CC BY
21
Соприкосновение линейчатых развертывающихся поверхностей А.С. Нитейский, К.Л. Панчук
ОмГТУ, каф. ИГ и САПР, г.Омск
В работах [1,2] были представлены результаты исследования соприкосновения косых (неразвертывающихся) линейчатых поверхностей по их общей образующей прямой.
Рассмотрим применение этих результатов для соприкасающихся линейчатых развертывающихся поверхностей (ПЛР).
Уравнение линейчатой поверхности может быть выражено в дуальной векторной форме [3]:
А1 (1) = а 01(1 )+®а 11(1), ю2=0, где ) - единичный вектор образующей прямой;
ац(1) - момент вектора ао1 относительно начала координат системы отнесения; Дт (1 )-дуальный единичный вектор с координатным представлением А1 = гх + ]у + кг, при этом х2 + у2 + г2 = 1; 1 - вещественный параметр Т0 < I < Т1 . Полагаем, что дуальная векторная функция А1 (1) обладает на отрезке изменения параметра т непрерывными производными любого порядка. В центральной точке А образующей линии линейчатой поверхности существует ортонормированный триэдр с дуальными ортами [3]:
___ _ АТ — _ _ — —
А1; А2 = а02 + ®а12 =~77 ; А3 = а03 + ®а13 = А1 х А2 •
н
Деривационные уравнения триэдра имеют известный вид [3]:
А1= Н ■ А2; А2= Н' А1 + О' А3; А3 = Q' А2, (1)
Дуальная дуга образующей ЛП зависит от вещественного параметра г ь
я(1 ) = So (1 )+а$1 (1 )= | Н ■ Ж = | (ко + ак) ■ Ж.
10 10
Пусть для другой ПЛР с уравнением А1 (~ )= адД4 ) + ^(~ ), ю2=0 имеют место геометрические предпосылки, аналогичные указанным для первой А1 = А1 (1). Если
разложить дуальные векторные функции А1 (1) и А1 (~(1)) в ряд Тейлора по степеням приращения А1 их образующих 10 и ~ (^о) то, учитывая существование функции ~ = / (1), можно получить дуальный вектор расхождения соприкасающихся ПЛР в их
общей образующей: О() = А1 ()- А1 (~ (1)), представимый также в виде разложения в ряд Тейлора. Вектор О (1), характеризующий близость обеих ЛП в окрестности их общей образующей, определяется двумя образующими а01 и гО, каждая из которых смещена по своей ЛП на одну и ту же дуальную дугу & = от общей образующей.
Если А1 (1) и А1 (~)- поверхности ПЛР, но не цилиндрические и не конические, то
параметры Р и Р их образующих равны нулю и поэтому элементы их дуальных дуг Дб и А~ - вещественные числа Аs0 и А4 Стрикционные линии рассматриваемых поверхностей будут их ребрами возврата. В этом случае, например для ПЛР А1 (1), ее образующая ао^) будет касательной в точке А ребра возврата, ао2^) - главной нормалью и ао3^) - бинормалью, поскольку по определению 103(1) определяет ось вещественного
угла = к ■ <<з, принадлежащего соприкасающейся плоскости ребра возврата (А), где
к и - соответственно кривизна и элемент дуги линии (А).
