Элементарное доказательство иррациональности ((3) Текст научной статьи по специальности «Математика»

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лукашенко Т.П. О новых системах разложения и их свойствах // Чебышевский сборник. Т. 5. Вып. 2. Тула: ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 2004. 77-78.

2. Лыткин С.М. Разложение по системе всплесков B-сплайна первого порядка // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 13-й Саратов. зимней школы. Саратов: Научная книга, 2006. 111-112.

3. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987.

4. Кашин Б.С., Саакян A.A. Ортогональные ряды. М.: Наука, 1984.

Поступила в редакцию 25.11.2008

УДК 511.31, 511.36

ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ Z(3)

Ю. В. Нестеренко1

Статья содержит элементарное доказательство иррациональности Z(3), которое основано на последовательности рациональных приближений к этому числу, в два раза более плотной, чем в оригинальном доказательстве Апери.

Ключевые слова: иррациональность, дзета-функция, рекуррентные последовательности.

An elementary proof of the irrationality of Z(3) is presented. The proof is based on a two times more dense sequence of diophantine approximations to this number than the sequence in the original proof of Apery.

Key words: irrationality, zeta-values, recurrence.

Еще Эйлер установил, что значения дзета-функции Римана

V=1

в четных положительных точках могут быть выражены через п, а именно

где B2k £ Q — числа Бернулли, определяемые рекуррентным образом с помощью соотношения

£ (П + 1 Br = 0, n = 1, 2,...,

r=0 /

и условия Bo = 1. Так, например, Z(2) = п2/6,Z(4) = п4/90.

В силу трансцендентности п можно утверждать, что все числа Z(2k),k ^ 1, трансцендентны. Вопрос об арифметической природе значений дзета-функции в нечетных точках в литературе впервые был поставлен в 1934 г. А. О. Гельфондом [1]. В 1978 г. Р. Апери [2] удалось доказать иррациональность Z(3). Апери опубликовал лишь краткий набросок доказательства этого утверждения. Детали были восстановлены Д. Загиром, А. Коэном и А. Ван-дер-Поортеном [3]. Иные варианты доказательств можно найти в

1 Нестеренко Юрий Валентинович — доктор физ.-мат. наук, проф., чл.-корр. РАН, зав. каф. теории чисел механико-

математического ф-та МГУ, e-mail: nester@orc.ru.

статьях [4] и [5], где использовались кратные интегралы для конструкции рациональных приближений к ((3), а также в [6], где для той же цели использовались комплексные интегралы типа Барнса.

Теорема. Число ((3) иррационально.

В настоящей статье предлагается элементарное доказательство этой теоремы. Мы выбираем вдвое более плотную последовательность рациональных приближений к ((3), чем Апери. Это существенно упрощает рассуждения.

1. Конструкция рациональных приближений. Пусть п — натуральное число. Определим рациональную функцию Я(в) равенством

И

, « + + к к=1 к=1

(1)

Пусть также

в(г) = — £ Е'(и К

и=1

Ряд сходится в области \г\ ^ 1. Важную роль в доказательстве теоремы играют полилогарифмические функции

к ^ 1,

и=1

для которых Ы^(1) = ((к). Отметим также, что ЬЦ(г) = — ^(1 — г). Лемма 1. В области \г\ ^ 1 справедливо тождество

в(г) = 2А(г) Ы3(г-1) + В (г) Ы2 (г-1) + Б(г)

(2)

где А(г),В(г),Б(г) е 0>[г], причем В(1) = 0 и

п1

deg А(г) ^

п

, deg В(г) ^ — , deg-D(z) ^

п- 2

Доказательство. Разложим функцию Я(в) в сумму простейших дробей:

[те/2]

ад = Е

ак

+

Ьк

к=0

(в + к)2 в + к'

(3)

Заметим, что = 0 при к > т.е. при четном п и к = п/2. Кроме того, из (3) следует, что в

окрестности бесконечности справедливо разложение Е(в) = (Ьо + ... + Ь[п/2])в-1 + 0(в-2), что вместе с определением (1) влечет за собой равенство

Ьо + ... + Ь[п/2] = 0.

