Разложение по системе сдвигов пирамидальных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

22

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №4

Работа частично поддержана грантами РФФИ № 08-01-91300-ИНД-а, 07-01-00648, 05-01-22002 НЦНИ,

грантом программы "Ведущие научные школы РФ" НШ-660.2008.1 и грантом программы "Национальные

научные проекты" 2.1.1.7988.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Арнольд В.И. Пространства функций с умеренными особенностями // Функц. анал. и его прил. 1989. 23, № 3. 1-10.

2. Бурман Ю.М. Теория Морса для функций двух переменных без критических точек // Функц. дифференц. уравнения. 1995. 3, № 1,2. 31-31.

3. Кудрявцева Е.А. Реализация гладких функций на поверхностях в виде функций высоты // Матем. сб. 1999. 190, № 3. 29-88.

4. Kudryavtseva E.A. Canonical form of Reeb graph for Morse functions on surfaces. Inversion of 2-sphere in 3-space // Int. J. Shape Modeling. 1999. 5, N 1. 69-80.

5. Шарко В.В. Функции на поверхностях. I // Некоторые проблемы современной математики; Тр. Матем. ин-та Укр. НАН / Под ред. В.В. Шарко. Т. 25. Киев: Наукова Думка, 1998. 408-434.

6. Maksymenko S.I. Path-components of Morse mappings spaces of surfaces // Comment. math. helv. 2005. 80. 655-690.

7. Kulinich E. V. On topologically equivalent Morse functions on surfaces // Methods Funct. Anal. Topology. 1998. 4, N 1. 59-64.

8. Maksymenko S.I. Homotopy types of stabilizers and orbits of Morse functions on surfaces // Ann. Global Anal. and Geom. 2006. 29. 241-285.

9. Фоменко А.Т., Цишанг Х. Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых гамильто-новых систем с двумя степенями свободы // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1990. 54, № 3. 546-575.

10. Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Траекторная эквивалентность интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Теорема классификации, I // Матем. сб. 1994. 185, № 4. 27-89; II // Там же. 1994. 185, № 5. 27-28.

11. Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Введение в топологию интегрируемых гамильтоновых систем. М.: Наука, 1997.

12. Кудрявцева Е.А. Устойчивые топологические и гладкие инварианты сопряженности гамильтоновых систем на поверхностях // Топологические методы в теории гамильтоновых систем / Под ред. А.Т. Фоменко и А.В. Бол-синова. М.: Факториал, 1998. 147-202.

13. Hirsch M. W. Differential topology // Graduate texts in Math. Vol. 33. Berlin: Springer, 1976.

14. Mather J. Stability of -mappings. II: Infinitesimal stability implies stability // Ann. Math. 1969. 89. 254-291.

15. Dehn M. Die Gruppe der Abbildungsklassen (Das arithmetische Feld auf Flächen) // Acta math. 1938. 69. 135-206.

16. Milnor J. Morse Theory. Princeton, N.J.: Princeton Univ. Press, 1963.

17. Bishop R.L., Crittenden R.J. Geometry of manifolds. N.Y., London: Acad. Press, 1964.

Поступила в редакцию 14.11.2008

УДК 517.518

РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СИСТЕМЕ СДВИГОВ ПИРАМИДАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

Т.П. Лукашенко1, С.М. Лыткин2

Предлагается метод приближения функций двух переменных линейной комбинацией неотрицательных кусочно-линейных функций с компактным носителем. Особенностью этого метода является "интегральный" способ вычисления коэффициентов. Доказывается, что точность приближения в пространствах непрерывных и интегрируемых функций по порядку совпадает с наилучшим приближением кусочно-плоскостными функциями.

Ключевые слова: кусочно-линейная функция двух переменных, компактный носитель, "интегральные" коэффициенты.

