СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лукашенко Т.П. О новых системах разложения и их свойствах // Чебышевский сборник. Т. 5. Вып. 2. Тула: ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 2004. 77-78.
2. Лыткин С.М. Разложение по системе всплесков B-сплайна первого порядка // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 13-й Саратов. зимней школы. Саратов: Научная книга, 2006. 111-112.
3. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987.
4. Кашин Б.С., Саакян A.A. Ортогональные ряды. М.: Наука, 1984.
Поступила в редакцию 25.11.2008
УДК 511.31, 511.36
ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ Z(3)
Ю. В. Нестеренко1
Статья содержит элементарное доказательство иррациональности Z(3), которое основано на последовательности рациональных приближений к этому числу, в два раза более плотной, чем в оригинальном доказательстве Апери.
Ключевые слова: иррациональность, дзета-функция, рекуррентные последовательности.
An elementary proof of the irrationality of Z(3) is presented. The proof is based on a two times more dense sequence of diophantine approximations to this number than the sequence in the original proof of Apery.
Key words: irrationality, zeta-values, recurrence.
Еще Эйлер установил, что значения дзета-функции Римана
V=1
в четных положительных точках могут быть выражены через п, а именно
где B2k £ Q — числа Бернулли, определяемые рекуррентным образом с помощью соотношения
£ (П + 1 Br = 0, n = 1, 2,...,
r=0 /
и условия Bo = 1. Так, например, Z(2) = п2/6,Z(4) = п4/90.
В силу трансцендентности п можно утверждать, что все числа Z(2k),k ^ 1, трансцендентны. Вопрос об арифметической природе значений дзета-функции в нечетных точках в литературе впервые был поставлен в 1934 г. А. О. Гельфондом [1]. В 1978 г. Р. Апери [2] удалось доказать иррациональность Z(3). Апери опубликовал лишь краткий набросок доказательства этого утверждения. Детали были восстановлены Д. Загиром, А. Коэном и А. Ван-дер-Поортеном [3]. Иные варианты доказательств можно найти в
1 Нестеренко Юрий Валентинович — доктор физ.-мат. наук, проф., чл.-корр. РАН, зав. каф. теории чисел механико-
математического ф-та МГУ, e-mail: nester@orc.ru.
статьях [4] и [5], где использовались кратные интегралы для конструкции рациональных приближений к ((3), а также в [6], где для той же цели использовались комплексные интегралы типа Барнса.
Теорема. Число ((3) иррационально.
В настоящей статье предлагается элементарное доказательство этой теоремы. Мы выбираем вдвое более плотную последовательность рациональных приближений к ((3), чем Апери. Это существенно упрощает рассуждения.
1. Конструкция рациональных приближений. Пусть п — натуральное число. Определим рациональную функцию Я(в) равенством
И
, « + + к к=1 к=1
(1)
Пусть также
в(г) = — £ Е'(и К
и=1
Ряд сходится в области \г\ ^ 1. Важную роль в доказательстве теоремы играют полилогарифмические функции
к ^ 1,
и=1
для которых Ы^(1) = ((к). Отметим также, что ЬЦ(г) = — ^(1 — г). Лемма 1. В области \г\ ^ 1 справедливо тождество
в(г) = 2А(г) Ы3(г-1) + В (г) Ы2 (г-1) + Б(г)
(2)
где А(г),В(г),Б(г) е 0>[г], причем В(1) = 0 и
п1
deg А(г) ^
п
, deg В(г) ^ — , deg-D(z) ^
п- 2
Доказательство. Разложим функцию Я(в) в сумму простейших дробей:
[те/2]
ад = Е
ак
+
Ьк
к=0
(в + к)2 в + к'
(3)
Заметим, что = 0 при к > т.е. при четном п и к = п/2. Кроме того, из (3) следует, что в
окрестности бесконечности справедливо разложение Е(в) = (Ьо + ... + Ь[п/2])в-1 + 0(в-2), что вместе с определением (1) влечет за собой равенство
Ьо + ... + Ь[п/2] = 0.
