Элементы теории соприкасающихся линейчатых поверхностей Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ляшков // Металлообработка. - 2011. - № 1(61). -С. 2-7.

9. Ляшков А. А. Огибающая однопараметрического семейства поверхностей, как особенность отображения ортогональным проецированием гиперповерхности, заданной в 4-х мерном пространстве параметрическими уравнениями, на гиперплоскость. /А. А. Ляшков, В. Я. Волков, В. С. Проко-пец //Вестник СибАДИ.- 2012. - № 1. - С. 60-66.

GEOMETRIC MODELING AND COMPUTER PROFILING OF SCREW SURFACES WITH A TOUCH

A. A. Lyashkov, A. V. Zykina

Reviewed by profiling of screw surfaces with pinhole contact in two ways. For the first version of the analytical dependences using differential parameters of surfaces. The second option uses the bezdifferencial'noe solution. Both versions are based on established patterns in the location

of points on the coordinate surfaces of the auxiliary sections of planes. The individual stages of the proposed use polygonal and solid state model in order to identify possible features, profiles of surfaces.

Ляшков Алексей Ануфриевич - кандидат технических наук, доцент кафедры "Инженерная геометрия и САПР" Омского государственного технического университета. Основное направление научных исследований - геометрическое и компьютерное моделирование сложных поверхностей деталей. Общее количество публикаций -более 90. е- mail: [email protected].

Зыкина Анна Владимировна - Ученая степень доктор физико-математических наук, профессор. Основные направления научной деятельности -математическое и компьютерное моделирование сложных систем. Общее количество опубликованных работ: 91. e - mail: [email protected]

УДК 514.182

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СОПРИКАСАЮЩИХСЯ ЛИНЕЙЧАТЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

К. Л. Панчук, А. С. Нитейский

Аннотация. Рассмотрены вопросы соприкосновения линейчатых поверхностей по их общей образующей. Введены понятия дуального вектора расхождения и порядка соприкосновения линейчатых поверхностей. Исследованы свойства соприкасающихся линейчатых поверхностей и их стрикций для начальных порядков соприкосновения. Полученные результаты исследований могут быть положены в основу конструирования сложных технических линейчатых поверхностей, состоящих из линейчатых сегментов, состыкованных по условиям соприкосновения.

Ключевые слова: линейчатая поверхность, порядок соприкосновения, дуальный вектор расхождения.

Введение

При изучении линейчатых поверхностей (ЛП) в бесконечно малой окрестности их образующих важное значение имеет порядок близости двух ЛП с общей образующей прямой линией. Для получения представления о поведении ЛП в бесконечно малой окрестности ее образующей с определенной степенью точности необходимо подобрать другую ЛП, которая совпадает с этой степенью точности с заданной ЛП. Если для второй ЛП достаточно хорошо известно ее строение, например, для

цилиндрической поверхности, то появляется возможность получения представления о строении первой ЛП в бесконечно малой окрестности ее образующей.

Исходные предпосылки

Уравнение ЛП может быть представлено в следующей форме [1,2]:

А1 ({) = а01 ^) + юап(г), ш2=0, где а,^) - единичный вектор образующей прямой; аП(і) -момент вектора а01 относительно начала координат системы отнесения; А1(1) - дуальный

единичный вектор с координатным представлением А1 = 1х + уу + kz , при этом

2 2 2

х + у + z = 1; t - вещественный параметр

То < t < Т1 .

Допускаем, что дуальная вектор-функция А1 ^) обладает на отрезке изменения t непрерывными производными необходимого порядка. В. Бляшке [1] построен ортонормирован-ный триедр ЛП с дуальными ортами:

а;

А1 ; А2 = а02 + ш а12 = "Н ;

Ао = а по + юат ^ = А1 х А о ■

з - а03

Деривационные уравнения этого триедра имеют вид:

А' = н • А2; А = н • а1 + Q • а3 ; А3 = Q • а2 ,(1)

