Элементарные функции от кватернионного переменного и некоторые приложения Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ОТ КВАТЕРНИОННОГО ПЕРЕМЕННОГО И НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Сагиндыков Бимурат Жумабекович

канд. физ.-мат. наук, доцент КазНТУ, Республика Казахстан, г. Алматы

E-mail: bimurat55@gmail.com Бейсенбекова Арайлым магистр КазЖенПУ, Республика Казахстан, г. Алматы

Таукебаева Гульсим магистр КазЖенПУ, Республика Казахстан, г. Алматы

ELEMENTARY FUNCTIONS OF A QUATERNION VARIABLE AND IT'S

APPLICATIONS

Bimurat Sagindykov

candidate (PhD) of Physical and Mathematical sciences, KazNTU, Republic of,

Kazakhstan, Almaty Araylim Beysenbekova

master, Kazakh State Women's Teacher Training University, Republic of,

Kazakhstan, Almaty Gulsim Taukebaeva

master, Kazakh State Women's Teacher Training University, Republic of,

Kazakhstan, Almaty

АННОТАЦИЯ

В данной работе методами дифференциальных уравнений получены эффективные формулы для вычисления элементарных функций от кватернионного переменного. Также получены элементарные функции от кватернионной матрицы.

ABSTRACT

In this paper, an effective formula for the calculation of the elementary functions of a quaternion variable obtained using the methods of differential equations. Also the elementary functions obtained from the quaternion matrices.

Ключевые слова: Алгебра кватернионов; аналог формулы Эйлера; матричная экспонента.

Keywords: Quaternion algebra; an analogue of the Euler formula; matrix exponential.

Created by DocuFreezer | www.DocuFreezer.com |

1. Алгебра кватернионов

[2] По Гамильтону кватернион есть математический объект вида

Я = <7О + "71 + /?2 + А?З,(1)

где: Цо,Цг,Я2>Чз — действительные числа, называемые компонентами кватерниона q,

«1» — множитель действительной единицы,

: Л к — три разные мнимые кватернионные единицы. Кватернионное произведение обозначается знаком «о» и определяется следующими правилами умножения кватернионных единиц, записанных еще Гамильтоном:

I о ¡; = / о / = к. о к = -1,1 о] = к, / о к = ¿, к о * =/ (2)

Если на мнимые единицы 1,),к смотреть как на орты Щ, Щ, Щ декартового базиса, то по аналогии с комплексными числами кватернион ц Е Н можно представить в виде формальной суммы скалярной части векторной части

Ч = Яо + ЧгК + 42^ + ЯзЪ = Яо + Ъ (V

а правила (2) умножения базисных векторов записать через скалярное и векторное произведения следующей формулой:

или

где — символы Леви-Чивита, а к = 1,2,3.

Эти соотношения позволяют интерпретировать операцию умножения кватернионов Л = Л0 + Л, М = + ¡1 через скалярное и векторное произведения

л-и, --[/.■ /.-л :< р.. (4)

Из правил умножения кватернионных единиц следует, что с{ — умножение теряет коммутативность

41° Я2 *

так что появляется понятие правого и левого умножения, но остается ассоциативным

Следуя методике получения операции сопряжения вводим операцию кватернионного сопряжения

и определяем модуль д -числа

2. Аналог формулы Эйлера

В качестве примера оперирования кватернионами приведем аналог формулы Эйлера. Для этого рассмотрим экспоненциальную функцию от кватерниона вида:

, (5)

где <р — переменная одного кватернионного переменного. В силу того, что с{0 — действительное число, оно коммутирует со своей базисной единицей с остальными мнимыми единицами, тогда

.

Допустим, что экспоненциальная функция разложена в следующем виде:

еЬч1+]-Я2+кйз-)<р = А0{(р) + 1А1{<р)+¡А2{<р) + кА2(_<р). Беря производную из (6) по <р получим следующее равенство:

= Аг0(<р) + ¿А'^ф) +]А'2{ф)+кА'3(ф) или

Мг (<Р) + Сф)

Отсюда из равенства кватернионов следует, что

Продифференцировав по переменной <р первое равенство, получим

= -агА±(_ф) - а2Л'20р) - а3Аг3(<р) = -а^-а^А^ср) - а3А2 (<р) + а2А2(<р)] - а2[а2А0(<р) + а2А2 (<р) - ахА2{<р)] - а2[а2А0(<р) + а±А2(<р) -(<р)] = С-а2! -а\- а1)А0(<р)

, то есть

А"0(<р) + (а2 + а2 + а2)А0(<р) = 0. (8) Для уравнения (8) поставим начальные условия, т.е. при <р = 0:

Далее продифференцировав в (7) по переменной <р второе, третье и четвертое равенства для Аг{ф), А2(<р) и А2{<р) получаем аналогичные уравнения типа (8) при соответствующих начальных условиях:

Л К<р) + (а1 + + а1)А1{<р) = 0, здесь при <р = 0, ^(«р) = 0, А[(<р) = ¿2(<р) + (а1 + а22 + = 0, здесь при = 0,А2(_<р) = 0,А'2{<р) = q2;

А"2(_(р)+ (_а\ + ак +а|)Л3(<р) = 0, здесь при <р = 0,Л3(<р) = 0, А'э(<р) = д3.

