CC BY
10ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2018. №4
9
3. Герасимова О.В., Размыслов Ю.П. Неаффинных дифференциально-алгебраических кривых не существует // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2017. № 3. 3-8.
4. Размыслов Ю.П. Законы катящихся симплексов // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2012. № 6. 55-58.
5. Герасимова О.В. Rolling simplexes and their commensurability, II (лемма о директрисе и фокусе) // Фунд. и прикл. матем. 2014. 19, вып. 1. 13-19.
6. Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии. М.: МЦНМО, 2007.
7. Pogudin G.A. A differential analog of the Noether normalization lemma // Int. Math. Res. Notices. 2016. 191, N 4. 1177-1199.
8. Kolchin E.R. Differential algebra and algebraic groups. Academic Press, 1973.
9. Pogudin G-А. The primitive element theorem for differential fields with zero derivation on the base field // J. Pure and Appl. Algebra. 2015. 219, N 9. 4035-4041.
10. Razmyslov Yu.P. An explanation (field equations in accordance with Tycho Brahe) //J. Math. Sci. 2013. 191, N 5. 726-742.
Поступила в редакцию 06.09.2017
УДК 519.21, 519.872
ЭКСТРЕМУМЫ В ON/OFF-МОДЕЛЯХ телетрафика ПРИ ПОСТОЯННОМ И ПЕРИОДИЧЕСКОМ ИЗМЕРЕНИЯХ
А. В. Лебедев1
Изучается асимптотическое поведение экстремумов интенсивности потока в ON/OFF-моделях телетрафика при постоянном и периодическом измерениях. Предполагается, что интенсивность каждого источника имеет распределение с тяжелым (правильно меняющимся) хвостом. Получены совместное предельное распределение для максимумов с общей линейной нормировкой, маргинальные распределения и распределение отношения максимумов. Вычислен экстремальный индекс для последовательности периодических измерений.
Ключевые слова: ON/OFF-модели, телетрафик, тяжелые хвосты, экстремумы, экстремальный индекс.
The asymptotic behavior of stream intensity extreme values in ON/OFF models of teletraffic under permanent and periodic measurements is studied. It is assumed that the intensity of each source has a distribution with a heavy (regularly varying) tail. A joint limiting distribution for maxima with a common linear normalization, marginal distributions and the distribution of the maxima ratio are obtained. The extremal index for a sequence of periodic measurements is calculated.
Key words: ON/OFF models, teletraffic, heavy tails, extreme values, extremal index.
1. Введение. Для описания ряда явлений, характерных для информационных потоков в компьютерных сетях (самоподобие, долговременная зависимость и т.п.), вводятся так называемые ON/OFF-модели. А именно предполагается, что общий поток создается множеством источников, каждый из которых включается в случайный момент на случайное время независимо от других и дает поток единичной интенсивности. В пределе, когда источников очень много, можно считать, что моменты их включения образуют пуассоновский поток. Долговременная зависимость — это результат того, что распределение продолжительности работы источника имеет правильно меняющийся хвост с показателем в интервале (1, 2), так что среднее конечно, но нет дисперсии. Фактически суммарный поток описывается процессом числа заявок в некоторой системе M[1]. В более общей модели каждый источник независимо от других создает поток случайной интенсивности, величина которой также может иметь распределение с правильно меняющимся хвостом. Подобные процессы
1 Лебедев Алексей Викторович — доктор физ.-мат. наук, доцент каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: avlebed@yandex.ru.
10
ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2018. №4
рассматривались, например, в [2] (как разновидность пуассоновского дробового шума). Современный обзор моделей телетрафика, их приложения и обширная библиография представлены в [3]. Отметим также более ранние [4, 5] и более поздние [6, 7] работы по тематике.
В работе [2] изучался в основном процесс суммарного объема переданной информации (интегральный по отношению к интенсивности потока). Для него доказаны различные предельные теоремы. Здесь же мы обратим свое внимание не на интегральные характеристики, а на экстремумы (максимумы).
Отметим, что экстремумам в моделях телетрафика посвящены, например, работы [8, 9].