Для соприкосновения порядка п=1 из условий обеспечения данного порядка:
А1 (10 ) = А1() (10 )); А1 (10 ) = А1() (10 )); А1 (*0 ) ^ А/(/ (10 )), (1)
с учетом А\(1 (10)) = (А1 )~ • ~ = Н■ ~■ А2; А\ = Н■ А2, следует [1]:
А1 = А1; А2 = А2; А3 = А3; н = н ■ а •
В итоге получаем дз = Н ■ Л = Н ■?' ■ дХ = Н ■ д~ = ЛЗ. Поскольку ^о = к ■ , то
получаем
к ■ = к: ■ . (2)
Таким образом, соприкосновение п = 1 для двух ПЛР приводит к совпадению их
триэдров (а01, а02, ^03)=(а01, ~02, ~03) и к выполнению равенства (2). Если к первым
двум равенствам (1) добавить А1 (о) = А] (?0о)); А'(^о) ^ А1 (t(tоj),то получим условия обеспечения соприкосновения второго порядка двух линейчатых поверхностей. Поскольку имеют место уравнения
А=-н2а1+н а2+ноа3 ; л/=-Н2 (а )2а1+(н~ (а )2+на А+(Наса('а )2 )А3, (3)
то в общей образующей соприкасающихся ПЛР выполняются условия:
н = Н ■4; Н' = (Н ■ ?);; Q = Q ■4, (4)
из которых следуют равенства: дз = ; —г- = ( ; дЗ(1) = д~(1), в которых
дЗ(1) = д^01 + адЗц и д~(1) = д~01 + йй~11 - элементы дуальных дуг ЛП, образованных бинормалями а03 и ~03 соответственно стрикций (ребер возврата) соприкасающихся ПЛР, при этом дЗ(1) = Q ■ Л = () ■ 1' ■ Л = (4 ■ = д~(1)
Из дифференциального уравнения стрикции линейчатой поверхности [3]
х '() = 41*01 + hlаоз,
с учетом условий для ПЛР: к1=0, д1ф0, следует уравнение ее стрикции х' = 41^01. Из
него следует (<х)2 = 2 = (. Таким образом, с произвольным знаком получаем:
Л ст= (5)
Из <$о =ко ^ = к ■ с учетом (5) можно получить:
к = ко / а ^ = ко / Ц\. (6)
Из третьего дуального равенства (4) следуют вещественные равенства
40 = 404' , 41 = )14', что позволяет записать
<х5 = С[1&: = д] / : ' = qldt = (7)
Учитывая (2), получаем итоговый результат
к = (8)
Для элемента дЗ(1) дуальной дуги, образованной перемещением бинормали а03, можно записать [3] дуальные равенства: Л1^) = дз01 + = (■ Л = 4 + )д1, из которых,
по разделению главных и моментных компонент, на основании (7) следует: д?01 = 40д1 = /01 Л = аЛ = д/л; = qldt = <<з = = С1<Г = йЯц.
Таким образом, имеет место следующий результат:
Лз(1) = Л)(1). (9) Элемент дуальной дуги Лз^) бинормали ребра возврата ПЛР может быть выражен известным образом [4]:
<Я(1) = %■ da■ гю/%, (10)
где о = 0;% — кручение линии (А) в точке А. Поскольку имеет место результат (9), то следует
х = х, (11)
т.е. кручения ребер возврата (А) и ( А ) соприкасающихся ПЛР в центральных точках А = А их совмещенных образующих а01 = а01также равны. Из (10) и предыдущих результатов, следует: <Я(1) = <яо1 + = (до + од] + о ■ что позволяет
получить следующие результаты: до = Х^в’1,д1 =®\, % = 40 / 41. Для параметра элемента дульной дуги Лз(1) имеют место соотношения
р(1) = 41 / 40 =1 / % (12)
что приводит с учетом (11) к равенству
Р(1) = Р(1У
ёя2 + йЯ2(/) = (ёя ')2.
(13)
Определим теперь элемент ёя' дуальной дуги, описываемой главной нормалью &02 линии (А) на основании дуального уравнения [4]
(14)
Разделяя в нем главную и моментную компоненты и учитывая вышеприведенные результаты, получим:
і 2 2 2 2 Нд + * (і + №Є[о ' О£ * (і / у Нд + .
После подстановки в это уравнение ранее полученных результатов, а именно
Нд = к*о£,до = X*, приходим к следующей формуле: к2 + х2 * (о * втХ(к +х ^.
Из формулы (14), с учетом ранее доказанных равенств ёя = ёя0 = ёя0 = ёя и ёЯ(Г) = ё~(Г),
следует
ёЯ ' = .
