Элементы теории соприкосновения линейчатых развертывающихся поверхностей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.742

А.С. Нитейский, К.Л. Панчук

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СОПРИКОСНОВЕНИЯ ЛИНЕИЧАТЫХ РАЗВЕРТЫВАЮЩИХСЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Известны результаты исследования соприкосновения косых (неразвертывающихся) линейчатых поверхностей по их общей образующей прямой [1,2]. В настоящей работе рассматривается возможность применения этих результатов для случая линейчатых развертывающихся поверхностей (ПЛР).

Уравнение линейчатой поверхности может быть выражено в дуальной векторной форме [3]:

А]() = а0]О + аа]] (), ю2=0, где а0](?) -единичный вектор образующей прямой; а]](?) -момент вектора ао] относительно начала координат системы отнесения; А](1) - дуальный единичный вектор с координатным представлением А] = 1х + ]у + кг , при этом у2 + г2 = ]; ( -вещественный параметр Т0 < t < Т]. Допускаем, что дуальная векторная функция А](1) обладает на отрезке изменения параметра t непрерывными производными любого порядка. В центральной точке А образующей линии линейчатой поверхности существует ортонормированный триэдр с дуальными ортами [3]:

А]; а2 = а02 + ®а]2 = А]/ Н;

А3 = а03 + аа]3 = А] х А2 .

Деривационные уравнения триэдра имеют известный вид:

А] = Н • А2; А2 = Н• А] + 0 • А3;

А3 = 0 • А2,

где

Н = Но + шИ] = I А] I,

(1)

0 = Ч0 + аЧ] =

(А]А]А!)

Н

2

верхние индексы отвечают соответствующим производным по параметру t.

Дуальная дуга образующей ЛП зависит от вещественного параметра

t

я() = sоО+аЯ]()= |Н • Ш.

, Шя Шяо , _

^ = — = Н; (яок = — = Но > 0; ш ш

Вещественное число Р=Шя0/Шя1 называется параметром линейчатой поверхности. Для ПЛР имеет место условие Р = 0, из которого следует Н]=0 [3]. В [1] показано, что существуют взаимно однозначные вещественные отображения:

^[Т0,Т] ^ Я0ё[^0>^0я]; ^[Т0,Т] ^ Я]е[5'],^]„],

в соответствии с которыми каждому положению образующей на линейчатой поверхности, определяемому параметром t, отвечает определенное значение ее дуальной дуги 8 и наоборот.

Пусть уравнение А](~ ) = с~0](~ ~)+аа]](~ ),

ю2=0, описывает другую ПЛР, для которой имеют место те же геометрические предпосылки, что и

для А] = А](t). В работе [1] показано, что для

ПЛР А](t) и А](t )существует единственная вещественная функция t = f (t), непрерывная и дифференцируемая на отрезке Т0< t < Т]. Если разложить дуальные векторные функции А](t) и

А](t (t)) в ряд Тейлора по степеням приращения At их образующих t0 и tо(tо) то, учитывая функцию t = У(t), можно получить дуальный вектор расхождения соприкасающихся ПЛР в их общей образующей, определяемый параметром Ю

G()= А]()-А](?(?)). Вектор G(), характеризующий близость обеих ЛП в окрестности их общей образующей, определяется двумя образующими Од] и а0] , каждая из которых смещена по своей ПЛР на одну и ту же дуальную дугу Шя = ШЯ от их общей образующей.

Если А](1)и А](1)- поверхности ПЛР, но не цилиндрические и не конические, то параметры

Р и Р их образующих равны нулю и поэтому элементы их дуальных дуг Ая и Ая - вещественные числа Ая0 и Ая0 Стрикционные линии рассматриваемых поверхностей будут их ребрами возврата. В этом случае, например для ПЛР А](?), ее

образующая а0] () будет касательной в точке А ребра возврата, а02 () - главной нормалью и а03 () - бинормалью, поскольку по определению а03 () определяет ось вещественного угла

й$о=кйо, принадлежащего соприкасающейся плоскости ребра возврата (А), где к и Ша - соответственно кривизна и элемент дуги линии (А).