Предположим, что поток можно измерять постоянно или периодически (например, через единичные промежутки времени). Понятно, что на любое измерение требуется конечное время (например, оценивается объем информации, проходящей за секунду), однако мы полагаем это время малым по сравнению с основной единицей времени и считаем измерение мгновенным. Нас интересует асимптотическое поведение максимумов потока при постоянном и периодическом измерениях. Получены их совместное предельное распределение с единой линейной нормировкой, маргинальные предельные распределения, различающиеся лишь масштабным множителем, и предельное распределение отношения максимумов. Кроме того, в работе вычислен экстремальный индекс в для последовательности периодических измерений. Наличие такого индекса означает, в частности, что максимум п членов последовательности ведет себя асимптотически (при п — то) как максимум вп независимых случайных величин с тем же распределением. При в € (0,1) превышения высокого уровня образуют группы (кластеры) со средним размером 1/в. Эта проблематика изучается теорией экстремумов [9-11].
2. Основные предположения модели. Рассмотрим процесс
<х
X(t) = Y, tkI{0 < t - Tk <nk}, k=l
где Tk — момент включения k-го источника, tk — его интенсивность, Пк — продолжительность его работы. Предполагается, что моменты Tk, k ^ 1, образуют пуассоновский поток интенсивности Л. Интенсивность и продолжительность работы каждого источника независимы между собой, они не зависят от момента его включения.
Введем обозначения для максимумов при постоянном (на отрезке времени [0,п]) и периодическом (в моменты 1, 2,... ,п) измерениях процесса2:
n
Yn = sup X (t), Zn = V X (m). ie[M m=1
Далее будем полагать, что интенсивность источника имеет распределение А с правильно меняющимся хвостом, т.е. A(x) ~ x-aL(x), x — то, а > 0, L — медленно меняющаяся функция [12, гл. VIII, § 8].
Пусть длительность работы источника имеет распределение B со средним в < то и выполнено 0 < B(1 — 0) < 1. Введем величину
Y = B(t) dt, o
тогда верно 0 < y < 1, y ^ в.
При сделанных предположениях изучается поведение максимумов Yn, Zn при n — то.
3. Результаты и комментарии. Докажем следующие теоремы и их следствия.
Теорема 1. Последовательность X(п), п ^ 1, сходится по распределению: X(п) -— X*, п — то,
где
p(X* > x) ~ ЛвА(х), x — то. (1)
Доказательство. Число источников, которые включены на момент времени п (как и число заявок в системе М|С|то), распределено по закону Пуассона с параметром
г п
Рп = \ ад си. ./0
2Символом V далее обозначается максимум, а символом Л — минимум.
Поскольку в < то, в пределе при п ^ то получаем пуассоновское распределение с параметром р = Лв- Таким образом, X* имеет распределение суммы пуассоновского числа независимых слагаемых, имеющих распределение А с правильно меняющимся хвостом. По свойству таких сумм [12, гл. VIII, § 10] получаем асимптотику (1).
Лемма. Пусть и ("2 независимы, неотрицательны и имеют функции распределения с хвостами (ж) ~ ^2(ж) ~ с2Т0(ж), а > 0, где с1,с2 > 0, Т0(ж) ~ ж-аТ(ж), ж ^ то. Тогда при любых и1,и2 > 0 имеет место асимптотика
1 - р((1 + С2 < ¿«1, С2 < М ~ (С1 + С2(« Л и2)-а)Т0(¿), £ ^ ТО. Доказательство. При « ^ «2 имеем
р(С1 + С2 < ¿«1, (2 < ¿«2) = р(С1 + (2 < ¿«0,
и утверждение леммы следует из свойств распределений с правильно меняющимися хвостами [12, гл. VIII, § 8].
Пусть и1 > и2, рассмотрим разложение
1 - р(С1 + С2 < ¿«1,(2 < ¿«2) =
= р((2 > ¿«2) + р((1 > ¿«1, (2 < М + р((1 + (2 > ¿«1, (1 < ¿«1, (2 < ¿«2). (2)
Возьмем V € (и2,и1), тогда допустима оценка
р(С1 + С2 > ¿«1,(1 < ¿«1, (2 < ¿«2) <
< р(^ < С1 < ¿^1)р((2 < ¿(«1 - V)) + р(*(И1 - И2) < С1 < ¿«^(¿(«1 - V) < (2 < ¿«2) ~
~ с^-" - и-")^), г ^ТО.
Переходя к пределу при V ^ и1, заключаем, что
р(С1 + С2 > ¿«1, (1 < ¿«1, (2 < ¿«2) = о(*Ъ(¿)), t ^ то.
Таким образом, из (2) получаем
1 - р((1 + С2 < ¿«1, (2 < ¿«2) ~ А^) + ^2(^2), * ^ ТО,
откуда следует утверждение леммы.