(15)
Для параметра дуального элемента ёя' на основании (8) и (11) можно записать:
Р = = х/( к2+х2) = ~.
(16)
Для дуальной кривизны линейчатой поверхности в ее образующей известна дуальная формула [4]
є = ё= -^ , (17)
ёя біп Я
Рис. 1 К соприкосновению двух ПЛР
£ = k
в которой К = Кд + соК] - дульный угол между образующей поверхности ПЛР и соответствующей ей прямой, определяемой единичным винтом Ь02 , представляющем собой главную часть единичного дуального вектора B2 = Ьо2 + юЬ]2 (Рис. 1).
Если подставить в формулу (17) выражение элементов ds' и ds, то получим уравнение
]-^2 +х2 • е°х/(1<2+х2), (18) из которого, с учетом (8) и (11), следует
£ = £, К = К. (19)
Если же деривационные уравнения триэдров линейчатой поверхности представить в дуальной координатной форме, то для случая ПЛР получим уравнения
= -xk + х}х • e(D/х; = -yk + У]Х • e(D/х; = -zk + z1x • ео / х, (20)
аа аа аа
где тройки {х,у,г}, [х],у],г]} и {а,Ду} суть координаты единичных дуальных векторов А], А2 и А3 соответственно.
Из А2 = А1 / Н = А1 /(И0 + оИ1) = А] / И0 = следует А2 = {а =—,В = —,у = —}.
ds0 ds0 ds0 ds0
т, 0А? — , „ dа 6В „ 6у, ds'
Из равенства —2 = В7 = {£ = — ,^ = — ,4 = —} с учетом---------= £ следует
ds ' ds' ds' ds'
1 аа 1 ав „ 1 ау . 1 аа 1 ав „ 1 ау.
{£ = -•—,л = -•—,4 = -•—} = {£ = т——л = -——,4 = ^——}
£ а$о £ а$о £ а$о k • £ аа k • £ аа k • £ аа
где В1 - единичный дуальный вектор главной нормали поверхности ПЛР для ее обра-
зующей прямой а01- С учетом изложенного и уравнений (20) получаем:
В1 = В1; В2 = В2, где В2 = А2 х В1 = А2 х В1. Таким образом, у соприкасающихся ПЛР вдоль их общей образующей совмещены триэдры эволют первого порядка:
В1 = Вь В2 = В2, А2 = А2.
Из равенства ds = ds следует s't = ~ •; '. По этому уравнению можно определить вторую производную
(~ • го; = • (~о2+г • (21)
(21) по существу представляет собой преобразованное выражение среднего условия (4). Определим производную дуальной кривизны линейчатой поверхности со стрикционной линией ( А ) исходя из (17) и (21):
г £ L (ГУгЛг L (~)Г ^ (г -)~ • г -(г -) г • ~
£ d; 0§ 1 sГ • d; г sГ ; (~Г)2
На основании (21) следует:
= = =£7-г.(Г7:г)
( )г (~)2 (~ О2 ; г (Г)2 (~02 .
Предшествующее уравнение для £~ с помощью подстановок выражений для (~ ')Г и ~Г можно последовательно привести к окончательному виду:
£~ = Г • ^ =Г •£ • (22)
Очевидно, что Щ Фе[, но Щ •t ' = s't. Из формулы (17) и £~ -t' = £rt следует равенство
~ dR „ dR .