Для соприкосновения порядка п=1 характерны следующие условия:

А](х0)= А](7(х0)); А]Ы = А!((*0));

А'](0)^ А"]((t0)), (2)

из которых, с учетом того, что

А(7М)= (А]% • 7 = Н• 7• А2;Л] = Н• А2,

следует [1]:

А] = А]; А2 = А2; А3 = А3;Н = Н •7 .

В итоге получаем

Шя = Н • Шх = Н •Х ' • Шх = Н • Шх = ШЯ.

Дуальное равенство Шя = Шя для ПЛР приводит к вещественному равенству шя0 = шя0 , из которого следует И0 = ^Х ' . Так как Шя0=кШа, то

к • Ша = к • Ша. (3)

Таким образом, соприкосновение п = 1 для двух ПЛР приводит к совпадению их триэдров

(0], а02, а03 )=)а0], а02, ~03) и к выполнению равенства (3).

Если к первым двум равенствам (2) добавить

соотношения

А] (х0) = А] ( (х0)); А1 Ою) ^ А] ((t0)),

то получим в общем случае условия обеспечения касания второго порядка (п=2) двух линейчатых поверхностей. Так как имеют место равенства [1]

А = -Н2 • А] + Н' • А2 + Н • 7 • А3 ;

А ''= -Н2 • (? )2 • а +

+( ((2 + Н • т* )• )+( • 7•(г )2 )

то в общей образующей соприкасающихся ПЛР выполняются условия:

Н = Н • 7 ; Н' = (Н • 7)1; 7 = 77 • 7, (4)

из которых следуют равенства

ё2 я

Шх

2

= (7г •7)'; Шя(]) = Ш7(]) =

где

Шя(]) = Шя0] + шШя]] и Ш§(]) = Ш§0] + шШ7]]

- элементы дуальных дуг ЛП, образованных бинормалями а03 и а03 соответственно стрикций

(ребер возврата) соприкасающихся ПЛР, при этом

Шя(]) = 7 • Ш = 7 • х' • Шх = 7 • Шх = Ш7(])

Из уравнения стрикции линейчатой поверхности [3] х' (X) = Ч]а0] + Ъ]а03, с учетом условий для ПЛР: Н]=0, Ч]ф0, следует уравнение ее стрикции х' = Ч]а0] . Из него следует

(Шх)2 = Ша2 = (Ч]Ш)2 . Таким образом, с произвольным знаком получаем:

Ша = Ч]дх. (5)

Из Шя0 =Н0 •Шх = к • Шас учетом (5) можно получить:

к = И0 /а = И0/Ч]. (6)

Из третьего дуального равенства (4) следуют

вещественные равенства

Ч0 = 70 •7 'Ч = Ч] •7' ,

что позволяет записать

Ша = Ч]Шл = Ч] /1' = Ч]Ш = Ша. (7)

Учитывая (3), получаем итоговый результат

к = к, (8)

Таким образом, кривизны ребер возврата (А) и

( А ) соприкасающихся ПЛР в центральных точках А = А их совмещенных образующих прямых линий а0] = а0] равны.

Для элемента Шя(]) дуальной дуги, образованной перемещением бинормали а03, можно записать [3] дуальные равенства:

dS(])=ds0]+wds]]=7dt=Сq0+wq])dt, из которых, по разделению главных и моментных компонент, на основании (7) следует:

Ш$0] = Ч0 • = 70 • *' • Шх = 70 • Ш7 = Ш70]; Шя]] = Ч] • Шх = Ша = Ша = 27] • Ш! = Ш§]].

Таким образом, имеет место следующий результат:

Шя(]) = Ш§(]). (9)

Элемент дуальной дуги Шя(]) бинормали ребра возврата ПЛР может быть выражен известным образом [4]:

Шя(]) еа х, (10)

2

где (О = 0; X - кручение линии (А) в точке А. Поскольку имеет место (9), то следует

(11)

т.е. кручения ребер возврата (А) и (А) соприкасающихся ПЛР в центральных точках А = А их совмещенных образующих а0] = а0] также равны.

Исходя из (10) и предыдущих результатов, можно записать:

1) = dsm +оШя11 =

= (ч0 + оч1 )Шх = х • Ша + а • Ша,

что позволяет получить следующие результаты:

Ч0 =Ха!,Ч] =0, X = Ч0/Ч]. Для параметра элемента дульной дуги Шя(]) имеют место соотношения

Р(]) = Ч]/Ч0 = ]/X, (I2)

что приводит с учетом (11) к равенству

Р(]) = Р(]). (13) Определим теперь элемент Шя' дуальной дуги, описываемой главной нормалью а02 линии (А).

