О связи аналитических, геометрических и графических расчетов на комплексном чертеже одной проекционной задачи Текст научной статьи по специальности «Математика»

p = sinR этихЛП. По этой причине триедры (d,n,c) и (d,ñ,c) эволют (d) и (d) совмещены и, кроме того, имеет

место: ds(1) = ds clgR = ds(1); ds'=^^- = ds', где ds(11 и

smK

ds' есть элементы дуальных дуг ЛП, образованных центральной касательной b и центральной нормалью с соответственно. В результате ЛП имеют общий соприкасающийся винт с осью d и параметром

р' = -^J-; ds' = ds¡, + fflds¡. Винт этот кинематический и ds'0

обеспечивает перемещение общего триедра (а,с,Ь) соприкасающихся ЛП вдоль стрикций v и v с равными элементами дуг da = ^/ds,,2 + ds(2 = da , где ds=ds0+ods1, ds(1)=ds,0-t-ci)dsn.

4. A = А, A = А, A = А. В общей образующей а имеет место соприкосновение третьего порядка (А = 3).

Поскольку А = j}fs(}}¿(})} ■ учитывая исходные условия, приходим последовательно к результатам, дополняющим пункты 1, 2, 3, а именно: совмещены триедры (d',n,n') и (d',ñ,ñ') эволют второго порядка (d') и (d') соприкасающихся ЛП; совпадают элементы дуальных дуг поверхностей (d) и (d), (п) и (ñ); равны дуальные радиусы изгиба

лп dR -

исходных соприкасающихся ЛП: г =-= г.

ds

Таким образом, решение однородной задачи о соприкосновении в эллиптической плоскости Rj и в линейчатом пространстве показывает, что общая метрическая структура этих пространств проявляет аналогии в самом решении, когда рассматриваются условия и порядки соприкосновения. Детальное исследование условий различных порядков соприкосновения в случае линейчатых поверхностей обнаруживает внутренние свойства соприкасающихся поверхностей, не имеющих аналогичных свойств у соприкасающихся кривых в плоскости R® . К ним мож-

но отнести, например, поведение стрикций соприкасающихся линейчатых поверхностей при возрастании порядка их соприкосновения.

Библиографический список

1. Ф. Клейн. Неевклидова геометрия. Главная ред. обще-техн. литературы и номографии. — М.-Л., 1936. - 356 с.

2. Розенфельд Б.А. Неевклидовы геометрии. Госуд. иэд-во техн.-теорет. литер, - М., 1955. — 744 с

3. H.S.M. COXETER. NON-EVCLIDEAN GEOMETRY. SIXTH EDITION/THE MATHEMATICAL ASSOCIATION OF AMERICA. WASHINGTON, 1998. - 336 p.

4. H. LIEBMANN. NICHTEUKL1GDISCHE GEOMETRIE. BERLIN UND LEIPZIG, 1923. - 152 S.

5. J. COOL1DGE. THE ELEMENTS OF NON-EUCLIDEAN GEOMETRY. OXFORD. AT THE CLARENDON PRESS, 1909. -307 p.

6. Э. Картан. Геометрия римаиовых пространств. Объедин. науч.-техн. иэд-во НКТП СССР. - М.-Л., 1936. - 245 с.

7. Э. Картан. Риманова геометрия в ортогональном репере. Изд-во МГУ. - 1960. - 307 с.

8. Зейлигер Д. Н. Комплексная линейчатая геометрия. - М. — Л.: ГТТМ, 1934. - 195 с.

9. Бляшке В. Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна. Т. 1. Элементарная дифференциальная геометрия. М. — Л.: Объед науч.-техн. изд-во НКТП СССР, 1935. - 330 с.

10. Диментберг Ф. М. Теория винтов и ее приложения. — М.: Наука, 1978. - 327 с.

ПАНЧУК Константин Леонидович, кандидат технических наук, доцент кафедры начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графики Омского государственного технического университета. ВОЛКОВ Владимир Яковлевич, доктор технических наук, профессор кафедры начертательной геометрии и машинной графики Сибирской автомобильно-дорожной академии.

Статья поступила в редакцию 30.11.06 г. © Панчук К. Д., Волков В. Я.

УДК 515 Э.К.СМОРЩКОВ

О СВЯЗИ АНАЛИТИЧЕСКИХ, ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ И ГРАФИЧЕСКИХ РАСЧЕТОВ НА КОМПЛЕКСНОМ ЧЕРТЕЖЕ ОДНОЙ ПРОЕКЦИОННОЙ ЗАДАЧИ

В статье приводится разработка алгоритма графического определения границ (пределов) интегрирования при функциональном их задании. Полезность усматривается как в установлении преемственности с аналитикой, так и в достижении наглядности процесса интегрирования.

В зависимости от вида функции ф(х) в высшей математике существует ряд приемов, позволяющих решить интегральное уравнение.

Нас в данном случае интересует два вопроса: 1. Существует ли графическая зависимость между

Запишем задачу в общем виде. Пусть требуется вычислить определенный интеграл вида

у(х)

|ф(х)с!х. (1)

м(х)

Рис. 1.

точками всех трех функций? Если да, то как она реализуется.