A method for approximation of functions of two variables by a linear combination of

1 Лукашенко Тарас Павлович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

2Лыткин Сергей Михайлович — асп. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №4

23

nonnegative piecewise linear functions with a compact support is presented. The crucial idea of this method consists in an "integral" calculation method for the coefficients. The accuracy of the approximation in the spaces of continuous and integrable functions is proved to have the same order as the best approximation by piecewise linear functions.

Key words: piecewise linear function of two variables, compact support, "integral" coefficients.

В статье [1] предложен метод разложения кусочно-линейных функций на отрезке по базису из функций с компактным носителем. Аппроксимационные свойства этого метода для функций из различных пространств описаны в [2]. В данной статье метод переносится на случай функций двух переменных.

Пусть имеется функция двух переменных /(ж, у), которая является интерпретацией некоторого сигнала, результатом измерения характеристик какого-либо процесса или обработки каких-либо данных. Задача состоит в том, чтобы приблизить в той или иной метрике функцию / кусочно-плоскостными функциями. Поскольку линейная функция двух переменных однозначно определяется по значениям в трех точках, находящихся в общем положении, удобно считать, что функция / задана на треугольнике Д1, разбитом на треугольные ячейки. Для осуществления излагаемого ниже метода необходимо, чтобы эти ячейки состояли из равных треугольников, получающихся делением каждой стороны треугольника Д1 на равные части и проведением че- Рис. 1

рез точки деления прямых, параллельных другим сторонам (рис. 1). Эта конструкция описана в [3, с. 227], где она применяется для приближения функций многочленами.

Пирамидальная функция определяется как непрерывная кусочно-линейная функция с носителем, сосредоточенным на шестиугольнике, получающемся объединением треугольников разбиения с общей вершиной, в которой пирамидальная функция равна 1. Тогда для решения задачи достаточно по функции / построить сумму линейной комбинации сдвигов пирамидальных функций с коэффициентами, равными значению функции в точке, соответствующей вершине пирамиды. Такой метод обладает свойством локальности: если функция / = 0 вне некоторой области, то носитель приближения будет сосредоточен в окрестности этой области. Для кусочно-плоскостной функции / мы таким образом получим разложение по системе сдвигов пирамидальной функции.

Однако у предложенного способа вычисления коэффициентов имеются некоторые недостатки. Во-первых, приближать этим методом имеет смысл лишь непрерывные функции. Во-вторых, если исходная функция / задана с некоторой ошибкой (например, измерительные приборы не совсем точны), то приближение может давать большую погрешность, из-за того что коэффициенты определяются по значениям в отдельных точках, возможно, неверным. Эти трудности могут быть преодолены, если будет найден "интегральный" способ вычисления коэффициентов, т.е. такой способ, при котором коэффициенты разложения определяются с помощью интегралов от некоторых функций по некоторым треугольникам. При этом коэффициенты для кусочно-плоскостных функций будут совпадать со старыми коэффициентами, вычисляемыми по значению функции в точке. Новый метод позволит расширить область применимости до интегрируемых функций. Кроме того, при некоторых предположениях о характере возникающих ошибок "интегральность" метода позволит погасить их.

Введем прямоугольную систему координат Оху таким образом, чтобы одна из вершин треугольника Д1 совпадала с началом координат, а одна из сторон лежала на оси Ох (рис. 2). Построим шестиугольник А1А2А3А4А5Аб, состоящий из шести треугольников Д^, к = 1,...,6, как показано на рис. 2. Треугольники Д3 и Д5 получаются сдвигами треугольника Д1, треугольник Д4 — отражением треугольника Д1 относительно начала координат, треугольники Д2 и Дб — сдвигами треугольника Д4. Все треугольники, которые вводятся в рассмотрение, считаются замкнутыми, если не оговорено противное.

Обозначим через п число отрезков, на которые делятся стороны треугольника Д1, через Т — совокупность треугольников, на которые разбивается треугольник Д1, а через (х^,у^),г = 0,...,п, ] = 0,...,п- г (нумерация по г ведется снизу вверх, по ] — слева направо), Количество этих вершин равно (п + 1)(п + 2)/2.