Для коэффициентов ак, Ьк имеют место явные формулы

ак = Я(в)(в + к)2

и

Ък = -(К{8){8 + к)2)

в=-к ив

в=—к

Из них, в частности, следует, что ак,Ьк — рациональные числа. Подставляя представление

[п/2] 2а

Ьк

к=о

(в + к)3 (в + к)2

в ряд, определяющий функцию О (г), находим

[п/2] те ,

к=0 (V + к)3 (V + к)2

[(п-1)/2] ( к \ [п/2] ( к N

к=0 V ^=1 ) к=0 \ и=1 / откуда получаем тождество (2) с

[(п-1)/2] [п/2] [п/2] к , 2 , .

А{г)= Е В(г)=^Ькгк, ОД = " Е Е^ + ) > (5)

к=0 к=0 к=1 ^=1

а также оценки степеней многочленов. □

Следствие 1. Имеем ак е Ъ и dnbk е Ъ, где йп = ПР^п/2 Р[Ъ&п/р]-Отметим, что dn делится на наименьшее общее кратное всех чисел 1, 2,... ,[п/2]. Доказательство. Непосредственным вычислением с помощью (4) находим

^ = + [^п (к + (Ш

к ) \ к ) \ к ) \ к

А 1х

Ьк = ак

( М И \ 2 ___^ __1

+ [ь- п ь + п +

к \к - 2 к + р ¿-Ак - 2 к + 2

\ 3 3 )

Согласно первому из этих равенств, а к есть целое число, делящееся на каждое простое р из промежутка [п/2] <р ^ к + [п/2]. Теперь из второго равенства следует включение dnЬк е Ъ. □

Следствие 2. Справедливо равенство dnО(1) = дп((3) — рп, где дп,рп — целые числа. Доказательство. Так как В(1) = 0, то О(1) = 2А(1)£(3) + ^(1). Из формул (5) и следствия 1 находим А(х) е Ъ[г],$пО(г) е Ъ[х]. Нужное утверждение выполняется с дп = 2dnА(1) и рп = —dnD(1). □

2. Рекуррентное уравнение. Далее будет доказано, что последовательность чисел

Гп = (—1)п Е (1) = (—1)п-1(2А(1)С(3) + Я(1)) (6)

^=1

удовлетворяет рекуррентному уравнению второго порядка. Для этого понадобятся некоторые тождества. Пусть Q(s) — какая-либо рациональная функция, не имеющая полюсов в точках 1, 2,.... Положим

те „ те те

= Е^ 1-=,= Е^»*"" - (7)

и=1 и=1 и=1

и обозначим буквой 5 дифференциальный оператор 5 = г-^. Для любого многочлена Р(х) £ С [ж] справедливо тождество Р(5)(г-в) = Р(—s)z-s. Поэтому

те я те а

и=1 и=1

В дальнейшем понадобится тождество, связывающее функции

те „ те те

СиМ = Е^ (Дим*-3) и= ЕО)^" -^Е ^мфл

и=1 и=1 и=1

Х-"

где п,у — целые положительные числа, а рациональные функции Ки^ (г) определены равенствами

«*.<•> = •-" Пт^т П'"*

(и)

s + k 11 s + k k=l k=l

Лемма 2. Пусть

ois) = s~2 nLi(^-fc) IILi('-*0

Пuk=\{s + k) nl~=\{s + k) и функция W(z) определена равенством (7). Тогда

n3Gu-i,v-i(z) + (u3 + 2u2v + 2uv2 + v3)Gu,v-i(z) + v3Gu,v(z) = 2(u + v)(z - 1)W(z). (9)

Доказательство. Положим

T(s) = 7-77-Щ-77-r, V(z) = У (T(s)z~s) . (10)

w (s - u)(s - v)(s + u)(s + v) ds v 7

Как легко проверить, справедливо тождество

u3(à - u)(5 - v) + (u3 + 2u2v + 2uv2 + v3)(S + u)(S - v)+ v3(5 + u)(S + v) = = 2(u + v)(S4 - (S - u)(S - v)(S + u)(S + v)).

