CC BY
83. Burman Yu.M. Triangulation of surfaces with boundary and the homotopy principle for functions without critical points // Ann. Global Anal. and Geometry. 1999. 17, N 3. 221-238.
4. Кудрявцева Е.А. Реализация гладких функций на поверхностях в виде функций высоты // Матем. сб. 1999. 190, № 3. 29-88.
5. Kudryavtseva E.A. Canonical form of Reeb graph for Morse functions on surfaces. Inversion of 2-sphere in 3-space // Int. J. Shape Modeling. 1999. 5, N 1. 69-80.
6. Шарко В.В. Функции на поверхностях. I // Некоторые проблемы современной математики, Тр. Матем. ин-та Укр. НАН / Под ред. В.В. Шарко. Т. 25. Киев: Наукова думка, 1998. 408-434.
7. Maksymenko S.I. Path-components of Morse mappings spaces on surfaces // Comment. math. helv. 2005. 80. 655-690.
8. Арнольд В.И. Пространства функций с умеренными особенностями // Функц. анализ и его прил. 1989. 23, № 3. 1-10.
9. Фоменко А.Т., Цишанг Х. Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых гамильто-новых систем с двумя степенями свободы // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1990. 54, № 3. 546-575.
10. Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Траекторная эквивалентность интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Теорема классификации, I // Матем. сб. 1994. 185, № 4. 27-89; II // Там же. 1994. 185, № 5. 27-28.
11. Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Введение в топологию интегрируемых гамильтоновых систем. М.: Наука, 1997.
12. Кудрявцева Е.А. Устойчивые топологические и гладкие инварианты сопряженности гамильтоновых систем на поверхностях // Топологические методы в теории гамильтоновых систем / Под ред. А.Т. Фоменко и А.В. Бол-синова. М.: Факториал, 1998. 147-202.
13. Kulinich E. V. On topologically equivalent Morse functions on surfaces // Methods Funct. Anal. and Topology. 1998. 4, N 1. 59-64.
14. Maksymenko S.I. Homotopy types of stabilizers and orbits of Morse functions on surfaces // Ann. Global Anal. and Geometry. 2006. 29, N 3. 241-285.
15. Кудрявцева Е.А. Равномерная лемма Морса и критерий изотопности функций Морса на поверхностях // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2009. № 4. 13-22.
16. Кудрявцева Е.А., Пермяков Д.А. Оснащенные функции Морса на поверхностях // Матем. сб. 2010. 201, № 4. 33-98.
17. Dehn M. Die Gruppe der Abbildungsklassen (Das arithmetische Feld auf Flachen) // Acta math. 1938. 69. 135-206.
18. Johnson D. The structure of the Torelli group. II: A characterization of the group generated by twists on bounding curves // Topology. 1985. 24, N 2. 113-126.
19. Chillingworth D.R.J. Winding numbers on surfaces, I // Math. Ann. 1972. 196. 218-249.
20. Bridson M.R., Haefliger A. Metric spaces of non-positive curvature. Berlin; Heidelberg; N.Y.; Barcelona; Hong Kong; London; Milan; Paris; Singapore; Tokyo: Springer, 1999.
21. Ziegler G.M. Lectures on Polytopes. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 152. Berlin; N.Y.: Springer-Verlag, 1995.
Поступила в редакцию 18.06.2010
УДК 519.27
ПУАССОНОВСКАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ ВЫСОКИХ ЭКСТРЕМУМОВ ВРЕМЕННОГО РЯДА С СЕЗОННОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ И МОНОТОННЫМ ТРЕНДОМ
И. В. Родионов1
В статье рассматривается пуассоновская предельная теорема для высоких экстремумов строго стационарного временного ряда с монотонным трендом и почти периодической составляющей. Функция распределения временного ряда предполагается максимально устойчивой, на временной ряд накладывается условие слабой зависимости. Задача предельного поведения случайного точечного процесса высоких экстремумов для приведенной модели рассматривается впервые.