\У

ь Аг

/\ Дл / дзХ V \ / АХ (О .

Ч / X

у4/ ХАй/ X/

Л

Рис. 2

вершины треугольников А еТ.

Пусть вп = {/ е С(А1) : / (х,у) = а(А) + Ъ(А)х + с(А)у при (х,у) е А, А е Т} — пространство кусочно-плоскостных функций на треугольнике А1. Размерность линейного пространства Бп равна (п + 1)(п + 2)/2. Рассмотрим функцию двух переменных Ф(х,у), являющуюся линейной на каждом треугольнике Ак, к = 1,...,6, такую, что Ф(0, 0) = 1 и Ф(х, у) = 0 на границе шестиугольника А1А2А3 А4 А5А6 и вне его. Иными словами, функция Ф представляет собой пирамиду, в основании которой лежит шестиугольник, изображенный на рис. 2. Система функций Фц(х,у) = Ф(п(х — хц),п(у — уц)), г = 0,...,п, ] = 0,...,п — г, рассматриваемая на треугольнике А1, является базисом пространства Бп. Поэтому любую функцию / еБп можно единственным образом представить в виде

п п—г

/(х,у) = Фи(x,У), (х,у) е А1. (1)

г=0 ]=0

Очевидно, Сц = /(хц,уц), г = 0,...,п, ] = 0,...,п — г. Наша цель, как уже говорилось, состоит в нахождении других формул для вычисления этих коэффициентов.

Пусть (хц,уг3), г = 0,...,п, ] = 0,...,п — г, — вершина некоторых треугольников А е Т. Объединение треугольников А еТ с общей вершиной (хц ,уц) обозначим через Нц. Для внутренних точек Нц представляет собой шестиугольник, подобный тому, что изображен на рис. 2; для граничных точек, не являющихся угловыми, Нц — половина шестиугольника, содержащаяся в треугольнике А1, для угловых точек — единственный треугольник А еТ с вершиной в этой точке.

Через 5 обозначим площадь треугольника А1, через \Нц\ — площадь многоугольника Нц, г =

6

0,... ,п, ] = 0,... ,п — г. Для неграничных точек очевидно, = Щ. Положив Н = [] Дд.,

п к=1

имеем \Н\ = 65.

Теорема 1. Для всех / е Бп и (х,у) е А1 выполняется равенство (1), в котором коэффициенты вычисляются по формулам

сц = —]— 11 /(ж, у){ у) - 3)ёхёу, г = 0,..., п, ] = 0,..., п - г. (2)

\Нч и Зщ

Доказательство теоремы опирается на следующую лемму, которая устанавливается прямыми вычислениями.

Лемма 1. Для всех функций /, линейных на треугольнике Ак, к = 1,...,6, верно равенство 1

5 ././Ак

| Л /(ж, У){ 12Ф(ж, у) - Ъ)Шу = /(0, 0), к = 1,..., 6. (3)

Доказательство теоремы 1. Зафиксируем индексы г и ]: 1 ^ г ^ п — 1, 1 ^ ] ^ п — г — 1. Убедимся, что Сц = /(хц,угз). В самом деле, сделав в интеграле из (2) замену и = п(х — хц),ь = п(у — уц), имеем

Функция /(^ ^ -\~yij) является линейной на каждом из треугольников Ад,, к = 1,..., 6. С учетом (3)

получаем

= \ ¿^ \ 1/А ? + \ + У») (12ф(м>- = !(хц,уц).

— а а II •> \ ^ 1 у ^ 1 Уч / и) — J

к=1

Аналогичным образом это равенство доказывается для граничных коэффициентов. Обозначим двойную сумму из правой части (1) через Т/:

п п—г

Т/(х,у) = СИ Фгз (х,у), (х,у) е А1; (

г=0 з=0

коэффициенты вычисляются по формулам (2). Будем считать, что так задан линейный оператор Т на некотором функциональном пространстве. Образом этого оператора является конечномерное пространство Бп, следовательно, он ограничен. Приведем оценки для нормы оператора Т для пространств Ьр(А1), 1 ^ р ^ то.

