Разложение по системе сдвигов пирамидальных функций с квадратным основанием Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 517.518

РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СИСТЕМЕ СДВИГОВ ПИРАМИДАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

С КВАДРАТНЫМ ОСНОВАНИЕМ

С. М. Лыткин1

Предлагается метод приближения функций двух переменных линейной комбинацией неотрицательных кусочно-линейных функций с компактным носителем. В качестве порождающих функций для системы сдвигов берутся две пирамидальные функции с квадратным основанием. Этот метод обладает свойством локальности, тогда как точность приближения по порядку совпадает с точностью наилучшего приближения кусочно-плоскостными функциями.

Ключевые слова: кусочно-линейная функция двух переменных, компактный носитель, наилучшее приближение.

A method for approximation of functions of two variables by a linear combination of normegative piecewise linear functions with a compact support is presented. Two quadratic pyramids are used as generating functions for the system of shifts. The accuracy of this local method is proved to have the same order as the best approximation by piecewise linear functions.

Key words: piecewise linear function of two variables, compact support, the best approximation.

В статье [1] описан метод аппроксимации сдвигами одной пирамидальной функции с шестиугольным основанием. В данной работе излагается модификация этого метода.

Пусть □ = {(ж, y): max{|x|, |y|} ^ 1} О = {(ж, y): |ж| + |y| ^ 1} (рис. 1). Через и Фо обозначим непрерывные кусочно-линейные функции с носителями, сосредоточенными на квадратах □ и О, которые обозначены на рис. 1 сплошной и пунктирной линиями соответственно; графиками этих функций являются правильные пирамиды с основаниями □ и О. Точнее,

1 — |ж|, если 0 ^ |y| ^ |ж| ^ 1;

Ф^(ж,у) = < 1 —

если 0 ^ |ж| ^ |y| ^ 1; Фо(ж,у) =

1 — |ж| — |y|, если |ж| +

0,

0, если (ж, у) £ □,

Для сдвигов произвольной функции Ф(ж,у) введем следующие обозначения:

Ф^(ж,у) = Ф(ж - 1, у), Ф^(ж,у) = Ф(ж - 1, у - 1), Ф^ж, у) = Ф(ж, у - 1), Ф^(ж, у) = Ф(ж + 1, у - 1), Ф^(ж, у) = Ф(ж + 1,у), Ф^(ж, у) = Ф(ж + 1, у + 1), Ф4(ж, у) = Ф(ж, у + 1), Фд(ж, у) = Ф(ж - 1, у + 1).

Скалярное произведение функций /, д £ .¿2 (К2) обозначим через

если |ж| +

< 1; > 1.

(f, g) = J J f (ж, y) д(ж, y) ^ж dy.

R2

/д

интегрирование ведется здесь фактически по ограниченной области. Нетрудно проверить, что выполняются следующие равенства:

у, 1

✓ / ✓ * * ✓ * ✓ ✓ * ✓ * ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч

-1 ч \ \ \ \ \ \ \ N \ ч ч 0 ✓ ✓ ✓ У / ✓ / ✓ ✓ ✓ 1 д:

-1

Рис. 1

1 Лыткин Сергей Михайлович капд. физ.-мат. паук, доцепт каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ. е-шаП:

вещешЮгашЫег.ги.

36 36 33 33

= (фп, ф^) = (фп, ф^) = (фп, ф^) = (фп, ф^) = (фп, ФТ) = (фп, ф^) = (фп, ф+) =

1 12'

Будем рассматривать функции на прямоугольной области

Е = [а, Ь] х [с, й], —те ^ а < Ь ^ те, —те ^ с < й ^ те.