Согласно (8), имеем

~ д

(ô - u)(ô - v)V(z) = Y, g~s {(s + u)(s + v)T(s)z~s) |s=iy= Gu_i,„_i(,z),

v=l

~ д

(5 + _ = u)(s + v)T(s)z~s) \s=v= Gu>v-i(z),

v=l ™ д

{5 + v){5 + ^)F(z) = E - {{s - v){s - v)T{s)z~s) |s=i/=

v=l

Поэтому левая часть (9) имеет вид P(S)V(z), где многочлен P(S) равен левой части тождества (11)

С помощью этого тождества получаем

~ д

P{5)V{z) =2{u + v)Y- ((S4 -{s- u)(s - v)(s + u)(s + v))T(s)z~s) \s=v.

v=l

Пользуясь равенством s4T(s) = Q(s + 1) и равенством (10), находим

~ д

P{5)V{z) =2(u + v)J2- (Q(s + 1) - Q(s))z~8) \a=v=

v=l

/ж я ж я \

= 2 (u + v)lzJ2- (Q(s)z~s) Е - (Q(s)z~') \a=v =2 (u + v)(z - l)W(z).

\ v=2 v=l J

Здесь было учтено, что функция Q(s) имеет в точке s = 1 нуль второго порядка. □

Сравнивая в тождестве (9) члены, не зависящие от log z, получаем

u3J2 R'u-iv-i(v)z-v + (u3 + 2u2v + 2uv2 + v3)J2 R'uv-l(v)z-v+

V=1 V=1

£ = 2(и + v)(z — 1) £ Q'(v)z-V.

v=1 v=1

Это тождество можно доказать, также сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х. Полагая в нем х = 1 и пользуясь тем, что Q'(v) = О^-2), получаем

Следствие 3. При любых целых положительных числах и, V выполняется равенство

те тете

^ Е Яи-м-1(1) + (и3 + 2и\ + 2^2 + V3) £ К'и^-1(1) + vгY^ К'и,

v=1 v=1 v=1

Следствие 4. Последовательность чисел гп, определенных равенствами (6), удовлетворяет рекуррентному уравнению

Гп+2 — (1 + 2ап + 2ап + а^Гп+1 + а^п = 0, п ^ 1, (13)

где ап = [Ц1] / . При этом п = 2((3) и г2 = 2((3) - 2.

Для доказательства достаточно положить и = и V = в равенстве (12). Значения Г\,Г2

можно найти с помощью равенства (6), раскладывая соответствующие функции Я(.в) в сумму простейших дробей и вычисляя многочлены А(х),0(х).

3. Теорема Пуанкаре и оценки. Следующее утверждение есть частный случай теоремы Пуанкаре (см. [7, гл. 5, § 5]).

Лемма 3. Начиная с некоторого номера все члены последовательности гп отличны от нуля. Кроме того,

Иш = (^/2-1)2.

■п^те гп

Доказательство. Докажем сначала, что последовательность гп стремится к нулю. При любых целых числах V ^ 1 и к ^ 1 выполняется неравенство ¡V — к\ < ¡V + к|. Поэтому из определения (1) следует оценка \Я^)\ ^ V-2. Заметим также, что Я^) = Я'^) = 0 при 1 ^ V ^ [(п — 1)/2]. Из равенства

Я'^) = Я(s) при V > [п/2] получаем

( га И \ ___-НП-___-

s ^ \s — к s + к; ^vs — к s + к/ к=1 к=1

V к=1

2 2 ln(2v + 1)

к=1

В случае V = [п/2] > [(п — 1)/2] также имеем

[(п-1)/2] 2 1

П

Из этих неравенств следует

, ъп м 21п^ + 1)

кк £ 1ВДК £ у2 •

^[п/2] ^[п/2]

Последняя сумма есть остаток сходящегося ряда, поэтому Ншп^те гп = 0.

С ростом п коэффициенты рекуррентного уравнения (13) стремятся к —6 и 1, так что предельное рекуррентное уравнение имеет вид хп+2 — 6хп+1 + хп = 0. Корни соответствующего ему характеристического многочлена х2 — 6х + 1 равны А1 = 3 + 2\[2 и Л2 = 3 — 2\[2.

Пусть 6 — произвольное число из интервала 0 < 6 < ^^ = 2\[2. Имеем

Гп+2 — 6Гп+1 + Гп = (1 + 2ап + 2ап + оП — 6)гп+1 — (ап — 1)гп

и, значит,

С1

\гп+2 -6гга+1 + гп| ^ — тах(|гп|,|гп+1|),

где С1 — некоторая абсолютная постоянная. В силу равенств

_ {гп+1 ~ А1 гп) - (гп+1 - Х2гп) _ Х2(гп+1 - Л1 гп) - \\{гп+1 - Л2гга)