Для этого обратимся к известному дуальному уравнению [4]

Шя2 + Шя2(]) = (Шя ' )2. (14)

Разделяя в нем главную и моментную компоненты и учитывая вышеприведенные результаты, получим:

Шя' = ds'0 + ^И02 + ч02 • Шх +

+ оч0 • а[ • Шх V + Ч02.

После подстановки в это уравнение ранее полученных результатов, а именно

Но = к •а\,Ч0 = X о!, приходим к формуле:

4кГ+х1 • Ша^ в°х/(к 2+х2;.

Из формулы (14), с учетом ранее доказанных равенств Шя = Шя0 = Ш§0 = Ш§ и Шя(]) = $$(]), следует

Шя' = Ш7. (15)

Для параметра дуального элемента Шя на основании (8) и (11) можно записать:

Р' = ~~тг = Х/( к2 +х2) = Р'■ (16)

Шяо

Параметр Р' суть параметр мгновенного кинематического винта, обеспечивающего бесконечно малое перемещение общего триэдра

(а0], а02, а03 ) соприкасающихся ПЛР как вдоль

стрикции (А), так и вдоль стрикции ( А ).

Для дуальной кривизны линейчатой поверхности в ее образующей известна дуальная формула [4]

Шя' ]

е=------=------- , (17)

Шя ятЯ

в которой Я = Я0 + оЯ] - дульный угол между

образующей а0] поверхности ПЛР и соответствующей ей прямой, определяемой единичным винтом Ь02, представляющем собой главную

часть единичного дуального вектора В2 = Ь02 + оЬ]2 , определяющего положение линии Ь02 в пространстве (рис.1).

Рис.]. К соприкосновению двух ПЛР

Если подставить в формулу (17) выражение элементов Шя' и Шя , то получим уравнение

8 = к2 + х2 • еОх/(к2 +А (18)

к

из которого, с учетом (8) и (11), следует

8 = 8;Я = Я7. (19)

Если деривационные уравнения триэдров линейчатой поверхности представить в дуальной координатной форме [3], то для случая ПЛР получим уравнения:

Ша 1 о / х

----= -хк + Х]х •е л,

Ша

Ш- = - Ук + У]х^е° х,

Ша

= - гк + г]х^ еа/х, (20)

Ша

где тройки {х,у,г}, {х],у],г]} и {а,/3,у} суть координаты единичных дуальных векторов А] , А2 и А3 соответственно. Из

А = А]/Н=А] /(Н +шН]) = А]/Н0 = Щ-:^ =

— . Шх п Шу Шг .

следует А2 = {а = —,-=—,У=~Г~}.

Из равенства

ШАо „ ^ Ша Ш- „ Шу.

—2=В, = {£=—,л=—,С=—} е& ] ск' Шя' ШТ

Шя'

с учетом----= 8 следует

dsо

1 da 1 dp „ 1 dy .

{£ = —— ,1 =—— ,C =—г-} =

s dsn s dsn

s dsn

1 Ша 1 Ш- „ 1 Шу .

{^= к---«_,^ = к-«_,^ = к-

к • 8 Ша к • 8 Ша к • 8 Ша

где В] - единичный дуальный вектор главной

нормали поверхности ПЛР, соответствующий ее

образующей прямой ао] . На основе изложенного

и уравнений (20) получаем: В] = В];В2 = В2,

где В2 = А2 х В] = А2 х В].

Таким образом, у соприкасающихся ПЛР вдоль их общей образующей совмещены триэдры эволют первого порядка:

В] = В],В2 = В2,А2 = А 2 •

Из равенства Шя = Шя следует я, = Т, • ,'. По

этому уравнению можно определить вторую производную

*; = (Г, •7') = 77• (7')2 + Г, •7' (21)

Уравнение (21) по существу представляет собой преобразованное выражение среднего условия (4).

