Г

au

где g 1 = —— <С 1 при ¡/ = 4и а <1; разлагая (11), в этом случае получаем

1 ¿j

= (12)

что совпадает с вкладом кольцевой диаграммы второго порядка (рис. 2):

л{2] г"2 f <Pl>[d2~q d2~k dedttdw f \ 0 ( -r» \)

= -- Г ( p 'e) ^ (p -k,*-»)]*

-s

Таким образом, согласно методу Нозьера-Пайнса [13, 14] при вычислении корреляционной энергии при больших передаваемых импульсах по формуле (6) с точностью до членов порядка д\ можно ограничиться вторым порядком теории возмущений. Помимо кольцевой диаграммы второго порядка (рис. 2) учтем также и обменную диаграмму второго порядка (рис. 3):

& = -4[fG (7,е) /С (*-■?,„-«) т"-

• G (У - Y - - « - YG (у - Y, е - п) } Dafi (V, п) Dp„ (7, w) . (14)

Вычисление интеграла (14) весьма трудоемко, однако оценки показывают, что, как и в нерелятивистском случае, его вклад положителен и по величине в — раз меньше (13) [16]. Окончательно для вклада больших передаваемых импульсов в корреляционную энергию получаем

(15)

Подстановка асимптотики поляризационного оператора при г <С 1 из (9) в (6) дает вклад малых передаваемых импульсов:

3(2тг)2 П2П

1 - cos (9 , ( sin в \

1 " 92 . д • In 1 + —-+

sm в \ g2(l—cos&)J

Рис. 1. Обменная диаграмма первого порядка.

е — ÇL — и

Рис. 2. Кольцевая диаграмма второго порядка.

Df3v( к ,

¿Ы к >

Рис. 3. Обменная диаграмма второго порядка. Введены обозначения: р , = р — к , = е—и;

sin 0 sin2 в , / 1 — cos О

In 1 + <72-

(16)

(1 — cos0) gl(l — cos6)2 \ sin0

где д2 = - < 1 и выражение (16) можно упростить:

8

~ c**V/2 /Зтг \ 1/2

Из (15) и (17) видно, что корреляционная энергия имеет порядок малости а*2, а обменная энергия (5) - порядка а*, так что получаем энергию основного состояния электронного газа как ряд по степеням а*, который мы обрезаем на членах порядка а"2:

= jn^y/' _ о^Л /п^у» _ fer _ 25 _ M „

5 3 \ и J у/2ж \ v ) 64\/27Г V 8 27 27г/У 1

Рис. 4. Переход в полуметаллическое состояние графена в зависимости от материала подложки: зона проводимости перекрывается с валентной зоной во всех трех парах соседних К— и К'—точек зоны Бриллюэна.

Из (18) видно, что спин-неполяризованное состояние с кратностью вырождения и — 2 энергетически выгоднее, чем спин-поляризованное состояние с кратностью вырождения и = г/е д. Главный вклад дает кинетическая энергия, поэтому Egs > 0. Условие Egs > 0 в случае Д = 0 означает, что графен как бесщелевой полупроводник устойчив (при EgS < 0 было бы выгодно рождать электронно-дырочные пары). Переход в полу металлическое состояние - спонтанное рождение электронно-дырочных пар - происходит при некотором таком, что при а* > Qq выполняется Egs < 0. Уравнение Egs = 0 при подстановке и = 4 дает:

aj = у/Л2 + В - А = 1.1044, (19)

64А _ 512тг

ГД Зтг- 202/27' 9тг- 202/9'

Рассмотрим влияние некоторых параметров на зонную структуру графена подробнее.

Эффективная многодолинность. Если взять структуру (сверхрешетку), содержащую N слоев графена, то при отсутствии переходов между слоями в ней эффективно имеется всего и = и • N электронных (дырочных) долин с Дге(/1) = * N числом электронов (дырок), где -/Ve(/i) — число электронов (дырок) в каждом слое графена. Пусть слои графена разделены широкозонным полупроводником (диэлектриком).

В общем случае для периодических структур закон Кулона дается выражением [15]

2тге2 8Ь(|У|с?)