Положим а(х,у) = 2Ф(х,у) — При q ^ 1 обозначим ||а||д = (д-), |М|оо = ess sup \a(x,y)\.

4 (x,v)en

Непосредственный подсчет показывает, что справедлива Лемма 2. Пусть 1 ^ q < ос, ^ + ^ = 1. Тогда

1 w3g+2_x i ч! ! !

||а||9 = 3^6" ^ - В(2, q + 1) + ^^у) ' = 6~CqS«, (6)

где B(s,t) — бета-функция Эйлера. Теорема 2. Если f £ L«,(A1), то

19

llT/lloo^Cill/lloo = -11/11«,. (7)

В частном случае при f £ C(Ai)

19

Г/||00 = ||Г/||С(д1)<-||/||С(д1). (8)

Доказательство. Поскольку непрерывная функция Т/ является линейной на каждом треугольнике А еТ, она достигает наибольшего и наименьшего значений в вершинах треугольника А. Учитывая, что Т1(хгз ,Угз) = сгз, г = 0,... ,п, ] =0,...,п — г, имеем

\\TfWo = \\Т/\\Ж> = тех \огз\.

О^^п—г

Для неграничных коэффициентов, используя (4), получим

1 I „/и v

- Xi

IcijK ^esssuP\fG+xij,z; + yij)\ ¡1 a(u,v)dudv < ^||a||i||/||Loo(Al). S (u,v)eH n n JJh S

Для / £ С(Д1) последнюю норму в Ь^ следует заменить на непрерывную. Как видно из (6), =

С\ = Для граничных коэффициентов оценка проводится схожим образом.

Оценки (7) и (8) являются точными. В самом деле, зафиксируем г, ], 0 ^ г ^ п, 0 ^ ] ^ п — г. Положив /(х,у) = sgn (4Фу (х,у) — 1) при (х,у) £ Н^ и / = 0 на оставшейся части треугольника А1,

получим функцию / £ Ьоо^А^, ||/||оо = 1- Согласно (2), с^ = = Следовательно, ЦТ/Цоо =

В непрерывном случае необходимо слегка подправить функцию /, чтобы она стала непрерывной на треугольнике Д1. Точного равенства ||Т/||с = ^ мы не получим, однако для любого е > 0 найдутся 5 > 0 и функция £ С(Д1) с нормой ||/г||с = 1, такие, что \\TfsWc = ^ ~ е. □

Обозначим через Еп(/) = \\/ — ^НсСДЛ наилучшее приближение функции / £ С(А1) пространней

ством Бп.

Следствие 1. Для всех / £ С (А1) выполняется оценка

27

^-/Цссдо^-д-ад).

Теорема 3. Если / е ЬР(А{), 1 < р < ос, ^ + ^ = 1, то

\\TfWp < С\\/\\р, (9)

величина Ся определена в (6).

Доказательство. Используя явное представление (5) для оператора Т, запишем

n n—г „ „ n n—г

1 Р

wTf\\pP = EE(*,y)\l = £ //|EE(x,y)

i=o j=o AeT Д i=oj=o

dxdy.