Теорема 2. Пусть «(з), 8 > 0, — неотрицательная функция, такая, что «А(и(«)) ^ 1, 8 ^ то. Тогда
---—--НУ , П —>• ТО,
«(Лп)
где совместное распределение определяется формулой
р(Г* < у, Я* < ¿)=ехр {-((1 - 7)у-а + 7(У Л ¿)-а)} , у,г> 0. (3)
Доказательство. Введем случайные множества индексов Кт = {к : Тк € (т - 1, т]} и случайные величины
= Ск, Хт = ^ Ск 1(0 ^ т - Тк < Пк),
к € Кт к € Кт
Vт = V Ск, = у Ск1(0 ^ т - Тк <Пк), т ^ 1.
fceKm fceK
m
Заметим, что пары (Пт,Хт) независимы и одинаково распределены и то же можно сказать о парах (^ m,vm). Обозначим
¿2
Y(ii,i2)= sup X(t), Z(n,i2)= V X(m), ii < i2.
i€(ii + l,i2] m=ii + i
Тогда имеют место неравенства
п т= 1
(Г(¿1,22),^(¿1,22)) < X(¿1) (¿1) Хт . (5)
'тч
т=г\ т=г\
Допустимо представление ^т = ут V ^т, где
^т = V 1(т - Тк ^ пк).
кект
Из свойств пуассоновского потока и максимумов легко получить соотношения р(^т < х) = ехр{—л7а4(ж)}, р(^ < х) = ехр(-Л(1 - 7)А(х)} для любого х > 0, откуда следует
р(^т < у, ^т < г) = ехр{-Л((1 - 7)А(у) + 7А(у Л г))}, у, г > 0, и с учетом оценки (4) в пределе имеем
ИшвирР (Щ^- < (у, г)) < ехр {-((1 - + 7(у Л *)"<*)} .
п^те V и(ЛП) /
Используем также представление = хт + Хт, где
Хт
^ £к 1(т - Тк ^ Пк).
кект
N
(Гп,^п) ^ (Г((; - 1)1,¿0,2(а - 1)1, ¿1)).
3 = 1
(6)
Тогда (5) переписывается в виде
(г (¿ьг2), я (¿1,22)) < (х (¿1)+Е:т=г1 хт+Ети хт,х (¿1)+Ети хт). (7)
Возьмем целое число 1 > 0, пусть N = [п/1] + 1, тогда
Из неравенства (7) и свойств последовательности Хп следует монотонная стохастическая оценка р(Г ((а - 1)1, ¿1) < у, я ((а - 1)1, ¿1) < г) ^ р(Х * + 5 + < у, X * + 5 < г), где X*, 51, независимы и
== X] Хm, == X] Хт'
т= 1 т= 1
Кроме того, все пары (Г(¿1, ¿2), Я(¿1, ¿2)) положительно зависимы (ассоциированы) [13; 14, теорема 1.8], поскольку могут быть выражены как неубывающие функции от независимых случайных величин. Поэтому
р(Гп < у, Яп < г) ^ pn(X* + + < у, X* + 5 < г). (8)
Из свойств пуассоновского потока и распределений с правильно меняющимися хвостами [12, гл. VIII, § 8] можно получить асимптотику хвостов:
р^* + 5 > х) ~ Л(в + 1(1 - 7))А(х), р(5/ > х) ~ Л17А(х), х — то.
Используя лемму и формулу (8), заключаем, что
Ит ^ Р < (у, г)) > ехр {-{{[5/1 + 1 - -у)у~а + 7{у Л *)"<*)} ,
п^те у и(Лп) )
откуда, переходя к пределу при I — то и учитывая (6), выводим (3).
Заметим, что функция и(в) заведомо существует и является правильно меняющейся с показателем 1/а, т.е. и(в) ~ в1/аЬ2(в), в — то, где ^(в) — медленно меняющаяся функция.
Интересно сравнить (3) с результатами работы [15]: у стационарных гауссовских процессов нормированные максимумы (для непрерывного и дискретного времени) оказываются асимптотически независимыми. Здесь же возникает зависимость, сила которой определяется 7. Следствие 1. Для любых у, г > 0 справедливы предельные соотношения
Р Р ^ Л п-оо.