Для коэффициентов ак, Ьк имеют место явные формулы
ак = Я(в)(в + к)2
и
Ък = -(К{8){8 + к)2)
в=-к ив
в=—к
Из них, в частности, следует, что ак,Ьк — рациональные числа. Подставляя представление
[п/2] 2а
Ьк
к=о
(в + к)3 (в + к)2
в ряд, определяющий функцию О (г), находим
[п/2] те ,
к=0 (V + к)3 (V + к)2
[(п-1)/2] ( к \ [п/2] ( к N
к=0 V ^=1 ) к=0 \ и=1 / откуда получаем тождество (2) с
[(п-1)/2] [п/2] [п/2] к , 2 , .
А{г)= Е В(г)=^Ькгк, ОД = " Е Е^ + ) > (5)
к=0 к=0 к=1 ^=1
а также оценки степеней многочленов. □
Следствие 1. Имеем ак е Ъ и dnbk е Ъ, где йп = ПР^п/2 Р[Ъ&п/р]-Отметим, что dn делится на наименьшее общее кратное всех чисел 1, 2,... ,[п/2]. Доказательство. Непосредственным вычислением с помощью (4) находим
^ = + [^п (к + (Ш
к ) \ к ) \ к ) \ к
А 1х
Ьк = ак
( М И \ 2 ___^ __1
+ [ь- п ь + п +
к \к - 2 к + р ¿-Ак - 2 к + 2
\ 3 3 )
Согласно первому из этих равенств, а к есть целое число, делящееся на каждое простое р из промежутка [п/2] <р ^ к + [п/2]. Теперь из второго равенства следует включение dnЬк е Ъ. □
Следствие 2. Справедливо равенство dnО(1) = дп((3) — рп, где дп,рп — целые числа. Доказательство. Так как В(1) = 0, то О(1) = 2А(1)£(3) + ^(1). Из формул (5) и следствия 1 находим А(х) е Ъ[г],$пО(г) е Ъ[х]. Нужное утверждение выполняется с дп = 2dnА(1) и рп = —dnD(1). □
2. Рекуррентное уравнение. Далее будет доказано, что последовательность чисел
Гп = (—1)п Е (1) = (—1)п-1(2А(1)С(3) + Я(1)) (6)
^=1
удовлетворяет рекуррентному уравнению второго порядка. Для этого понадобятся некоторые тождества. Пусть Q(s) — какая-либо рациональная функция, не имеющая полюсов в точках 1, 2,.... Положим
те „ те те
= Е^ 1-=,= Е^»*"" - (7)
и=1 и=1 и=1
и обозначим буквой 5 дифференциальный оператор 5 = г-^. Для любого многочлена Р(х) £ С [ж] справедливо тождество Р(5)(г-в) = Р(—s)z-s. Поэтому
те я те а
и=1 и=1
В дальнейшем понадобится тождество, связывающее функции
те „ те те
СиМ = Е^ (Дим*-3) и= ЕО)^" -^Е ^мфл
и=1 и=1 и=1
Х-"
где п,у — целые положительные числа, а рациональные функции Ки^ (г) определены равенствами
«*.<•> = •-" Пт^т П'"*
(и)
s + k 11 s + k k=l k=l
Лемма 2. Пусть
ois) = s~2 nLi(^-fc) IILi('-*0
Пuk=\{s + k) nl~=\{s + k) и функция W(z) определена равенством (7). Тогда
n3Gu-i,v-i(z) + (u3 + 2u2v + 2uv2 + v3)Gu,v-i(z) + v3Gu,v(z) = 2(u + v)(z - 1)W(z). (9)
Доказательство. Положим
T(s) = 7-77-Щ-77-r, V(z) = У (T(s)z~s) . (10)
w (s - u)(s - v)(s + u)(s + v) ds v 7
Как легко проверить, справедливо тождество
u3(à - u)(5 - v) + (u3 + 2u2v + 2uv2 + v3)(S + u)(S - v)+ v3(5 + u)(S + v) = = 2(u + v)(S4 - (S - u)(S - v)(S + u)(S + v)).
Согласно (8), имеем
~ д
(ô - u)(ô - v)V(z) = Y, g~s {(s + u)(s + v)T(s)z~s) |s=iy= Gu_i,„_i(,z),
v=l
~ д
(5 + _ = u)(s + v)T(s)z~s) \s=v= Gu>v-i(z),
v=l ™ д
{5 + v){5 + ^)F(z) = E - {{s - v){s - v)T{s)z~s) |s=i/=
v=l
Поэтому левая часть (9) имеет вид P(S)V(z), где многочлен P(S) равен левой части тождества (11)
С помощью этого тождества получаем
~ д
P{5)V{z) =2{u + v)Y- ((S4 -{s- u)(s - v)(s + u)(s + v))T(s)z~s) \s=v.
v=l
Пользуясь равенством s4T(s) = Q(s + 1) и равенством (10), находим
~ д
P{5)V{z) =2(u + v)J2- (Q(s + 1) - Q(s))z~8) \a=v=
v=l
/ж я ж я \
= 2 (u + v)lzJ2- (Q(s)z~s) Е - (Q(s)z~') \a=v =2 (u + v)(z - l)W(z).