На каждом треугольнике А € Т только три функции из системы функций Фу, г = 0,...,п, ] = 0,...,п-г, отличны от нуля. Обозначим их

фа, фА, фа,

а соответствующие им коэффициенты обозначим ед, ед, ед. Применяя неравенство Йенсена (у нас ФА(х, у)+Фд(х, у) + ФА(х,у) = 1 при (х,у) € А), имеем

ЦТ/Гр = Е //К ФНх,у) + е£ф£(х,у)+е£ф£(х,у) АеТ

р

йхйу ^

А

3

Ает д к=1 Ает

Нетрудно видеть, что в последнем выражении среди коэффициентов еА, еА, еА встречаются все коэффициенты еу, г = 0,...,п, ] = 0,...,п — г, причем коэффициенты еу, отвечающие внутренним точкам (хху,уу) треугольника А1, встречаются шесть раз; граничные коэффициенты, не являющиеся угловыми, встречаются три раза, угловые — один раз. Таким образом, наша оценка приобретает вид

п—1 п-г-1 п—1

\\Tfwi < 5^(2е Е мр + Е(ыр + + + з(1с°°1р + ыр + КоГ)). (ю)

г=1 у=1 г=1

Чтобы оценить \еу |р, г = 1,...,п — 1, ] = 1,...,п — г — 1, применим к формуле (2) неравенство Гельдера

\Са\Р ^ [[ \1{х,у)\Р(1х<1у.

и и И^

Граничные неугловые коэффициенты оцениваются последним выражением, умноженным на 2, угловые коэффициенты — умноженным на 6. Подставим эту оценку в (10). В процессе суммирования интеграл от функции \/\р берется трижды по каждому треугольнику А € Т. Окончательно получаем

||Г/||р<бр5"||а||9||/||р = С91|Л|р.

С помощью неравенства Гельдера легко устанавливается, что величина Од возрастает как функция от д и соответственно убывает как функция от р от значения 9 при р = 1 до значения ^ при р = то. □ Обозначим через ЁП(/) = ш1 ||/ — з||р, 1 ^ р ^ то, наилучшее приближение функции / € Ьр(А1)

пространством Бп.

Следствие 2. Если / е ЬР(А{), 1 < р < то, ± + ± = 1, то ЦТ/ - ¡\\р < (1 + Сд)Ерп(Л-Оценка (9), очевидно, справедлива и при р = 1 с О= 9. Однако эту оценку можно улучшить. Теорема 4. Пусть / € Ь1(А1). Тогда ||т/|1 < 5/1|1.

Доказательство. Оператор (5) является интегральным оператором вида

А

с ядром

п п- г 1

Т/(х,у) = !! /(и,у)К(х,у; и,у)йийу

К(х, у, и, у) = ЕЕТТГТ фч(х^У){12фч(и^) ~ 3)хн^(и,у).

„•-П о-п \Пу \

г=0 у=0

Норма оператора Т как оператора из ^(А1) в Ь1(А1) равна (см., например, [4, с. 441]) ЦТ!ь1^ь1 = || //а1 \К(х,у; и,у)\(1х(1уЦж. Выражение под знаком нормы оценим следующим образом:

п п- г 1 | |

-1А1 .¡.¡Аг г=0 у=0 \пг] \

п п- г

= Е И14фа(и,у) — Ахиц (и,У).

г=0 у=0

Нетрудно видеть, что норма последней величины в Ь(Х)(А1) равна 5. □

Следствие 3. Если / е Ь1(А1), то \\Т/ - /\\1 < 6Е1п(/).

Если рассматривать непрерывно дифференцируемые функции /, то частные производные функции Т/, будучи кусочно-постоянными функциями, будут приближать частные производные функции / на каждой ячейке разбиения. Ограничимся случаем, когда угол А1ОА2 прямой. Длину стороны ОА1 обозначим через а, длину стороны ОА2 — через Ь. В следующей теореме множество Т считается состоящим из открытых треугольных ячеек.

Теорема 5. Пусть / е С 1(А1). Тогда для каждого треугольника А еТ

дх дху ' с(Д)^ 8 Чдх п ) ду дук ' с(Д) 8 Чду п)

где ux(g,S)= sup \g(x + h,y) — g(x,y)\, Шу(g,S) = sup \g(x,y + h) — g(x,y)\.