где

Н = Ь0 +юИ1 = АЛ,

д = qo + юq1 =

(А1А1 ао

н

верхние индексы

отвечают соответствующим производным по параметру t■

Дуальная дуга образующей ЛП зависит от вещественного параметра

s(t )= so (I) + ов1 ^|Н • dt. Дифференциро-

вание по верхнему пределу дает

= §=н; (®о>; = =Ьо > о;

ds

(81>; = -1=ь, > о, dt

т.к. принято, что Н = | А{| ф 0 . Главная s0 и

моментная s1 части функции s(t) - монотонно возрастающие вещественные функции So=fo(t)и в1=^1(1) от значений s0(T0) и s1(T0) (отрицательных) при t=T0 до значений s0(т) и s1(T) (положительных) при t = Т и проходящие через 0 при t=t0■ Такие функции, как известно,

допускают обращение t = и t = f-1(s1).

Таким образом, существует взаимнооднозначное отображение te[T0,T]^s0e[S0 ,Б0п], ^ S1 e[S1 ,S1n] т. е. каждому положению образующей на ЛП, определяемому параметром ^ соответствует определенное значение ее дуальной дуги s и наоборот. Рассмотрим две ЛП, имеющие общую образующую а01.

Пусть а01 и а01 - соседние с а01 = а01 образующие этих ЛП, обладающие равными ду-

альными дугами (Рис.1).

s(t) = s( t), где Т0 < t <Т

Рис. 1. Общая образующая ЛП

Считая, что для второй ЛП имеют место геометрические предпосылки, аналогичные указанным для первой, можно показать, что для рассматриваемых ЛП существует единственная вещественная функция t = ^) , непрерывная и дифференцируемая необходимое число раз на отрезке Т0 < t < Т1. Для этого рассмотрим дуальную скалярную функцию

F(t, ^ = s(t)-?( t), главная и моментная составляющие которой имеют соответственно вид: ^(М) = so(t)-s0(t),

Рх(1,Т) = Б^-^Т) .

Для функции F()(t,t) характерно следующее:

1. Она является дифференцируемой в точках пространства переменных (^ ^. Действительно, существуют частные производные ^0Х = (s0)t ф 0 на отрезке [Т0,Т] и

^0)~ = - 0%)^ ф0 на отрезке [Т0,Т]; причём функции и (?0)~ непрерывны соответ-

ственно в точках указанных отрезков, т. к.

дифференцируемы А/ (^ и А1(t) до любого необходимого порядка. Таким образом, F0(t, t) имеет частные производные по аргументам t и t в окрестности любой точки М0(^5 10) пространства (^ ^, причём в точке М эти производные непрерывны.

0

2. Р'о(мо) = РоСїоЛ) = 0 , т.

к.

= 0 .

Из условий 1 и 2 по известной в математическом анализе теореме о неявной функции

следует, что t =^(0, где ф-|© - непрерывная и дифференцируемая в точке М0 функция. При этом порядок дифференцирования функции ф-|© может быть увеличен до порядка дифференцирования функции F0(t, t), что возможно по принятому допущению для дуальных векторных функций А1(1) и А1( 1;). Поэтому имеет место:

ад _ ы;

ад ад

Аналогичные рассуждения можно привести и для вещественной функции Б1(1,1). В результате получаем:

(її) т ад

Но из равенства ds=ds следует s t =s~ • . Раскрывая последнее дуальное

равенство, получаем ^0) 1 = (?0) ~ • ^;

^1) 1 = (%)- • г;, откуда следует г/ = г ; . Последнее, с учётом существования взаимной однозначности соответствия Т0 < t < Т1 ^

Т0 < Т, обеспечиваемой функциями ф1 и

ф2 , позволяет утверждать, что

F0(t, t) = F1(t, t) и зависимость t = 1(г) -

единственная для данных ЛП.