Решив эти уравнения при соответствующих начальных условиях, имеем:

а2 С<р) =

В свою очередь аналог формулы Эйлера для кватернионов записывается в

виде

«Ь+^Та+^Чз ■

(9)

Отсюда следует, что если кватернион используется в качестве аргумента элементарной функции, он может быть представлен как условное комплексное число с условной мнимой единицей:

Ч = Чо +

I =

4

\ ^ - ^ -Ч = 0о+ где 00 = (?□,

О1 = у/ч} + ч1 + ч\

Здесь векторный смысл условной мнимой единицы в том, что он является единичным вектором, направленным по вектору / = 1т ц. В этой записи кватернион сохраняет свойства комплексного числа:

= я ° я = ч1 -

(ч1 + ч\ + ч1) + 2?о(1?1 + = <11 - 01 +

Используя эти свойства мы можем найти элементарные функции от кватернионного переменного. Для этого:

1) заменим кватернион условным комплексным числом д => + ,

2) раскрываем элементарную функцию как функции комплексного переменного <30 + Щ1;

3) после этого переходим к обратной замене <Э0 => (?0,

Выпишем для наглядности некоторые элементарные функции кватерниона.

sin q = sin(Q0 + /Qi) = sin Q0 eos IQ1 + eos Q0 sin IQ1 = sin Q0 ch Q± + /cosQ'0 shQi = sintió + + + ^^^^ cas sti V+ + <?!

cos q = cos((?0 + IQ-l) = eos Q0 eos /— sin Q0 sin IQ1 = eos Q0 ch Q1 —

I sin Q0 sin Q± = eos q0 ch ^fqf 4- qj 4- q\ — iq.1+jqat^sin q0 sh-Jqf 4 qj 4 q

3. Матричное представление алгебры кватернионов

[3] Интересным представляется представление операции умножения кватернионов в матричной форме. Пусть

.-i = : - - -В = Ь. - - jb: - kb?.

Тогда произведение двух кватернионов даст третий кватернион С = А о В и компоненты полученного кватерниона определяются по формуле (4):

/

С-_ = ■::.-_ о: - - -

.

Далее кватерниону А сопоставим в соответствие четырехмерный вектор Уа = (.ао>а1>а2>а2^Т, а кватерниону В —четырехмерный вектор

Тогда кватерниону С можно сопоставить свой четырехмерный вектор, который можно определить следующим образом:

.

Матрица (¿4) и матрица С2 (В) в выражении (10) соответственно равны

Для некоторого произвольного кватерниона <3 матрицы С1 (Л) и С2 (В) можно представить в виде:

=(

% -ч

-с

Чо

ч

-+Т

ч

где: Е2 — единичная матрица размером 3x3,

Некоторые свойства матрицы К(а):

Кт(а) = —К(а), К(а)К(ь) = Ь X а - а1 -Ъ -Е2

Некоторые свойства матриц и 62:

Ст (Л + В) = Ст (А) + ш = 1, 2;

с1е!Ст(А) = \\А\\\

т = 1,2.

Лемма. Для любого кватерниона Л 0 имеют место следующие равенства: ^(/Г1) = С^"1) = С^ОО.

Используя матрицы Сг и С2 можно легко заменить уравнения в кватернионах на уравнения в матрицах. В частности, для кватерниона .-1 = 5: Г : г; матричная форма записи будет следующая:

где: С = {с0>с1>с2,с2)]: — четырехмерный вектор, соответствующий кватерниону С.

3. Матричная экспонента

Для нахождения матричной экспоненты от кватерниона применим метод спектрального разложения функции от матриц.

Существует изоморфизм между кватернионами Ц = Цо + + + кЯз и квадратными матрицами четвертого порядка специального вида

в отношении кватернионных и матричных операций.

Находим характеристический многочлен кватернионной матрицы <4

Тогда комплексное значение А = + + +

являются собственными значениями кватерниона

Минимальный многочлен кватернионной матрицы (} находим по формуле

Ра (Л) =

(-О^сЗе^-ЛБ}

где Вп_1 (Л) — наибольший общий делитель миноров (п- 1)-го порядка характеристической матрицы ((? — ЛЕ).

В нашем случае п = 4, Оп_± = — Л)2 + + <?2 + <7з- Тогда

Или

где {(?) = - <?0|. Здесь ¿2 = -1.

Тогда основная формула для f(_Q) выглядит следующим образом: где г1Ъ г21 — компоненты матрицы (}, а

Подставляя вместо / (Я) последовательно Л — Л1,Л — Л2 получим

-2г|д - =

где единичная матрица. Таким образом

^<--¡1 ЛО = - - - -чОЛ^:)- (10)

Рассмотрим некоторые применения этой формулы.

Если / (Я) = -, то её значениями на спектре матрицы (} являются числа —,

—. Следовательно данная функция определена на спектре матрицы <3. л2

Поэтому основную формулу (10) можно использовать для нахождения обратной матрицы (З-1.

Подставляя значения /(¿0 = у = /Ц2) = ~~ = в основную формулу для /(()) имеем = ^ (—(? + 2д0Е). Здесь

Д= + +

В правильности полученной формулы можно убедится непосредственным вычислением.

Теперь найдем экпоненту от кватернионной матрицы. Для этого рассмотрим функцию /(А) = е/\ которая также определена на спектре матрицы

ехр№) = д + (С05|, _ , _ яЛ Е)|

Продолжая этот процесс мы можем получить от кватернионной матрицы <2 весь спектр элементарных функций.

Список литературы:

1. Ефремов А.П. Р-поле, переменный кватернионный базис. // Физика. Известия вузов, 1985. — с. 12, 14—18.

2. Гамильтон У.Р. Избранные труды: Оптика. Динамика. Кватернионы. М.: Наука, 1994.

3. Белман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969. — 368 с.

4. Байрак Л.Г. Интегральная форма Коши для кватернионов. // [Электронный ресурс] — Режим доступа. — URL: http://scolium.narod.ru