1 Родионов Игорь Владимирович — асп. каф. теории вероятности мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vecsell@gmail.com.
Ключевые слова: случайный процесс, высокий экстремум, максимальная устойчивость, стационарность, слабая зависимость, пуассоновская предельная теорема.
In this paper we consider Poisson's limit theorem for high extrema of a stationary time series with a monotone trend and an almost periodic component. It is assumed that the distribution function of the time series is maximum stable and the time series satisfies the weak dependence condition. The limit behavior of the random process of high extrema for this model is considered for the first time.
Key words: random process, high extremum, maximum stability, stationarity, weak dependence, Poisson's limit theorem.
1. Введение. В настоящей работе изучается предельное поведение точечного процесса высоких экстремумов временного ряда
Yi = Xi + cmi + ch(si), i = 1,2,..., (1)
где {Xi, i = 1, 2,...} — строго стационарная случайная последовательность, {mi, i = 1, 2,...} — тренд, ведущий себя стационарным образом в определенном ниже смысле (например, сезонная составляющая), h — монотонная функция, c и s — малые параметры. Предполагается, что функция распределения F(x) случайной величины Xi является максимально устойчивой ([1, 2], см. также [3]).
Определим случайный точечный процесс высоких экстремумов ограниченных борелевских подмножеств B действительной прямой:
C(B ) = #{k : Yk >anz + Ъп,к G nB}, n = 1, 2,..., (2)
где символом # обозначается число точек конечного множества; ап,Ъп — последовательности нормировочных констант из теоремы Фишера—Типпета—Гнеденко, соответствующих функции распределения F [1, 2]; z — действительное число. В дальнейшем c = c(n) = ап и s = s(n) = 1/n.
Свойство максимальной устойчивости сохраняется и в случае слабой зависимости больших значений далеко отстоящих друг от друга случайных величин Xi ([4], см. также [2]). Соответствующие условия перемешивания называются условиями Лидбеттера. Важной задачей в случае зависимых наблюдений для модели (1) является изучение предельного поведения распределения максимума по подпоследовательности, т.е. по частичной выборке, поскольку пропущенные наблюдения являются статистической реальностью. Для стационарного ряда такая задача рассмотрена в [5, 6], модель с трендом mi в случае независимых одинаково распределенных Xi, i = 1, 2,..., — в [7], а для случая строго стационарной случайной последовательности — в [8].
Задача предельного поведения случайного точечного процесса высоких экстремумов для модели (1), насколько нам известно, рассматривается впервые. Введем необходимые ограничения.
Условие 1. Последовательность {mi, i = 1, 2,...} ограничена сверху: m := sup mi < ж.
i=1,2,...
Обозначим Wi = апх + bn — anrrii — anh(wn = anx + bn — anm — anh, где h = sup h(x).
xZB
Обозначим также Zz(I) = #{k : Yk > anz + Ъп,к G I}.
Введем условие типа Лидбеттера слабой зависимости далеко отстоящих больших значений в модели (2).
Условие 2. Найдутся семейство чисел {ап,1}, n,l = 1,2,..., и последовательность натуральных чисел {1п}, такие, что 1п = o(n), an,in ^ 0, для любых z, для любых неотрицательных целых r и s и произвольных множеств натуральных чисел I = {ii,..., ip}, J = {ji,... ,jq}, таких, что
1 ^ ii <i2 < ... <ip < ji < ... < jq ^ n, ji - ip ^ 1п,
выполняется неравенство
\P(Zz(I) = r,Cz(J) = s) - P(Zz(I) = r)P(Zz(J) = s)| < an,in.
Следующее условие, как и предыдущее, являющееся стандартным для вероятностной теории экстремумов, гарантирует отсутствие предельной кластеризации высоких экстремумов (см. [2]).
Условие 3. Выполняется равенство
lim lim sup n Y^ P[Xx > wn; Xj > wn} = 0.