Определим производную дуальной кривизны линейчатой поверхности со стрикционной линией

( А ) исходя из (17) и (21):

~ 7 = Ш8 = ')7 ' ^ 7' =

8 Шл Шя ‘ 17 • Шл )

(Г)" • - (s')~

= (^ =

i " (Щ)2

На основании (21) следует:

~ = (s')" - ("')" • t' = (s')' - ("' ) • ("' )

(Г)2

(t')2

(~')2

(~')2

Предшествующее уравнение для s~ с помощью подстановок выражений для (s' )" и s"

можно последовательно привести к окончательному виду:

~ 1 .ds' 1 ,

si = i • (-T)t = i St. (22)

t ds t

Очевидно, что s" • t' = s't. Из формулы (17)

if ~f f

с учетом того, что s~ • t = st, следует

i dR ~' ~' dR '

- cos R-s~ • t - cos R----------------st

~' ds ds

s" ^t =-------------Ui-------------=-----~2--------•

Учитывая выполнение условия

Я = Я, я, = 7 • 7',

ШЯ ШЯ

из последнего равенства получаем--------=-----. Но

ШЯ ШЯ ! ШЯ

----=------=---------= о представляет собой

Шя Шяо к Ша

дуальный изгиб 5 поверхности ПЛР в ее образующей [4]. Следовательно, выполняется равенство

5 = 5', (23)

из которого следует, что соприкасающиеся ПЛР в их общей образующей имеют равные дуальные изгибы. Поскольку для линейчатой поверхности в

ее образующей линии ао] = ао] имеет место

формула

[4]

sin R • 5 = -tgR', где

R' = Rq + a>R'i - дуальный угол, соответствующий эволюте ( Cqi ) линейчатой поверхности (см. рис.1), то из R = R, 5 = 5' следует

R' = R', (24)

что позволяет утверждать о совмещении триэдров эволют второго порядка соприкасающихся ПЛР:

Bi = SiC -Ci,C2 - C~2.

Нетрудно показать, что если трехгранники стрикций - ребер возврата (А) и (A) двух соприкасающихся ПЛР в точке А = A совмещены, т.е. aQi — aQi, aQ2 — aQ2, то этих условий достаточно для получения соприкосновения n = 1 данных ПЛР.

Если к условию совпадения трехгранников стрикций двух соприкасающихся ПЛР добавить

условие к = к , но добавленное условие недостаточно для выполнения. То можно убедиться, что условия соприкосновения n = 1 выполнимы, но добавленное условие недостаточно для выполнения соприкосновения n = 2.

Если к условию совпадения трехгранников стрикций двух соприкасающихся ПЛР добавить условие X = X , то получим совмещение дуальных триэдров эволют первого порядка

Bi — Bi; B2 — B2; А2 — А2. Но поскольку в исходных условиях отсутствует задание непрерывного изменения производной s't = ds / dt

дуальной кривизны е у соприкасающихся ПЛР, то их соприкосновение не является полным для n = 2, поскольку не выполняется одно из условий (4), а

именно, условие H' = (H • t ' )'.

Из формулы (17) следует:

sin R

sin R

„ЛЯ , Я dR

- соя Я-------я, - соя Я ■-

Ля

к ■ Лс

¥г(г) = (і- 10!3 + 15!4 -(

яіп Я

Я ля ,

- соя Я------------с,

Лс

яіп Я

- соя Я ■ к ■З ■с,

яіп Я яіп Я

Таким образом, получаем

-Є ■ яіп2 Я - є—■ яіп2 Я

<5 = —^.------------ = ——---------------=— • (25)

к •а, • соя Я к • соя Я

Следовательно, для полного выполнения условий соприкосновения п = 2 двух ПЛР в их общей образующей необходимо существование в этой образующей значения дуального изгиба

5 = 5. Значение же последнего, как следует из (25), зависит от кривизны к, дуального угла Я и от дуальной величины 8,, которая, согласно (18),

определяется к и х, их производными ка и х'а, и

значениями этих производных в точке А = А двух

стрикций (А) и (А) - ребер возврата соприкасающихся ПЛР.

Рассмотрим стыковку торсовых поверхностей, образующих линейчатую развертывающуюся полосу и ребра возврата которых представляют собой сегменты пространственного кусочного сплайна. Для исследуемых задач стыковки применим эрмитовы сплайны пятой степени [5]:

р, (, )=iЪаа- (а {(1 -, )3 <а'-гг+

а=0-=0 2-'а'

+(- 1)а,3 (1 -, )а+- р;+1а}

й(а) ~Б (а) где р , Р,+] - граничные условия на кон-

цах сегментов сплайна.