Разложим теперь дуальные векторные

функций А1(1) и А1( t) в ряд Тейлора по степеням Дt и а; в окрестности образующих ^ и гд соответственно:

_ _ __ ___ а г 2

а 1(; )= а 1 (10)+ а; (10 )а; + а;(10 )— + ■■■

А1 (Т)= А1 (Л )+ А'(10 )А I + ^7(10 )+ ■■■

Учитывая функциональную зависимость г = Дг), последнее разложение можно представить в виде

док соприкосновения ЛП

В качестве дуального вектора расхождения рассматриваемых ЛП примем вектор:

О(0 = А1 (10 ) - А1 (10 ) + А1 (10 )- А 1 (10 ^ • А1 + |^ А' (10 ) - А 1 (10 )| •—г + ■■■

где а; (г0), а; (г0), •••; А* (г0), А* (г0), -

- дуальные векторные функции и их последовательные производные в образующей

Введем понятие порядка соприкосновения двух ЛП. Поскольку

А/ (г)=ix (г)+jy(t)+^); а! (г )=1х* (г) + jy* (г) + ^ (г),

то для модуля дуального вектора расхождения 0(1)

°(1)= А/(г)-А1 (г )= ф - х* )+ ,](у - у* )+ - 7* ).

можно записать

Дуальный вектор расхождения О, характеризующий близость обеих ЛП в окрестности их общей образующей, определяется двумя

образующими а01 и а01, каждая из которых смещена по своей ЛП на одну и ту же дуальную дугу ds _ d's от общей образующей. Как было показано выше, существуют взаимно однозначные отображения tє[T0,T] ^

Soє[So,Son], tє[To,T] ^ S1є[S1,S1n] и 1 _ ^1:) -функция также взаимно однозначного отображения T0 < t < Т1 ^ Т0 <1 < Т. Учитывая изложенное, будем оценивать порядок малости модуля дф дуального вектора расхождения относительно бесконечно малой дуальной величины Дs. Если выполняется условие

ё(4

_ 0,

~ ~ ~ 7 ~ " К±2

А* (1)_ А* (10) + А* (10 )Д1 + А* (10 ) Д- + ••■ Дуальный вектор расхождения. Поря-

Ііт п

Дs^0 ДsП

где п - целое положительное число, то будем считать, что ЛП в их общей образующей а01 = а01 имеют соприкосновение не ниже

п- го порядка. Если же п - максимальное, то ЛП имеют соприкосновение точно п-го порядка. Поскольку ds=ds0+wds1=h0dt+wh1dt, т.е. ds0=h0dt, ds1=h1dt, то условие Дs^0 может быть заменено двумя условиями: Дs0^0 и Дs1^0, что при 0 и 0 приводит к Д^0. Действительно, ds0 и dt, ds1 и dt - пары эквивалентных бесконечно малых величин. В ито-

ге получаем следующее условие для оценки порядка соприкосновения ЛП:

1.т^ = 0.

-1-0 -‘п

Поскольку каждая из шести дуальных скалярных функций х©, y(t), z(t), х (t), у (t), z © имеет непрерывные производные до п+1 порядка включительно в образующей ^ и ее окрестности, то для них имеет место формула Тейлора, что позволяет записать для координат вектора 0(1):

, , ,_ , д;2 , , д;п ,

~1)=х(г) - х*(1)=х^)+х'(10)Д1+х' '(10)—+■■■+х (10) —+х"

2! п!

‘(«7)

-”

у(‘) = УЮ-У'Ю = Ш + Ш- + у''(10) — +■■■ + Г(;0 ) -^ + У+’(52)/

2! п! (п+1)

ч-“

(п +1)

-1"+- ;(2)

7(‘) = 7(‘)-7*(1) = 7(10) + 7 '(10)Д1 +7 ''(ц)-^ + ■■■ + 7"(ц)-^ + 7п+-(83)7Д1—) ,

2! п! (п+-)

где образующие б1, б2 и б3 расположены между ‘0 и г .В этом случае условие

е(1)

11Ш -------

-‘-0 -1п

условие соприкосновения п-го порядка, если же п - наибольшее возможное, то соприкосновение ЛП точно п-го порядка.

