Экстремальное поведение рекуррентных случайных последовательностей Текст научной статьи по специальности «Математика»

Пример 5. Логистическое распределение Ф^) = 1/(1 + e-x). Согласно теореме 3, имеем a = 1, b К О. Из формулы (9) получаем f (s) = s/(e-b — (e-b — 1)s), т.е. производящую функцию геометрического распределения со средним e-b > 1.

Пример 6. Показательное распределение Ф^) = 1 — e-x, x > О. Согласно теореме 3, имеем О К a К 1, b = О. Из (9) получаем f (u) = 1 —(1—u)a, О К a К 1. Это производящая функция некоторого распределения с бесконечным средним, а значит, не выполняется (6).

Пример 7. Рассмотрим Ф^) = exp{1 — el/x}, x > О. Согласно теореме 3, имеем О К a К 1, b = О. Из формулы (9) получаем f (s) = exp{1 — (1 — ln s)1/a}; эта функция удовлетворяет (i), но не является производящей ни при каком a G (0,1). Следовательно, такое распределение Ф не может быть предельным в данной схеме.

Замечание. При фиксированном (неслучайном) числе ц непосредственных потомков класс предельных распределений в (2) совпадает с соответствующим классом максимум-полуустойчивых распределений при линейной нормировке [9, 10], удовлетворяющих функциональному уравнению Ф(ax + b) = Ф^^). К ним относятся, в частности, распределения из примеров i и 2. Таким образом, максимум-полуустойчивые законы получают новую интересную интерпретацию. С другой стороны, распределения, удовлетворяющие (3), являются обобщениями максимум-полуустойчивых распределений.

Следует отметить, что автором рассматривалась также модель с наследуемыми признаками [ii]. Предполагалось, что наследственность описывается процессом линейной авторегрессии первого порядка, а распределение признаков либо гауссовское, либо имеет тяжелые хвосты. В этих предположениях доказаны аналоги теоремы Б.

Автор благодарен рецензенту за полезные замечания.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, гранты № 04-01-00700, 07-01-00077, 07-01-00373.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лебедев А.В. Предельные законы для максимумов на надкритических ветвящихся процессах ^ Обозрение прикладной и промышленной математики. 2004. 11, № 4. 867-868.

2. Arnold B.C., Villasenor J.A. The tallest man in the world У У Statistical theory and applications: Papers in honor of H.A. David. NY: Springer, l996. Sl-SS.

3. Pakes A.G. Extreme order statistics on Galton-Watson trees ^ Metrika. l998. 47. 95-ll7.

4. Rahimov L, Yanev G.P. On maximum family size in branching processes ^ J. Appl. Probab. l999. 36. 632-643.

5. Mitov K.V., Yanev G.P. Maximum individual score in critical two-type branching processes ^ C. R. Acad. Bulg. Sci. 2002. 55, N ll. l7-22.

6. Yanev G.P. Revisiting offspring maxima in branching processes У У Pliska Stud. Math. Bulg. 2007. 1S. 40l-426.

7. Лидбеттер М., Линдгрен Г., Ротсен Х. Экстремумы случайных последовательностей и процессов. М.: Мир, l9S9.

8. Харрис Т. Теория ветвящихся случайных процессов. М.: Мир, l966.

9. Гриневич И.В. Макс-полуустойчивые предельные распределения, отвечающие линейной и степенной нормировке УУ Теория вероятностей и ее применения. l992. 37, № 4. 774-776.

10. Canto e Castro L., de Haan L., Temido M.G. Rarely observed sample maxima ^ Там же. 2000. 45, N 4. 787-799.

11. Лебедев А.В. Максимумы наследуемых признаков частиц в ветвящихся процессах ^ Тр. V Колмогоровских чтений. Ярославль, 2007. 62-66.