Введем "выборочную функцию распределения" значений сезонной составляющей для наблюдаемых Yi, а также аналогичную функцию для линейного тренда
#{г:ггц^х, l^i^n} ттВ / \ г е пВ}
Gn(x) =-, Я„ (х) =---.
n n n
Обозначим G(x) = lim Gn(x); HB(x) = lim H^(x). Обозначим также fi(z) = e-z, f2(z) = {z-a,z >
0; 0, z ^ 0; а > 0}, f3(z) = {(-z)^,z < 0; 0, z ^ 0; ß> 0}.
Основной результат работы касается предельного распределения случайного точечного процесса tz(B). Теорема. Пусть в модели (2) F £ Dv, где v = 1, 2 или 3. Предположим, что выполнены условия 1-3. Тогда если v =1 или v = 3, то для всех z, а если v = 2, то для всех z > m случайный точечный процесс экстремумов tn(B) слабо сходится при n к пуассоновскому точечному процессу с функцией
tn
z
интенсивности
\z(£)=/ fv(z - t)dfa(B) ■ G(t) + HB(t))
где ц — мера Лебега на действительной прямой.
2. Доказательство теоремы. Легко доказывается [2, 8], что для любого ] = 1, 2, 3 и для любого
г, г е пВ, верно Р{Х1 > иц) = + о(±), если е
В дальнейшем индекс у / будет опускаться ввиду аналогичности случаев.
Докажем сперва теорему для случая В = [а,Ь]. Обозначим п = [(Ь — а)п], где [х] — целая часть х. Пусть кп €{1,... ,п}, обозначим йп = [п/кп]. Далее увидим, что можно взять ¡п ^ йп (¡п определяется в условии 2), что и сделаем. Рассмотрим множества
3\ = {[ап] + 1, [ап] +2,..., [ап] + йп — ¡п}, 3 = {[ап] + йп — ¡п + 1,..., [ап] + йп}, 32 = {[ап] + йп + 1,..., [ап] + 2(1п — ¡п}, 32 = {[ап] + 2йп — ¡п + 1,..., [ап] + 2йп},..., Зкя = {[ап] + (кп — 1)йп + 1,..., [ап] + (кп — 1) йп + йп — ¡п}, 31л = {[ап] + кпйп — ¡п + 1,..., [Ьп]}.
Заметим, что 3\,3^,..., Зкй, 3£_ попарно не пересекаются и 3\ и 3^ и ••• и Зкй и 3= {[ап] +1,..., [Ьп]}.
Лемма. Для любого неотрицательного целого ¡ существует последовательность натуральных чисел {кп}, 1 ^ кп ^ п, такая, что при п ^ж
(кп)1+1 ¡п = о(п), (кп)1+1 ап,1я = о(1), и выполнено следующее равенство при п ^ж:
кп
P(tn([a, b])= l) - £ П P(tz(Ji U 3*) = r) = o(1),
Ri i=i
где Щ — все наборы из ¡ единиц и кпп — ¡ нулей.
Доказательство. Основная идея доказательства леммы была ранее реализована Лидбеттером [4]. Она заключается в следующем: максимумы по "большим" блокам оказываются независимыми, одновременно с этим число наблюдений в "малых" блоках растет много медленнее с увеличением п. Имеем
кп / / кп \ \
P(tn([a,b])= l)-£П P(tz (3i U 3*) = ri) < P(tzn([a,b])= l) - P(tz(U 3i) = l) Ri i=1 i=1
+
Ri i=1
k<n \ \ k'
+
~,z II I Ji I = l I - 7 I I P (tz Ji) = si
•i=\ 7 7 S i=l
P[tz(\J Ji) = l ^П P (tz (Ji) = Si) + ЕП P (tz (Ji) = Si) ^П P(tz(3i U 3*)= Si)
z Ji) = si) - l (tz ( S i=1 S i=1
+
+
к- к-
кп кп
Е П Р & и '7г) = — Е П р & я и ^) =Гг)
Яг г=1
Я г=1
= Р1 + Р2 + Р3 + Р4,
где 5 — все такие целочисленные наборы {$1,... ,вкп}, что вг ^ 0 и ^ вг = I для любого г, а Я[
г=1
наборы из I единиц и кп — I нулей.