Теорема. Для выполнения условия

е(‘)

11ш

= 0

Д1-0 Д‘п

необходимо и достаточно, чтобы

(3)

х (‘0 )=0,х ' (‘0)=0,х '' (‘0 )=0, ■ ■■,хп (‘0 )=0; у(;0)=0у ' (;0)=°,у '' (;0 )=°, ■ ■■,уп (;0 )=0; (4)

7 (;0 ) = 0,7 ' (;0 ) = 0 7'' (г0 ) = 0, ■ ■■,7п (‘0 )= 0

Достаточность. Пусть выполняются (4). Тогда из (2) следует:

х(‘) = х(‘) - х*(‘) = х+- («7)

у(‘)=у(1)-у*(1)=уп+-(«2 )•

—

п+-

(п+1) ’

—

п+-

(п + -)’

-1

7(‘) = 7(‘)-7*(‘) = 7п+-(83 )•

Условие (3) выполняется. Необходимость.

хк(‘0) = хк(‘0)-х*к(‘0)ф0; к<п. Тогда

п+-

(п + -)■

~ Лт

х(‘) = х(‘) - х*(‘) = [хк(‘0) - х*к(‘0)] • ■— + ■■■,

к!

следовательно

11ш-^ф 0, к<п.

Д1-0 Д‘к

Условие (3) не выполняется. Соприкосновение ЛП

Рассмотрим соприкосновение ЛП начальных порядков.

1. Соприкосновение порядка п=0:

А- (‘0 )= А* (10) ; А-'(10)ф А* (10) .

В этом случае ЛП пересекаются вдоль общей образующей а01.

2. Соприкосновение порядка п=1:

А- (10 )= А1 (10 ); А1 (‘0 )= А1 (‘0 ) ;

//

* ,

А1 '(г0 )ф А1 (г0 ).

ЛП имеют соприкосновение точно первого порядка п=1. Поскольку

= 0 , где п - натуральное число, есть ~

А! = (А-)~1;' = Н • ‘' • А2, то следует, что “в образующей” а01 имеет место:

А1 = А1; А2 = А2; А3 = А3; Н = Н • ~' .

Предложение 1: при п=1 в центральной точке М общей образующей а01 соприкасающиеся ЛП имеют совпавшие триедры

(а0Ь а02? а03) и (а01, а02’ а03), кроме того

ds = d's - это известный факт [2]. На рисунке 2 показаны неразвертывающиеся поверхности (эллиптический и гиперболоид вращенния), состыкованные по первому порядку гладкости.

Рис. 2. Соприкосновение п=1 неразвертывающихся ЛП

Пусть

3. Соприкосновение порядка п=2:

~ ~ /

А- (10 ) = А1 (10 ) ; А1 (‘0 )= А1 (‘0 ) ;

А- (г0 ) = А1 (г0 ) ; А1 (10) ф А1 (г0 ) .

ЛП имеют в образующей а01 соприкосновение точно второго порядка. Поскольку вы-

полняются соотношения

А/' = -Н2 • А; + Н'• А2 + Н• Q• А3;

А*=-Н2 -(~' )2 • А-+[н -(~' )2+Н • ~' ']• А2+Н • <2 • (т' )2 ]• А3,

то следует, что в общей образующей выполняются равенства

Н = Н • ~'; Н' = (Н • ~');; 0 0 • р'.

(5)

Раскрытие условий (5) приводит к следующим равенствам:

~ d2s а ~

ds = ds ; = (^т • ‘ ' ) 1; ds(1) = ,

где ds(1) = ds10 + й^is11 и

Лр— = + м1~11 - элементы дуальных дуг

ЛП, образованных центральными касательными а03 и а03 соответственно. Поскольку

ds ' = д/ds2 + ds12 , то ds ' = Л0, где ds ' = ds 0 + шсЦ и л0' = d's° + «1^' - элементы дуальных дуг ЛП, образованных центральными нормалями а02 и а02 соответственно.

Предложение 2: при п=2 совмещены три-едры эволют первого порядка соприкасающихся ЛП, равны их дуальные радиусы кривизны р = р = s1nR, где R=R(s) - дуальный угол между соответствующими образующими ЛП и ее линейчатой эволюты, а также существует общий соприкасающийся винт этих ЛП

с параметром Р ' = . Кинематический винт

Лз 0

обеспечивает перемещение первого порядка малости общего триедра (а01, а02, а03) соприкасающихся ЛП вдоль их стрикций и и и, имеющих равные элементы дуг

Ло = д/ds21 + ds2 = Ло . На рисунках 3 и 4 показаны поверхности, состыкованные по второму порядку гладкости.