\ v=2 v=l J
Здесь было учтено, что функция Q(s) имеет в точке s = 1 нуль второго порядка. □
Сравнивая в тождестве (9) члены, не зависящие от log z, получаем
u3J2 R'u-iv-i(v)z-v + (u3 + 2u2v + 2uv2 + v3)J2 R'uv-l(v)z-v+
V=1 V=1
£ = 2(и + v)(z — 1) £ Q'(v)z-V.
v=1 v=1
Это тождество можно доказать, также сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х. Полагая в нем х = 1 и пользуясь тем, что Q'(v) = О^-2), получаем
Следствие 3. При любых целых положительных числах и, V выполняется равенство
те тете
^ Е Яи-м-1(1) + (и3 + 2и\ + 2^2 + V3) £ К'и^-1(1) + vгY^ К'и,
v=1 v=1 v=1
Следствие 4. Последовательность чисел гп, определенных равенствами (6), удовлетворяет рекуррентному уравнению
Гп+2 — (1 + 2ап + 2ап + а^Гп+1 + а^п = 0, п ^ 1, (13)
где ап = [Ц1] / . При этом п = 2((3) и г2 = 2((3) - 2.
Для доказательства достаточно положить и = и V = в равенстве (12). Значения Г\,Г2
можно найти с помощью равенства (6), раскладывая соответствующие функции Я(.в) в сумму простейших дробей и вычисляя многочлены А(х),0(х).
3. Теорема Пуанкаре и оценки. Следующее утверждение есть частный случай теоремы Пуанкаре (см. [7, гл. 5, § 5]).
Лемма 3. Начиная с некоторого номера все члены последовательности гп отличны от нуля. Кроме того,
Иш = (^/2-1)2.
■п^те гп
Доказательство. Докажем сначала, что последовательность гп стремится к нулю. При любых целых числах V ^ 1 и к ^ 1 выполняется неравенство ¡V — к\ < ¡V + к|. Поэтому из определения (1) следует оценка \Я^)\ ^ V-2. Заметим также, что Я^) = Я'^) = 0 при 1 ^ V ^ [(п — 1)/2]. Из равенства
Я'^) = Я(s) при V > [п/2] получаем
( га И \ ___-НП-___-
s ^ \s — к s + к; ^vs — к s + к/ к=1 к=1
V к=1
2 2 ln(2v + 1)
к=1
В случае V = [п/2] > [(п — 1)/2] также имеем
[(п-1)/2] 2 1
П
Из этих неравенств следует
, ъп м 21п^ + 1)
кк £ 1ВДК £ у2 •
^[п/2] ^[п/2]
Последняя сумма есть остаток сходящегося ряда, поэтому Ншп^те гп = 0.
С ростом п коэффициенты рекуррентного уравнения (13) стремятся к —6 и 1, так что предельное рекуррентное уравнение имеет вид хп+2 — 6хп+1 + хп = 0. Корни соответствующего ему характеристического многочлена х2 — 6х + 1 равны А1 = 3 + 2\[2 и Л2 = 3 — 2\[2.