гп — , , ) Гп+1 —

Л2 — М Л2 — М

можно написать также

С2

\гп+2 - 6гга+1 + гп\ ^ — тах(|гга+1 - \1Гп\, \гп+г - Х2гп|). Поэтому при любом п > П1, где П1 — некоторая постоянная, зависящая только от 5, выполняется оценка

\гп+2 — 6гп+1 + Гп\ <5 max(\rn+l — Л1 Гп\,\гп+1 — Л2Гп\). (14)

Предположим, что для некоторого п > П1 справедливо неравенство

\Гп+1 — Л1Гп\ < \Гп+1 — Л2Гп\. (15)

Поскольку

Гп+2 — 6Гп+1 + Гп = (Гп+2 — Л2 Гп+1) — Л1 (Гп+1 — Л2Гп) = (Гп+2 — Л1Гп+1) — Л2 (Гп+1 — Л1Гп), (16)

то в силу (14) и (15) находим

\ Гп+2 — Л2 Гп+1 \ > (Л1 — 5) \ Гп+1 — Л2Гп\, \Гп+2 — Л1Гп+1\ < (Л2 + 5) \ Гп+1 — Л2Гп\.

Согласно выбору 5, имеем Л1 — 5 > Л2 + 5 > 0, и, значит,

\Гп+2 — Л1Гп+1\ < \Гп+2 — Л2Гп+1 \.

Повторяя это рассуждение, приходим к заключению, что в рассматриваемом случае неравенство (15) выполняется для всех достаточно больших п. В частности, это означает, что при всех достаточно больших п члены последовательности Гп отличны от нуля и

Гп+1 , Л2 > Гп+1 , М

Гп Гп

Отсюда следует неравенство

Гп+1

Л^ = 2

которое справедливо для всех достаточно больших п. Это противоречит ограниченности последовательности Гп, которая, как это было доказано выше, стремится к нулю. Получившееся противоречие означает, что для любого п, превосходящего некоторую границу, выполняется неравенство

\Гп+1 — Л2Гп\ ^ \Гп+1 — Л1Гп\. (17)

Из равенства Гп+1 —Л1Гп = 0 следует Гп+1 —Л2Гп = 0, и так как числа Л1, Л2 различны, то Гп = Гп+1 = 0. Учитывая разностное уравнение (13), получаем тогда, что все члены последовательности Гк ,к ^ 1, равны нулю. Но это неверно, ведь п = 2((3). Итак, при всех достаточно больших п имеет место Гп+1 — Л1Гп = 0, и можно рассмотреть последовательность

_ \гп+1 ~ А2гга| \гп+1 ~ ^ГпУ

определенную при п > щ(5).

Докажем, что эта последовательность стремится к нулю. Из неравенства (14) и равенств (16) при всех достаточно больших п находим

\Гп+2 - ^2Ти+1\ > А1\т,п+1 - \2Тп\ - 5\Тп+1 - \\Ти\, \Гп+2 - ^\Гп+\\ < (А2 + 5)\т,п+1 - \\Тп\ и, значит,

А1 Уп - 5

уп+г > (18)

Из (17) следует, что последовательность Уп не превосходит 1, поэтому она имеет конечный верхний предел р = Нтп^ооУп. Применяя неравенство (18) к любой подпоследовательности уп, стремящейся к р, находим

Хгр - 5

9 " Л2 + <г

Положительное число 5 может быть выбрано сколь угодно малым, поэтому имеем неравенство р ^ А1Р/А2 и р = 0, так как А1 > А2. Равенство р = 0 означает, что Уп — 0. В частности, отсюда следует, что тп = 0 при всех достаточно больших п.

Из неравенства \А1Тп - Тп+1\ ^ (А1 - А2)\тп\ + \А2Тп - Тп+1 \ следует

Гп+1 . --Л2

< Vn(Al - А2) ^ 1-Vn

что завершает доказательство леммы 3. □

Следствие 5. Имеем Итга^оо \гп\1/п = (\/2 — I)2.

Доказательство. Выберем произвольное число е, удовлетворяющее неравенствам 0 < е < А2 = (\/2 — I)2. Тогда при любом п > пз(е) имеем

А2 - е <

Отсюда при любом целом k ^ 1 следует

Гп+1

< А2 + е.

\Тп\(А2 - е)к < \Тп+и\ < \Тп\(А2 + е)к. Извлекая из всех членов этих неравенств корень степени п + к и устремляя к к бесконечности, находим

Л2 - е < Ит„^оокп|1/га < Й^п^оо|г„|1/га < А2 + е.