Поступила в редакцию 06.03.2006

УДК 519.21

ЭКСТРЕМАЛЬНОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

О. С. Новицкая, Е. Б. Яцало

1. Введение. Рассмотрим процесс Уп, п ^ 1, удовлетворяющий стохастическому рекуррентному уравнению

УП = Ап Уп-1 + Вп, п > 1, Уо > 0, (1)

где (Ап,Вп), п > 1, — независимые, одинаково распределенные пары неотрицательных случайных величин. Подобные процессы изучаются начиная с работы [1].

Известно, что стационарные процессы вида (1) при довольно общих условиях обладают двумя важными свойствами, относящимися к поведению их экстремумов: стационарное распределение имеет степенные хвосты (а значит, предельным для экстремумов является распределение Фреше), а максимум Мп = т&х{У1,...,Уп] растет асимптотически (при п ^ ж), как максимум 9п независимых случайных величин с тем же распределением. Наша работа посвящена соответственно изучению двух числовых характеристик процесса: индекса хвоста к (для стационарного распределения) и экстремального индекса в. В работе [2] для них приведены общие формулы, но ни в общем случае, ни в рассмотренном там частном (применительно к АИСН-процессам) они не дают ответа в явном виде, и результат может быть получен только численно.

Далее мы рассмотрим также два частных случая: когда величины Ап имеют логнормальное и так называемое лог-лапласовское распределение [3] вида

Оба они относятся к числу распределений с тяжелыми хвостами, которые активно исследуются в последние десятилетия. В логнормальном случае мы найдем к и установим полезные свойства в в зависимости от параметров. В лог-лапласовском мы получим обе характеристики в явном виде. Это единственный известный случай, когда такое возможно. Таким образом, он имеет важное теоретическое значение. Распределение Вп и их возможная зависимость от Ап не играют роли при довольно общих условиях (теорема А), которые в дальнейшем мы будем считать заведомо выполненными.

Следует отметить, что уравнение (1) может иметь различные приложения. Например, оно может описывать динамику некоторого денежного фонда [4, § 8.4.1], куда через определенные промежутки времени поступают вклады (величины Вп), а в остальное время изменения капитала происходят пропорционально его величине (со случайными коэффициентами Ап), причем учитываются как доходы, так и расходы.

Нормальная модель для логарифмических приращений финансовых показателей (цен акций, курсов валют и т.п.) является традиционной в финансовой математике (модель Блэка-Шоулса). Однако практика показывает, что логнормальная модель не всегда удовлетворительно описывает действительность. Лог-лапласовское распределение, по-видимому, может рассматриваться как одна из альтернатив. Как отмечено в [3], симметричный лог-лапласовский закон впервые появился еще у Фреше [5] именно в модели дохода. В [6] этот закон был выведен из некоторой стохастической модели дохода, причем его подгонка под реальные статистические данные дала лучшие результаты, чем логнормальная модель. Заметим также, что лог-лапласовское распределение возникает при остановке геометрического броуновского движения (традиционного в финансовой математике) в случайный момент времени (распределенный показательно). В финансовых приложениях это может быть связано с тем, что экономическое время отличается от календарного.

Отметим также связь (1) с АИСН-процессами. А именно пусть задан АИСН-процесс первого порядка

где еп, п > 1, независимы и одинаково распределены. Тогда последовательность Уп = Хп удовлетворяет (1) с Ап = \е2п, Вп = ^е2п.

В классической модели инновации еп имеют стандартное нормальное распределение, поэтому случайные коэффициенты Ап имеют гамма-распределение. Этот случай был разобран в [2], где к и в находятся численно (составлены соответствующие таблицы). Однако возможны и альтернативы. Так, в [7, § 4.3] предлагаются АИСН-процессы, инновации которых имеют нормированное распределение Стьюдента. В примере 4.24 для логарифмических приращений цен акций "Майкрософт" в 1997-2000 гг. подгоняется GARCH-процесс, где используется распределение Стьюдента с 6,3 степенями свободы. В нашем случае речь также идет о распределении инноваций с тяжелыми хвостами, которые могут быть получены из лог-нормальных и лог-лапласовских величин Ап обратным преобразованием (с равновероятными знаками).

Все дальнейшие рассуждения основаны на следующих теоремах.