V(l?,w) =

ch (| ~q | cfj — cos w

(20)

где 0 < ии < 27г, но в случае больших передаваемых импульсов, таких, что \ (I 1,

вторая дробь в (20) стремится к единице. Формула (11) для Е^ остается в силе с

а*Т/ _ _

точностью до замены д\ —> д\ — —- > 1 и п2о пю = = N • п2я {Я

\

площадь слоев)

(П2В\Ч 2

= -

а

Зб\/27г" V v )

• 1п

a v ~12

N

(21)

При малых передаваемых импульсах с/ <С 1 закон Кулона (20) не сингулярен при = 0. В этом пределе Е®ОГГ мала по сравнению с Е™ за счет появления \nN, поэтому

ее можно откинуть. Энергия основного состояния равна

EgS —

2у/2тт

а

1

VEF VZl + Зб1п

a v ~12

»»1-е?)

1/2

(22)

Влияние электрического поля. Выше указано, что приложением электрического поля можно создать ненулевую концентрацию электронов (или дырок при смене направления электрического поля) в графене на подложке [2]. При этом двумерная концен грация носителей тока пропорциональна управляющему напряжению Уд [2]

D =

47г е/

v.,

(23)

где б - диэлектрическая проницаемость подложки.

Согласно расчету [17] в графене, содержащим несколько слоев, при достаточно сильном электрическом поле в К-точках зоны Бриллюэна открывается энергетическая щель. То есть система переходит из полуметаллического состояния, которое было исследова но в [1], в полупроводниковое. Выясним, есть ли аналогичное явление и в однослойном графене. Допустим, что приложение достаточно слабого электрического поля приводит к открытию щели Д ф 0, малой по сравнению с энергией Ферми Ер — ирр: и Гс

А <С Ер = :Уд] при этом поправка к кинетической энергии равна 6Е^п = А1 ¡Ер. 2 V е/

Поправка к обменной энергии согласно (П.1) равна

8Еех ch =

а

72 А2 2тг :Ер*

(24)

2тг

у/х2 + у2 — 2ху сое х

= 16(2. Поправку к корреляционной энергии

где /2 = J с1х ! ¿у J ¿х

ООО

выразим через поправку к поляризационному оператору П^ ^ к , ги>) = ^ к , го; ) ¿П^ ^ к ,га>), опуская члены, дающие нулевой вклад в 6Есогг (нечетные по о;):

+

и

А2

47Г

и)° и4

-аг^

2иррсо

2

и2 к + о;2

(25)

8 ЕГПГГ —

2п20У (2Ж)3 , .„ ЛтЛ о(0) /т* ,. Л 44 V ' 7

1 -1/К £

(26)

п£>(*\ш)

Переходя к безразмерным переменным г, 0 и подставляя асимтотики

П^М) при г» 1

и при г < 1, замечая, что в 8ЕСОГТ основной вклад дают малые передаваемые импульсы из-за наличия в (26) V2 ^ к ), получаем:

+ О»

6Егп„ =

256 ""V" ' с?у) ЕР Поправка к энергии основного состояния обладает дополнительно малым множителем:

8Еа5 = ¿Еып 4- 8ЕехсЬ + 6Есогт =

1 -

8 ва* 9тга*21У

7Г

+

256

1п

Д2 Д2

-—« 0,1202—, И/р Л>р

(28)

поэтому даже при наличии щели (малой по сравнению с Ер) выражение (18) верно, к тому же эта поправка положительна, что указывает на устойчивость фазы бесщелевого полупроводника относительно перехода в фазу полупроводника с ненулевой щелью во внешнем электрическом поле.

Переход в полу металлическое состояние. Для графена параметр а* может эффективно изменяться за счет сил изображения, то есть изменения эффективной диэлектрической проницаемости графена /сеяг в зависимости от окружения (диэлектрик или вакуум), в котором графен находится: при толщине подложки / п^Ц2 она равна

е' + е

^еЯ —

, где б' - диэлектрическая проницаемость среды над графеном [18]. Для

5г'02 подложки /сея = 5 и а* « 0.44, для £¿(7 подложки /сея = 3 и а* « 0.73 [19]. Оценим величину перекрытия валентной зоны и зоны проводимости 6Е в полуметаллическом

состоянии (рис. 4). Пусть сначала Ер > 0 и Д = 0, а после перехода зона проводимости опустилась относительно уровня Е — 0 на 8Е/2 и валентная зона поднялась на 6Е/2,

тогда число электронов ДЛ^, перетекших из валентной зоны, равно ;—р\Б\ новый им-

1У у

пульс Ферми равен р2: №е = —р22Б — Ме + ДЛ^, где Аге = —ррЗ (рр импульс Ферми

27Г 2тг

до перехода). Можно оценить ар\ ~ 6Е/2. Средняя кинетическая энергия электронов

2 . 2 Е^т = -пр2, для дырок Е^П1 = -ир\ (число дырок равно числу перетекших электронов