Отсюда в силу произвольности е > 0 получаем нужное утверждение. □

Завершение доказательства теоремы. Поскольку е3(\/2 — I)4 = 0,59... < 16/25, то найдется такое положительное число е, что е3(1+е)/2(А2 + е) < 4/5.

По следствию 2 при любом п ^ 1 с некоторыми целыми рп, дп выполняется \дп((3) -рп\ = ^Щтп\. Если п достаточно велико, то, согласно асимптотическому закону распределения простых чисел, dn < пп(п/2) < е(1+е)'п/2. Кроме того, \тп\ < (А2 + е)п по следствию 5. Значит,

Ы(3) - Рп\ = ^п\Тп\ < (4/5)п

при всех достаточно больших п. Отсюда и из леммы 3 находим 0 < \дп((3) - рп\ — 0. Но тогда ((3) не может быть рациональным числом. □

п

r

п

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гельфонд А.О. Трансцендентные числа // Тр. II Всесоюз. матем. съезда. Т. I. Л.: 1934 (Гельфонд А. О. Избранные труды. М.: Наука, 1973. 57-75).

2. Apery R. Irrationalité de С(2) et С(3) // Asterisque. 1979. 61. 11-13.

3. Poorten A. van der. A proof that Euler missed — Appery's proof of the irrationality of С(3) // Math. Intell. 1979. 1. 195-203.

4. Beukers F. A note on the irrationality of С(2) and С(3) // Bull. London Math. Soc. 1979. 11. 268-272.

5. Сорокин В.Н. Теорема Апери // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1998. № 3. 48-52.

6. Нестеренко Ю.В. Некоторые замечания о ((3) // Матем. заметки. 1996. 59, № 6. 865-880.

7. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1967.

УДК 517.547.28

ЛОКАЛИЗАЦИЯ МАЛЫХ НУЛЕЙ СИНУС- И КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ ФИНИТНОЙ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ НЕУБЫВАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ

Пусть функция f интегрируема, положительна и не убывает в интервале (0,1). Тогда по теореме Пойа все нули соответствующих косинус- и синус-преобразований Фурье вещественны и просты, причем положительные нули лежат по одному соответственно в интервалах (п(п — 1/2),n(n + 1/2)), (nn,n(n + 1)), n G N. В случае синус-преобразований требуется, чтобы f не была ступенчатой функцией с рациональными точками разрыва. В данной статье нули функций с малыми номерами заключены в интервалы, являющиеся собственными подмножествами соответствующих интервалов Пойа. Как следствие получена локализация малых нулей функции Миттаг-Леффлера E1/2 —z2; ¡), ¡ G (1, 2)U (2, 3).

Ключевые слова: синус- и косинус-преобразование Фурье, нули целой функции, функция Миттаг-Леффлера.

Let a function f be integrable, positive, and nondecreasing in the interval (0,1). Then by Polya's theorem all zeros of the corresponding cosine- and sine-Fourier transforms are real and simple; in this case positive zeros lie in the intervals (n(n —1/2), n(n +1/2)), (nn, n(n +1)), n G N, respectively. In the case of the sine-transforms it is required that f cannot be a stepped function with retional discontinuity points. In this paper, zeros of the function with small numbers are included into intervals being proper subsets of the corresponding Polya intervals. A localization of small zeros of the Mittag-Leffler function £i/2(—z2; ¡i), ¡ G (1, 2) U (2, 3) is obtained as a corollary.

Key words: sine- and cosine-Fourier transform, zeros of entire function, Mittag-Leffler's function.

1. В разделах анализа, существенно использующих целые функции, например в спектральной теории, часто необходимо знать асимптотику нулей встречающихся по ходу дела целых функций. Однако в некоторых случаях не менее важной является задача о поведении малых нулей, т.е. нулей с малыми номерами при естественной нумерации в порядке неубывания модулей. Цель данной статьи состоит в том, чтобы локализовать малые нули косинус- и синус-преобразований Фурье функций, определенных в интервале (0,1), т.е. целых функций вида

Поступила в редакцию

01.12.2008

А. М. Седлецкий

1

(1)

V (z) = f (t)sin ztdt, (2)

где интегрируемая функция f положительна и не убывает.

1 Седлецкий Анатолий Мечиславович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: sedlet@mail.ru.