Оценим каждое из слагаемых Р1,Р2,Рз,Р4. Для р1 имеем
все
г=1
рт[а,ь]) = I) — р(ц и= а = Ер(ция) = ъц и=1 — Ч 4
Ь=1
г=1
г=1
кп
I кп
^ р(Ч Ы = Ч ^Е Р&(Я) > 2)^Е Р&(Я)= Гг). 1=1
' г=1 ' ' г=1 г=1 Оценим первое слагаемое в последнем выражении:
г=1 Яь
кп
п/к п
Е Е Р& (Я*) ^ 2) ^ I ■ кп ■ 1п ■ Е рX > >тп; Х3 > = о(1)
Ь=1 г=1
3=2
в силу условия 2, так как 1п 4 Лп.
Оценим теперь второе слагаемое из того же выражения (с учетом условия 21ц 4 Лц):
Е Е(р & (Я*) = Гг,г = 1,...,кц) — П р & (Я*) = Гг))
ь=1 Яь
г=1
4 ац,1п ■ кц ■ С1 ■ I = о(1)
в силу условий теоремы. Здесь мы воспользовались неравенством
р(^пЛг) — П р(А) 4 Е \р(ПкАг) — р(^к-1Аг)р(Ак)|
к=2
(3)
и условием 2.
В свою очередь р& (Я*) = 1) 4 1прХ1 > wn), а для г = кп верно неравенство р& ) (п — Лпкп + 1п)р(Х1 > ).
Так как Р(Хг > ып) = + то
(4) = 1) 4
Пр & (Я*) = г г, г = 1,...,кп) 4 I ■ С
г=1
п
п
= 0(1)
в силу условий теоремы.
Таким образом, получили, что Р1 = о(1) при п — о. Оценим Р 2 :
Р2
г=1
рЩО = Ч — ЕЙ р & (Яг )= вг)
Я г=1
4
4
Я
р & (Яг) = вг,г = 1,...,кп) — П р & (Яг) = в г)
г=1
4
кп "У ^
ац
Здесь опять пользуемся неравенством (4) и условием 1.
Легко доказывается, что количество слагаемых в сумме ^ равно 0((кп)1), значит, Р2 = 0((кп)1+1ап,1п
Я
о(1) по условиям теоремы.
Для доказательства соотношения Рз = о(1) можно воспользоваться другим элементарным неравенством
пп
П/г — П д
г=1 г=1
4£ /г — дг I,
г=1
верным для любых чисел, не превосходящих по модулю единицы, а также разложением (3) и оценкой количества членов в сумме . Далее,
Я
Р4
кк к п кп
£ П р& (Яг и Я*) = вг) — £ П р& (Яг У Я*) = Гг)
Я г=1 Яг г=1
к- Н-
кп Нп
= £ П р & (Яг и Я*) = вг) 4 кп & £ р (Х1 > wn; Х3 > wn) = 0(1), я\Яг г=1 3=2
где кп — число вариантов выбора множества Яг и Я*, для которого в г ^ 2, а Лп — число вариантов выбора первого превышения в соответствующем множестве Яг и Я*. Таким образом, лемма доказана.
Заметим, что последовательность {кп} в лемме можно выбрать стремящейся к бесконечности при п -о. Возьмем
кп = тп{[(п/1п)1/(1+2)], [(ащм)-1/(1+2)]}. Тогда для любого I в силу леммы
р (&п([а, Ъ]) = I) = £ П р & (Яг и Я*) = Гг) + 0(1)
Яг г=1
при п -о.
Оценим теперь множители в С = ^ Л р& (Яг и Я*) = Гг). Из формулы включений-исключений и
Яг г=1
свойств {Хк} для любого г, 1 4 г 4 кп, имеем
р & (Яг и Я* )=0) = 1 — £ р (Хз > Wj )+0(1/кп),
р& (Яг и Я* ) = 1) =
£ р(Хз >Wj)(1 — £ р(Хк >wk))
+ о(1/кп).