Л^ = ДуУе, поэтому их импульс Ферми равен р\). Энергия основного состояния на одну

электронно-дырочную пару в иолуметаллической фазе равна

Е'дз = Еек[п + + ЕехсЬ + £согг, (29)

где Есогг вычисляется по поляризационному оператору II ^ = П^'+Пф,^1; если /V/, ~

то Е^'хсЬ ~ ^ехс1г — ^^ехсЬ и Е^сь полагается равной (5). Пренебрегая Есогг, в предположении Е'дз = 0 получаем

6Е ~ (Ъ - 1) ирР, (30)

I ЕеХсЬ I за* л 2а* / 1\

где о = ——- = - = - 6-1— ; условие о > 1 означает, что фаза бесщелевого

#кт 47Г 7Г V 2/

полупроводника неустойчива (Едз < 0), при этом 6Е > 0, т. е. происходит переход в полуметаллическую фазу. Из (30) следует, что 6Е ос У^2 и при отсутствии электрического поля 6Е = 0. Помимо перехода в полуметаллическое состояние происходит одновременно с ним переход из спин-неполя ризованно го состояния в спин-поляризованное. Работа выполнена при поддержке Фонда некоммерческих программ "Династия''.

Приложение

Используя функцию Грина из [10], получаем выражение для обменной энергии при произвольной энергетической щели Д:

Г - и [ Р ° ехсЬ ~ 2п20] (2тгу

(1,2~рс12 к Д2 4- и2^ • к + ерек 2тге4

р — к

а -17|)« (р*-- ¡Т |).

(//л)

Из (II.1) в нерелятивистском пределе: Д ирр, ер£к ~ Д2 и4

р • к

находим

= / Ч^гт—г* О* - М) • - \*\)<• <™>

что совпадает с известным выражением (см., например, [16] на с. 98). В ультрареляти-

вистском пределе: Д <С upF, £p£k ~ и2 \ ~Р

(

Д2 находим

ruiltrarel =__Г # k

exch 2n2D J (2тг)4

1 +

р • к

\

_у

р • к

2тге'

р — к

0(pF-|~p|)ö(pF- TI)

(Я. 3)

Обезразмеривая подынтегральное выражение (П.З) и интегрируя по импульсам, получаем ответ в виде (5). Выражение (П.З) эквивалентно формуле (7) работы [20].

[1 [2 [3 [4 [5

[6 [7 [8 [9 [10 [П

[12 [13 [14 [15

[16 [17 [18 [19 [20

ЛИТЕРАТУРА

К. S. Novoselov, А. К. Geim, S. V. Morozov, et al., Science 306, 666 (2004).

К. S. Novoselov, A. K. Geim, S. V. Morozov, et al., Nature 438, 197 (2005).

A. И. Ахиезер, В. Б. Берестецкий, Квантовая электродинамика (М., Наука, 1969).

С. Швебер, Введение в релятивистскую квантовую теорию поля (М., ИЛ, 1963).

А. М. Цвелик, Применение квантовой теории ноля в физике конденсированного состояния

(М., Физмат лит, 2002).

Н. Nielsen, M. Ninomiya, Phys. Lett. 130В, 389 (1983).

Б. А. Волков, Б. Г. Идлис, М. Ш. Усманов, УФН 65, 799 (1995).

Т. Л. Ando, Phys. Soc. Jpn. 74, 777 (2005).

L. A. Falkovsky, A. A. Varlamov, Concl-mat,/0606800.

JI. E. Печеник, A. П. Силин, Краткие сообщения no физике ФИАН, No. 5-6, 72 (1996). И. С. Градштейн, И. М. Рыжик, Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (М., Физматлит, 1963).

L. V. Keldysh, Contemp. Phys. 27(5), 395 (1986). P. Nozieres, D. Pines, Phys. Rev. Ill, 442 (1958). M. Cornbescot, P. J. Nozieres, Phys. С 5, 2369 (1972).

E. А. Андрюшин, JI. E. Печеник, А. П. Силин, Краткие сообщения no физике ФИАН, No. 7-8, 68 (1996).

Д. Пайнс, Элементарные возбуждения в твердых телах (М., Наука, 1965). M. Aoki, H. Amawashi, Cond-mat/0702257. Л. В. Келдыш, Письма в ЖЭТФ, 29, 716 (1979).

A. Iyengar, J. Wang, H. A. Fertig, L. Brey, Phys. Rev. В 75, 125430 (2007). M. W. С. Dharma-wardana, Phys. Rev. В 75, 075427 (2007).

Поступила в редакцию 30 октября 2007 г.