В случае ограниченности прямоугольника Е по какой-либо координате предположим, что (Ь — а)Ж и (й — с)Ж являются целыми числами, где N > 1 — фиксированное натуральное число. Разобьем каждую сторону прямоугольника Е на равные отрезки длины (что возможно в силу вышеуказанных допущений), обозначив точки разбиения промежутков [а, Ь] и [с, й] через {х^} и {у^} соответственно. Множество точек (хг,yj), принадлежащих Е, обозначим через V; соответствующее множество индексов будем обозначать через X: X = {(г, ;) € Z2 : (хг, yj) € V}. В частности, если Е = М2, то X = Ъ2.

Сожмем функции Фп и Фо в N раз по каждой координате и опреде-Е

ций:

Фг? (х,У) =

Ф□(N(х — хг), N(y — yj)), если г + ; четно; Фо^(х — хг)^(у — yj)), если г + ; нечетно,

(1)

(г,;) € X. Квадратные носители функций из этой системы разбивают М2

множество этих треугольных ячеек через Т. Вершинами ячеек из Т являются точки множества V, над каждой из которых находится вершина пирамиды функции Ф^. В зависимости от вида основания этой пирами-Рис. 2 ды точки из множества V делятся та два типа — □ и О, обозначенные

на рис. 2 сплошной и пунктирной линиями соответственно. Линейная оболочка системы (1) совпадает с пространством Бм непрерывных на Е, кусочно-плоскостных функций, линейных на каждой ячейке из Т. Поскольку функция / € Бм определяется своими значениями в точках из V, то, полагая с^- = /(xi,yj), (г,;) € X, получим разложение

/(х,у)= cijфч(x,у), (х,у) е е-(г,j)ex

(2)

При таком задании коэффициентов правую часть равенства (2) можно рассматривать как линейный оператор, определенный, скажем, на пространстве непрерывных функций. Однако, как указано в статье [1], в некоторых случаях удобнее использовать не дискретный, а непрерывный ("интегральный") способ вычисления коэффициентов. Такой способ приведен в упомянутой статье для разложения по сдвигам пирамид с шестиугольным основанием; аналогичный способ для сдвигов пирамид Фп и Ф^ изложен ниже.

Пусть И^ = виррФу, а | — площадь многоугольника И^, (г,;) € X. Для / € Ь\(Е) положим

1

И \

i! /(х,у)(12фч-(х, у) — 3) йх йу, (г,;) €Х.

(3)

Н

Определим линейный оператор Т: ^(Е) ^ Бм следующим образом:

Т/(х,у)= Фij(х,у);

(г,j)ex

коэффициенты с^- здесь и далее вычисляются по формулам (3). Теорема 1. Для всех / € Бм выполняется равепет,во Т/ = /.

щ =

Доказательство. Так как кусочно-линейная функция из пространства определяется значениями в точках множества V, то достаточно доказать, что /(ж^у,) = ТДж^у,-) при (ж^у,) £ V. Последнее же равенство в силу единственности представления (2) и линейности оператора Т достаточно проверить для функций из системы (1). Итак, проверим, что при фиксированном (к, 1) £ I для всех пар (г, л) £ I имеет место соотношение

, л ^ , \ |1, если (г,Л) = (к,1);

су = ТФы(жг,у,) = Фы(ж*,у,-) = 5к5] = I '

I 0, если (г,л) = (к, /).

Если (к, 1) = (г, л) и точка (ж^у,) не является граничной для множества Е, то, сделав в интеграле (3) замену и = N (ж - ж^), V = N (у - у,), имеем

1 ff 12 3

щ II Фп(и,у)(12Фп(и,у) -3)dudv = щ(Фп,Фп) - щ.

если i + j четно, и

1 [ [ 12 3

сц = уу Фо(и,и)(12Фо(и,г;) -Ъ)йийу = щ(Ф0,Фо) - = Х>

о

если г + л нечетно. Нетрудно проверить, перебрав несколько частных случаев, что для граничных точек (если таковые имеются) та же замена переменных приводит к аналогичному результату.