Рис. 3. Соприкосновение п=2 неразвертывающихся ЛП

Рис. 4. Соприкосновение п=2 развертывающихся (торсовых) ЛП 4. Соприкосновение порядка п=3:

A1(t0 )_ ai(;o ) і Al' (t0 )_ А 1 (t0 ) і

p // ______________ p ///

Ai'(;0 )_ A 1 (t0 )і A1(t0) _ A1 (to) ■

ЛП имеют в общей образующей а01 соприкосновение третьего порядка (n=3). Поскольку имеет место соотношения

а;"= -3H • H' • Aj + (Н’-Н3-Н • Q2 )• A2 +(2H ' • Q + H • Q' )• A3;

a * = -3H • [H'~ • (~' )3 + h • ~' • ] • A + [(~' )3 • (-H3 + H~-H • Q2) +

+ 3Н~ • ~' • T''+ H • T"] • A2 + [(~' )3 • (2H~ • Q + H • Q~) + 3Й • Q • ~' •T"] • A3,

то, учитывая исходные условия настоящего п.4, получим, что в общей образующей а01 выполняются равенства:

Н = Н • ~; Н ' = (Н • ~)t; Н '' = (Н • ~t ;

Q = Q • ~ ; Q' = (Q • ~' ) ' ; ds = ds;

d2s

d3s

d2s

2^ _ [(p(l)) p ■p'] '; d a_ da. (6)

&

Раскрытие условий (6) приводит к результатам, дополняющим п.п. 1, 2 и 3.

Предложение 3: у соприкасающихся ЛП совмещены триедры эволют второго порядка; совпадают элементы дуальных дуг поверхностей, образованных главными нормалями и бинормалями; равны дуальные радиусы изги-

dR ~ ПГ,

ба г _ — _ г исходных ЛП.

ds

Стрикции соприкасающихся ЛП

Выясним поведение стрикций и и и соприкасающихся ЛП. Дифференциальные уравнения стрикций исследуемых ЛП имеют вид [1]:

(x) t _ ql ■ aol + hl ■

(x) t

_ q1 ■ a01 + h1 ■ a03 .

(7)

ющей а01, при этом их касательные в М инцидентны касательной плоскости (а01, а03) соприкасающихся ЛП (Рис.2).

При п=2 второе уравнение из (7) принимает вид: (х)X •р' = q1 • а01 + h1 • а03. Сравнивая его с первым из (7) приходим к следующему предложению 5: при п=2 стрикции соприкасающихся ЛП имеют в центральной точке образующей соприкосновения общую касательную, инцидентную касательной плоскости этих ЛП (Рис. 3, 4).

Как известно, кривизна пространственной кривой может быть определена по формуле

|х , х1 х

[3]: к = ~——1. Для стрикций и и и соприка-(*1 )3

сающихся ЛП можно записать:

3

( X1 |)3 = (ql2 + Ц2)2; х1 = q1 • а01 + (ql • h° - Ц • q°) • ^ + h'l • ^ [х1, х1] = -Ь- •(я- • Ц -Ь- • Я0)• аи + (Ь- •я- -я- • Ь')+ я- • (я- • Ц -Ь- • яД ^

( ^ + ь 2) 2 н

(х1 = 1 /у.1 ;Х'р = (я-) р • аю -(х • р0 -X- • я0)• а02 + (Ь1)р • а03;

х (‘ ' ’ х хх хх хх 'Хх я- = р1 •1 '; Я0 = р0 •1 '; Ь1 = Ь1 •1 '; Ь0 = Ь0 •1 '; Ь0 = (Ь0 •1 ' Ь1 = (Ь1 •1 ;) -■

Последняя строка равенств соответствует случаю п=2, при этом выполняется равенство

(P,)р

l'p _ hi ■ p' - h, ■ ?