\«(Ап) / \«(Ап) /
Доказательство. Поочередно устремляя в (3) аргументы у и г к бесконечности, получаем соответственно
Р(У* < у)= е-у-а, * < г) = е-, у,г> 0.
Напомним теперь понятие экстремального индекса [10, § 3.7].
Пусть имеется стационарная случайная последовательность ("п с одномерной функцией распределения ^ и для любого числа т > 0 существует последовательность ип(т), такая, что
п^(ип(т)) — т, р \/ Ст ^ Пп(т) — е вт, п — то.
\т=1 /
Тогда 0 называется экстремальным индексом последовательности £п. Эта величина может принимать любые значения на отрезке [0,1].
Очевидно, определение экстремального индекса, данное выше, может быть продолжено и на нестационарные последовательности, имеющие предельное распределение, которое в таком случае принимаем за ^.
Следствие 2. Экстремальный индекс последовательности X(п) равен в = 7/в-Доказательство. Для любого т > 0 положим
—1/а
-М и(Ап),
тогда по теореме 1 и следствию 1 получаем
пр(Х* >ип(т)) — т, р(^п < ип(т)) — е-(7/в)т, п — то. Например, если В (ж) = 1 — (1 + сж)-р, р > 1, то в = 1 — (1 + с)1-р.
Следствие 3. Допустимо представление У * = Z * V Ш *, где Ш * не зависит от Z * и р(Ш * ^ ад) = е-(1—, ад > 0.
Доказательство. Пусть У * = Z * V Ш *, тогда
р(У* < у, Z* < г) = р(Ш* V Z* < у, Z* < г) = р(Ш* < у, Z* < у Л г),
откуда получаем в точности (3).
Следствие 4. Имеет место формула р(У* = Z*) = 7. Доказательство. Из представления, введенного в следствии 3, получаем
р(У* = Z*) = р(Ш* < Z*) = е-(1-7)2 а ^ а = щ(1-7)/7 ^ =
./0 .70
Обозначим Е* = У* и найдем распределение этой величины.
1
оо
Следствие 5. Для любого r ^ 1 верно равенство
Р(R* < г) 7
Y + (1 - y)r-a' Доказательство. Пусть s = 1/r, тогда
— Y
/•те
p(sY* < Z*) = p(sW* < Z*) = / e-(1-Yde-YZ-a =
Jo
Y + (1 - Y)sc
при любых 8 € (0,1].
Рассмотрим отношение максимумов за конечный промежуток времени. Положим Кп = 1П/^п при 2п > 0 и К, = 1 при 2п = 0.
Следствие 6. Для любого г > 1 верно предельное соотношение
~Р(Кп ^ г) ->•-—^—г-, п ->• оо.
7 + (1 - 7)г-а'
Доказательство. В силу теоремы 2 имеет место слабая сходимость Кп —У К*, п —^ оо, откуда следует сходимость функции распределения в точках непрерывности.
Пусть, например, В(ж) = 1 — (1+3ж)-3/2, ж ^ 0. Тогда в = 2/3, 7 = 1/3 и в = 1/2 по следствию 2. Это означает, что превышения высокого уровня в последовательности X (п) образуют кластеры со средним размером 2.
Пусть, далее, а = 3. Тогда, согласно следствию 6, на достаточно продолжительном периоде времени вероятность того, что отношение максимумов близко к единице (или они совпадают), должна составлять около 1/3; вероятность не более чем двукратного превышения Уп над 2п составляет около 80%, не более чем пятикратного — около 98% и т.д.
Настоящая работа имеет теоретический характер. Практическая применимость сделанных предположений и полученных результатов должна определяться анализом реальных статистических данных, что выходит за рамки статьи. Интерес представляет также точность аппроксимации в предельных теоремах и ее зависимость от параметров модели. Все это может быть предметом дальнейших исследований.
Автор приносит благодарность рецензенту за полезные замечания и предложения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Paxson V., Floyd S. Wide-area traffic: the failure of Poisson modelling // Proc. ACM Sigcomm'94. London, 1994.257-268.
2. Klüppelberg C., Mikosch T., Schärf A. Regular variation in the mean and stable limits for Poisson shot noise // Bernoulli. 2003. 9, N 3. 467-496.
3. Шелухин О.И., Осин А.В., Смольный С.М. Самоподобие и фракталы. Телекоммуникационные приложения. М.: Физматлит, 2008.
4. Jelenkovic P.R., Lazar A.A. Asymptotic results for multiplexing subexponential on-off processes // Adv. Appl. Probab. 1999. 31, N 2. 394-421.