Пусть 6 — произвольное число из интервала 0 < 6 < ^^ = 2\[2. Имеем
Гп+2 — 6Гп+1 + Гп = (1 + 2ап + 2ап + оП — 6)гп+1 — (ап — 1)гп
и, значит,
С1
\гп+2 -6гга+1 + гп| ^ — тах(|гп|,|гп+1|),
где С1 — некоторая абсолютная постоянная. В силу равенств
_ {гп+1 ~ А1 гп) - (гп+1 - Х2гп) _ Х2(гп+1 - Л1 гп) - \\{гп+1 - Л2гга)
гп — , , ) Гп+1 —
Л2 — М Л2 — М
можно написать также
С2
\гп+2 - 6гга+1 + гп\ ^ — тах(|гга+1 - \1Гп\, \гп+г - Х2гп|). Поэтому при любом п > П1, где П1 — некоторая постоянная, зависящая только от 5, выполняется оценка
\гп+2 — 6гп+1 + Гп\ <5 max(\rn+l — Л1 Гп\,\гп+1 — Л2Гп\). (14)
Предположим, что для некоторого п > П1 справедливо неравенство
\Гп+1 — Л1Гп\ < \Гп+1 — Л2Гп\. (15)
Поскольку
Гп+2 — 6Гп+1 + Гп = (Гп+2 — Л2 Гп+1) — Л1 (Гп+1 — Л2Гп) = (Гп+2 — Л1Гп+1) — Л2 (Гп+1 — Л1Гп), (16)
то в силу (14) и (15) находим
\ Гп+2 — Л2 Гп+1 \ > (Л1 — 5) \ Гп+1 — Л2Гп\, \Гп+2 — Л1Гп+1\ < (Л2 + 5) \ Гп+1 — Л2Гп\.
Согласно выбору 5, имеем Л1 — 5 > Л2 + 5 > 0, и, значит,
\Гп+2 — Л1Гп+1\ < \Гп+2 — Л2Гп+1 \.
Повторяя это рассуждение, приходим к заключению, что в рассматриваемом случае неравенство (15) выполняется для всех достаточно больших п. В частности, это означает, что при всех достаточно больших п члены последовательности Гп отличны от нуля и
Гп+1 , Л2 > Гп+1 , М
Гп Гп
Отсюда следует неравенство
Гп+1
Л^ = 2
которое справедливо для всех достаточно больших п. Это противоречит ограниченности последовательности Гп, которая, как это было доказано выше, стремится к нулю. Получившееся противоречие означает, что для любого п, превосходящего некоторую границу, выполняется неравенство
\Гп+1 — Л2Гп\ ^ \Гп+1 — Л1Гп\. (17)
Из равенства Гп+1 —Л1Гп = 0 следует Гп+1 —Л2Гп = 0, и так как числа Л1, Л2 различны, то Гп = Гп+1 = 0. Учитывая разностное уравнение (13), получаем тогда, что все члены последовательности Гк ,к ^ 1, равны нулю. Но это неверно, ведь п = 2((3). Итак, при всех достаточно больших п имеет место Гп+1 — Л1Гп = 0, и можно рассмотреть последовательность
_ \гп+1 ~ А2гга| \гп+1 ~ ^ГпУ
определенную при п > щ(5).
Докажем, что эта последовательность стремится к нулю. Из неравенства (14) и равенств (16) при всех достаточно больших п находим
\Гп+2 - ^2Ти+1\ > А1\т,п+1 - \2Тп\ - 5\Тп+1 - \\Ти\, \Гп+2 - ^\Гп+\\ < (А2 + 5)\т,п+1 - \\Тп\ и, значит,
А1 Уп - 5
уп+г > (18)
Из (17) следует, что последовательность Уп не превосходит 1, поэтому она имеет конечный верхний предел р = Нтп^ооУп. Применяя неравенство (18) к любой подпоследовательности уп, стремящейся к р, находим
Хгр - 5
9 " Л2 + <г
Положительное число 5 может быть выбрано сколь угодно малым, поэтому имеем неравенство р ^ А1Р/А2 и р = 0, так как А1 > А2. Равенство р = 0 означает, что Уп — 0. В частности, отсюда следует, что тп = 0 при всех достаточно больших п.
Из неравенства \А1Тп - Тп+1\ ^ (А1 - А2)\тп\ + \А2Тп - Тп+1 \ следует
Гп+1 . --Л2
< Vn(Al - А2) ^ 1-Vn
что завершает доказательство леммы 3. □
Следствие 5. Имеем Итга^оо \гп\1/п = (\/2 — I)2.
Доказательство. Выберем произвольное число е, удовлетворяющее неравенствам 0 < е < А2 = (\/2 — I)2. Тогда при любом п > пз(е) имеем
А2 - е <
Отсюда при любом целом k ^ 1 следует
Гп+1
< А2 + е.
\Тп\(А2 - е)к < \Тп+и\ < \Тп\(А2 + е)к. Извлекая из всех членов этих неравенств корень степени п + к и устремляя к к бесконечности, находим
Л2 - е < Ит„^оокп|1/га < Й^п^оо|г„|1/га < А2 + е.