0<h^S 0<h^S

Доказательство. Пусть для определенности А является внутренним для треугольника Ai и получается из последнего сдвигом и сжатием. Пусть вершинами треугольника А служат точки

. . (ia jb\ . . (ia (j + 1)b\ , . ((i + 1)a jb\

при некоторых i и j, 1 ^ i < n — 1, 1 ^ j < n — i — 1. При (u, v) E А имеем

jjH {fix + ^y) - f(x>y))(12®v(x,y) -3)dxdy, (11)

= jjH (f{x,y + ^)-f(x,y))(124>l3(x,y)-3)dxdy. (12)

43

По формуле Лагранжа

Так как, очевидно,

\ 3 \ «/ «/ Щ

то, вычитая (13) из (11), а (14) из (12), с учетом леммы 2 получаем искомые оценки. □

Часто требуется рассматривать функции двух переменных не на треугольнике, а на прямоугольнике или квадрате. С этой целью модифицируем изложенный выше метод, достроив треугольник А1 до параллелограмма ОА1ВА2. Точки (хз,уз) и функции Фу (х,у) определяются так же, как и раньше, но индексы пробегают значения 0 ^ г, ] ^ п. Положим

n n

Т/(х, у) = Сгз Фгз (х,у), (х,у) е ОА1ВА2,

г=0 3=0

коэффициенты Сгз вычисляются по формуле (2). Для определенного таким образом оператора Т/, представляющего собой кусочно-плоскостную функцию на параллелограмме ОА1ВА2 (на прямоугольнике, если угол А1ОА2 прямой), выполняются аналогичные утверждения с соответствующими заменами треугольников на параллелограммы в формулировках.

Работа выполнена по контракту между ИМИСС МГУ и Федеральным агентством по науке и инновациям № 02.522.11.2008 от 18 мая 2007 г.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лукашенко Т.П. О новых системах разложения и их свойствах // Чебышевский сборник. Т. 5. Вып. 2. Тула: ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 2004. 77-78.

2. Лыткин С.М. Разложение по системе всплесков B-сплайна первого порядка // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 13-й Саратов. зимней школы. Саратов: Научная книга, 2006. 111-112.

3. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987.

4. Кашин Б.С., Саакян A.A. Ортогональные ряды. М.: Наука, 1984.

Поступила в редакцию 25.11.2008

УДК 511.31, 511.36

ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ Z(3)

Ю. В. Нестеренко1

Статья содержит элементарное доказательство иррациональности Z(3), которое основано на последовательности рациональных приближений к этому числу, в два раза более плотной, чем в оригинальном доказательстве Апери.

Ключевые слова: иррациональность, дзета-функция, рекуррентные последовательности.

An elementary proof of the irrationality of Z(3) is presented. The proof is based on a two times more dense sequence of diophantine approximations to this number than the sequence in the original proof of Apery.

Key words: irrationality, zeta-values, recurrence.

Еще Эйлер установил, что значения дзета-функции Римана

V=1

в четных положительных точках могут быть выражены через п, а именно

где B2k £ Q — числа Бернулли, определяемые рекуррентным образом с помощью соотношения

£ (П + 1 Br = 0, n = 1, 2,...,

r=0 /

и условия Bo = 1. Так, например, Z(2) = п2/6,Z(4) = п4/90.

В силу трансцендентности п можно утверждать, что все числа Z(2k),k ^ 1, трансцендентны. Вопрос об арифметической природе значений дзета-функции в нечетных точках в литературе впервые был поставлен в 1934 г. А. О. Гельфондом [1]. В 1978 г. Р. Апери [2] удалось доказать иррациональность Z(3). Апери опубликовал лишь краткий набросок доказательства этого утверждения. Детали были восстановлены Д. Загиром, А. Коэном и А. Ван-дер-Поортеном [3]. Иные варианты доказательств можно найти в

1 Нестеренко Юрий Валентинович — доктор физ.-мат. наук, проф., чл.-корр. РАН, зав. каф. теории чисел механико-математического ф-та МГУ, e-mail: [email protected].