5. Resnick S., Samorodnitsky G. Fluid queues, on-off processes and teletraffic modeling with highly variable and correlated inputs // Self-similar network traffic and performance evaluation / Ed. by K. Park, W. Willinger. N.Y.: J. Wiley & Sons, 2000. 171-192.
6. Liebeherr J., Burchard A., Ciucu F. Delay bounds for networks with heavy-tailed and self-similar traffic // arXiv: 0911.3856v1 (19 Nov. 2009).
7. Сидорова О.И. ON/OFF-модель трафика с неоднородными источниками в режиме "быстрого роста числа соединений" // Вестн. ТвГУ. Сер. Прикладная математика. 2015. № 2. 75-94.
8. Markovich N.M. Quality assessment of the packet transport of peer-to-peer video traffic in high-speed networks // Perform. Evaluation. 2013. 70, N 1. 28-44.
9. Markovich N.M. Modeling clusters of extreme values // Extremes. 2013. 17, N 1. 97-125.
10. Лидбеттер М., Липдгреп Г., Ротсен Х. Экстремумы случайных последовательностей и процессов. М.: Мир, 1989.
11. Embrechts P., Klüppelberg C., Mikosh T. Modelling extremal events for insurance and finance. Berlin: Springer, 2003.
12. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 2. М.: Мир, 1984.
13. Esary J., Prochan F., Walkup D. Association of random variables with applications // Ann. Math. Stat. 1967. 38, N 5. 1466-1474.
14. Булинский А.В., Шашкин А.П. Предельные теоремы для ассоциированных случайных полей и родственных систем. М.: Физматлит, 2008.
15. Piterbarg V.I. Discrete and continuous time extremes of Gaussian processes // Extremes. 2004. 7, N 2. 161-177.
Поступила в редакцию 17.05.2017
УДК 519.6
ОБ ОДНОЙ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
А. В. Звягин1, Г. М. Кобельков2, М. А. Ложников3
Предложена консервативная разностная схема для уравнений газовой динамики с линейной зависимостью давления от плотности. Данная схема позволяет моделировать одномерные течения газа в цилиндрической области с переменным во времени сечением и гарантирует положительность сеточной функции плотности.
Ключевые слова: газовая динамика, консервативные разностные схемы, переменная граница, положительность плотности.
A conservative difference scheme with linear dependence of the pressure on the density of gas is proposed for gas dynamics equations. The scheme allows us to simulate 1-D flows inside a cylindrical domain with time-variable cross-sections and guarantee the positive sign of the density function.
Key words: gas dynamics, conservative difference schemes, variable boundary, positive density.
1. Введение. Одной из актуальных прикладных задач гидро- и газовой динамики является расчет течения при закрытии клапанов и заслонок в трубопроводах [1, 2]. Для одномерного моделирования таких течений обычно используется метод характеристик. Клапан моделируется как место, где параметры течения (давление и скорость) разрывны, т.е. имеют разные величины с двух сторон от клапана. При этом система уравнений механики сплошной среды становится незамкнутой. Для того чтобы ее замкнуть, добавляются два эмпирических соотношения, связывающие скорость и давление перед клапаном со скоростью и давлением за ним. Эти соотношения зависят от технических характеристик конкретного клапана. В настоящей работе предлагается рассматривать клапан как часть трубы с переменным во времени сечением. Данная схема позволяет моделировать закрытие клапана в одномерном течении.
Это исследование является продолжением работ [3, 4], в которых были предложены разностные схемы, обеспечивающие положительность сеточной функции плотности для одномерных уравнений динамики баротропного газа со степенной зависимостью давления от плотности с показателем, большим единицы.
2. Постановка задачи. Рассмотрим систему уравнений, описывающую движение вязкого ба-ротропного сжимаемого газа (жидкости) в прямой трубе переменного радиуса:
д(Ар) + д(Ари) = Q
dt dx
2, я_ (1)
dt dx dx
1 Звягин Александр Васильевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: zvsasha@rambler.ru.
2 Кобельков Георгий Михайлович — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. вычислительной математики мех.-мат. ф-та МГУ, вед. науч. сотр. ИВМ РАН, e-mail: kobelkov@dodo.inm.ras.ru.
3 Ложников Михаил Андреевич — асп. каф. вычислительной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: lozhnikovma@gmail.com.