Отсюда в силу произвольности е > 0 получаем нужное утверждение. □
Завершение доказательства теоремы. Поскольку е3(\/2 — I)4 = 0,59... < 16/25, то найдется такое положительное число е, что е3(1+е)/2(А2 + е) < 4/5.
По следствию 2 при любом п ^ 1 с некоторыми целыми рп, дп выполняется \дп((3) -рп\ = ^Щтп\. Если п достаточно велико, то, согласно асимптотическому закону распределения простых чисел, dn < пп(п/2) < е(1+е)'п/2. Кроме того, \тп\ < (А2 + е)п по следствию 5. Значит,
Ы(3) - Рп\ = ^п\Тп\ < (4/5)п
при всех достаточно больших п. Отсюда и из леммы 3 находим 0 < \дп((3) - рп\ — 0. Но тогда ((3) не может быть рациональным числом. □
п
r
п
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гельфонд А.О. Трансцендентные числа // Тр. II Всесоюз. матем. съезда. Т. I. Л.: 1934 (Гельфонд А. О. Избранные труды. М.: Наука, 1973. 57-75).
2. Apery R. Irrationalité de С(2) et С(3) // Asterisque. 1979. 61. 11-13.
3. Poorten A. van der. A proof that Euler missed — Appery's proof of the irrationality of С(3) // Math. Intell. 1979. 1. 195-203.
4. Beukers F. A note on the irrationality of С(2) and С(3) // Bull. London Math. Soc. 1979. 11. 268-272.
5. Сорокин В.Н. Теорема Апери // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1998. № 3. 48-52.
6. Нестеренко Ю.В. Некоторые замечания о ((3) // Матем. заметки. 1996. 59, № 6. 865-880.
7. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1967.
УДК 517.547.28
ЛОКАЛИЗАЦИЯ МАЛЫХ НУЛЕЙ СИНУС- И КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ ФИНИТНОЙ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ НЕУБЫВАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ
Пусть функция f интегрируема, положительна и не убывает в интервале (0,1). Тогда по теореме Пойа все нули соответствующих косинус- и синус-преобразований Фурье вещественны и просты, причем положительные нули лежат по одному соответственно в интервалах (п(п — 1/2),n(n + 1/2)), (nn,n(n + 1)), n G N. В случае синус-преобразований требуется, чтобы f не была ступенчатой функцией с рациональными точками разрыва. В данной статье нули функций с малыми номерами заключены в интервалы, являющиеся собственными подмножествами соответствующих интервалов Пойа. Как следствие получена локализация малых нулей функции Миттаг-Леффлера E1/2 —z2; ¡), ¡ G (1, 2)U (2, 3).
Ключевые слова: синус- и косинус-преобразование Фурье, нули целой функции, функция Миттаг-Леффлера.
Let a function f be integrable, positive, and nondecreasing in the interval (0,1). Then by Polya's theorem all zeros of the corresponding cosine- and sine-Fourier transforms are real and simple; in this case positive zeros lie in the intervals (n(n —1/2), n(n +1/2)), (nn, n(n +1)), n G N, respectively. In the case of the sine-transforms it is required that f cannot be a stepped function with retional discontinuity points. In this paper, zeros of the function with small numbers are included into intervals being proper subsets of the corresponding Polya intervals. A localization of small zeros of the Mittag-Leffler function £i/2(—z2; ¡i), ¡ G (1, 2) U (2, 3) is obtained as a corollary.
Key words: sine- and cosine-Fourier transform, zeros of entire function, Mittag-Leffler's function.
1. В разделах анализа, существенно использующих целые функции, например в спектральной теории, часто необходимо знать асимптотику нулей встречающихся по ходу дела целых функций. Однако в некоторых случаях не менее важной является задача о поведении малых нулей, т.е. нулей с малыми номерами при естественной нумерации в порядке неубывания модулей. Цель данной статьи состоит в том, чтобы локализовать малые нули косинус- и синус-преобразований Фурье функций, определенных в интервале (0,1), т.е. целых функций вида
Поступила в редакцию
01.12.2008
А. М. Седлецкий
1
(1)
V (z) = f (t)sin ztdt, (2)
где интегрируемая функция f положительна и не убывает.
1 Седлецкий Анатолий Мечиславович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: sedlet@mail.ru.