После раскрытия суммы и приведения подобных членов получим:

+ (3 - 15!4 +

6!5р +

6,5) + (, - 6!3 + 8! 4 - 3!5)+

+ (- 4!3 + 7!4 - 3!5) +

+ ((1/2)!2 - (3/2)!3 + (3/2)!4 - (1/2)!5)+

+ ((1/2)!3 - ! 4 + (1/2)!5).

Последнее уравнение может быть представлено в

матричном виде:

]= [Г\[в1

*3 .Л Г;4

(26)

[Т] = [1 -10!3 +15!4 -6!5,103 -15!4 + 6!5, ! - 6!3 + 8! 4 - 3! 5,-4!3 + 7! 4 - 3!5,

(1/2)!2 -(3/2)!3 + (3/2)!4 -(1/2)!5, (1/2)!3 - !4 + (1/2)!5], [Ог] =

= [РР 7' 7' 7”~Р” ]Т

I1 г’1 г+1 э г’1г+\> 1г> 1 г+1 J ’

где [Т] - матрица весовых коэффициентов, [О,] -матрица геометрии.

[О]] = [Р],Р2,Р]ЛР1],Р2]]Т,

[02] = [Р2,Р3Р2Р3,Р22,Р32]Т,

[03]=[Р3,Р4,73,74,733,73Т.

Этим сегментам соответствуют торсы,

состыкованные по нулевому порядку гладкости (п = 0), имеющие общие образующие в узлах стыка, но несовпадающие трехгранники стрикций в этих узлах. Линейчатая полоса в этом случае в узлах стыка имеет изломы (рис. 2). Параметрические уравнения сегментов кусочного эрмитова сплайна определяются: [^] = [Т][0]]; [^2] = [7][02]; [^3] = ТО].

Первый порядок гладкости стыковки торсов для рассматриваемого случая может быть получен при сонаправлености векторов главных нормалей в узлах сегментов кусочного сплайна,

различающихся дополнительными множителями (Рис.3). Изломы в этом случае сглаживаются. При

я

этом матрицы геометрий имеют вид:

[О]] = [Р],Р2,Р],Р2Л%]Т,

[02 ]=[р2,Р3,Р2,Р, а?;;Р']Т, [О3 ]=[Р3,Р4ЛР4, ЩЛ]Т.

Изложенные в настоящей работе результаты

СПИСОК ЛИТНРАТУРЫ

]. Панчук, К.Л. Вопросы теории соприкасающихся линейчатых поверхностей / К.Л. Панчук. - Омск: ОмПИ, 1987. - 11 с. - Деп. в ВИНИТИ 22.05.87, №4496 - В87.

2. Панчук, К.Л. О соприкосновении линейчатых поверхностей / К.Л. Панчук // Начертательная геометрия и машинная графика в практике решения инженерных задач: межвуз. темат. сб. науч. тр. - Омск, 1987. - С. 62-66.

3. Бляшке, В. Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна. В 2-х т. Т.1. Элементарная дифференциальная геометрия [Текст] / В. Бляшке. - М.; Л.: Объед. науч.-техн. изд-во НКТП СССР, 1935. - 330с.

4. Зейлигер, Д. Н. Комплексная линейчатая геометрия [Текст] / Д. Н. Зейлигер. - М.; Л.: Гос. техн.-

теорет. изд-во, 1934. - 196с.

5. Завьялов, Ю.С. и др. Методы сплайн-функций / Ю.С. Завьялов, Б.И. Квасов, В.Л. Мирошниченко. -М.: Наука, 1980. 352с. - с. 81-83

исследований могут быть положены в основу инженерного конструирования сложных технических поверхностей, состоящих из линейчатых сегментов, состыкованных по различным условиям соприкосновения.

□ Авторы статьи

Нитейский Антон Сергеевич, аспирант(Омский государственный технический университет), e-mail: [email protected]

Панчук

Конствнтин Леонидович, докт. техн. наук, проф. каф. «Инженерная геометрия и системы автоматизированного проектирования» (Омский государственный технический университет), е-таИ:РапсИик [email protected]