2. При выбранной одной границе интегрирования как найти вторую, опять-таки графически, т. е. путем построений на чертеже ?

Рассмотрим частный случай. Пусть

Ф(х) = 2х , ш(х) = 1д(х), у(х) = 1п(х). (2)

Первая из приведенных функций (2) должна быть положительной и непрерывной. Вряд ли кто-то сомневается в положительном ответе на часть первого вопроса, где участвуют сложные функции. Вторая его часть, по нашему мнению, требует большего внимания. Называя этапы решения, будем делать построения и пояснять их геометрическую сущность.

а) Построим графики функций (2). На показанном рисунке это будут соответственно прямая линия, проходящая через начало координат, ветвь тангенсоиды и логарифмическая кривая.

б) Выберем на оси х какую-либо точку. Пусть это будет А. Отметим хА.

в) Через точку А проведем вертикальную прямую до пересечения с тангенсоидой. Отметим точку В.

г) Через В проведем отрезок горизонтальной прямой до пересечения с осью г и отметим точку С. Для нее получим т^.

д) Из начала координат (точки 0), как из центра, проведем дугу радиусом я = ос до пересечения с осью х и отметим точку Э.

е) Через Б проведем вертикальную прямую до пересечения с прямой линией, имеющей уравнение <р(х) = 2х. Построенную точку обозначим буквой Е.

Точка Б оси х определит в данном случае правую (нижнюю) границу интегрирования. Таким образом

мы установили однозначное (биективное) соответствие между точками двух линий, заданных уравнениями ф(х) = 2х и ш(х) = 1д(х).

ж) Через точку А проведем вертикальную прямую линию до пересечения с логарифмической кривой линией. Построенную точку обозначим буквой Р.

з) Через И проведем отрезок горизонтальной прямой в сторону оси — г до пересечения с ней. Пусть это будет точка в.

и) Радиусом I*! = СЮ из начала координат проведем дугу до пересечения с осью х. Получим точку Н.

к) Из точки Н восстановим перпендикуляр до пересечения с прямой линией, задающей подинте-гральную линию, т.е. с прямой ф(х) = 2х. Получим точку I. Точка Н определит еще одну — левую (верхнюю) границу интегрирования. На этом основывается так же однозначное соответствие между точками линий ч/(х) = 1п(х) и ср(х) = 2х. Этапы а),...,л) полностью «раскрывают» ответ на первый вопрос, поставленный в начале статьи.

Ответ на второй вопрос получится автоматически при выполнении и анализе обратных построений. Из-за очевидности опускаем поясняющие рассуждения.

В качестве приложения можно использовать одну проекционную задачу из курса начертательной геометрии, когда по исходным данным требуется определить натуральную величину плоской фигуры. В частности, можно говорить о вычислении площади фигуры, например прямолинейной, а можно и криволинейной, трапеции. Такую задачу можно ставить в качестве учебной и олимпиадной.

С позиций высшей математики задача сводится к вычислению определенного интеграла

1пх ^^

|2хс1х = 2—= х | *=1п х-1д х, (3)

1дх 2 9*

где ф(х) = 2х — подинтегральная функция,

Пусть хА =0,3.Тогда 1д(0,3) = 0,31, а 1п(0,3) = -1,2.

Следовательно, площадь прямоугольной трапеции составит:

-1,2 9 , /2хс1х = (-1,2Г-(0,31)2 =1,44-0,0961 = 1,3439 (4) 0,31

кв. единиц.

При графогеометрическом решении имеем: Б = ^РЕ + Н1) х ОН = ^ (0,6 + 2,4) х (1,2 - 0,3) = 1,35 (5) кв. единиц.

Как видим, результаты практически идентичны.

СМОРЩКОВ Эдуард Константинович, кандидат технических наук, доцент.

Статья поступила в редакцию 30.07.06 г. © Сморщков Э. К.

МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ

УДК: 621.435 3219 5 П. Д. БАЛАКИН

Э. А. КУЗНЕЦОВ В. А. ЛОБОВ П. А. ПРОЗОРОВ

Омский государственный технический университет

Омский танковый инженерный институт

МОДЕЛЬ ПЕРВОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ РЕАЛЬНОЙ СВЯЗИ С ЗАЗОРОМ ШТОКА АМОРТИЗАТОРА С НАПРАВЛЯЮЩЕЙ ВТУЛКОЙ ЕГО КОРПУСА

В УСЛОВИЯХ ПЕРЕМЕННОГО И ЗНАКОПЕРЕМЕННОГО НАГРУЖЕНИЯ

Дано теоретическое обоснование доресурсного выхода из эксплуатации гидравлического амортизатора со значительным углом давления в условиях динамического нагруже-ния. Разработчику подвески транспортных машин следует учитывать результаты кинето-статического моделирования подвижных реальных связей, вводить в конструкцию устройства, ослабляющие уровень динамических реакций в связях.

Гидравлические амортизаторы телескопического типа являются составной частью подвески большинства транспортных машин. Широкое распространение этих практически не обслуживаемых комплектую-

щих изделий объясняется их способностью надежно преобразовывать энергию вынужденных колебаний опорных узлов движителя в тепловую энергию, рассеиваемую корпусом амортизатора в окружающую среду.