Тогда
С=
Яг
£ I П р(Хг > Wг) № — £ р(Хк > Wk)) | + 0(1/(кп)1)
1+ \ге1+ 3=1 кел^ил*\т+
Здесь каждый элемент I+ — это I упорядоченных по возрастанию номеров г1,...,г[, где случились пре-
г
вышения, т.е. гк € Я3 и Я*, где в = шш{£ : ^ Гз = к}.
3=1
к п
Рассмотрим П 1 — ^ р(Хк > Wk) I для произвольного элемента 1+. з=1 V кеЗз из*\1+ )
Так как ^ р(Хк > Wk) = 0(1/кп) и кеЗ] ил*\1+
£ р(Хк >Wk)-► i /(г — 1)Л((Ъ — а)С(г)+и[а'ь\г)),
ке{[ап]+1,..,[Ьп]}\1+ ^
то
П I 1 - Е P(Xk > Wk)
j=i V kCJjUJ*\I+
exp
-J f (z - t)d((b - a)G(t) + H [a'b^(t))
Обозначим
A(z) = J f (z - t)d((b - a)G(t) + H[a'b](t)),
тогда
EIIp(tz(Ji и J*
Ri i=l
ЕЕПР (Xi >Wi)
ri i+ iei+
•exp[-A(z)] + o(1).
Рассмотрим ^ П P(Xi > Wi). Элементарно доказывается, что Ri I+ iei+
ЕЕПР (Xi >Wi)= £ ПР X >Wik ) + o(1).
Ri I+ ieI+ [an] + l<ii<...<il<[bn] k=l
Используя формулу включений-исключений, получаем
[bn]
£ Пр (X
[an] + 1<i1<...<ii<[bn] k=1
Ч > Wik) — ß
Ii ^ f(z-mj-h(i/n)) |
i=[an]+1
-► ту (A(z)Y ,
п^Ж l!
что и доказывает теорему для случая В = [а, Ь].
В силу выполнения условий теоремы Калленберга [9] для полукольца полуинтервалов (а, Ь] на действительной прямой получаем слабую сходимость случайного точечного процесса экстремумов £п(В) к пуассоновскому точечному процессу для любого ограниченного борелевского подмножества действительной прямой.
Таким образом, теорема доказана.
r
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Fereira A., Haan L. de. Extreme value theory. An introduction // Springer Series in Operations Research and Financial Engineering. N.Y.: Springer, 2006.
2. Leadbetter M.R., Lingren G., Rootzen H. Extreme and related properties of random sequences and processes // Springer Statistics Series. Berlin; Heidelberg; N.Y.: Springer, 1983.
3. Fisher R.A., Tippet L.H.C. Limiting forms of the frequency distribution of the largest or smallest member of a sample // Proc. Cambridge Phil. Soc. 1928. 24. 180-190.
4. Leadbetter M.R. On extreme values in stationary sequences // Z. Wahrscheinlichkeitstheor. und verw. Geb. 1974. 28. 289-303.
5. Mladenovic P., Piterbarg V. On asymptotic distribution of maxima of complete and incomplete samples from stationary sequences // Stochast. Proc. and Appl. 2006. 116. 1977-1991.
6. Ольшанский К.А. Об экстремальном индексе прореженного процесса авторегрессии // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2004. № 3. 17-23.
7. Кузнецов Д. С. Предельные теоремы для максимума случайных величин // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2005. № 3. 6-9.
8. Kudrov A.V., Piterbarg V.I. On maxima of partial samples in Gaussian sequences with pseudo-stationary trends // Liet. matem. rink. 2007. 47, N 1. 1-10.
9. Kallenberg O. Random measures. N.Y.: Academic Press, 1983.
Поступила в редакцию 08.11.2010