Осталось доказать, что с, = 0, есл и / (ж, у) = Фы(ж,у) и (к,1) = (г,л). Это очевидно для пар (к, 1), таких, что |к - г| > 1 ми |1 - Л > 1, ибо в этом случае носители функций Фу и Фи пересекаются по множеству меры нуль. Оставшиеся нетривиальные варианты сводятся к двум случаям: |к - г| = |1 - л | = 1 и |к - г| + |1 - л| = 1 (в обоих случаях г + Л четно). Например, если к = г + 1 1 = Л + 1 и точки (ж^, у,) и (жк, уг) неграничные, то

-г]

Щ II ~3)dudv = 12(Фп|Фа )—I

Аналогично при k = i + 1 l = j имеем для неграничных точек

^ -Щ JJ ^(u,v)(l2<S>D(u,v)-3)dudv = ^(Ф^Фо)"1

□

В случае граничных индексов подынтегральная функция отличается только множителем, поэтому для

□

Приведем оценки нормы оператора T для пространств Lp, 1 ^ p ^ те.

Положим Ф^(ж,у) = 4Ф^(ж,у) — 1, Фо(ж,у) = 4Фо(ж,у) — 1. При q ^ 1 обозначим ||Ф^||д = ||Ф^||ь?(□}) ||Фо||д = || Фо (о)- Непосредственный подсчет показывает, что справедлива Лемма. Пусть 1 ^ q < ос, ^ + ^ = 1. Тогда

1 / з?+2 — 1 \

Ы| = 2С„ ||*,И!=С„ С, = — (ij^ + l). (5)

Теорема 2. Если f £ L^(E); mo

19

Цт/lU^-ll/lU. (6)

Доказательство. Поскольку непрерывная функция Tf является линейной на каждом треугольнике А £ T, она достигает наибольшего и наименьшего значений в вершинах треугольника А. Учитывая, что Tf (жг, yj) = ] (i, j) £ I, имеем

||Tf|U = sup |Cij|. (i,j)ex

С помощью соотношений (5) при д = 1 нетрудно получить путем замены п = N (х — х^), V = N (у — у,), что для всех (г,;) € X справедливо равенство

1 г г 3 3 19

щ-^Ц |12Фг,(Ж,у)-3|^^ = -||Фа||1 = -||Фо||1 = у, (7)

применяя которое к формуле для коэффициентов (3), окончательно получаем

19

уу |12Фу(ж, у) — 3| <1х йу = —||/||оо, (1,3) е1.

Оценка (6) является точной. В самом деле, зафиксируем внутреннюю точку (х^, у,) € Е. Положив

/(х, у) = 8§п (4Ф,(х, у) — 1) при (х, у) € И, и / = 0 на оставшейся части множества Е, получим функцию

/ е Ьоо(Е), Н/Ноо = 1. Согласно (7), с^- = следовательно, ЦТ/Цоо = □

Обозначим через Ем(/) = 1п£ ||/ — 5||ьто(Е) наилучшее приближение функции / € £те(Е) пространней

ством

Следствие 1. Для всеж / € Ь^Е) выполняется оценка ЦТ/ — /Цоо ^ ^Елг(/). Теорема 3. Если / е ЬР(Е), 1 < р < оо, | + | = 1, то

||Т/||р < Ад||/||р, (8)

„ 1 где = ±- 2

р Сд, величина Сд определена в (5).

Т

р

йхйу.

||Т/|р = || Е с,Ф,(х,у)|£ = Е \ Е с,Ф,(х,у) (г,,)ех Дет -д (г,,-)€Х

На каждом треугольнике А € Т только три функции из системы (1) отличны от нуля, причем две из них имеют тип Фп, а одна — тип Ф^. Обозначим их фД, фД, фД, а соответствующие им коэффициенты обозначим через сд, сд, сд. Так как Фд(х,у) + Фд(х,у) + Фд(х,у) = 1 при (х,у) € А, то, используя неравенство Иенсена (см., например, [2, ч. I, с. 289]), имеем

||Т/||Р = Е//\сД ФД(х, у) + сДфД(х,у)+ сДфД(х,у) Дет

р

йхйу ^

д

3

< Е //£(|<£гф£(®, »))<***» = ^ Е + + (9)