(а)3

Учитывая, что при п=3 имеет место условие 0 ' = (р • X ') ‘, приводящее к равенству

(я )'р = (я- •р'- я1 •р'' )

(я-) ‘ = (р')3 ,

получим соотношение

>] [х , X1' ]

[рр,1гг' ]=

('t')з ■

При п=1 имеем а01 = а01; а02 = а02;

а03 = а03; Н = Н '. Из последнего следует

Ь7 = Ь7 •‘'. В этом случае второе уравнение из (7) принимает вид

(х) т • Т' = • Т' • а01 + Ь7 • а03. Сравнивая его с

первым уравнением из (7) приходим к предложению 4: при п=1 стрикции и и и пересекаются в центральной точке М общей образу-

В результате приходим к равенству к = К. Обратимся к уравнениям Д.Н. Зейлигера [2]:

dy = d02 + sin2 0 • ds02 • (ctg0 - ctgR0 )2; de

----+ cosrn-K = 0 ,

dc

где dф = Kdo; © - угол между образующей a01 и касательной к стрикции и в центральной точке М; ф - угол между плоскостью угла © и плоскостью соприкосновения линии и; Ro -главная часть дуального угла R между обра-

зующей а01 и соответствующей ей бинормалью ЛП. Анализ приведенных уравнений показывает, что при п=3 соприкасающиеся плоскости стрикций и и и в их общей точке М совмещены. Таким образом, доказано предложение 6: при п=3 стрикции соприкасающихся ЛП в центральной точке образующей соприкосновения имеют касания второго порядка.

Поскольку порядок соприкосновения нор-малий соприкасающихся ЛП на единицу меньше порядка соприкосновения самих ЛП, а стрикция ЛП есть ортогональная траектория ее нормалии, то из предыдущего следует предложение 7: при п=2 ортогональные траектории соприкасающихся ЛП имеют касание второго порядка.

В заключение отметим, что представленные в статье результаты теоретических исследований соприкосновения ЛП могут быть использованы в практике конструирования технических линейчатых поверхностей на основе “сшивания” линейчатых сегментов по их общей прямолинейной образующей с необходимым порядком гладкости в этой образующей.

Библиографический список

1. Бляшке В., Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна. В 2-х т. Т.1. Элементарная дифференциальная геометрия [Текст] / В. Бляшке. - М.; Л.: Объед. науч.-техн. изд-во НКТП СССР, 1935. -

330с.

2. Зейлигер Д. Н., Комплексная линейчатая геометрия [Текст] / Д. Н. Зейлигер. - М.; Л.: Гос. техн.-теорет. изд-во, 1934. - 196с.

3. Рашевский П. К. ,Курс дифференциальной геометрии [Текст] / П. К. Рашевский. - М.: Гос. изд-во техн.-теор. литер., 1956. - 420 с.

ELEMENTS OF THE THEORY OF RULED SURFACES IN CONTACT

K. L. Panchuk, A. S. Niteisky

The problems of contact of ruled surfaces along their common generator. The concepts of dual discrepancy vector contact and order ruled surfaces. The properties of ruled surfaces in contact and their striction for the initial order of contact. The obtained results can be used as a basis for designing complex technical ruled surfaces, consisting of segments of line, docked on the conditions of contact.

Панчук Константин Леонидович - доктор технических наук, профессор кафедры, зав. кафедрой “ Инженерная геометрия и САПР ”ОмГТУ. E-mail: [email protected]

Нитейский Антон Сергеевич - аспирант кафедры “Инженерная геометрия и САПР” ОмГТУ. Основное направление научных исследований: конструирование линейчатых поверхностей. Общее количество публикаций 4. E-mail: an-

tongth@gmail. com

УДК 51-7: 621.43

РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ СВОБОДНЫХ И ВЫНУЖДЕННЫХ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ ВАЛА С ОДНОЙ МАССОЙ

Т. А. Полякова

Аннотация. В статье рассмотрены процессы свободных и вынужденных крутильных колебаний вала с одной массой, даны основные определения. Произведен вывод дифференциальных уравнений свободных и вынужденных крутильных колебаний вала с одной массой и приведено их решение.

Ключевые слова: вал, крутильные колебания, свободные колебания, вынужденные колебания, дифференциальное уравнение.