Теорема А [2, 8]. Рассмотрим уравнение (1), и пусть существует такое к > 0, что

(2)

ЕАЧ = 1, ЕАЧ 1п+ А1 < ж, 0 < ЕВ^ < ж

(3)

и распределение Bi/(1 — A\) не вырождено, а распределение ln A\ при условии, что A\ = 0, не решетчатое. Тогда верны следующие утверждения.

1. Уравнение У,о = AiУо + Bi, где У,о, (Ai,Bi) независимы, имеет единственное решение

о j-i

У, = £ BjR Ai.

j = i i=i

2. Если в (1) мы возьмем Уо = У,, то процесс {Уп} стационарный.

3. Независимо от начального условия процесса {Уп} Уп —^ У, при п —^ ос.

4. Существует константа c > 0, такая, что

Р(Усю > x) ~ cx-K при x — о.

Теорема Б [2]. Если справедливы условия теоремы А, то процесс Уп имеет экстремальный индекс в, вычисляемый по формуле

с с j

в = P(V RAi < y-1)Ky-K-1dy. (4)

i j=1i=1

Пусть an = п-1/к, тогда для всех x > 0 имеем

lim P(anMn < x) = exp(-cex-K).

n—

2. Логнормальный случай. Теорема 1. Пусть C(A-]) = expN(a,a2), a < 0, тогда к = —2a/a2. Доказательство. Из формулы (3) получаем уравнение

2,л ■

' =1,

^ f ^ К2)

ЕAI = exp < an + —— >

2

откуда следует, что при а < 0 существует решение к > 0, и при этом к = -2а/а2. Условие ЕА^ 1п+ А\ < ж также проверяется.

Прежде чем доказать теорему об экстремальном индексе, напомним это понятие и докажем несколько лемм общего характера.

Определение [4, 9]. Стационарная случайная последовательность Хп с маргинальной функцией распределения С(х) имеет экстремальный индекс в, если для каждого т > 0 существует такая последовательность {ип(т)}, что

1) иС(пп(т))) ^ т при и ^ж;

2) Р{Мп < Пп(т)} ^ ехр (—вт).

Это определение без труда переносится и на нестационарные последовательности, имеющие предельное стационарное распределение.

Лемма 1. Верна следующая формула для вычисления экстремального индекса:

в = 1 — E exp (к min (Г, 0)), где T = \J Sk, Sk = £ ln Ai.

k=1 i=1

Доказательство. Логарифмируя под знаком вероятности в формуле (4), получаем

со 1

в = у P(T < — ln y)Ky-K-1dy = 1 — J P (eKT > y-K) Ky-K-1dy = 1 — J P (eKT > u)du = 1 — EeK min(T>°).

Лемма 2. Если An = An, s > 0, то R = к/s, в = в.

Доказательство. Из определения индексов к и к имеем ЕАп = 1 = ЕАП = Е (АП)К, откуда следует, что в к = к. Построим Ап и Ап на одном вероятностном пространстве так, что Ап = АП. По определению

Sk = ln Ai = SY;Ai = sSk

i=l

i=l

Тогда в силу леммы 1 и равенств в к = к, Т = вТ получаем, что 0 = 0. Лемма 3. Если Ап Ап, то к > к, 0 > 0.

Доказательство. Аналогично доказательству предыдущей теоремы имеем 1 = ЕАп < ЕАп. При этом ЕАп = 1. Тогда ЕАп ^ ЕАп, откуда следует, что к > к.

Построим Ап и Ап на одном вероятностном пространстве так, что Ап < Ап. Тогда Б к ^ Б к и, следовательно, Т < Т. Из леммы 1 получаем

в = 1 - E exp(к min(f, 0)) > 1 - E exp( к min(T, 0)) > 1 - E exp( к min(T, 0)) = в.

Таким образом, в > в.

Теорема 2. В ло'¿нормальной модели экстремальный индекс в зависит только от величины a/a < 0 и является невозрастающей функцией от нее на (-ж, 0).