дет д к=1 дет

Применяя неравенство Гёльдера (см. [3, с. 97]) к интегралу (3), получим

Ы < ||/|//^яда!!!/!!^.), (ю)

где величина И (д) зависит также от расположения точки (х^, у,). Нехитрые подсчеты показывают, что

1

= для внутренних вершин типа О и граничных неугловых вершин типа □;

Н(д) = ^ ■ 2 ч Сд для внутренних вершин типа □;

¿Г 2

= 3-2 ^Сд для граничных неугловых вершин типа О и угловых вершин типа □; Н(д) = 6-4 чСд для угловых вершин типа О.

Множество треугольных ячеек Т устроено так, что к внутренним для множества Е точкам из V, в

□

вершины пирамид типа О, — четыре ячейки. Для граничных точек, не являющихся угловыми, это соотношение равно четырем и двум соответственно, для угловых — двум и единице. Таким образом, если, например, Е = М2, то оценка (9) приобретает вид

\ i+j=2k i+j=2k+1 ) 4 i+j=2k 4 7 Е (f)4n/ii!U,>) = Е2 (Н'и/ии = 2 (N

])Ч||/11!и,>) = Е2 (|^)'и/ии> = 2- ОКГ»«-

1+]=2к+\ х у 7 дет

Е

ставлять соответствующее из вышеперечисленных значений величины Н(д). Во всех случаях указанным для Е = М2 методом получается та же самая итоговая щенка (8). □

Обозначим через Ер(/) = И ||/ — з||р, 1 ^ р ^ те, наилучшее приближение функции / £ Ьр(Е)

пространством

Следствие 2. Если / € ЬР(Е), 1 < р < оо, ± + ± = 1, то ЦТ/ - /||р < (1 + Д,)^/). Оценка (8), очевидно, справедлива и при р = 1 с = 9. Однако эту оценку можно улучшить. Теорема 4. Пусть / £ ¿1 (Е). Тогда ||Т/||1 < 5||/||ь

Доказательство. Оператор (4) является интегральным оператором вида

T№,y) = // / («,«)* (x,y; «.ЮЛА

с ядром

К(х,у;и,у)= ТТГ1фгз(х^У){12фгз(и^) - $)ХНц(и,у).

(г,лет Н1

Норма оператора Т как оператора из ^(Е) в ¿1(Е) равна (см., например, [4, с. 441]) ||Т||ы1 ^ы = У//е |К (ж, у; и, -и)|^ж^у||те. Выражение иод знаком нормы оценим следующим образом:

JJ \К(х,у,и,у)\гШу < JJ ^ —Ф^(ж,2/)|12Ф^(и,г;) - ^^у =

= Е 14фг^ (и,и) — 1| ХИц

(г,з)€1

На каждой треугольной ячейке из множества Т функция из правой части последнего равенства является кусочно-линейной и оценивается одинаковым образом. Детальное рассмотрение на фиксированной ячейке показывает, что она достигает в точках множества Р максимального значения, равного 5. Следствие 3. Если / £ ¿1 (Е), то ||Т/ — /1|1 < бЕ^(/).

Автор выражает признательность профессору Т. П. Лукашенко за высказанную им в частной беседе идею, которая в конечном итоге привела к написанию данной статьи.

Работа выполнена при финансовой поддержке программы "Ведущие научные школы РФ", проект НШ-3252.2010.1.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лукашенко Т.П., Лыгпкин С.М. Разложение по системе сдвигов пирамидальных функций // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2009. № 4. 22-28.

2. Зорин В.А. Математический анализ. М.: МЦНМО, 2002.

3. Дьяченко М.И., Ульянов П.Л. Мера и интеграл. М.: Факториал, 1998.

4. Кашин Б. С., Саакян A.A. Ортогональные ряды. М.: Наука, 1984.

Поступила в редакцию 16.01.2012