- cos R--------s~ • t - cos R-----s t
t t t t_ ds _ ds 1
£t • t = ■
f sin 2 R sin2 R
Учитывая, что выполняются условия R = R, st = ~ •t' , из последнего равенства
dR dR TT dR dR 1 dR „
получаем — = —. Но — =-----------=--------= 5 представляет собой дуальный изгиб о
ds ds ds ds0 k da
поверхности ПЛР в ее образующей [4]. Следовательно, выполняется равенство
5 = 5', (23)
из которого следует, что соприкасающиеся ПЛР в их общей образующей имеют равные дуальные изгибы. Поскольку для линейчатой поверхности в ее образующей линии
а01 = имеет место формула [4]: sin R • 5 = -tgR', где R' = R + (oR'j - дуальный угол, соответствующий эволюте (Coi) ПЛР (Рис. 1), то из R = R, 5 = 5' следует
R ' = R ' , (24)
что позволяет утверждать о совмещении триэдров эволют второго порядка соприкасающихся ПЛР: B1 = B1, C1 = Ci, C2 = C2.
Предположим, что трехгранники стрикций (А) и (A) двух соприкасающихся ПЛР в точке А = A совмещены, т.е. ао1 = ~01, а02 = ~02. Можно показать, что этих условий достаточно для получения соприкосновения n = 1 данных ПЛР. Имеют место равенства A1 = h0 ■ A2 = h0 -t' • (a02 + (oa12) = H •t' • ^42 = (A1)~ • t и k • da = £ • da .
Если совпадают трехгранники стрикций двух соприкасающихся ПЛР и имеет место условие к = к , то из k • da = k • da следует da = da. Нетрудно показать, что в этом случае не нарушаются условия соприкосновения n = 1 и не выполняются условия соприкосновения n = 2.
Если выполняется условие х = Х при совпадении трехгранников стрикций соприкасающихся ПЛР, то получаем равенство к = к и совмещены дуальные триэдры эволют первого порядка B1 = Bf, B2 = B2; А2 = А2. Но поскольку в исходных условиях отсутствует задание непрерывного изменения st = ds / dt дуальной кривизны 8 у соприкасающихся ПЛР, то их соприкосновение не является полным для n = 2, поскольку не выполняется одно из условий (4) этого соприкосновения. На основании (17) можно получить
3_-Щ •sin 2 r _-asin 2 r ^
к •at • cos R к • cos R
Следовательно, для полного выполнения условий соприкосновения n = 2 двух ПЛР в их общей образующей необходимо существование в этой образующей значения дуального изгиба 5 = 5. Значение же последнего, как следует из (25), зависит от кривизны к, дуального угла R и от дуальной величины s[, которая, согласно (18), определяется к и х, их производными кa и x'a, и значениями этих производных в точке А = A
двух стрикций (А) и (A) - ребер возврата соприкасающихся ПЛР.
На рисунках 3 и 4 приведены иллюстрации примеров стыковки торсовых поверхностей, образующих линейчатые развертывающиеся полосы и ребра возврата ко-
торых представляют собой сегменты пространственного кусочного сплайна. В качестве сегментов выбраны эрмитовы сплайны [5]. Расчет полос выполнен в системе компьютерной алгебры Мар1е.
Рис. 3 Линейчатая полоса первого Рис. 4 Замкнутая линейчатая полоса
порядка гладкости стыковки полного второго порядка гладкости
сегментов ПЛР стыковки сегментов ПЛР
Литература:
1. Панчук, К.Л. Вопросы теории соприкасающихся линейчатых поверхностей / К.Л. Панчук. - Омск: ОмПИ, 1987. - 11 с. - Деп. в ВИНИТИ 22.05.87, №4496 - В87.
2. Панчук, К.Л. О соприкосновении линейчатых поверхностей / К.Л. Панчук // Начертательная геометрия и машинная графика в практике решения инженерных задач: межвуз. темат. сб. науч. тр. - Омск, 1987. - С. 62-66.
3. Бляшке, В. Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна. В 2-х т. Т.1. Элементарная дифференциальная геометрия [Текст] / В. Бляшке. - М.; Л.: Объед. науч.-техн. изд-во НКТП СССР, 1935. - 330с.
4. Зейлигер, Д. Н. Комплексная линейчатая геометрия [Текст] / Д. Н. Зейлигер. -М.; Л.: Гос. техн.-теорет. изд-во, 1934. - 196с.
5. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука,. 1980. 352 с.