Доказательство. Введем величины с распределением L(An) = exp N (a/a, 1). Поскольку N (a,a2) =

aN(a/a, 1), то An = (An)a. Из леммы 2 следует, что к = к a, в = в. Монотонность следует из леммы 3.

Таким образом, достаточно изучать зависимость в от a при a = 1.

Эта зависимость была проанализирована путем компьютерного моделирования, и результат представлен на рисунке. Видно, что уже при a < —3 наблюдается в ~ 1.

3. Лог-лапласовский случай. Теорема 3. Пусть An распределены по закону (2), в > а, тогда к = в — а.

Доказательство. В данном случае уравнение принимает вид

EA1

x

K+a-ldx + xK-e-ldx

ав

ав

а + в (а + к )(в — к )

= 1.

При в > а имеется положительное решение к = в — а. Условие ЕА^ 1п+ А1 < ж также проверяется. Теорема 4. Пусть Ап распределены по .закону (2) с в > а, тогда 0 = (1 — а/в)2 • Доказательство. Обозначив 2 = 1п А^, получим следующую формулу для плотности распределения величин 2:

ав

PZi(x)

= J а + в ав

а + в

eax, x < 0; e-ex,x > 0.

Введем также величину М = тах(0, 21,21 + 22,...), тогда Т = 21 + М. Как показано в [10, с. 243], верно

Р(М = 0) = 1-^; = ж > 0.

Рассмотрим отдельно два случая: 1) х < 0 и 2) х > 0.

+те

1) [т(х) = РZl+M(х) = У рм(у) '[^-1 (х — у)йу =

— те

+те

_ Л _ а\ ар Г /З-а ф_а)у а/3 {х_у) _ (/3 - а)а

" V р) а + (3 ] !3 а + /3 ау /3

о

2) [т(х) = pz1 (х) Р(М = 0)+

х +те

+ У Рм(у) РгЛх - у)йу + У Рм(у) РгЛх - у)йу = ^ ((3 - а) е~{13~а)х.

ох

Здесь мы использовали тот факт, что рм (у) = 0, когда у < 0.

Теперь с помощью леммы 1, учитывая, что к = в — а, посчитаем в :

+те

в = 1 — Е ехр(к шш(Т, 0)) = 1 — I ек т™(х'0) рт(х)йх =

—те

/0 +те \ 2

(/3 ~а)а1 У дх + У е-^)» ^ = (1 - •

= 1 -

Авторы приносят благодарность научному руководителю А. В. Лебедеву за постановку задачи, полезные замечания и помощь в работе над статьей.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Vervaat W. On a stochastic difference equation and a representation of non-negative infinitely divisible random variables // Adv. Appl. Probab. 1979. 11. 750-783.

2. de Haan L., Resnick S.I., Rootzen H., de Vries G.C. Extremal behaviour of solutions to a stochastic difference equation with applications to ARCH processes // Stochast. Process. and Appl. 1989. 32, N 1. 213-224.

3. Kozubowski T.J., Podgórski K. Log-Laplace distributions // Int. Math. J. 2003. 3, N 4. 467-495.

4. Embrechts P., KlUppelberg C.P., Mikosh T. Modelling extremal events for insurance and finance. Berlin: Springer, 2003.

5. Freshet M. Sur les formules de repartition des revenus // Rev. Inst. Int. Statist. 1939. 7, N 1. 32-38.

6. Inoue T. On income distribution: the welfare implication of the general equilibrium model and the stochastic processes of income distribution formation: Ph.D. Thesis. University of Minnesota, 1978.

7. Embrechts P., Frey R., McNeil A.J. Quantitative Risk Management. Princeton University Press, 2005.

8. Kesten H. Random difference equations and renewal theory for products of random matrices // Acta math. 1973. 131. 207-248.

9. Лидбеттер М, Линдгрен Г., Ротсен Х. Экстремумы случайных последовательностей и процессов. М.: Мир, 1989.

10. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 2. М.: Мир, 1967.

Поступила в редакцию 30.03.2006

^ax